Wahrscheinlichkeiten mit Kombinatorik berechnen

• „kann eine Person auch mehrere Rollen besetzen" $\to$ Ziehen mit Zurücklegen.
• „Sprecher, Schriftführer, Kassenwart" sind unterschiedliche Rollen $\to$ Die Reihenfolge ist wichtig.

Es handelt sich um eine Variation mit Wiederholung.

• Die Gesamtzahl der Mitglieder ist $n = 9$.
• Die Anzahl der zu besetzenden Ämter ist $k = 3$.

Wir verwenden die Formel $n^{k}$:

$\text{Möglichkeiten} = 9^{3}$

$= 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$

Es gibt 729 mögliche Besetzungen.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Besetzung (z. B. Person A ist Sprecher, Person B ist Schriftführer, Person C ist Kassenwart). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist also 1.

$P(\text{bestimmte Besetzung}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

$P(\text{bestimmte Besetzung}) = \frac{1}{729}$

• Jede Ziffer (0–9) kann an jeder der vier Positionen vorkommen, auch mehrfach (z. B. 1111) $\to$ Ziehen mit Zurücklegen.
• Die Reihenfolge der Ziffern ist entscheidend (1234 ist anders als 4321) $\to$ Die Reihenfolge ist wichtig.

• Die Gesamtzahl der Ziffern zur Auswahl ist $n = 10$.
• Die Anzahl der Stellen im Code ist $k = 4$.

Wir verwenden die Formel $n^{k}$:

$\text{Möglichkeiten} = 10^{4}$

$= 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10.000$

Es gibt 10.000 mögliche Kombinationen.

Es gibt nur eine richtige Kombination. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist 1.

$P(\text{richtige Kombination}) = \frac{1}{10.000}$

• Bei jedem Wurf kann jede der sechs Zahlen erneut kommen $\to$ Ziehen mit Zurücklegen.
• Die Sequenz ist genau vorgegeben, also ist die Reihenfolge wichtig.

• Die Gesamtzahl der möglichen Augenzahlen pro Wurf ist $n = 6$.
• Die Anzahl der Würfe ist $k = 3$.

Wir verwenden die Formel $n^{k}$:

$\text{Möglichkeiten} = 6^{3}$

$= 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Es gibt 216 mögliche Wurfsequenzen.

Die Sequenz „6, 1, 4" ist genau ein günstiges Ergebnis.

$P(\text{„6, 1, 4"}) = \frac{1}{216}$

• „Buchstaben dürfen wiederholt werden" $\to$ Ziehen mit Zurücklegen.
• „XY" ist anders als „YX" $\to$ Die Reihenfolge ist wichtig.

• Die Gesamtzahl der Buchstaben ist $n = 26$.
• Die Länge des Passworts ist $k = 2$.

Wir verwenden die Formel $n^{k}$:

$\text{Möglichkeiten} = 26^{2}$

$= 26 \cdot 26 = 676$

Es gibt 676 mögliche Passwörter.

Das Passwort „XY" ist ein günstiges Ergebnis.

$P(\text{„XY"}) = \frac{1}{676}$

• Für jede Frage gibt es dieselben 4 Antwortmöglichkeiten $\to$ Ziehen mit Zurücklegen.
• Die Reihenfolge der Antworten ist entscheidend für das Ergebnis $\to$ Die Reihenfolge ist wichtig.

• Die Gesamtzahl der Antwortmöglichkeiten pro Frage ist $n = 4$.
• Die Anzahl der Fragen ist $k = 5$.

Wir verwenden die Formel $n^{k}$:

$\text{Möglichkeiten} = 4^{5}$

$= 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$

Es gibt 1024 mögliche Antwortsequenzen.

Es gibt nur eine korrekte Lösungssequenz.

$P(\text{alles richtig}) = \frac{1}{1024}$

• Jedes Mitglied kann nur einmal im Team sein $\to$ Ziehen ohne Zurücklegen.
• „ohne feste Rollen" $\to$ Die Reihenfolge ist egal.

Es handelt sich um eine Kombination ohne Wiederholung.

• Die Gesamtzahl der Mitglieder ist $n = 9$.
• Die Größe des Teams ist $k = 3$.

Wir verwenden die Formel $\binom{n}{k}$:

$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!}$

$= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 6!}$

Wir kürzen $6!$:

$= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{504}{6} = 84$

Es gibt 84 mögliche Teams.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Trio. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist 1.

$P(\text{bestimmtes Trio}) = \frac{1}{84}$

• Jede Zahl kann nur einmal gezogen werden $\to$ Ziehen ohne Zurücklegen.
• Die Reihenfolge der gezogenen Zahlen ist für den Gewinn egal $\to$ Die Reihenfolge ist egal.

• Die Gesamtzahl der Zahlen ist $n = 49$.
• Die Anzahl der zu ziehenden Zahlen ist $k = 6$.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot (49-6)!} = \frac{49!}{6! \cdot 43!}$

$= \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$= 13.983.816$

Es gibt fast 14 Millionen mögliche Zahlenkombinationen.

Ein Tipp ist eine günstige Kombination.

$P(\text{6 Richtige}) = \frac{1}{13.983.816}$

• Jeder Schüler kann nur einmal im Komitee sein $\to$ Ziehen ohne Zurücklegen.
• In einem Komitee gibt es keine festen Rollen $\to$ Die Reihenfolge ist egal.

• Die Gesamtzahl der Schüler ist $n = 20$.
• Die Größe des Komitees ist $k = 4$.

$\binom{20}{4} = \frac{20!}{4! \cdot (20-4)!} = \frac{20!}{4! \cdot 16!}$

$= \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4.845$

Es gibt 4.845 mögliche Komitees.

Ein bestimmtes Quartett ist ein günstiges Ergebnis.

$P(\text{bestimmtes Quartett}) = \frac{1}{4.845}$

• Jede Frucht kann nur einmal genommen werden $\to$ Ziehen ohne Zurücklegen.
• Es ist egal, in welcher Reihenfolge du die Früchte greifst $\to$ Die Reihenfolge ist egal.

• Die Gesamtzahl der Früchte ist $n = 5$.
• Die Anzahl der Früchte, die du nimmst, ist $k = 3$.

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}$

$= \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Es gibt 10 mögliche Kombinationen von 3 Früchten.

Die Kombination {Apfel, Banane, Kirsche} ist ein günstiges Ergebnis.

$P(\text{Apfel, Banane, Kirsche}) = \frac{1}{10}$

• Jede Karte kann nur einmal gezogen werden $\to$ Ziehen ohne Zurücklegen.
• Die Reihenfolge, in der du die beiden Karten auf der Hand hältst, ist egal $\to$ Die Reihenfolge ist egal.

• Die Gesamtzahl der Karten ist $n = 32$.
• Die Anzahl der gezogenen Karten ist $k = 2$.

$\binom{32}{2} = \frac{32!}{2! \cdot (32-2)!} = \frac{32!}{2! \cdot 30!}$

$= \frac{32 \cdot 31}{2 \cdot 1} = 496$

Es gibt 496 mögliche Kartenpaare.

Das Paar {„Herz Ass", „Karo König"} ist ein günstiges Ergebnis.

$P(\text{Herz Ass, Karo König}) = \frac{1}{496}$

Bei der Besetzung von Ämtern ist die Reihenfolge entscheidend. Ob Anna Sprecherin und Ben Schriftführer ist, ist eine andere Besetzung als wenn Ben Sprecher und Anna Schriftführerin ist.

• Für den Sprecher gibt es 9 Möglichkeiten.
• Danach für den Schriftführer noch 8 Möglichkeiten.
• Zuletzt für den Kassenwart noch 7 Möglichkeiten.

Anzahl der Möglichkeiten = $9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.

Bei einem Team ohne feste Rollen ist die Reihenfolge der Auswahl egal. Das Team {Anna, Ben, Carla} ist dasselbe wie {Ben, Carla, Anna}. Wir berechnen dies mit dem Binomialkoeffizienten:

$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$.

Die Anzahl der Möglichkeiten ist unterschiedlich (504 vs. 84), weil bei der Ämtervergabe jede Anordnung derselben drei Personen als neue Möglichkeit zählt. Ein Team aus 3 Personen (z. B. A, B, C) kann auf $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ verschiedene Weisen auf die Ämter verteilt werden. Daher ist die Anzahl der Möglichkeiten für die Ämter genau 6-mal so groß wie die Anzahl der möglichen Teams: $84 \cdot 6 = 504$.

Gold, Silber und Bronze sind unterschiedliche Ränge. Die Reihenfolge ist also wichtig.

• Für Gold gibt es 10 Schüler.
• Für Silber verbleiben 9 Schüler.
• Für Bronze verbleiben 8 Schüler.

Anzahl der Möglichkeiten = $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Alle drei Buchpreise sind identisch. Es ist also egal, wer als Erster, Zweiter oder Dritter ausgewählt wird; sie bilden einfach die Gruppe der Gewinner.

$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.

Es gibt 720 Möglichkeiten für die Medaillen, aber nur 120 für die Buchpreise. Der Grund ist, dass jede Gruppe von drei Gewinnern auf $3! = 6$ verschiedene Weisen mit Gold, Silber und Bronze ausgezeichnet werden kann. Bei den Buchpreisen fallen diese Unterscheidungen weg. Daher gilt: $120 \cdot 6 = 720$.

Der 1. und 2. Platz sind klar unterschieden. Die Reihenfolge ist wichtig.

• Für den 1. Platz gibt es 8 Pferde.
• Für den 2. Platz gibt es noch 7 Pferde.

Anzahl der Möglichkeiten = $8 \cdot 7 = 56$.

Für den Dopingtest werden einfach zwei Pferde ausgewählt. Es ist egal, welches Pferd zuerst und welches als zweites ausgewählt wird.

$\binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.

Es gibt 56 mögliche Zieleinläufe, aber nur 28 mögliche Test-Teams. Jedes Paar von Pferden (z. B. Pferd A und Pferd B) kann auf $2! = 2$ Weisen die ersten beiden Plätze belegen (A–B oder B–A). Bei der Teamauswahl wird dieses Paar nur einmal gezählt. Daher ist $28 \cdot 2 = 56$.

Bei der Waffel ist die Reihenfolge wichtig, da eine Sorte unten und die andere oben ist. „Schoko unten, Vanille oben" ist anders als „Vanille unten, Schoko oben".

• Für die untere Kugel gibt es 7 Sorten.
• Für die obere Kugel gibt es noch 6 Sorten.

Anzahl der Möglichkeiten = $7 \cdot 6 = 42$.

Im Becher liegen die Kugeln nebeneinander. Die Reihenfolge, in der sie hineingegeben werden, spielt keine Rolle.

$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

Es gibt 42 Waffel-Kombinationen, aber nur 21 Becher-Kombinationen. Jedes Paar von Eissorten kann auf $2! = 2$ Arten in der Waffel angeordnet werden, zählt im Becher aber nur als eine Möglichkeit. Daher ist $21 \cdot 2 = 42$.

Die Rollen „Leiter" und „Stellvertreter" sind unterschiedlich. Die Reihenfolge der Auswahl ist wichtig.

• Für den Leiter gibt es 12 Mitarbeiter.
• Für den Stellvertreter gibt es noch 11 Mitarbeiter.

Anzahl der Möglichkeiten = $12 \cdot 11 = 132$.

Ein zweiköpfiges Team hat keine definierten Rollen. Es ist egal, wer zuerst genannt wird.

$\binom{12}{2} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$.

Die Anzahl der Möglichkeiten ist unterschiedlich (132 vs. 66), weil bei der Rollenvergabe jedes Paar von Mitarbeitern auf $2! = 2$ Weisen den Posten des Leiters und Stellvertreters besetzen kann. Bei der Teambildung wird jedes Paar nur einmal gezählt. Daher ist $66 \cdot 2 = 132$.