Diskrete Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• Experiment: Zwei Würfel werfen.
• Zufallsgröße $A$: Summe der Augenzahlen.

Wir finden die kleinste und die größte mögliche Summe:

• Kleinste Summe: $1 + 1 = 2$
• Größte Summe: $6 + 6 = 12$

Alle ganzen Zahlen dazwischen sind ebenfalls möglich (z. B. $1+2=3$, $1+3=4$, usw.).

Die Zufallsgröße $A$ kann alle ganzen Zahlen von 2 bis 12 annehmen.

• Experiment: Eine Münze dreimal werfen.
• Zufallsgröße $K$: Anzahl von „Kopf".

Wir listen alle 8 möglichen Ausgänge auf und zählen die Köpfe:

• (Z, Z, Z) $\to$ 0 Köpfe
• (K, Z, Z), (Z, K, Z), (Z, Z, K) $\to$ 1 Kopf
• (K, K, Z), (K, Z, K), (Z, K, K) $\to$ 2 Köpfe
• (K, K, K) $\to$ 3 Köpfe

Die möglichen Anzahlen für „Kopf" sind 0, 1, 2 und 3.

• Experiment: Zwei Kugeln ohne Zurücklegen ziehen.
• Zufallsgröße $R$: Anzahl der roten Kugeln.

Wir überlegen, welche Kombinationen möglich sind:

• Man könnte zwei blaue Kugeln ziehen (B, B). Dann ist die Anzahl der roten Kugeln $0$.
• Man könnte eine rote und eine blaue Kugel ziehen (R, B) oder (B, R). Dann ist die Anzahl der roten Kugeln $1$.
• Man könnte zwei rote Kugeln ziehen (R, R). Dann ist die Anzahl der roten Kugeln $2$.

Die Anzahl der gezogenen roten Kugeln kann 0, 1 oder 2 sein.

• Experiment: Zwei Würfel werfen.
• Zufallsgröße $D$: Absolute Differenz der Augenzahlen.

Wir finden die kleinste und größte mögliche Differenz:

• Kleinste Differenz: z. B. bei (3, 3) $\to |3 - 3| = 0$
• Größte Differenz: bei (6, 1) $\to |6 - 1| = 5$

Andere mögliche Differenzen sind:

• $|2 - 1| = 1$
• $|3 - 1| = 2$
• $|4 - 1| = 3$
• $|5 - 1| = 4$

Die möglichen Differenzen sind die ganzen Zahlen von 0 bis 5.

• Experiment: Glücksrad zweimal drehen.
• Zufallsgröße $P$: Produkt der Zahlen.

Wir listen alle möglichen Produkte systematisch auf:

• $1 \cdot 1 = 1$
• $1 \cdot 2 = 2$
• $1 \cdot 5 = 5$
• $2 \cdot 1 = 2$
• $2 \cdot 2 = 4$
• $2 \cdot 5 = 10$
• $5 \cdot 1 = 5$
• $5 \cdot 2 = 10$
• $5 \cdot 5 = 25$

Wir sammeln alle unterschiedlichen Ergebnisse.

Die möglichen Produkte sind: $1\cdot1=1$, $1\cdot2=2$, $1\cdot3=3$, $2\cdot2=4$, $2\cdot3=6$, $3\cdot3=9$. Die Reihenfolge (z. B. $1\cdot2$ und $2\cdot1$) führt zu denselben Werten. Der Wertebereich ist $k \in \{1, 2, 3, 4, 6, 9\}$.

Es gibt $3$ Möglichkeiten bei der ersten Drehung und $3$ bei der zweiten. Insgesamt also $3 \cdot 3 = 9$ mögliche Ergebnispaare.

• $N=1$: nur (1,1) $\to$ 1 Ergebnis $\to P(N=1) = \frac{1}{9}$
• $N=2$: (1,2), (2,1) $\to$ 2 Ergebnisse $\to P(N=2) = \frac{2}{9}$
• $N=3$: (1,3), (3,1) $\to$ 2 Ergebnisse $\to P(N=3) = \frac{2}{9}$
• $N=4$: nur (2,2) $\to$ 1 Ergebnis $\to P(N=4) = \frac{1}{9}$
• $N=6$: (2,3), (3,2) $\to$ 2 Ergebnisse $\to P(N=6) = \frac{2}{9}$
• $N=9$: nur (3,3) $\to$ 1 Ergebnis $\to P(N=9) = \frac{1}{9}$

Wie in einem früheren Beispiel ist der Wertebereich $k \in \{0, 1, 2, 3\}$.

Es gibt $2$ Möglichkeiten pro Wurf, also $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ Gesamtergebnisse (ZZZ, ZZK, ...).

• $K=0$: nur (Z,Z,Z) $\to$ 1 Ergebnis $\to P(K=0) = \frac{1}{8}$
• $K=1$: (K,Z,Z), (Z,K,Z), (Z,Z,K) $\to$ 3 Ergebnisse $\to P(K=1) = \frac{3}{8}$
• $K=2$: (K,K,Z), (K,Z,K), (Z,K,K) $\to$ 3 Ergebnisse $\to P(K=2) = \frac{3}{8}$
• $K=3$: nur (K,K,K) $\to$ 1 Ergebnis $\to P(K=3) = \frac{1}{8}$

Die Zufallsgröße kann nur zwei Werte annehmen: 10 (wenn Herz gezogen wird) oder 0 (wenn nicht). Der Wertebereich ist $k \in \{0, 10\}$.

Es gibt 32 Karten, also 32 mögliche Ergebnisse.

Ein Skatspiel hat 4 Farben, jede kommt 8-mal vor (7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass).

• $W=10$: Dies passiert, wenn eine Herz-Karte gezogen wird. Es gibt 8 Herz-Karten. $P(W=10) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
• $W=0$: Dies passiert, wenn eine der anderen drei Farben gezogen wird. Es gibt $3 \cdot 8 = 24$ solche Karten. $P(W=0) = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$

Die möglichen Nummern auf den Kugeln sind 1, 2 und 3. Der Wertebereich ist $k \in \{1, 2, 3\}$.

Es sind insgesamt 5 Kugeln in der Schale.

• $X=1$: Es gibt 2 Kugeln mit der Nummer 1. $P(X=1) = \frac{2}{5}$
• $X=2$: Es gibt 1 Kugel mit der Nummer 2. $P(X=2) = \frac{1}{5}$
• $X=3$: Es gibt 2 Kugeln mit der Nummer 3. $P(X=3) = \frac{2}{5}$

Das Maximum kann jede Zahl von 1 bis 6 sein. (z. B. bei (1,1) ist das Maximum 1, bei (1,2) ist es 2, ... bei (6,6) ist es 6). Der Wertebereich ist $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Es gibt $6 \cdot 6 = 36$ mögliche Ergebnispaare.

• $M=1$: nur (1,1) $\to$ 1 Ergebnis $\to P(M=1) = \frac{1}{36}$
• $M=2$: (1,2), (2,1), (2,2) $\to$ 3 Ergebnisse $\to P(M=2) = \frac{3}{36}$
• $M=3$: (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3) $\to$ 5 Ergebnisse $\to P(M=3) = \frac{5}{36}$
• $M=4$: (1,4), (4,1), (2,4), (4,2), (3,4), (4,3), (4,4) $\to$ 7 Ergebnisse $\to P(M=4) = \frac{7}{36}$
• $M=5$: 9 Ergebnisse $\to P(M=5) = \frac{9}{36}$
• $M=6$: 11 Ergebnisse $\to P(M=6) = \frac{11}{36}$

Das Los mit der Nummer 3 kann im 1., 2. oder 3. Zug gezogen werden. Der Wertebereich ist also $k \in \{1, 2, 3\}$.

Wir zeichnen den Baum. Im ersten Zug gibt es 3 Lose, die Wahrscheinlichkeit für jedes ist $\frac{1}{3}$. Im zweiten Zug sind nur noch 2 Lose da, die Wahrscheinlichkeit ist $\frac{1}{2}$. Im dritten Zug ist nur noch 1 Los übrig, die Wahrscheinlichkeit ist $1$.

• $Z=1$: Das Los 3 wird im ersten Zug gezogen. Es gibt nur einen Pfad dafür. $P(Z=1) = \frac{1}{3}$
• $Z=2$: Das Los 3 wird im zweiten Zug gezogen. Das passiert auf den Pfaden (1,3) und (2,3). $P(1,3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ $P(2,3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ $P(Z=2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• $Z=3$: Das Los 3 wird im dritten Zug gezogen. Das passiert auf den Pfaden (1,2,3) und (2,1,3). $P(1,2,3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$ $P(2,1,3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$ $P(Z=3) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Man kann 0, 1 oder 2 rote Kugeln ziehen. Der Wertebereich ist $k \in \{0, 1, 2\}$.

Anfangs sind 5 Kugeln da. $P(R) = \frac{3}{5}$, $P(B) = \frac{2}{5}$. Nach dem ersten Zug sind nur noch 4 Kugeln da.

• $R=0$: Pfad (B, B). Anzahl roter Kugeln ist 0. $P(B,B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ $P(R=0) = \frac{1}{10}$
• $R=1$: Pfade (R, B) und (B, R). Anzahl roter Kugeln ist 1. $P(R,B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$ $P(B,R) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20}$ $P(R=1) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$
• $R=2$: Pfad (R, R). Anzahl roter Kugeln ist 2. $P(R,R) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ $P(R=2) = \frac{3}{10}$

Sie kann 0, 1 oder 2 Treffer landen. Der Wertebereich ist $k \in \{0, 1, 2\}$.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (T) ist 0,8. Die für einen Fehlschuss (F) ist $1 - 0,8 = 0,2$. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben bei jedem Schuss gleich.

• $T=0$: Pfad (F, F). $P(F,F) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$ $P(T=0) = 0{,}04$
• $T=1$: Pfade (T, F) und (F, T). $P(T,F) = 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16$ $P(F,T) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}16$ $P(T=1) = 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}32$
• $T=2$: Pfad (T, T). $P(T,T) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$ $P(T=2) = 0{,}64$

Man kann 0, 1 oder 2 defekte Birnen ziehen. Der Wertebereich ist $k \in \{0, 1, 2\}$.

Es gibt 3 defekte (D) und 7 intakte (I) Birnen. Anfangs: $P(D) = \frac{3}{10}$, $P(I) = \frac{7}{10}$. Nach dem ersten Zug sind nur noch 9 Birnen da.

• $D=0$: Pfad (I, I). $P(I,I) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$ $P(D=0) = \frac{7}{15}$
• $D=1$: Pfade (D, I) und (I, D). $P(D,I) = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{21}{90}$ $P(I,D) = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{21}{90}$ $P(D=1) = \frac{21}{90} + \frac{21}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$
• $D=2$: Pfad (D, D). $P(D,D) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$ $P(D=2) = \frac{1}{15}$

Der Schüler kann 0, 1 oder 2 Fragen richtig beantworten. Der Wertebereich ist $k \in \{0, 1, 2\}$.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig (R) zu beantworten, ist $\frac{1}{3}$. Die für eine falsche (F) Antwort ist $\frac{2}{3}$.

• $C=0$: Pfad (F, F). $P(F,F) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ $P(C=0) = \frac{4}{9}$
• $C=1$: Pfade (R, F) und (F, R). $P(R,F) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ $P(F,R) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ $P(C=1) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$
• $C=2$: Pfad (R, R). $P(R,R) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ $P(C=2) = \frac{1}{9}$

Aus dem Diagramm lesen wir ab:

• $P(A=0) = p$
• $P(A=b) = 3p$
• $P(A=6) = 2p$

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 sein: $P(A=0) + P(A=b) + P(A=6) = 1$

Wir setzen die Terme mit $p$ in die Gleichung ein: $p + 3p + 2p = 1$

Wir fassen die Terme zusammen und lösen nach $p$ auf. $6p = 1$ $p = \frac{1}{6}$

• $P(X=1) = 0{,}2$
• $P(X=2) = 0{,}5$
• $P(X=3) = p$ (unbekannt)

Die Summe muss 1 sein: $0{,}2 + 0{,}5 + p = 1$

$0{,}7 + p = 1$ $p = 1 - 0{,}7$ $p = 0{,}3$

• $P(Y=0) = \frac{1}{3}$
• $P(Y=5) = p$
• $P(Y=10) = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{3} + p + \frac{1}{4} = 1$

Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (12): $\frac{4}{12} + p + \frac{3}{12} = 1$ $\frac{7}{12} + p = 1$ $p = 1 - \frac{7}{12}$ $p = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$

Die Wahrscheinlichkeiten sind $p, 2p, 3p, 4p$.

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 sein: $p + 2p + 3p + 4p = 1$

Wir addieren alle Terme mit $p$: $10p = 1$ $p = \frac{1}{10}$

• $P(\text{Grün}) = p$
• $P(\text{Rot})$ ist doppelt so hoch wie $P(\text{Grün})$, also $P(\text{Rot}) = 2p$
• $P(\text{Blau}) = 0{,}5$

Die Summe muss 1 sein: $P(\text{Grün}) + P(\text{Rot}) + P(\text{Blau}) = 1$ $p + 2p + 0{,}5 = 1$

$3p + 0{,}5 = 1$ $3p = 0{,}5$ $p = \frac{0{,}5}{3} = \frac{1}{6}$