Kumulierte Wahrscheinlichkeit Binomialverteilung einfach erklärt

• Anzahl der Drehungen: $n=3$
• Wahrscheinlichkeit für „rot": $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$
• Gesuchtes Ereignis: mindestens 2 Treffer, also $X \ge 2$.

„Mindestens 2 Treffer" bedeutet „genau 2 Treffer" ODER „genau 3 Treffer".

$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3)$

Wir verwenden die Bernoulli-Formel $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$.

Für $k=2$: $P(X=2) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}25^{2} \cdot (1-0{,}25)^{3-2} = 3 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}75^1 = 0{,}140625$

Für $k=3$: $P(X=3) = \binom{3}{3} \cdot 0{,}25^{3} \cdot (1-0{,}25)^{3-3} = 1 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}75^0 = 0{,}015625$

$P(X \ge 2) = 0{,}140625 + 0{,}015625 = 0{,}15625$

• Anzahl der Fragen: $n=4$
• Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort: $p = \frac{1}{3}$
• Gesuchtes Ereignis: mindestens 3 richtige Antworten, also $X \ge 3$.

„Mindestens 3 Treffer" bedeutet „genau 3 Treffer" ODER „genau 4 Treffer".

$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)$

Für $k=3$: $P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{4-3} = 4 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{81}$

Für $k=4$: $P(X=4) = \binom{4}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{4-4} = 1 \cdot \frac{1}{81} \cdot 1 = \frac{1}{81}$

$P(X \ge 3) = \frac{8}{81} + \frac{1}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9} \approx 0{,}1111$

• Anzahl der Würfe: $n=3$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}8$
• Gesuchtes Ereignis: mindestens 1 Treffer, also $X \ge 1$.

„Mindestens 1 Treffer" bedeutet „genau 1 Treffer" ODER „genau 2 Treffer" ODER „genau 3 Treffer".

$P(X \ge 1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$

Tipp: Es ist einfacher, das Gegenereignis „genau 0 Treffer" zu berechnen und von 1 abzuziehen.

$P(X=0) = \binom{3}{0} \cdot 0{,}8^0 \cdot 0{,}2^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}008 = 0{,}008$

$P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992$

• Anzahl der Züge: $n=4$
• Wahrscheinlichkeit für ein Ass: $p = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0{,}125$
• Gesuchtes Ereignis: mindestens 3 Asse, also $X \ge 3$.

„Mindestens 3 Asse" bedeutet „genau 3 Asse" ODER „genau 4 Asse".

$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)$

Für $k=3$: $P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}125^{3} \cdot (0{,}875)^{4-3} \approx 4 \cdot 0{,}00195 \cdot 0{,}875 \approx 0{,}0068$

Für $k=4$: $P(X=4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}125^{4} \cdot (0{,}875)^{4-4} \approx 1 \cdot 0{,}00024 \cdot 1 \approx 0{,}00024$

$P(X \ge 3) \approx 0{,}0068 + 0{,}00024 = 0{,}00704$

• Anzahl der Patienten: $n=4$
• Wirksamkeit: $p = 0{,}9$
• Gesuchtes Ereignis: genau 4 Treffer, also $X = 4$.

Wir brauchen nur $P(X=4)$ zu berechnen.

$P(X=4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}9^{4} \cdot (0{,}1)^{4-4} = 1 \cdot 0{,}6561 \cdot 1 = 0{,}6561$

Nehmen wir an, ein Treffer ist „defekt".

• $n=100$
• $p=0{,}05$ (Wahrscheinlichkeit für „defekt")
• $k=0$

• $n=100$: Es werden 100 Glühbirnen geprüft.
• $p=0{,}05$: Ein Treffer ist eine defekte Glühbirne.
• $k=0$: Es gibt genau 0 defekte Glühbirnen.

• Term 1: $\binom{20}{18} \cdot 0{,}3^{18} \cdot 0{,}7^{2}$. Das ist die Wahrscheinlichkeit für $n=20$ Schüsse und $p=0{,}3$ Trefferwahrscheinlichkeit, genau $18$ Treffer zu erzielen.
• Term 2: $\binom{20}{19} \cdot 0{,}3^{19} \cdot 0{,}7^{1}$. Das ist die Wahrscheinlichkeit für genau $19$ Treffer.
• Term 3: $\binom{20}{20} \cdot 0{,}3^{20} \cdot 0{,}7^{0}$. Das ist die Wahrscheinlichkeit für genau $20$ Treffer.

Das Pluszeichen bedeutet „ODER". Der gesamte Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass der Jäger bei 20 Schüssen genau 18 ODER genau 19 ODER genau 20 Treffer erzielt.

• $n=50$
• $k=4$
• $p=0{,}1$

• $n=50$: Es werden 50 Smartphones kontrolliert.
• $p=0{,}1$: Ein „Treffer" ist ein Smartphone mit Akkufehler.
• $k=4$: Es gibt genau 4 „Treffer".

• $n=15$
• $k=5$
• $p = \frac{1}{3}$ (Die Wahrscheinlichkeit für eine 1 oder 2 ist $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$)

• $n=15$: Der Würfel wird 15-mal geworfen.
• $p=1/3$: Ein „Erfolg" ist das Würfeln einer 1 oder 2.
• $k=5$: Es gibt genau 5 „Erfolge".

• $n=200$
• $k=180$
• $p=0{,}85$

• $n=200$: Es werden 200 Personen geimpft.
• $p=0{,}85$: Ein „Treffer" bedeutet, dass der Impfstoff bei einer Person wirksam ist.
• $k=180$: Es gibt genau 180 „Treffer".

• Anzahl der Passagiere: $n=200$
• Wahrscheinlichkeit, nicht zu erscheinen („Treffer"): $p=0{,}05$
• Obergrenze: $k=8$

Gesucht ist $P(X < 8)$.

Wir wenden die Regel an: $P(X < 8) = P(X \le 8-1) = P(X \le 7)$.

Mit dem Taschenrechner (kumulierte Binomialverteilung) für $n=200$, $p=0{,}05$ und $k=7$:

$P(X \le 7) \approx 0{,}2355$

• Anzahl der Anrufe: $n=1000$
• Verkaufswahrscheinlichkeit: $p=0{,}03$
• Obergrenze: $k=25$

Gesucht ist $P(X < 25)$.

$P(X < 25) = P(X \le 25-1) = P(X \le 24)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=1000$, $p=0{,}03$ und $k=24$:

$P(X \le 24) \approx 0{,}1936$

• Anzahl der Autos: $n=300$
• Wahrscheinlichkeit „nicht angeschnallt": $p=0{,}1$
• Obergrenze: $k=30$

Gesucht ist $P(X < 30)$.

$P(X < 30) = P(X \le 29)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=300$, $p=0{,}1$ und $k=29$:

$P(X \le 29) \approx 0{,}4756$

• Anzahl der Würfe: $n=60$
• Wahrscheinlichkeit für eine Sechs: $p=1/6$
• Obergrenze: $k=10$

Gesucht ist $P(X < 10)$.

$P(X < 10) = P(X \le 9)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=60$, $p=1/6$ und $k=9$:

$P(X \le 9) \approx 0{,}4676$

• Anzahl der Samen: $n=500$
• Keimwahrscheinlichkeit: $p=0{,}95$
• Obergrenze: $k=470$

Gesucht ist $P(X < 470)$.

$P(X < 470) = P(X \le 469)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=500$, $p=0{,}95$ und $k=469$:

$P(X \le 469) \approx 0{,}1216$

• Anzahl der Personen: $n=400$
• Wirksamkeit: $p=0{,}8$
• Untergrenze: $k=330$

Gesucht ist $P(X \ge 330)$.

$P(X \ge 330) = 1 - P(X \le 329)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=400$, $p=0{,}8$ und $k=329$:

$P(X \le 329) \approx 0{,}8938$

$P(X \ge 330) = 1 - 0{,}8938 = 0{,}1062$

• Anzahl der Schrauben: $n=1000$
• Ausschusswahrscheinlichkeit: $p=0{,}04$
• Untergrenze: $k=45$

Gesucht ist $P(X \ge 45)$.

$P(X \ge 45) = 1 - P(X \le 44)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=1000$, $p=0{,}04$ und $k=44$:

$P(X \le 44) \approx 0{,}8123$

$P(X \ge 45) = 1 - 0{,}8123 = 0{,}1877$

• Anzahl der Besucher: $n=500$
• Kaufwahrscheinlichkeit: $p=0{,}02$
• Untergrenze: $k=10$

Gesucht ist $P(X \ge 10)$.

$P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=500$, $p=0{,}02$ und $k=9$:

$P(X \le 9) \approx 0{,}4554$

$P(X \ge 10) = 1 - 0{,}4554 = 0{,}5446$

• Anzahl der Befragten: $n=800$
• Wahrscheinlichkeit für Partei A: $p=0{,}55$
• Untergrenze: $k=450$

Gesucht ist $P(X \ge 450)$.

$P(X \ge 450) = 1 - P(X \le 449)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=800$, $p=0{,}55$ und $k=449$:

$P(X \le 449) \approx 0{,}8143$

$P(X \ge 450) = 1 - 0{,}8143 = 0{,}1857$

• Anzahl der Würfe: $n=100$
• Wahrscheinlichkeit für „Kopf": $p=0{,}5$
• Untergrenze: $k=50$

Gesucht ist $P(X \ge 50)$.

$P(X \ge 50) = 1 - P(X \le 49)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=100$, $p=0{,}5$ und $k=49$:

$P(X \le 49) \approx 0{,}4602$

$P(X \ge 50) = 1 - 0{,}4602 = 0{,}5398$

• Anzahl der Eier: $n=50$
• Wahrscheinlichkeit für „beschädigt": $p=0{,}01$
• Obergrenze: $k=1$

Gesucht ist $P(X \le 1)$.

Mit dem Taschenrechner (kumulierte Binomialverteilung) für $n=50$, $p=0{,}01$ und $k=1$:

$P(X \le 1) \approx 0{,}9106$

• Anzahl der Lose: $n=20$
• Gewinnwahrscheinlichkeit: $p=0{,}1$
• Obergrenze: $k=2$

Gesucht ist $P(X \le 2)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=20$, $p=0{,}1$ und $k=2$:

$P(X \le 2) \approx 0{,}6769$

• Anzahl der Kunden: $n=300$
• Kündigungswahrscheinlichkeit: $p=0{,}15$
• Obergrenze: $k=50$

Gesucht ist $P(X \le 50)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=300$, $p=0{,}15$ und $k=50$:

$P(X \le 50) \approx 0{,}8298$

• Anzahl der Tage: $n=30$
• Regenwahrscheinlichkeit: $p=0{,}4$
• Obergrenze: $k=10$

Gesucht ist $P(X \le 10)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=30$, $p=0{,}4$ und $k=10$:

$P(X \le 10) \approx 0{,}3095$

• Anzahl der Pfeile: $n=80$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p=0{,}7$
• Obergrenze: $k=60$

Gesucht ist $P(X \le 60)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=80$, $p=0{,}7$ und $k=60$:

$P(X \le 60) \approx 0{,}8874$

• Anzahl der Personen: $n=1000$
• Wahrscheinlichkeit für „falsch positiv": $p=0{,}02$
• Untergrenze: $k=25$

Gesucht ist $P(X > 25)$.

$P(X > 25) = 1 - P(X \le 25)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=1000$, $p=0{,}02$ und $k=25$:

$P(X \le 25) \approx 0{,}8953$

$P(X > 25) = 1 - 0{,}8953 = 0{,}1047$

• Anzahl der Seiten: $n=600$
• Wahrscheinlichkeit für Druckfehler: $p=0{,}005$
• Untergrenze: $k=4$

Gesucht ist $P(X > 4)$.

$P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=600$, $p=0{,}005$ und $k=4$:

$P(X \le 4) \approx 0{,}8212$

$P(X > 4) = 1 - 0{,}8212 = 0{,}1788$

• Anzahl der Autos: $n=150$
• Erfassungswahrscheinlichkeit: $p=0{,}95$
• Untergrenze: $k=145$

Gesucht ist $P(X > 145)$.

$P(X > 145) = 1 - P(X \le 145)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=150$, $p=0{,}95$ und $k=145$:

$P(X \le 145) \approx 0{,}8354$

$P(X > 145) = 1 - 0{,}8354 = 0{,}1646$

• Anzahl der Briefe: $n=700$
• Wahrscheinlichkeit für „zu spät" (Treffer): $p=0{,}02$ (Gegenwahrscheinlichkeit zu 98 % pünktlich)
• Untergrenze: $k=10$

Gesucht ist $P(X > 10)$.

$P(X > 10) = 1 - P(X \le 10)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=700$, $p=0{,}02$ und $k=10$:

$P(X \le 10) \approx 0{,}1915$

$P(X > 10) = 1 - 0{,}1915 = 0{,}8085$

• Anzahl der Fragen: $n=50$
• Wahrscheinlichkeit für „richtig": $p=0{,}5$
• Untergrenze: $k=30$

Gesucht ist $P(X > 30)$.

$P(X > 30) = 1 - P(X \le 30)$.

Mit dem Taschenrechner für $n=50$, $p=0{,}5$ und $k=30$:

$P(X \le 30) \approx 0{,}9405$

$P(X > 30) = 1 - 0{,}9405 = 0{,}0595$

• Anzahl der Anrufe: $n=800$
• Erfolgswahrscheinlichkeit: $p=0{,}06$
• Intervallgrenzen: $a=40$, $b=50$

Gesucht ist $P(40 < X < 50)$.

$P(40 < X < 50) = P(X \le 49) - P(X \le 40)$.

• Mit dem Taschenrechner für $k=49$: $P(X \le 49) \approx 0{,}5986$
• Mit dem Taschenrechner für $k=40$: $P(X \le 40) \approx 0{,}1153$

$P(40 < X < 50) = 0{,}5986 - 0{,}1153 = 0{,}4833$

• Anzahl der Haushalte: $n=200$
• Wahrscheinlichkeit für „Hund": $p=0{,}3$
• Intervallgrenzen: $a=55$, $b=65$

Gesucht ist $P(55 < X < 65)$.

$P(55 < X < 65) = P(X \le 64) - P(X \le 55)$.

• $P(X \le 64) \approx 0{,}8175$
• $P(X \le 55) \approx 0{,}2204$

$P(55 < X < 65) = 0{,}8175 - 0{,}2204 = 0{,}5971$

• Anzahl der Würfe: $n=180$
• Wahrscheinlichkeit für „Sechs": $p=1/6$
• Intervallgrenzen: $a=25$, $b=35$

Gesucht ist $P(25 < X < 35)$.

$P(25 < X < 35) = P(X \le 34) - P(X \le 25)$.

• $P(X \le 34) \approx 0{,}8415$
• $P(X \le 25) \approx 0{,}1848$

$P(25 < X < 35) = 0{,}8415 - 0{,}1848 = 0{,}6567$

• Anzahl der Stunden: $n=1000$
• Wahrscheinlichkeit für „Ausfall" (Treffer): $p=0{,}01$
• Intervallgrenzen: $a=5$, $b=15$

Gesucht ist $P(5 < X < 15)$.

$P(5 < X < 15) = P(X \le 14) - P(X \le 5)$.

• $P(X \le 14) \approx 0{,}9169$
• $P(X \le 5) \approx 0{,}0661$

$P(5 < X < 15) = 0{,}9169 - 0{,}0661 = 0{,}8508$

• Anzahl der E-Mails: $n=500$
• Öffnungswahrscheinlichkeit: $p=0{,}2$
• Intervallgrenzen: $a=90$, $b=110$

Gesucht ist $P(90 < X < 110)$.

$P(90 < X < 110) = P(X \le 109) - P(X \le 90)$.

• $P(X \le 109) \approx 0{,}8449$
• $P(X \le 90) \approx 0{,}1551$

$P(90 < X < 110) = 0{,}8449 - 0{,}1551 = 0{,}6898$