Was ist die Formel von Bernoulli?

Die Formel von Bernoulli berechnet die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Treffer zu erzielen, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch konstant p beträgt. Sie lautet: P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k) . Der Binomialkoeffizient gibt dabei an, auf wie viele Weisen sich die Treffer auf die Versuche verteilen können.

Wie wendest du die Bernoulli-Formel Schritt für Schritt an?

Gehe in vier Schritten vor: Prüfe, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt (zwei Ausgänge, konstantes p , unabhängige Versuche). Lies die Werte n (Gesamtversuche), p (Trefferwahrscheinlichkeit) und k (gewünschte Treffer) aus der Aufgabe heraus. Setze die Werte in P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k) ein. Schreibe den vollständigen Term sauber auf.

Was sind die Bedingungen für eine Bernoulli-Kette?

Damit du die Formel von Bernoulli anwenden darfst, müssen drei Bedingungen erfüllt sein: Es gibt genau zwei mögliche Ausgänge (Treffer oder Niete), die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt konstant bei jedem Versuch, und die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig . Eine Folge von Versuchen, die alle drei Bedingungen erfüllt, heißt Bernoulli-Kette.

Was bedeutet ein Pluszeichen zwischen zwei Bernoulli-Termen?

Ein Pluszeichen zwischen zwei Bernoulli-Termen bedeutet in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer „oder" . Der Term P(X=20) + P(X=21) berechnet also die Wahrscheinlichkeit, dass entweder genau 20 oder genau 21 Treffer eintreten. Die Einzelwahrscheinlichkeiten werden addiert, weil sich die Ereignisse gegenseitig ausschließen.

Wie deutest du einen Bernoulli-Term im Sachzusammenhang?

Identifiziere zunächst die drei Kennzahlen im Term C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k) : n steht oben im Binomialkoeffizienten (Gesamtversuche), k steht unten (Anzahl der Treffer), und p ist die Basis der Potenz mit Exponent k . Übersetze diese Zahlen anschließend in einen deutschen Satz, der das Ereignis im Kontext der Aufgabe beschreibt.

Formel von Bernoulli einfach erklärt

Die Formel von Bernoulli ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hast du dich jemals gefragt, wie wahrscheinlich es ist, dass dein Lieblings-YouTuber in einem Videospiel 10 seltene Items hintereinander bekommt? Ist das pures Glück oder vielleicht doch nicht ganz echt? Die Formel von Bernoulli ist wie ein „Cheat Code" für die Realität. Sie lässt dich die exakte Wahrscheinlichkeit für solche verrückten Zufälle ausrechnen. Statt nur zu raten, kannst du beweisen, ob etwas wirklich nur Glück war oder ob die Chancen vielleicht manipuliert sind. Mit diesem Wissen durchschaust du Statistiken und erkennst, was wahrscheinlich ist und was fast unmöglich. Lass uns diesen mächtigen Trick lernen!

Schnellantwort

Die Formel von Bernoulli berechnet die Wahrscheinlichkeit, bei $n$ Versuchen genau $k$ Treffer zu erzielen, wenn die einzelne Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bei jedem Versuch gleich bleibt. Sie lautet: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ . Voraussetzung ist eine sogenannte Bernoulli-Kette: nur zwei mögliche Ausgänge, konstante Trefferwahrscheinlichkeit und voneinander unabhängige Versuche.

Vorwissen

Bevor wir in die Formel von Bernoulli eintauchen, frischen wir kurz drei wichtige Grundlagen auf:

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses: Das ist das Verhältnis der für dich günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse.
- Formel: $P(\text{Ereignis}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
- Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, mit einem normalen Würfel eine 6 zu würfeln, ist $\frac{1}{6}$ , da es eine günstige Seite (die 6) und sechs mögliche Seiten insgesamt gibt.
Binomialkoeffizient: Er gibt an, auf wie viele verschiedene Weisen man eine bestimmte Anzahl von Objekten aus einer Gesamtmenge auswählen kann, ohne die Reihenfolge zu beachten.
- Schreibweise: $\binom{n}{k}$ (gesprochen: „n über k")
- Beispiel: Du hast 4 verschiedene Eissorten und möchtest 2 Kugeln auswählen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen ist $\binom{4}{2} = 6$ .
Potenzen: Eine Potenz drückt wiederholtes Multiplizieren derselben Zahl mit sich selbst aus.
- Formel: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n-mal)
- Beispiel: $0{,}5^3 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeit für „genau k Treffer" berechnen

Stell dir ein Experiment vor, das nur zwei Ausgänge hat: Treffer oder Niete. Zum Beispiel ein Münzwurf (Kopf oder Zahl) oder ein Elfmeter (Tor oder kein Tor). Wenn du dieses Experiment mehrmals wiederholst und die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer immer gleich bleibt, nennt man das eine Bernoulli-Kette.

Die Formel von Bernoulli hilft uns, die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Anzahl von Treffern zu berechnen. Sie lautet:

$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Die Formel besteht aus drei Teilen:

$p^k$ : Das ist die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ -mal hintereinander zu treffen. $p$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer.
$(1-p)^{n-k}$ : Das ist die Wahrscheinlichkeit für die restlichen $n-k$ Versuche, die Nieten sein müssen. $(1-p)$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeit für eine Niete).
$\binom{n}{k}$ : Der Binomialkoeffizient. Er gibt an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, die $k$ Treffer auf die $n$ Versuche zu verteilen. Zum Beispiel bei 3 Würfen 2 Sechsen zu würfeln, kann so aussehen: (6, 6, X), (6, X, 6) oder (X, 6, 6). Das sind $\binom{3}{2}=3$ Möglichkeiten.

Zusammengefasst beschreibt die Formel die Wahrscheinlichkeit, bei $n$ Versuchen genau $k$ Treffer zu erzielen, wenn die einzelne Trefferwahrscheinlichkeit $p$ beträgt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Prüfen, ob eine Binomialverteilung vorliegt

Stelle sicher, dass die drei Bedingungen für eine Bernoulli-Kette erfüllt sind:

Es gibt nur zwei mögliche Ausgänge (Treffer/Niete).
Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bleibt bei jedem Versuch gleich.
Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig.

Schritt 2: Die drei wichtigen Werte identifizieren

Lies die folgenden Werte aus der Aufgabenstellung heraus:

$n$ : Wie oft wird das Experiment insgesamt durchgeführt? (z.B. Anzahl der Würfe, Schüsse, Fragen)
$p$ : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für EINEN Treffer? (oft als Prozent oder Bruch gegeben)
$k$ : Wie viele Treffer sollen genau erzielt werden?

Schritt 3: Werte in die Bernoulli-Formel einsetzen

Nimm die Formel $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ und setze die gefundenen Werte für $n$ , $p$ und $k$ an der richtigen Stelle ein.

Schritt 4: Term aufstellen

Schreibe den vollständigen Term sauber auf. Oft musst du nur den Term angeben und nicht den finalen Wert ausrechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein idealer Würfel wird 20-mal geworfen. Gib den Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, genau 11-mal eine Sechs zu würfeln.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Prüfen, ob eine Binomialverteilung vorliegt
- Es gibt zwei Ausgänge: „Sechs" (Treffer) oder „keine Sechs" (Niete). ✅
- Die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs ist bei jedem Wurf $\frac{1}{6}$ . ✅
- Die Würfe sind unabhängig. ✅
2
Schritt 2
Die drei wichtigen Werte identifizieren
- $n$ : Der Würfel wird 20-mal geworfen, also ist $n=20$ .
- $p$ : Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (eine Sechs) ist $p=\frac{1}{6}$ .
- $k$ : Es sollen genau 11 Sechsen gewürfelt werden, also ist $k=11$ .
Schritt 3
Werte in die Bernoulli-Formel einsetzen
Wir verwenden die Formel $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ .

Die Gegenwahrscheinlichkeit (keine Sechs) ist $1-p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

$P(X=11) = \binom{20}{11} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{11} \cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{20-11}$
Schritt 4 · Ergebnis
Term aufstellen
Wir vereinfachen den Exponenten im letzten Teil:

Ergebnis:

$P(X=11) = \binom{20}{11} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{9}$

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Basketballspieler hat eine Freiwurfquote von 90%. Er wirft 10-mal. Gib den Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass er genau 8-mal trifft.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Prüfen, ob eine Binomialverteilung vorliegt
- Zwei Ausgänge: „Treffer" oder „kein Treffer". ✅
- Die Wahrscheinlichkeit ist konstant bei 90%. ✅
- Die Würfe sind unabhängig. ✅
2
Schritt 2
Die drei wichtigen Werte identifizieren
- $n$ : Er wirft 10-mal, also $n=10$ .
- $p$ : Die Trefferwahrscheinlichkeit ist 90%, also $p=0{,}9$ .
- $k$ : Er soll genau 8-mal treffen, also $k=8$ .
Schritt 3
Werte in die Bernoulli-Formel einsetzen
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist $1-p = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$ .

$P(X=8) = \binom{10}{8} \cdot (0{,}9)^{8} \cdot (1-0{,}9)^{10-8}$
Schritt 4 · Ergebnis
Term aufstellen

Ergebnis:

$P(X=8) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}9^{8} \cdot 0{,}1^{2}$

Beispiel 3

Aufgabe

Bei einer Qualitätskontrolle ist ein Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% defekt. Aus einer großen Lieferung werden 100 Bauteile zufällig entnommen. Gib den Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass genau 3 davon defekt sind.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Prüfen, ob eine Binomialverteilung vorliegt
- Zwei Ausgänge: „defekt" (Treffer) oder „in Ordnung" (Niete). ✅
- Die Wahrscheinlichkeit für „defekt" ist konstant 5%. ✅
- Die Entnahmen sind unabhängig. ✅
2
Schritt 2
Die drei wichtigen Werte identifizieren
- $n$ : Es werden 100 Bauteile geprüft, also $n=100$ .
- $p$ : Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (defekt) ist 5%, also $p=0{,}05$ .
- $k$ : Es sollen genau 3 defekte Teile gefunden werden, also $k=3$ .
Schritt 3
Werte in die Bernoulli-Formel einsetzen
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist $1-p = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$ .

$P(X=3) = \binom{100}{3} \cdot (0{,}05)^{3} \cdot (1-0{,}05)^{100-3}$
Schritt 4 · Ergebnis
Term aufstellen

Ergebnis:

$P(X=3) = \binom{100}{3} \cdot 0{,}05^{3} \cdot 0{,}95^{97}$

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Glücksrad mit 4 gleich großen Sektoren (rot, grün, blau, gelb) wird 15-mal gedreht. Gib den Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass genau 5-mal der Sektor „rot" erscheint.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Prüfen, ob eine Binomialverteilung vorliegt
- Zwei Ausgänge: „rot" (Treffer) oder „nicht rot" (Niete). ✅
- Die Wahrscheinlichkeit für „rot" ist bei jeder Drehung $\frac{1}{4}$ . ✅
- Die Drehungen sind unabhängig. ✅
2
Schritt 2
Die drei wichtigen Werte identifizieren
- $n$ : Das Rad wird 15-mal gedreht, also $n=15$ .
- $p$ : Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (rot) ist $\frac{1}{4}$ , also $p=0{,}25$ .
- $k$ : Es soll genau 5-mal rot erscheinen, also $k=5$ .
Schritt 3
Werte in die Bernoulli-Formel einsetzen
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist $1-p = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ .

$P(X=5) = \binom{15}{5} \cdot (0{,}25)^{5} \cdot (1-0{,}25)^{15-5}$
Schritt 4 · Ergebnis
Term aufstellen

Ergebnis:

$P(X=5) = \binom{15}{5} \cdot 0{,}25^{5} \cdot 0{,}75^{10}$

Beispiel 5

Aufgabe

Pia trifft eine Dartscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%. Sie wirft 100-mal. Gib den Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie genau 80-mal trifft.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Prüfen, ob eine Binomialverteilung vorliegt
- Zwei Ausgänge: „Treffer" oder „kein Treffer". ✅
- Die Wahrscheinlichkeit ist konstant bei 80%. ✅
- Die Würfe sind unabhängig. ✅
2
Schritt 2
Die drei wichtigen Werte identifizieren
- $n$ : Sie wirft 100-mal, also $n=100$ .
- $p$ : Die Trefferwahrscheinlichkeit ist 80%, also $p=0{,}8$ .
- $k$ : Sie soll genau 80-mal treffen, also $k=80$ .
Schritt 3
Werte in die Bernoulli-Formel einsetzen
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist $1-p = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$ .

$P(X=80) = \binom{100}{80} \cdot (0{,}8)^{80} \cdot (1-0{,}8)^{100-80}$
Schritt 4 · Ergebnis
Term aufstellen

Ergebnis:

$P(X=80) = \binom{100}{80} \cdot 0{,}8^{80} \cdot 0{,}2^{20}$

Aufgabentyp 2: Terme im Sachzusammenhang deuten

Manchmal bekommst du einen fertigen Term und sollst erklären, was er in einer bestimmten Situation bedeutet. Das ist wie Detektivarbeit: Du musst die Formel entschlüsseln und die Werte $n$ , $p$ und $k$ wiederfinden.

Schau dir den Term genau an: $\binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

Die Zahlen im Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ verraten dir direkt die Gesamtzahl der Versuche ( $n$ , oben) und die Anzahl der Treffer ( $k$ , unten).
Die Basis der Potenz mit dem Exponenten $k$ ist deine Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .

Was bedeutet ein Pluszeichen?

Wenn zwei solche Terme mit einem Plus verbunden sind, z.B. $P(X=20) + P(X=21)$ , bedeutet das Plus in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer „ODER". Der Term berechnet also die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das eine Ereignis (genau 20 Treffer) oder das andere Ereignis (genau 21 Treffer) eintritt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Struktur des Terms analysieren

Schaue, ob es sich um einen einzelnen Bernoulli-Term handelt oder um eine Summe von mehreren Termen (mit + verbunden).

Schritt 2: Einzelnen Term entschlüsseln

Nimm einen Term und identifiziere die drei Kennzahlen:

Lies $n$ (oben) und $k$ (unten) aus dem Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ ab.
Finde die Potenz, deren Exponent $k$ ist. Die Basis dieser Potenz ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .
Überprüfe zur Sicherheit, ob der andere Teil des Terms $(1-p)^{n-k}$ passt.

Schritt 3: Ereignis im Sachzusammenhang formulieren

Übersetze die gefundenen Zahlen in die Sprache der Aufgabe. Formuliere einen Satz, der das Ereignis beschreibt, z.B.: „Die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer bei $n$ Versuchen."

Schritt 4: Ereignisse bei einer Summe verknüpfen

Wenn der Term eine Summe ist, wiederhole Schritt 2 und 3 für jeden einzelnen Term. Verbinde die formulierten Ereignisse dann mit dem Wort „oder".

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Lea ist Bogenschützin mit einer Treffsicherheit von $p=0{,}4$ . Sie schießt 100-mal. Geben Sie die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang an: $\binom{100}{20} \cdot 0{,}4^{20} \cdot 0{,}6^{80}+\binom{100}{21} \cdot 0{,}4^{21} \cdot 0{,}6^{79}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Struktur des Terms analysieren
Der Term ist eine Summe aus zwei einzelnen Bernoulli-Termen, die durch ein + verbunden sind.
2
Schritt 2
Ersten Term entschlüsseln
Term 1: $\binom{100}{20} \cdot 0{,}4^{20} \cdot 0{,}6^{80}$
- Aus $\binom{100}{20}$ lesen wir ab: $n=100$ und $k=20$ .
- Die Basis der Potenz mit dem Exponenten 20 ist 0,4, also $p=0{,}4$ .
Schritt 3
Ereignis im Sachzusammenhang formulieren (Term 1)
Dieser Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass Lea bei 100 Schüssen genau 20-mal trifft.
4
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Zweiten Term entschlüsseln und verknüpfen
Term 2: $\binom{100}{21} \cdot 0{,}4^{21} \cdot 0{,}6^{79}$
- Aus $\binom{100}{21}$ lesen wir ab: $n=100$ und $k=21$ .
- Die Basis der Potenz mit dem Exponenten 21 ist 0,4, also $p=0{,}4$ .
- Dieser Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass Lea bei 100 Schüssen genau 21-mal trifft.
Das Pluszeichen verbindet die beiden Ereignisse mit „oder".

Ergebnis:

Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass Lea von 100 Schüssen genau 20 oder genau 21 trifft.

Beispiel 2

Aufgabe

In einer Stadt regnet es an 30% der Tage im Jahr. Man betrachtet eine Woche (7 Tage). Deute den Term $\binom{7}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^5$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Struktur des Terms analysieren
Es handelt sich um einen einzelnen Bernoulli-Term.
2
Schritt 2
Einzelnen Term entschlüsseln
Term: $\binom{7}{2} \cdot 0{,}3^{2} \cdot 0{,}7^{5}$
- Aus $\binom{7}{2}$ lesen wir ab: $n=7$ und $k=2$ .
- Die Basis der Potenz mit dem Exponenten 2 ist 0,3, also $p=0{,}3$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ereignis im Sachzusammenhang formulieren
Ein „Treffer" ist hier ein Tag, an dem es regnet.

Ergebnis:

Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Woche (7 Tage) an genau 2 Tagen regnet.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Multiple-Choice-Test hat 10 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten, von denen immer nur eine richtig ist. Ein Schüler rät bei allen Fragen. Deute den Term $\binom{10}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{10}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Struktur des Terms analysieren
Es ist ein einzelner Bernoulli-Term.
2
Schritt 2
Einzelnen Term entschlüsseln
Term: $\binom{10}{0} \cdot 0{,}25^{0} \cdot 0{,}75^{10}$
- Aus $\binom{10}{0}$ lesen wir ab: $n=10$ und $k=0$ .
- Die Wahrscheinlichkeit, durch Raten richtig zu liegen, ist $\frac{1}{4} = 0{,}25$ . Dies ist die Basis der Potenz mit dem Exponenten 0, also $p=0{,}25$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ereignis im Sachzusammenhang formulieren
Ein „Treffer" ist eine richtig geratene Antwort.

Ergebnis:

Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler bei 10 Fragen genau 0-mal (also kein einziges Mal) richtig rät.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein fairer Würfel wird 50-mal geworfen. Als Treffer gilt das Würfeln einer 1 oder einer 2. Deute den Term $P(X=15) = \binom{50}{15} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{15} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{35}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Struktur des Terms analysieren
Es ist ein einzelner Bernoulli-Term.
2
Schritt 2
Einzelnen Term entschlüsseln
Term: $\binom{50}{15} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{15} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{35}$
- Aus $\binom{50}{15}$ lesen wir ab: $n=50$ und $k=15$ .
- Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (1 oder 2) ist $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ . Dies ist die Basis der Potenz mit dem Exponenten 15, also $p=\frac{1}{3}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ereignis im Sachzusammenhang formulieren
Ein „Treffer" ist das Würfeln einer 1 oder 2.

Ergebnis:

Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit, bei 50 Würfen genau 15-mal eine 1 oder eine 2 zu würfeln.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Handy-Hersteller weiß, dass 10% der Akkus einen Defekt haben. Ein Händler bestellt 20 Handys. Deute den Term: $\binom{20}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{20} + \binom{20}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{19}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Struktur des Terms analysieren
Der Term ist eine Summe aus zwei Bernoulli-Termen.
2
Schritt 2 & 3
Terme einzeln entschlüsseln und formulieren
- Term 1: $\binom{20}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{20}$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für $k=0$ defekte Akkus bei $n=20$ Handys.
- Term 2: $\binom{20}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{19}$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für $k=1$ defekten Akku bei $n=20$ Handys.
Die Trefferwahrscheinlichkeit (defekter Akku) ist in beiden Fällen $p=0{,}1$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Ereignisse bei einer Summe verknüpfen
Das Pluszeichen bedeutet „oder".

Ergebnis:

Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass von den 20 Handys genau 0 oder genau 1 einen defekten Akku hat. Man könnte auch sagen: „höchstens ein Handy" hat einen defekten Akku.

Wichtige Erkenntnisse

Die Formel von Bernoulli berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer bei $n$ Versuchen.
Formel: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Bedingungen für die Anwendung (Bernoulli-Kette): Nur 2 Ausgänge (Treffer/Niete), die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist bei jedem Versuch gleich, die Versuche sind unabhängig voneinander.
Ein Pluszeichen (+) zwischen zwei Bernoulli-Termen bedeutet immer ODER.

Formel von Bernoulli: Punktwahrscheinlichkeit berechnen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeit für „genau k Treffer" berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Terme im Sachzusammenhang deuten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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