Pfadregeln einfach erklärt: Produkt- und Summenregel

Das Experiment hat zwei Stufen (zweimal ziehen). Da die Kugeln zurückgelegt werden, sind die Wahrscheinlichkeiten in beiden Stufen gleich.

Das Ereignis „eine weiße und eine blaue Kugel" tritt bei zwei Pfaden ein:

1. Zuerst blau, dann weiß (Pfad B-W)
2. Zuerst weiß, dann blau (Pfad W-B)

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten entlang der beiden Pfade:

$P(\text{erst B, dann W}) = P(B) \cdot P(W) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18$

$P(\text{erst W, dann B}) = P(W) \cdot P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$

Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade:

$P(\text{eine B und eine W}) = P(\text{erst B, dann W}) + P(\text{erst W, dann B})$

$= 0{,}18 + 0{,}18 = 0{,}36$

• Zwei Stufen (zweimal werfen).
• Ergebnisse: Kopf (K) oder Zahl (Z).
• Wahrscheinlichkeiten: $P(K) = 0{,}4$. Da es nur zwei Möglichkeiten gibt, ist $P(Z) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.
• Die Würfe sind unabhängig (wie „mit Zurücklegen").

Das Ereignis „genau einmal Kopf" hat zwei Pfade:

1. Kopf, dann Zahl (K-Z)
2. Zahl, dann Kopf (Z-K)

$P(K, Z) = P(K) \cdot P(Z) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24$

$P(Z, K) = P(Z) \cdot P(K) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24$

$P(\text{genau einmal Kopf}) = P(K, Z) + P(Z, K)$

$= 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48$

• Zwei Stufen (zweimal drehen).
• Ergebnisse: Rot (R), Grün (G), Blau (B).
• Wahrscheinlichkeiten: $P(R)=0{,}5$, $P(G)=0{,}3$, $P(B)=0{,}2$.
• Die Drehungen sind unabhängig.

„Zwei unterschiedliche Farben" bedeutet alle Pfade außer R-R, G-G und B-B. Das sind:

• R-G, R-B
• G-R, G-B
• B-R, B-G

$P(R,G) = 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}15$

$P(R,B) = 0{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}10$

$P(G,R) = 0{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}15$

$P(G,B) = 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06$

$P(B,R) = 0{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}10$

$P(B,G) = 0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06$

$P(\text{unterschiedliche Farben}) = 0{,}15 + 0{,}10 + 0{,}15 + 0{,}06 + 0{,}10 + 0{,}06$

$= 0{,}62$

(Alternativer Weg: Über das Gegenereignis „gleiche Farben" rechnen: $P(R,R)=0{,}25$, $P(G,G)=0{,}09$, $P(B,B)=0{,}04$. Summe ist $0{,}38$. Dann $1 - 0{,}38 = 0{,}62$)

• Zwei Stufen (zwei Würfe).
• Ergebnisse: Treffer (T) oder Fehlwurf (F).
• Wahrscheinlichkeiten: $P(T) = 0{,}8$, also $P(F) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.
• Die Würfe sind unabhängig.

Das Ereignis „genau einen Treffer" hat zwei Pfade:

1. Treffer, dann Fehlwurf (T-F)
2. Fehlwurf, dann Treffer (F-T)

$P(T, F) = P(T) \cdot P(F) = 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16$

$P(F, T) = P(F) \cdot P(T) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}16$

$P(\text{genau ein Treffer}) = P(T, F) + P(F, T)$

$= 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}32$

• Zwei Stufen (zwei Würfe).
• Ergebnisse: Zahlen von 1 bis 6. Jeder Wurf hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.
• Die Würfe sind unabhängig.

Ein vollständiges Baumdiagramm hätte $6 \cdot 6 = 36$ Äste. Wir können es uns aber vorstellen.

Welche Würfe ergeben die Summe 5?

• 1 im ersten Wurf, 4 im zweiten Wurf (1, 4)
• 2 im ersten Wurf, 3 im zweiten Wurf (2, 3)
• 3 im ersten Wurf, 2 im zweiten Wurf (3, 2)
• 4 im ersten Wurf, 1 im zweiten Wurf (4, 1)

Es gibt 4 relevante Pfade.

Jeder einzelne Wurf hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$. Daher hat jeder der vier Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit:

$P(\text{ein Pfad}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade:

$P(\text{Summe 5}) = P(1,4) + P(2,3) + P(3,2) + P(4,1)$

$= \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Das Ereignis „die ersten drei Kugeln haben dieselbe Farbe" bedeutet: (erste rot UND zweite rot UND dritte rot) ODER (erste weiß UND zweite weiß UND dritte weiß) ODER (erste schwarz UND zweite schwarz UND dritte schwarz).

Hinweis: Die Tatsache, dass 8 Kugeln gezogen werden, ist für die Frage irrelevant. Nur die ersten drei Züge zählen.

Insgesamt sind 10 Kugeln in der Urne.

$P(\text{rot}) = \frac{3}{10}$

$P(\text{weiß}) = \frac{1}{10}$

$P(\text{schwarz}) = \frac{6}{10}$

Da mit Zurücklegen gezogen wird, bleiben diese Wahrscheinlichkeiten immer gleich.

$P(\text{3 rote}) = P(\text{rot}) \cdot P(\text{rot}) \cdot P(\text{rot}) = \left(\frac{3}{10}\right)^3 = \frac{27}{1000}$

$P(\text{3 weiße}) = P(\text{weiß}) \cdot P(\text{weiß}) \cdot P(\text{weiß}) = \left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1}{1000}$

$P(\text{3 schwarze}) = P(\text{schwarz}) \cdot P(\text{schwarz}) \cdot P(\text{schwarz}) = \left(\frac{6}{10}\right)^3 = \frac{216}{1000}$

$P(\text{erste 3 gleiche Farbe}) = P(\text{3 rote}) + P(\text{3 weiße}) + P(\text{3 schwarze})$

$= \frac{27}{1000} + \frac{1}{1000} + \frac{216}{1000} = \frac{244}{1000} = 0{,}244$

Das Ereignis ist bereits formuliert: „Erste Frage richtig UND zweite Frage falsch".

Pro Frage gibt es 3 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, richtig zu raten, ist $\frac{1}{3}$.

$P(\text{richtig}) = \frac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit, falsch zu raten, ist die Gegenwahrscheinlichkeit. Es gibt 2 falsche Antworten von 3.

$P(\text{falsch}) = \frac{2}{3}$ (oder $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$)

Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeiten der beiden unabhängigen Ereignisse:

$P(\text{1. richtig UND 2. falsch}) = P(\text{richtig}) \cdot P(\text{falsch})$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$

Es gibt keine ODER-Verbindung, also sind wir fertig.

Das Ereignis ist: „Erste Karte Herz UND zweite Karte Pik UND dritte Karte Herz".

Ein Kartenspiel hat 4 Farben (Herz, Pik, Karo, Kreuz) mit je 13 Karten. Insgesamt 52 Karten.

$P(\text{Herz}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

$P(\text{Pik}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

Da die Karten zurückgelegt werden, bleiben die Wahrscheinlichkeiten konstant.

$P(\text{Herz, dann Pik, dann Herz}) = P(\text{Herz}) \cdot P(\text{Pik}) \cdot P(\text{Herz})$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$

Es gibt keine ODER-Verbindung, also sind wir fertig.

„Nur am Sonntag regnet es" bedeutet: „Am Freitag regnet es NICHT UND am Samstag regnet es NICHT UND am Sonntag regnet es".

$P(\text{Regen}) = 0{,}2$

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist:

$P(\text{kein Regen}) = 1 - P(\text{Regen}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$

$P(\text{kein Regen, kein Regen, Regen}) = P(\text{kein Regen}) \cdot P(\text{kein Regen}) \cdot P(\text{Regen})$

$= 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}128$

Es gibt keine ODER-Verbindung, da der Tag genau festgelegt ist.

Das Ereignis ist: „Erster Wurf 6 UND zweiter Wurf 6 UND dritter Wurf keine 6 UND vierter Wurf keine 6".

$P(6) = \frac{1}{6}$

$P(\text{keine } 6) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

$P(\text{6, 6, keine 6, keine 6}) = P(6) \cdot P(6) \cdot P(\text{keine } 6) \cdot P(\text{keine } 6)$

$= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{1296}$

Es gibt keine ODER-Verbindung.

Das Schlüsselwort ist „mindestens eine weiße Kugel". Wir verwenden das Gegenereignis.

Das Gegenereignis zu „mindestens eine weiße Kugel" ist „keine weiße Kugel". Das bedeutet, beide gezogenen Kugeln sind schwarz.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für den Pfad (schwarz, schwarz). Die Wahrscheinlichkeiten dafür können wir direkt aus dem Baumdiagramm ablesen.

$P(\text{Gegenereignis}) = P(\text{erste Kugel schwarz UND zweite Kugel schwarz})$

Wir nutzen die Produktregel entlang des Pfades s-s:

$P(\text{beide schwarz}) = P(\text{1. ist s}) \cdot P(\text{2. ist s, nachdem s gezogen wurde})$

$= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{42}$

$P(\text{mindestens eine weiße Kugel}) = 1 - P(\text{beide schwarz})$

$= 1 - \frac{1}{42} = \frac{42}{42} - \frac{1}{42} = \frac{41}{42}$

Das Schlüsselwort ist „mindestens ein Mädchen".

Das Gegenereignis ist „kein Mädchen wird ausgewählt", was bedeutet „beide ausgewählten Schüler sind Jungen".

Wir berechnen $P(\text{1. ist Junge UND 2. ist Junge})$. Dies ist ein Experiment ohne Zurücklegen, da eine Person nicht zweimal ausgewählt werden kann.

Wahrscheinlichkeit für den ersten Schüler:

$P(\text{1. ist Junge}) = \frac{10}{25}$

Nachdem ein Junge ausgewählt wurde, sind nur noch 9 Jungen und insgesamt 24 Schüler übrig.

$P(\text{2. ist Junge}) = \frac{9}{24}$

Jetzt die Produktregel anwenden:

$P(\text{beide Jungen}) = \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24} = \frac{90}{600} = \frac{3}{20}$

$P(\text{mindestens ein Mädchen}) = 1 - P(\text{beide Jungen})$

$= 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$

Das Schlüsselwort ist „mindestens einen König".

Das Gegenereignis ist „keinen König ziehen".

Wir berechnen $P(\text{1. kein König UND 2. kein König})$. Es gibt $32 - 4 = 28$ Nicht-Könige.

$P(\text{1. kein König}) = \frac{28}{32}$

Nachdem eine Nicht-König-Karte gezogen wurde, sind noch 27 Nicht-Könige und 31 Karten übrig.

$P(\text{2. kein König}) = \frac{27}{31}$

Produktregel:

$P(\text{kein König}) = \frac{28}{32} \cdot \frac{27}{31} = \frac{7}{8} \cdot \frac{27}{31} = \frac{189}{248}$

$P(\text{mindestens ein König}) = 1 - P(\text{kein König})$

$= 1 - \frac{189}{248} = \frac{59}{248}$

Das Schlüsselwort ist „mindestens eine funktioniert".

Das Gegenereignis ist „keine funktioniert", was bedeutet „beide sind defekt".

Wir berechnen $P(\text{1. defekt UND 2. defekt})$. Es gibt 3 defekte und 7 funktionierende Birnen.

$P(\text{1. defekt}) = \frac{3}{10}$

Danach sind noch 2 defekte und 9 Birnen insgesamt übrig.

$P(\text{2. defekt}) = \frac{2}{9}$

Produktregel:

$P(\text{beide defekt}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$

$P(\text{mindestens eine funktioniert}) = 1 - P(\text{beide defekt})$

$= 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

Das Schlüsselwort ist „mindestens einmal eine Zahl kleiner als 3".

Das Gegenereignis ist „keinmal eine Zahl kleiner als 3 würfeln". Die Zahlen kleiner als 3 sind {1, 2}. Das Gegenereignis ist also, bei allen drei Würfen eine Zahl aus {3, 4, 5, 6} zu würfeln.

Dies ist ein Experiment mit Zurücklegen, da jeder Wurf unabhängig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl kleiner als 3 ist $P(<3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis (eine Zahl $\ge 3$) ist $P(\ge 3) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Wir berechnen $P(\text{1. } \ge 3 \text{ UND 2. } \ge 3 \text{ UND 3. } \ge 3)$.

$P(\text{dreimal } \ge 3) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$

$P(\text{mindestens einmal } < 3) = 1 - P(\text{dreimal } \ge 3)$

$= 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$