Was ist ein Erwartungswert in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Der Erwartungswert E(X) ist der Durchschnittswert, den eine Zufallsgröße bei sehr häufiger Wiederholung eines Experiments annimmt. Er sagt dir, welchen Gewinn oder Verlust du im Mittel pro Runde erwarten kannst – zum Beispiel bei einem Würfelspiel oder einer Lotterie. Ein Erwartungswert von 2 € bedeutet: Spielst du das Spiel sehr oft, wirst du im Durchschnitt 2 € pro Runde gewinnen.

Wie berechnest du den Erwartungswert Schritt für Schritt?

Gehe in vier Schritten vor: Prüfe die Wahrscheinlichkeitsverteilung – sind alle Werte gegeben? Multipliziere jedes Ergebnis x i mit seiner Wahrscheinlichkeit P(X=x i ) . Addiere alle Produkte: E(X) = x₁·P₁ + x₂·P₂ + … Deute das Ergebnis im Kontext der Aufgabe mit einem Antwortsatz.

Wann ist ein Spiel fair laut Erwartungswert?

Ein Spiel gilt als fair , wenn der Erwartungswert des Gewinns genau dem Einsatz entspricht: E(X) = Einsatz . Ist E(X) größer als der Einsatz, machst du als Spieler langfristig Gewinn. Ist er kleiner, verlierst du auf Dauer – die Bank gewinnt. Ein Erwartungswert von 0 beim Reingewinn bedeutet ebenfalls ein faires Spiel.

Was machst du, wenn eine Wahrscheinlichkeit in der Tabelle fehlt?

Kein Problem: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist immer 1 . Addiere alle bekannten Wahrscheinlichkeiten und ziehe ihre Summe von 1 ab. Das Ergebnis ist die fehlende Wahrscheinlichkeit. Beispiel: 0,85 + P(X=1) + 0,03 + 0,02 = 1 ergibt P(X=1) = 0,10 .

Wie findest du einen unbekannten Gewinn für einen Ziel-Erwartungswert?

Stelle die Erwartungswert-Formel mit der Unbekannten k auf, setze den gewünschten Zielwert für E(X) ein und löse die entstehende lineare Gleichung nach k auf. Zum Beispiel: Soll ein Spiel mit Einsatz 2 € fair sein, setzt du E(X) = 2 ein und berechnest den fehlenden Gewinn durch algebraische Umformungen.

Erwartungswert berechnen einfach erklärt

Hast du dich jemals bei einem Gewinnspiel, einer Lotterie oder sogar in einem Game gefragt: „Lohnt sich das wirklich?" Oder ist das Ganze nur eine Falle, um dir das Geld aus der Tasche zu ziehen? Der Erwartungswert ist dein persönlicher „Cheat Code" für genau diese Fragen. Er ist eine einzige Zahl, die dir knallhart verrät, ob du auf lange Sicht Gewinn oder Verlust machst. Mit diesem Tool kannst du sofort erkennen, ob ein Spiel fair ist oder ob die Bank immer gewinnt. Lerne den Erwartungswert zu berechnen, und niemand kann dir mehr etwas vormachen!

Schnellantwort

Der Erwartungswert E(X) ist der Wert, den eine Zufallsgröße bei oftmaliger Wiederholung eines Experiments im Durchschnitt annimmt. Du berechnest ihn, indem du jedes mögliche Ergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alle Produkte addierst: $E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + \ldots$ Ein Spiel gilt als fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns genau dem Einsatz entspricht.

Vorwissen

Bevor wir starten, frischen wir kurz zwei wichtige Grundlagen auf:

Wahrscheinlichkeit berechnen: Die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt.
- Formel: $P(\text{Ereignis}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
- Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 mit einem normalen Würfel zu würfeln, ist $P(6) = \frac{1}{6}$ .
Lineare Gleichungen lösen: Eine Gleichung nach einer Unbekannten (z. B. x) auflösen.
- Beispiel: Die Gleichung $3x + 5 = 14$ lösen. $3x = 9$
$x = 3$

Aufgabentyp 1: Erwartungswert berechnen und deuten

Stell dir vor, du spielst ein Spiel immer und immer wieder. Welchen Gewinn oder Verlust wirst du im Durchschnitt pro Runde machen? Genau das sagt dir der Erwartungswert E(X).

Eine Zufallsgröße X ist einfach eine Variable, die die numerischen Ergebnisse eines Zufallsexperiments darstellt (z. B. der Gewinn in Euro). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dir in einer Tabelle, welche Ergebnisse (x) mit welcher Wahrscheinlichkeit P(X=x) auftreten.

Die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes lautet:

$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + \ldots + x_n \cdot P(X=x_n)$

Du multiplizierst also einfach jedes mögliche Ergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst am Ende alles zusammen.

Sonderfall: Eine Wahrscheinlichkeit fehlt

Manchmal fehlt in der Tabelle ein Wert für eine Wahrscheinlichkeit. Kein Problem! Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung ist immer 1. Du kannst die fehlende Wahrscheinlichkeit also einfach berechnen.

Beispiel:

$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}5 & ? & 0{,}2 \\ \hline \end{array}$

$0{,}5 + P(X=1) + 0{,}2 = 1$

$P(X=1) + 0{,}7 = 1 \quad | -0{,}7$

$P(X=1) = 0{,}3$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung prüfen – Schau dir die Tabelle an. Sind alle Ergebnisse $x_i$ und ihre Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_i)$ gegeben? Falls eine Wahrscheinlichkeit fehlt, berechne sie, indem du die anderen von 1 abziehst.
Schritt 2: Produkte bilden – Multipliziere jedes Ergebnis $x_i$ mit seiner zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)$ . Schreibe dir diese Produkte am besten einzeln auf.
Schritt 3: Summe berechnen – Addiere alle Produkte aus Schritt 2. Das Ergebnis ist der Erwartungswert $E(X)$ : $E(X) = \text{Produkt}_1 + \text{Produkt}_2 + \ldots$
Schritt 4: Ergebnis deuten – Formuliere einen Antwortsatz, der den Erwartungswert im Kontext der Aufgabe erklärt. Was bedeutet diese Zahl? (z. B. „Im Durchschnitt kann man einen Gewinn von 2,50 € pro Spiel erwarten.")

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Glücksrad hat drei Sektoren mit den Gewinnen 2 €, 7 € und 6 €. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X (Gewinn in €) ist in der Tabelle dargestellt. Berechne den Erwartungswert von X und deute das Ergebnis.

$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Gewinn } x_i \text{ in } € & 2 & 7 & 6 \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & \frac{1}{7} & \frac{4}{7} & \frac{2}{7} \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Wahrscheinlichkeitsverteilung prüfen
Die Tabelle ist vollständig. Alle Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten sind gegeben.
2
Schritt 2
Produkte bilden
Wir multiplizieren jeden Gewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit:
- $2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$
- $7 \cdot \frac{4}{7} = \frac{28}{7}$
- $6 \cdot \frac{2}{7} = \frac{12}{7}$
Schritt 3
Summe berechnen
Wir addieren die Produkte, um den Erwartungswert $E(X)$ zu erhalten.

$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{7} + 7 \cdot \frac{4}{7} + 6 \cdot \frac{2}{7}$

$E(X) = \frac{2}{7} + \frac{28}{7} + \frac{12}{7} = \frac{42}{7}$

$E(X) = 6$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis deuten
Der Erwartungswert beträgt 6 €. Das bedeutet, dass man bei sehr häufigem Drehen des Glücksrads im Durchschnitt einen Gewinn von 6 € pro Spiel erwarten kann.

Ergebnis:

Der Erwartungswert E(X) = 6 €.

Beispiel 2

Aufgabe

Bei einer Qualitätskontrolle wird die Anzahl der Fehler pro Bauteil erfasst. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Fehler. Bestimme die fehlende Wahrscheinlichkeit und berechne die erwartete Anzahl an Fehlern pro Bauteil.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Anzahl Fehler } x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & 0{,}85 & ? & 0{,}03 & 0{,}02 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Wahrscheinlichkeitsverteilung prüfen
Die Wahrscheinlichkeit für $X=1$ fehlt. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 sein.

$0{,}85 + P(X=1) + 0{,}03 + 0{,}02 = 1$

$P(X=1) + 0{,}90 = 1 \quad | -0{,}90$

$P(X=1) = 0{,}10$

Die vollständige Tabelle ist:

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Anzahl Fehler } x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & 0{,}85 & 0{,}10 & 0{,}03 & 0{,}02 \\ \hline \end{array}$
Schritt 2 & 3
Produkte bilden und Summe berechnen
$E(X) = (0 \cdot 0{,}85) + (1 \cdot 0{,}10) + (2 \cdot 0{,}03) + (3 \cdot 0{,}02)$

$E(X) = 0 + 0{,}10 + 0{,}06 + 0{,}06$

$E(X) = 0{,}22$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis deuten
Im Durchschnitt kann man 0,22 Fehler pro Bauteil erwarten.

Ergebnis:

E(X) = 0,22 Fehler pro Bauteil.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Würfelspiel verwendet einen gezinkten Würfel. Die Zufallsgröße X steht für die gewürfelte Augenzahl. Berechne den Erwartungswert für einen Wurf.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Augenzahl } x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Wahrscheinlichkeitsverteilung prüfen
Die Tabelle ist vollständig. (Zur Kontrolle: $0{,}1+0{,}1+0{,}1+0{,}2+0{,}2+0{,}3 = 1{,}0$ )
Schritt 2 & 3
Produkte bilden und Summe berechnen
$E(X) = (1 \cdot 0{,}1) + (2 \cdot 0{,}1) + (3 \cdot 0{,}1) + (4 \cdot 0{,}2) + (5 \cdot 0{,}2) + (6 \cdot 0{,}3)$

$E(X) = 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}8 + 1{,}0 + 1{,}8$

$E(X) = 4{,}2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis deuten
Die erwartete Augenzahl bei einem Wurf mit diesem Würfel ist 4,2. Das bedeutet, der Durchschnitt aller Würfe wird sich langfristig dem Wert 4,2 annähern.

Ergebnis:

E(X) = 4,2.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Versicherung analysiert die täglichen Schadensmeldungen. X ist die Anzahl der Meldungen pro Tag. Berechne die erwartete Anzahl an Schadensmeldungen für einen Tag.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Meldungen } x_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & 0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Wahrscheinlichkeitsverteilung prüfen
Die Tabelle ist vollständig.
Schritt 2 & 3
Produkte bilden und Summe berechnen
$E(X) = (0 \cdot 0{,}2) + (1 \cdot 0{,}4) + (2 \cdot 0{,}3) + (3 \cdot 0{,}1)$

$E(X) = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}3$

$E(X) = 1{,}3$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis deuten
Die Versicherung kann pro Tag im Durchschnitt 1,3 Schadensmeldungen erwarten.

Ergebnis:

E(X) = 1,3 Schadensmeldungen pro Tag.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Multiple-Choice-Test hat 4 Antwortmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist. Für eine richtige Antwort gibt es 3 Punkte, für eine falsche -1 Punkt (Punktabzug). X ist die Punktzahl, die man durch zufälliges Raten bei einer Frage erzielt. Was ist die erwartete Punktzahl?

$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Ergebnis } x_i & \text{Richtig} & \text{Falsch} \\ \hline \text{Punktzahl} & 3 & -1 \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Wahrscheinlichkeitsverteilung prüfen
Die Tabelle ist vollständig. Die Zufallsgröße X nimmt die Werte (Punktzahlen) 3 und -1 an.
Schritt 2 & 3
Produkte bilden und Summe berechnen
$E(X) = \left(3 \cdot \frac{1}{4}\right) + \left(-1 \cdot \frac{3}{4}\right)$

$E(X) = \frac{3}{4} - \frac{3}{4}$

$E(X) = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis deuten
Die erwartete Punktzahl pro geratener Frage ist 0. Das bedeutet, dass sich Gewinne und Verluste durch Raten auf lange Sicht ausgleichen. Das Spiel ist „fair".

Ergebnis:

E(X) = 0 – Raten bringt langfristig keinen Vorteil.

Aufgabentyp 2: Unbekannte Werte für einen Ziel-Erwartungswert finden

Jetzt drehen wir den Spieß um! Anstatt den Erwartungswert auszurechnen, kennen wir ihn schon und wollen das Spiel so anpassen, dass dieser Wert herauskommt. Das ist super nützlich, um zum Beispiel ein faires Spiel zu entwerfen.

Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn genau dem Einsatz entspricht, den man zahlen muss.

$E(X) = \text{Einsatz}$

Wenn $E(X) > \text{Einsatz}$ , machst du als Spieler langfristig Gewinn. Wenn $E(X) < \text{Einsatz}$ , machst du langfristig Verlust (die Bank gewinnt).

Die Vorgehensweise ist immer gleich: Du stellst die Formel für den Erwartungswert auf, setzt für $E(X)$ den gewünschten Zielwert ein und löst die Gleichung nach der gesuchten Unbekannten auf. Die Unbekannte kann ein fehlender Gewinn oder die Gesamtzahl der Lose sein.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Ziel-Erwartungswert und Unbekannte identifizieren – Lies die Aufgabe genau. Was ist der gewünschte Erwartungswert $E(X)$ ? (z. B. bei einem fairen Spiel ist es der Einsatz.) Welche Größe in der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist unbekannt? Nenne diese Unbekannte z. B. $k$ oder $n$ .
Schritt 2: Gleichung für den Erwartungswert aufstellen – Schreibe die allgemeine Formel für den Erwartungswert auf und setze alle bekannten Werte sowie die Unbekannte ein: $E(X) = x_1 \cdot P_1 + x_2 \cdot P_2 + \ldots$
Schritt 3: Gleichung lösen – Setze den Ziel-Erwartungswert aus Schritt 1 für $E(X)$ ein. Jetzt hast du eine Gleichung mit einer Unbekannten. Löse diese Gleichung mit algebraischen Umformungen nach der Unbekannten auf.
Schritt 4: Antwort formulieren – Gib die Antwort im Kontext der Aufgabe an. (z. B. „Der Gewinn muss 6 € betragen, damit das Spiel fair ist.")

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Lotterie verkauft Lose für 2 €. Die Tabelle zeigt die Gewinne und ihre Wahrscheinlichkeiten. Wie hoch muss der Gewinn $k$ sein, damit das Spiel fair ist?

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Gewinn } x_i \text{ in } € & 0 & 1 & 5 & k \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Ziel-Erwartungswert und Unbekannte identifizieren
- Das Spiel soll fair sein, der Einsatz beträgt 2 €. Also muss der Ziel-Erwartungswert $E(X) = 2$ sein.
- Die Unbekannte ist der Gewinn $k$ .
Schritt 2
Gleichung für den Erwartungswert aufstellen
$E(X) = (0 \cdot 0{,}3) + (1 \cdot 0{,}4) + (5 \cdot 0{,}2) + (k \cdot 0{,}1)$
Schritt 3
Gleichung lösen
Wir setzen $E(X) = 2$ ein und lösen nach $k$ auf.

$2 = (0 \cdot 0{,}3) + (1 \cdot 0{,}4) + (5 \cdot 0{,}2) + (k \cdot 0{,}1)$

$2 = 0 + 0{,}4 + 1{,}0 + 0{,}1k$

$2 = 1{,}4 + 0{,}1k \quad | -1{,}4$

$0{,}6 = 0{,}1k \quad | \div 0{,}1$

$k = 6$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Der Gewinn $k$ muss 6 € betragen, damit das Spiel fair ist.

Ergebnis:

k = 6 €.

Beispiel 2

Aufgabe

Bei einer Tombola gibt es 10 Gutscheine im Wert von je 500 € und 50 Gutscheine im Wert von je 15 €. Wie viele Lose (Nieten, Gewinn = 0 €) müssten insgesamt verkauft werden, damit der erwartete Gewinn pro Los genau 1 € beträgt?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Ziel-Erwartungswert und Unbekannte identifizieren
- Der Ziel-Erwartungswert ist $E(X) = 1$ €.
- Die Unbekannte ist die Gesamtzahl der Lose, wir nennen sie $n$ .
2
Schritt 2
Gleichung für den Erwartungswert aufstellen
Die möglichen Gewinne sind $x_1=500$ , $x_2=15$ und $x_3=0$ . Die Wahrscheinlichkeiten hängen von $n$ ab:
- $P(X=500) = \frac{10}{n}$
- $P(X=15) = \frac{50}{n}$
- $P(X=0) = \frac{n - 10 - 50}{n} = \frac{n-60}{n}$
Die Formel für E(X) lautet:

$E(X) = \left(500 \cdot \frac{10}{n}\right) + \left(15 \cdot \frac{50}{n}\right) + \left(0 \cdot \frac{n-60}{n}\right)$
Schritt 3
Gleichung lösen
Wir setzen $E(X) = 1$ ein:

$1 = \frac{5000}{n} + \frac{750}{n} + 0$

$1 = \frac{5750}{n} \quad | \cdot n$

$n = 5750$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Es müssten insgesamt 5750 Lose verkauft werden, damit der erwartete Gewinn pro Los 1 € beträgt.

Ergebnis:

n = 5750 Lose.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Glücksrad soll so gestaltet werden, dass der erwartete Gewinn 5 € beträgt. Es gibt drei Sektoren: 10 € Gewinn, 2 € Gewinn und ein unbekannter Gewinn k. Die Wahrscheinlichkeiten sind P(10€)=0,3 und P(2€)=0,5. Wie hoch muss der Gewinn k sein?

$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Gewinn } x_i \text{ in } € & 10 & 2 & k \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & 0{,}3 & 0{,}5 & ? \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Ziel-Erwartungswert und Unbekannte identifizieren
- Der Ziel-Erwartungswert ist $E(X) = 5$ €.
- Die Unbekannte ist der Gewinn $k$ .
- Zuerst müssen wir die fehlende Wahrscheinlichkeit P(k) finden: $1 - 0{,}3 - 0{,}5 = 0{,}2$ . So $P(k)=0{,}2$ .
Schritt 2
Gleichung für den Erwartungswert aufstellen
$E(X) = (10 \cdot 0{,}3) + (2 \cdot 0{,}5) + (k \cdot 0{,}2)$
Schritt 3
Gleichung lösen
Wir setzen $E(X) = 5$ ein:

$5 = (10 \cdot 0{,}3) + (2 \cdot 0{,}5) + (k \cdot 0{,}2)$

$5 = 3 + 1 + 0{,}2k$

$5 = 4 + 0{,}2k \quad | -4$

$1 = 0{,}2k \quad | \div 0{,}2$

$k = 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Der unbekannte Gewinn k muss ebenfalls 5 € betragen.

Ergebnis:

k = 5 €.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Spielautomat kostet 1 € pro Spiel. Er zahlt mit einer Wahrscheinlichkeit von $p$ einen Gewinn von 10 € aus. Mit der Wahrscheinlichkeit $1-p$ verliert man den Einsatz. Wie groß muss die Gewinnwahrscheinlichkeit $p$ sein, damit das Spiel fair ist?

$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Reingewinn } x_i \text{ in } € & 9 & -1 \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & p & 1-p \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Ziel-Erwartungswert und Unbekannte identifizieren
- Ein faires Spiel bedeutet, der erwartete Reingewinn ist 0. Also $E(X) = 0$ .
- Die Unbekannte ist die Wahrscheinlichkeit $p$ .
- Der Reingewinn ist Gewinn minus Einsatz: 10€ - 1€ = 9€, und 0€ - 1€ = -1€.
Schritt 2
Gleichung für den Erwartungswert aufstellen
$E(X) = (9 \cdot p) + (-1 \cdot (1-p))$
Schritt 3
Gleichung lösen
Wir setzen $E(X) = 0$ ein:

$0 = 9p - 1 + p$

$0 = 10p - 1 \quad | +1$

$1 = 10p \quad | \div 10$

$p = 0{,}1$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Die Gewinnwahrscheinlichkeit muss 0,1 (oder 10%) betragen, damit das Spiel fair ist.

Ergebnis:

p = 0,1 (10 %).

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Unternehmen produziert Glühbirnen. Die Herstellungskosten pro Stück betragen 4 €. 95% der Birnen sind einwandfrei und werden für 5 € verkauft. 5% sind defekt und verursachen Reklamationskosten von 2 € (zusätzlich zu den Herstellungskosten). Welchen Preis $k$ müsste das Unternehmen für eine einwandfreie Birne verlangen, um einen erwarteten Gewinn von 0,80 € pro produzierter Birne zu erzielen?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Ziel-Erwartungswert und Unbekannte identifizieren
- Der Ziel-Erwartungswert (Gewinn) ist $E(X) = 0{,}80$ €.
- Die Unbekannte ist der Verkaufspreis $k$ .
- Der Gewinn pro Birne ist: Preis - Kosten.
  - Gewinn (einwandfrei): $k - 4$
  - Gewinn (defekt): $0 - 4 - 2 = -6$ (kein Verkauf, aber Herstellungs- und Reklamationskosten)
Schritt 2
Gleichung für den Erwartungswert aufstellen
$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Gewinn } x_i \text{ in } € & k-4 & -6 \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & 0{,}95 & 0{,}05 \\ \hline \end{array}$

$E(X) = ((k-4) \cdot 0{,}95) + (-6 \cdot 0{,}05)$
Schritt 3
Gleichung lösen
Wir setzen $E(X) = 0{,}80$ ein:

$0{,}80 = 0{,}95k - 3{,}8 - 0{,}3$

$0{,}80 = 0{,}95k - 4{,}1 \quad | +4{,}1$

$4{,}90 = 0{,}95k \quad | \div 0{,}95$

$k \approx 5{,}16$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort formulieren
Das Unternehmen müsste einen Preis von ca. 5,16 € verlangen, um den Zielgewinn zu erreichen.

Ergebnis:

k ≈ 5,16 €.

Wichtige Erkenntnisse

Der Erwartungswert E(X) ist der Wert, den eine Zufallsgröße bei oftmaliger Wiederholung des Experiments im Durchschnitt annimmt.
Formel: $E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + \ldots$
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung ist immer 1.
Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich dem Einsatz ist.

Erwartungswert berechnen: Schritt-für-Schritt erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Erwartungswert berechnen und deuten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Unbekannte Werte für einen Ziel-Erwartungswert finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.