Was ist die Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Die Varianz Var(X) ist die durchschnittliche quadratische Abweichung aller möglichen Werte einer Zufallsgröße vom Erwartungswert. Man berechnet sie mit der Formel Var(X) = (x₁ − E(X))² · P(X=x₁) + (x₂ − E(X))² · P(X=x₂) + … . Eine große Varianz bedeutet, dass die Ergebnisse stark um den Mittelwert streuen – das entspricht einem hohen Risiko oder einer großen Unsicherheit.

Wie berechnest du die Standardabweichung einer Zufallsgröße?

Die Standardabweichung σ(X) berechnest du in drei Schritten: Zuerst bestimmst du den Erwartungswert E(X) , dann setzt du alle Werte in die Varianzformel ein, und schließlich ziehst du die Quadratwurzel aus der Varianz: σ(X) = √Var(X) . Das Ergebnis gibt die typische Streuung in der ursprünglichen Einheit an – zum Beispiel in Euro statt in Euro².

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?

Varianz und Standardabweichung messen beide die Streuung einer Zufallsgröße um den Erwartungswert. Der Unterschied liegt in der Einheit: Die Varianz hat eine quadratische Einheit (z. B. Euro²), die Standardabweichung ist die Wurzel daraus und hat dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße selbst (z. B. Euro). Für die Interpretation ist die Standardabweichung deshalb oft anschaulicher.

Wann musst du die Wahrscheinlichkeitsverteilung selbst aufstellen?

Bei Sachaufgaben im Kontext ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht fertig vorgegeben. Du musst zuerst herausarbeiten, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und wie wahrscheinlich jeder dieser Werte ist. Dazu liest du den Text sorgfältig, identifizierst alle möglichen Ausgänge (auch den Null-Fall!) und berechnest die Wahrscheinlichkeiten – oft als Anzahl günstiger Fälle geteilt durch Gesamtanzahl. Danach läuft die Rechnung wie gewohnt.

Warum quadriert man die Abweichungen bei der Varianz?

Beim Abstandsmessen von Werten zum Erwartungswert können negative und positive Abweichungen auftreten. Würde man sie einfach addieren, heben sie sich gegenseitig auf und der Mittelwert wäre null – das wäre nicht aussagekräftig. Durch das Quadrieren werden alle Abweichungen positiv, und größere Abweichungen erhalten mehr Gewicht. Das macht die Varianz zu einem echten Maß für die Streuung.

Varianz & Standardabweichung berechnen

Stell dir vor, du hast zwei Glücksspiele zur Auswahl. Beide versprechen im Durchschnitt einen Gewinn von 1 €. Klingt fair, oder? Aber was, wenn du bei Spiel A entweder 0 € oder 2 € gewinnen kannst, und bei Spiel B entweder 100 € gewinnst oder 98 € verlierst? Der Durchschnitt ist bei beiden gleich, aber das Risiko ist komplett unterschiedlich! Genau hier kommen die Varianz und die Standardabweichung ins Spiel. Sie sind wie ein „Risiko-Scanner" für Zufallsexperimente. Mit ihnen kannst du die versteckte Streuung aufdecken und eine kluge Entscheidung treffen, anstatt nur auf den Durchschnitt zu schauen. Das ist kein reiner Schulstoff – das ist die Grundlage, um finanzielle Entscheidungen, von Aktien bis zu Versicherungen, wirklich zu verstehen.

Schnellantwort

Die Varianz Var(X) ist die durchschnittliche quadratische Abweichung aller möglichen Werte einer Zufallsgröße vom Erwartungswert. Die Standardabweichung σ(X) ist die Quadratwurzel der Varianz und gibt die typische Streuung in der ursprünglichen Einheit an. Beide Maße zeigen dir, wie stark die Ergebnisse eines Zufallsexperiments um den Erwartungswert schwanken – je größer der Wert, desto höher das Risiko bzw. die Streuung.

Vorwissen

Bevor wir die Streuung messen, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Zufallsgröße (X): Eine Regel, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet.
- Beispiel: Beim Würfeln ist die Zufallsgröße $X$ die gewürfelte Augenzahl. Mögliche Werte sind $1, 2, 3, 4, 5, 6$ .
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Tabelle, die jedem Wert der Zufallsgröße seine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
- Beispiel: Für einen fairen Würfel: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{x} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x) & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}$
Erwartungswert E(X): Der Wert, den die Zufallsgröße im Durchschnitt annimmt, wenn man das Experiment sehr oft wiederholt.
- Formel: $E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + \dots + x_n \cdot P(X=x_n)$
- Beispiel (Würfel): $E(X) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + \dots + 6\cdot\frac{1}{6} = 3{,}5$

Aufgabentyp 1: Varianz und Standardabweichung bei bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wenn du den Erwartungswert kennst, weißt du, was im Durchschnitt passiert. Aber wie stark weichen die einzelnen Ergebnisse von diesem Durchschnitt ab? Das messen Varianz und Standardabweichung.

Varianz Var(X): Die Varianz ist die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Erwartungswert. Das klingt kompliziert, aber die Idee ist einfach: Wir schauen uns für jeden möglichen Wert an, wie weit er vom Erwartungswert $E(X)$ entfernt ist, quadrieren diesen Abstand und gewichten ihn mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Formel: $Var(X) = (x_1 - E(X))^2 \cdot P(X=x_1) + (x_2 - E(X))^2 \cdot P(X=x_2) + \dots$

Das Quadrieren sorgt dafür, dass alle Abweichungen positiv sind und größere Abweichungen stärker ins Gewicht fallen.

Standardabweichung $\sigma(X)$ : Die Varianz hat eine komische Einheit (z.B. „Euro $^2$ "). Um wieder zur ursprünglichen Einheit zu kommen (z.B. „Euro"), ziehen wir einfach die Wurzel aus der Varianz. Das Ergebnis ist die Standardabweichung, oft mit dem griechischen Buchstaben Sigma ( $\sigma$ ) bezeichnet.

Formel: $\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$

Die Standardabweichung sagt dir, wie stark die Werte typischerweise um den Erwartungswert streuen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, die Ergebnisse liegen nahe am Durchschnitt. Eine große bedeutet, die Ergebnisse sind weit verstreut.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Berechne den Erwartungswert E(X): Falls nicht gegeben, multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere alle Produkte: $E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + \dots$
Berechne die Varianz Var(X): Setze die Werte $x_i$ , ihre Wahrscheinlichkeiten $P(X=x_i)$ und den Erwartungswert in die Formel ein: $Var(X) = (x_1 - E(X))^2 \cdot P(X=x_1) + (x_2 - E(X))^2 \cdot P(X=x_2) + \dots$
Berechne die Standardabweichung σ(X): Ziehe die Quadratwurzel aus der Varianz: $\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Für ein Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $Y$ gegeben, die einen Gewinn in Euro darstellt: $P(Y = 1)=\frac{1}{8}$ , $P(Y = 2)=\frac{5}{8}$ , $P(Y = 5)=\frac{2}{8}$ . Berechnen Sie den Erwartungswert $E(Y)$ , die Varianz $Var(Y)$ und die Standardabweichung $\sigma$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Erwartungswert E(Y) berechnen
Wir multiplizieren jeden Wert von Y mit seiner Wahrscheinlichkeit und addieren die Ergebnisse.

$E(Y) = 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{5}{8} + 5 \cdot \frac{2}{8}$

$= \frac{1}{8} + \frac{10}{8} + \frac{10}{8}$

$= \frac{21}{8} = 2{,}625$

Der erwartete Gewinn beträgt 2,625 €.
Schritt 2
Varianz Var(Y) berechnen
Jetzt setzen wir die Werte und den Erwartungswert in die Varianzformel ein.

$Var(Y) = (1 - 2{,}625)^2 \cdot \frac{1}{8} + (2 - 2{,}625)^2 \cdot \frac{5}{8} + (5 - 2{,}625)^2 \cdot \frac{2}{8}$

$= (-1{,}625)^2 \cdot \frac{1}{8} + (-0{,}625)^2 \cdot \frac{5}{8} + (2{,}375)^2 \cdot \frac{2}{8}$

$= 2{,}640625 \cdot \frac{1}{8} + 0{,}390625 \cdot \frac{5}{8} + 5{,}640625 \cdot \frac{2}{8}$

$= 0{,}330078125 + 0{,}244140625 + 1{,}41015625$

$= 1{,}984375 \approx \frac{127}{64}$
Schritt 3 · Ergebnis
Standardabweichung σ(Y) berechnen
Wir ziehen die Wurzel aus der Varianz.

$\sigma(Y) = \sqrt{1{,}984375}$

$\approx 1{,}4087$

Ergebnis:

Die typische Abweichung vom erwarteten Gewinn beträgt ca. 1,41 €.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Würfel wurde so manipuliert, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augenzahl $X$ wie folgt ist: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x) & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}$ Berechne die Varianz und die Standardabweichung.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Erwartungswert E(X) berechnen
$E(X) = 1(0{,}1) + 2(0{,}1) + 3(0{,}1) + 4(0{,}1) + 5(0{,}1) + 6(0{,}5)$

$= 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}5 + 3{,}0$

$= 4{,}5$
Schritt 2
Varianz Var(X) berechnen
$Var(X) = (1 - 4{,}5)^2(0{,}1) + (2 - 4{,}5)^2(0{,}1) + (3 - 4{,}5)^2(0{,}1) + (4 - 4{,}5)^2(0{,}1) + (5 - 4{,}5)^2(0{,}1) + (6 - 4{,}5)^2(0{,}5)$

$= (-3{,}5)^2(0{,}1) + (-2{,}5)^2(0{,}1) + (-1{,}5)^2(0{,}1) + (-0{,}5)^2(0{,}1) + (0{,}5)^2(0{,}1) + (1{,}5)^2(0{,}5)$

$= 12{,}25(0{,}1) + 6{,}25(0{,}1) + 2{,}25(0{,}1) + 0{,}25(0{,}1) + 0{,}25(0{,}1) + 2{,}25(0{,}5)$

$= 1{,}225 + 0{,}625 + 0{,}225 + 0{,}025 + 0{,}025 + 1{,}125$

$= 3{,}25$
Schritt 3 · Ergebnis
Standardabweichung σ(X) berechnen
$\sigma(X) = \sqrt{3{,}25}$

$\approx 1{,}803$

Ergebnis:

Die Standardabweichung der manipulierten Würfelaugenzahl beträgt ca. 1,803.

Beispiel 3

Aufgabe

Bei einem Glücksspiel kann man Geld gewinnen oder verlieren. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den Gewinn in Euro. Die Verteilung ist: $P(X = -5) = 0{,}4$ , $P(X = 1) = 0{,}5$ , $P(X = 10) = 0{,}1$ . Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Erwartungswert E(X) berechnen
$E(X) = (-5) \cdot 0{,}4 + (1) \cdot 0{,}5 + (10) \cdot 0{,}1$

$= -2{,}0 + 0{,}5 + 1{,}0$

$= -0{,}5$

Im Durchschnitt verliert man bei diesem Spiel 0,50 € pro Runde.
Schritt 2
Varianz Var(X) berechnen
$Var(X) = (-5 - (-0{,}5))^2 \cdot 0{,}4 + (1 - (-0{,}5))^2 \cdot 0{,}5 + (10 - (-0{,}5))^2 \cdot 0{,}1$

$= (-4{,}5)^2 \cdot 0{,}4 + (1{,}5)^2 \cdot 0{,}5 + (10{,}5)^2 \cdot 0{,}1$

$= 20{,}25 \cdot 0{,}4 + 2{,}25 \cdot 0{,}5 + 110{,}25 \cdot 0{,}1$

$= 8{,}1 + 1{,}125 + 11{,}025$

$= 20{,}25$
Schritt 3 · Ergebnis
Standardabweichung σ(X) berechnen
$\sigma(X) = \sqrt{20{,}25}$

$= 4{,}5$

Ergebnis:

Die typische Abweichung vom erwarteten Verlust beträgt 4,50 €.

Beispiel 4

Aufgabe

Die Anzahl der täglichen Kundenbeschwerden $X$ in einem Callcenter folgt der Verteilung: $P(X=0) = 0{,}6$ , $P(X=1) = 0{,}2$ , $P(X=2) = 0{,}15$ , $P(X=3) = 0{,}05$ . Berechne die Standardabweichung der Anzahl der Beschwerden.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Erwartungswert E(X) berechnen
$E(X) = 0(0{,}6) + 1(0{,}2) + 2(0{,}15) + 3(0{,}05)$

$= 0 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}15$

$= 0{,}65$
Schritt 2
Varianz Var(X) berechnen
$Var(X) = (0 - 0{,}65)^2(0{,}6) + (1 - 0{,}65)^2(0{,}2) + (2 - 0{,}65)^2(0{,}15) + (3 - 0{,}65)^2(0{,}05)$

$= (-0{,}65)^2(0{,}6) + (0{,}35)^2(0{,}2) + (1{,}35)^2(0{,}15) + (2{,}35)^2(0{,}05)$

$= 0{,}4225(0{,}6) + 0{,}1225(0{,}2) + 1{,}8225(0{,}15) + 5{,}5225(0{,}05)$

$= 0{,}2535 + 0{,}0245 + 0{,}273375 + 0{,}276125$

$= 0{,}8275$
Schritt 3 · Ergebnis
Standardabweichung σ(X) berechnen
$\sigma(X) = \sqrt{0{,}8275}$

$\approx 0{,}9097$

Ergebnis:

Die Standardabweichung beträgt ca. 0,91 Beschwerden.

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Zufallsgröße $Z$ hat die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline z & 10 & 20 & 30 \\ \hline P(Z=z) & 1/2 & 1/4 & 1/4 \\ \hline \end{array}$ Berechne die Varianz und die Standardabweichung von $Z$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Erwartungswert E(Z) berechnen
$E(Z) = 10 \cdot \frac{1}{2} + 20 \cdot \frac{1}{4} + 30 \cdot \frac{1}{4}$

$= 5 + 5 + 7{,}5$

$= 17{,}5$
Schritt 2
Varianz Var(Z) berechnen
$Var(Z) = (10 - 17{,}5)^2 \cdot \frac{1}{2} + (20 - 17{,}5)^2 \cdot \frac{1}{4} + (30 - 17{,}5)^2 \cdot \frac{1}{4}$

$= (-7{,}5)^2 \cdot \frac{1}{2} + (2{,}5)^2 \cdot \frac{1}{4} + (12{,}5)^2 \cdot \frac{1}{4}$

$= 56{,}25 \cdot \frac{1}{2} + 6{,}25 \cdot \frac{1}{4} + 156{,}25 \cdot \frac{1}{4}$

$= 28{,}125 + 1{,}5625 + 39{,}0625$

$= 68{,}75$
Schritt 3 · Ergebnis
Standardabweichung σ(Z) berechnen
$\sigma(Z) = \sqrt{68{,}75}$

$\approx 8{,}292$

Ergebnis:

Die Standardabweichung von $Z$ beträgt ca. 8,292.

Aufgabentyp 2: Varianz und Standardabweichung im Sachkontext bestimmen

Bei Aufgaben im Sachkontext ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht direkt gegeben. Du musst sie zuerst selbst erstellen. Das ist der einzige zusätzliche Schritt!

Der Trick besteht darin, den Text sorgfältig zu lesen und die folgenden Informationen zu extrahieren:

Was ist die Zufallsgröße X? (z.B. der Gewinn in Euro, die Anzahl defekter Teile)
Welche Werte kann X annehmen? (z.B. 1500 €, 400 €, 25 €, und ganz wichtig: 0 €)
Wie wahrscheinlich ist jeder dieser Werte? (Das berechnest du oft mit der Formel: $\frac{\text{Anzahl günstige Fälle}}{\text{Anzahl mögliche Fälle}}$ )

Sobald du diese Informationen in einer sauberen Tabelle (der Wahrscheinlichkeitsverteilung) hast, ist der Rest der Aufgabe genau derselbe wie bei Aufgabentyp 1.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere Zufallsgröße und ihre Werte: Lies den Text und bestimme, was die Zufallsgröße $X$ misst. Liste alle möglichen Zahlenwerte auf, die $X$ annehmen kann. Vergiss dabei nicht den „Null-Fall" (z.B. kein Gewinn, kein Defekt).
Berechne die Wahrscheinlichkeiten: Bestimme für jeden Wert aus Schritt 1 die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Oft musst du dazu die Anzahl der Gewinne durch die Gesamtzahl der Lose/Teilnehmer teilen.
Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf: Erstelle eine übersichtliche Tabelle, die jedem Wert von $X$ seine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Überprüfe, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.
Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung: Verwende die Tabelle aus Schritt 3 und berechne $E(X)$ , $Var(X)$ und $\sigma(X)$ genau wie in Aufgabentyp 1.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Zum 150-jährigen Jubiläum einer Stadtbibliothek werden Preise verlost. Es gibt einen Hauptpreis von 1500 €, drei Preise zu je 400 € und 150 Preise zu je 25 €. Insgesamt gibt es 8000 Teilnehmer. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für den Gewinn eines Teilnehmers.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zufallsgröße und ihre Werte identifizieren
Die Zufallsgröße $X$ ist der Gewinn in Euro. Die möglichen Werte sind:
- 1500 € (Hauptpreis)
- 400 € (zweiter Preis)
- 25 € (dritter Preis)
- 0 € (kein Gewinn)
2
Schritt 2
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Gesamtzahl der Teilnehmer ist 8000.
- $P(X=1500) = \frac{1}{8000}$
- $P(X=400) = \frac{3}{8000}$
- $P(X=25) = \frac{150}{8000}$
- Anzahl der Nieten: $8000 - 1 - 3 - 150 = 7846$
- $P(X=0) = \frac{7846}{8000}$
Schritt 3
Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x \text{ in €} & 1500 & 400 & 25 & 0 \\ \hline P(X=x) & \frac{1}{8000} & \frac{3}{8000} & \frac{150}{8000} & \frac{7846}{8000} \\ \hline \end{array}$
Schritt 4 · Ergebnis
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung berechnen
Erwartungswert:

$E(X) = 1500\left(\frac{1}{8000}\right) + 400\left(\frac{3}{8000}\right) + 25\left(\frac{150}{8000}\right) + 0\left(\frac{7846}{8000}\right)$

$= \frac{1500 + 1200 + 3750}{8000} = \frac{6450}{8000} = 0{,}80625$

Der erwartete Gewinn pro Teilnehmer beträgt ca. 0,81 €.

Varianz:

$Var(X) = (1500 - 0{,}80625)^2 \cdot \frac{1}{8000} + (400 - 0{,}80625)^2 \cdot \frac{3}{8000} + (25 - 0{,}80625)^2 \cdot \frac{150}{8000} + (0 - 0{,}80625)^2 \cdot \frac{7846}{8000}$

$\approx 281{,}04 + 59{,}79 + 10{,}85 + 0{,}64$

$\approx 352{,}32$

Standardabweichung:

$\sigma(X) = \sqrt{352{,}32}$

$\approx 18{,}77$

Ergebnis:

Die Standardabweichung des Gewinns beträgt ca. 18,77 €.

Beispiel 2

Aufgabe

In einer Urne befinden sich 10 Kugeln: 1 rote, 3 blaue und 6 schwarze. Zieht man eine rote Kugel, gewinnt man 10 €. Zieht man eine blaue Kugel, gewinnt man 2 €. Bei einer schwarzen Kugel verliert man 3 €. Berechne die Varianz und Standardabweichung des Gewinns.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zufallsgröße und ihre Werte identifizieren
Die Zufallsgröße $X$ ist der Gewinn in Euro. Die Werte sind:
- 10 € (rote Kugel)
- 2 € (blaue Kugel)
- -3 € (schwarze Kugel)
2
Schritt 2
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Es gibt insgesamt 10 Kugeln.
- $P(X=10) = \frac{1}{10} = 0{,}1$
- $P(X=2) = \frac{3}{10} = 0{,}3$
- $P(X=-3) = \frac{6}{10} = 0{,}6$
Schritt 3
Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x \text{ in €} & 10 & 2 & -3 \\ \hline P(X=x) & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}6 \\ \hline \end{array}$
Schritt 4 · Ergebnis
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung berechnen
Erwartungswert:

$E(X) = 10(0{,}1) + 2(0{,}3) + (-3)(0{,}6)$

$= 1 + 0{,}6 - 1{,}8 = -0{,}2$

Varianz:

$Var(X) = (10 - (-0{,}2))^2(0{,}1) + (2 - (-0{,}2))^2(0{,}3) + (-3 - (-0{,}2))^2(0{,}6)$

$= (10{,}2)^2(0{,}1) + (2{,}2)^2(0{,}3) + (-2{,}8)^2(0{,}6)$

$= 104{,}04(0{,}1) + 4{,}84(0{,}3) + 7{,}84(0{,}6)$

$= 10{,}404 + 1{,}452 + 4{,}704 = 16{,}56$

Standardabweichung:

$\sigma(X) = \sqrt{16{,}56} \approx 4{,}07$

Ergebnis:

Die Standardabweichung des Gewinns beträgt ca. 4,07 €.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Obsthändler verkauft Kisten mit je 100 Äpfeln. Aus Erfahrung weiß er, dass 90% der Kisten keinen faulen Apfel enthalten, 8% enthalten genau einen faulen Apfel und 2% enthalten genau zwei faule Äpfel. Sei $X$ die Anzahl der faulen Äpfel in einer zufällig ausgewählten Kiste. Berechne die Standardabweichung von $X$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Zufallsgröße, Werte und Wahrscheinlichkeiten
Die Zufallsgröße $X$ ist die Anzahl der faulen Äpfel. Die Werte und Wahrscheinlichkeiten sind direkt im Text gegeben:
- $X=0$ mit $P(X=0) = 0{,}90$
- $X=1$ mit $P(X=1) = 0{,}08$
- $X=2$ mit $P(X=2) = 0{,}02$
Schritt 3
Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X=x) & 0{,}90 & 0{,}08 & 0{,}02 \\ \hline \end{array}$
Schritt 4 · Ergebnis
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung berechnen
Erwartungswert:

$E(X) = 0(0{,}90) + 1(0{,}08) + 2(0{,}02)$

$= 0 + 0{,}08 + 0{,}04 = 0{,}12$

Varianz:

$Var(X) = (0 - 0{,}12)^2(0{,}90) + (1 - 0{,}12)^2(0{,}08) + (2 - 0{,}12)^2(0{,}02)$

$= (-0{,}12)^2(0{,}90) + (0{,}88)^2(0{,}08) + (1{,}88)^2(0{,}02)$

$= 0{,}0144(0{,}90) + 0{,}7744(0{,}08) + 3{,}5344(0{,}02)$

$= 0{,}01296 + 0{,}061952 + 0{,}070688 = 0{,}1456$

Standardabweichung:

$\sigma(X) = \sqrt{0{,}1456} \approx 0{,}3816$

Ergebnis:

Die Standardabweichung der Anzahl fauler Äpfel beträgt ca. 0,3816.

Beispiel 4

Aufgabe

Bei einem Würfelspiel mit einem fairen Würfel erhält man eine Auszahlung, die dem Quadrat der gewürfelten Augenzahl in Euro entspricht (also 1 € für eine 1, 4 € für eine 2, 9 € für eine 3 usw.). Berechne die Standardabweichung der Auszahlung.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zufallsgröße und ihre Werte identifizieren
Die Zufallsgröße $X$ ist die Auszahlung in Euro. Die Werte hängen von der Augenzahl ab:
- Würfel zeigt 1 $\to X = 1^2 = 1$
- Würfel zeigt 2 $\to X = 2^2 = 4$
- Würfel zeigt 3 $\to X = 3^2 = 9$
- Würfel zeigt 4 $\to X = 4^2 = 16$
- Würfel zeigt 5 $\to X = 5^2 = 25$
- Würfel zeigt 6 $\to X = 6^2 = 36$
Schritt 2
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Da der Würfel fair ist, hat jede Augenzahl die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ .
Schritt 3
Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\ \hline P(X=x) & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\ \hline \end{array}$
Schritt 4 · Ergebnis
Berechnungen
Erwartungswert:

$E(X) = 1\left(\frac{1}{6}\right) + 4\left(\frac{1}{6}\right) + 9\left(\frac{1}{6}\right) + 16\left(\frac{1}{6}\right) + 25\left(\frac{1}{6}\right) + 36\left(\frac{1}{6}\right)$

$= \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15{,}17$

Varianz:

$Var(X) = \left(1 - \frac{91}{6}\right)^2\frac{1}{6} + \left(4 - \frac{91}{6}\right)^2\frac{1}{6} + \dots + \left(36 - \frac{91}{6}\right)^2\frac{1}{6}$

$= \frac{1}{6} [(-14{,}17)^2 + (-11{,}17)^2 + (-6{,}17)^2 + (0{,}83)^2 + (9{,}83)^2 + (20{,}83)^2]$

$= \frac{1}{6} [200{,}79 + 124{,}77 + 38{,}07 + 0{,}69 + 96{,}63 + 433{,}89] = \frac{894{,}84}{6} = 149{,}14$

Standardabweichung:

$\sigma(X) = \sqrt{149{,}14} \approx 12{,}21$

Ergebnis:

Die Standardabweichung der Auszahlung beträgt ca. 12,21 €.

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Versicherung schätzt, dass bei einer bestimmten Police die Wahrscheinlichkeit für einen Schaden von 10.000 € bei 0,5% liegt, für einen Schaden von 1.000 € bei 2% und für keinen Schaden bei 97,5%. Die Jahresprämie beträgt 100 €. Berechne die Standardabweichung des Gewinns der Versicherung pro Police.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Zufallsgröße und ihre Werte identifizieren
Die Zufallsgröße $X$ ist der Gewinn der Versicherung. Die Versicherung erhält immer 100 € Prämie.
- Großer Schaden: Gewinn = $100 - 10000 = -9900$ €
- Kleiner Schaden: Gewinn = $100 - 1000 = -900$ €
- Kein Schaden: Gewinn = $100 - 0 = 100$ €
2
Schritt 2
Wahrscheinlichkeiten
- $P(X=-9900) = 0{,}5\% = 0{,}005$
- $P(X=-900) = 2\% = 0{,}02$
- $P(X=100) = 97{,}5\% = 0{,}975$
Schritt 3
Wahrscheinlichkeitsverteilung
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x \text{ in €} & -9900 & -900 & 100 \\ \hline P(X=x) & 0{,}005 & 0{,}02 & 0{,}975 \\ \hline \end{array}$
Schritt 4 · Ergebnis
Berechnungen
Erwartungswert:

$E(X) = (-9900)(0{,}005) + (-900)(0{,}02) + (100)(0{,}975)$

$= -49{,}5 - 18 + 97{,}5 = 30$

Der erwartete Gewinn pro Police beträgt 30 €.

Varianz:

$Var(X) = (-9900 - 30)^2(0{,}005) + (-900 - 30)^2(0{,}02) + (100 - 30)^2(0{,}975)$

$= (-9930)^2(0{,}005) + (-930)^2(0{,}02) + (70)^2(0{,}975)$

$= 98604900(0{,}005) + 864900(0{,}02) + 4900(0{,}975)$

$= 493024{,}5 + 17298 + 4777{,}5 = 515100$

Standardabweichung:

$\sigma(X) = \sqrt{515100} \approx 717{,}70$

Ergebnis:

Die Standardabweichung des Gewinns der Versicherung beträgt ca. 717,70 € pro Police.

Wichtige Erkenntnisse

Der Erwartungswert E(X) ist der theoretische Mittelwert einer Zufallsgröße.
Die Varianz Var(X) misst die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Erwartungswert. Eine große Varianz bedeutet eine hohe Streuung.
Die Standardabweichung σ(X) ist die Wurzel aus der Varianz. Sie gibt die typische Abweichung vom Erwartungswert in der ursprünglichen Einheit an.
Hohe Standardabweichung = Hohes Risiko / Große Streuung.
Niedrige Standardabweichung = Geringes Risiko / Geringe Streuung.
Bei Sachaufgaben musst du immer zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung selbst aufstellen, bevor du mit der Berechnung beginnst.

Varianz und Standardabweichung: Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Varianz und Standardabweichung bei bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Varianz und Standardabweichung im Sachkontext bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Das könnte Dich auch interessieren

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.