Parameter der Binomialverteilung einfach erklärt

• Trefferwahrscheinlichkeit $p$: Eine Muschel enthält eine Perle. $p = 0{,}3$.
• Trefferanzahl $k$: „mindestens eine Perle" $\to X \geq 1$.
• Gesamtwahrscheinlichkeit $P$: „mindestens 95%" $\to P \geq 0{,}95$.
• Gesucht: Stichprobenumfang $n$.

Die Bedingung lautet: $P_{n;\, 0{,}3}(X \geq 1) \geq 0{,}95$

Wir nutzen die Gegenereignis-Regel $P(X \geq 1) = 1 - P(X \leq 0)$.

$1 - P(X \leq 0) \geq 0{,}95$

Jetzt formen wir um, um $P(X \leq 0)$ zu isolieren:

$1 - P(X \leq 0) \geq 0{,}95 \quad | -1$

$-P(X \leq 0) \geq -0{,}05 \quad | \cdot (-1)$

Achtung, das Relationszeichen dreht sich um!

$P(X \leq 0) \leq 0{,}05$

Da $P(X \leq 0)$ dasselbe ist wie $P(X=0)$, lautet unsere finale Bedingung: $P_{n;\, 0{,}3}(X = 0) \leq 0{,}05$

Wir suchen das kleinste $n$, das $P(X=0) \leq 0{,}05$ erfüllt. Wir testen Werte für $n$ mit $p=0{,}3$ und $k=0$.

• Test mit $n=8$: $P_{8;\, 0{,}3}(X=0) \approx 0{,}0576$. Das ist $> 0{,}05$. Nicht erfüllt.
• Test mit $n=9$: $P_{9;\, 0{,}3}(X=0) \approx 0{,}0403$. Das ist $\leq 0{,}05$. Erfüllt!

• $p$ (Trefferwahrscheinlichkeit): $0{,}80$
• $k$ (Trefferanzahl): $X \geq 1$
• $P$ (Gesamtwahrscheinlichkeit): $> 0{,}99$
• Gesucht: $n$

Bedingung: $P_{n;\, 0{,}8}(X \geq 1) > 0{,}99$

$1 - P(X \leq 0) > 0{,}99$

$-P(X \leq 0) > -0{,}01$

$P(X \leq 0) < 0{,}01$

$P_{n;\, 0{,}8}(X = 0) < 0{,}01$

Wir testen Werte für $n$ mit $p=0{,}8$ und $k=0$.

• Test mit $n=2$: $P_{2;\, 0{,}8}(X=0) = (0{,}2)^2 = 0{,}04$. Das ist $> 0{,}01$.
• Test mit $n=3$: $P_{3;\, 0{,}8}(X=0) = (0{,}2)^3 = 0{,}008$. Das ist $< 0{,}01$. Erfüllt!

• $p$ (Gewinnwahrscheinlichkeit): $1/10 = 0{,}1$
• $k$ (Trefferanzahl): $X \geq 1$
• $P$ (Gesamtwahrscheinlichkeit): $\geq 0{,}50$
• Gesucht: $n$

Bedingung: $P_{n;\, 0{,}1}(X \geq 1) \geq 0{,}50$

$1 - P(X = 0) \geq 0{,}50$

$-P(X = 0) \geq -0{,}50$

$P(X = 0) \leq 0{,}50$

Wir testen Werte für $n$ mit $p=0{,}1$ und $k=0$.

• Test mit $n=6$: $P_{6;\, 0{,}1}(X=0) \approx 0{,}531$. Das ist $> 0{,}50$.
• Test mit $n=7$: $P_{7;\, 0{,}1}(X=0) \approx 0{,}478$. Das ist $\leq 0{,}50$. Erfüllt!

• $p$ (defekte Schraube): $0{,}05$
• $k$ (Trefferanzahl): $X \geq 1$
• $P$ (Gesamtwahrscheinlichkeit): $\geq 0{,}90$
• Gesucht: $n$

Bedingung: $P_{n;\, 0{,}05}(X \geq 1) \geq 0{,}90$

$1 - P(X = 0) \geq 0{,}90$

$-P(X = 0) \geq -0{,}10$

$P(X = 0) \leq 0{,}10$

Wir testen Werte für $n$ mit $p=0{,}05$ und $k=0$.

• Test mit $n=45$: $P_{45;\, 0{,}05}(X=0) \approx 0{,}099$. Das ist $\leq 0{,}10$. Erfüllt!
• Test mit $n=44$: $P_{44;\, 0{,}05}(X=0) \approx 0{,}104$. Das ist $> 0{,}10$.

• $p$ (Medikament wirkt): $0{,}98$
• $k$ (Trefferanzahl): „bei allen wirkt" $\to X = n$
• $P$ (Gesamtwahrscheinlichkeit): $< 0{,}20$
• Gesucht: $n$

Bedingung: $P_{n;\, 0{,}98}(X = n) < 0{,}20$

Die Form $P(X=k)$ kann direkt im Taschenrechner verwendet werden. Keine Umformung nötig.

Wir testen Werte für $n$ mit $p=0{,}98$ und $k=n$.

• Test mit $n=80$: $P_{80;\, 0{,}98}(X=80) \approx 0{,}199$. Das ist $< 0{,}20$. Erfüllt!
• Test mit $n=79$: $P_{79;\, 0{,}98}(X=79) \approx 0{,}203$. Das ist $> 0{,}20$.

• Stichprobenumfang $n$: $100$
• Trefferanzahl $k$: „höchstens 10 Treffer" $\to X \leq 10$.
• Gesamtwahrscheinlichkeit $P$: „Wahrscheinlichkeit von 90%" $\to P = 0{,}90$.
• Gesucht: Trefferwahrscheinlichkeit $p$.

Die Bedingung lautet: $P_{100;\, p}(X \leq 10) = 0{,}90$

Die Form $P(X \leq 10)$ kann direkt mit der kumulierten Binomialverteilung im Taschenrechner berechnet werden. Keine Umformung nötig.

Wir suchen das $p$, das die Gleichung erfüllt. Wir testen verschiedene Werte für $p$.

• Test mit $p=0{,}10$: $P_{100;\, 0{,}10}(X \leq 10) \approx 0{,}5832$. Das ist viel zu niedrig.
• Test mit $p=0{,}08$: $P_{100;\, 0{,}08}(X \leq 10) \approx 0{,}8243$. Näher dran, aber immer noch zu niedrig.
• Test mit $p=0{,}07$: $P_{100;\, 0{,}07}(X \leq 10) \approx 0{,}9092$. Sehr nah an 0,90!
• Test mit $p=0{,}071$: $P_{100;\, 0{,}071}(X \leq 10) \approx 0{,}8996$. Das ist fast exakt 0,90.

• $n$: $50$
• $k$: $X \leq 2$
• $P$: $= 0{,}88$
• Gesucht: $p$

Bedingung: $P_{50;\, p}(X \leq 2) = 0{,}88$

Die Form $P(X \leq 2)$ ist für den Taschenrechner geeignet.

• Test mit $p=0{,}05$: $P_{50;\, 0{,}05}(X \leq 2) \approx 0{,}5405$. Zu niedrig.
• Test mit $p=0{,}03$: $P_{50;\, 0{,}03}(X \leq 2) \approx 0{,}8108$. Näher dran.
• Test mit $p=0{,}02$: $P_{50;\, 0{,}02}(X \leq 2) \approx 0{,}9216$. Zu hoch.
• Der Wert liegt also zwischen 2% und 3%. $0{,}9216$ ist näher an $0{,}88$ als $0{,}8108$. Wir testen dazwischen.
• Test mit $p=0{,}025$: $P_{50;\, 0{,}025}(X \leq 2) \approx 0{,}8704$. Das ist sehr nah an 0,88.

• $n$: $20$
• $k$: $X = 5$
• $P$: $= 0{,}1762$
• Gesucht: $p$

Bedingung: $P_{20;\, p}(X = 5) = 0{,}1762$

Die Form $P(X = 5)$ ist für den Taschenrechner geeignet.

• Test mit $p=0{,}20$: $P_{20;\, 0{,}2}(X = 5) \approx 0{,}1746$. Sehr nah!
• Test mit $p=0{,}21$: $P_{20;\, 0{,}21}(X = 5) \approx 0{,}1817$. Weiter weg.
• Test mit $p=0{,}19$: $P_{20;\, 0{,}19}(X = 5) \approx 0{,}1663$. Weiter weg.
• Test mit $p=0{,}205$: $P_{20;\, 0{,}205}(X = 5) \approx 0{,}1783$. Das ist noch näher.

• $n$: $10$
• $k$: $X \leq 3$
• $P$: $= 0{,}776$
• Gesucht: $p$

Bedingung: $P_{10;\, p}(X \leq 3) = 0{,}776$

Die Form $P(X \leq 3)$ ist für den Taschenrechner geeignet.

• Test mit $p=0{,}20$: $P_{10;\, 0{,}2}(X \leq 3) \approx 0{,}8791$. Zu hoch.
• Test mit $p=0{,}30$: $P_{10;\, 0{,}3}(X \leq 3) \approx 0{,}6496$. Zu niedrig.
• Test mit $p=0{,}25$: $P_{10;\, 0{,}25}(X \leq 3) \approx 0{,}7759$. Das ist fast exakt!

• $n$: $30$
• $k$: „mehr als 25" $\to X > 25 \to X \geq 26$
• $P$: $= 0{,}8245$
• Gesucht: $p$

Bedingung: $P_{30;\, p}(X \geq 26) = 0{,}8245$

Wir formen um: $P(X \geq 26) = 1 - P(X \leq 25)$.

$1 - P(X \leq 25) = 0{,}8245$

$-P(X \leq 25) = -0{,}1755$

$P(X \leq 25) = 0{,}1755$

• Test mit $p=0{,}90$: $P_{30;\, 0{,}9}(X \leq 25) \approx 0{,}1755$. Das ist ein Volltreffer!

• Stichprobenumfang $n$: $250$
• Trefferwahrscheinlichkeit $p$: $0{,}7$
• Bedingung: „mindestens k bestandene Prüfungen" $\to X \geq k$.
• Gesamtwahrscheinlichkeit $P$: „kleiner oder gleich 60%" $\to P \leq 0{,}60$.
• Gesucht: die kleinste ganze Zahl $k$.

Die Bedingung lautet: $P_{250;\, 0{,}7}(X \geq k) \leq 0{,}60$

Wir nutzen die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$.

$1 - P(X \leq k-1) \leq 0{,}60 \quad | -1$

$-P(X \leq k-1) \leq -0{,}40 \quad | \cdot (-1)$

Achtung, das Relationszeichen dreht sich um!

$P(X \leq k-1) \geq 0{,}40$

Wir suchen das kleinste $k$, für das die Bedingung gilt. Wir testen also Werte für $k-1$ in $P(X \leq k-1)$ und prüfen, wann das Ergebnis erstmals $\geq 0{,}40$ ist.

• Test mit $k-1 = 172$: $P_{250;\, 0{,}7}(X \leq 172) \approx 0{,}3620$. Das ist $< 0{,}40$. Nicht erfüllt.
• Test mit $k-1 = 173$: $P_{250;\, 0{,}7}(X \leq 173) \approx 0{,}4146$. Das ist $\geq 0{,}40$. Erfüllt!

Der kleinste Wert für $k-1$ ist also 173.

• $n$: $100$
• $p$: $0{,}5$
• Bedingung: „höchstens k-mal Kopf" $\to X \leq k$
• $P$: $< 0{,}05$
• Gesucht: größtes $k$

Bedingung: $P_{100;\, 0{,}5}(X \leq k) < 0{,}05$

Die Form ist bereits für den Taschenrechner geeignet.

Wir suchen das größte $k$, das die Bedingung erfüllt.

• Test mit $k=42$: $P(X \leq 42) \approx 0{,}0666$. Das ist $> 0{,}05$.
• Test mit $k=41$: $P(X \leq 41) \approx 0{,}0443$. Das ist $< 0{,}05$. Erfüllt!
• Test mit $k=40$: $P(X \leq 40) \approx 0{,}0284$. Auch erfüllt, aber wir suchen das größte k.

• $n$: $80$
• $p$: $0{,}15$
• Bedingung: „mehr als k" $\to X > k \to X \geq k+1$
• $P$: $< 0{,}10$
• Gesucht: kleinstes $k$

Bedingung: $P_{80;\, 0{,}15}(X > k) < 0{,}10$

$P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$.

$1 - P(X \leq k) < 0{,}10$

$-P(X \leq k) < -0{,}90$

$P(X \leq k) > 0{,}90$

Wir suchen das kleinste $k$, das $P(X \leq k) > 0{,}90$ erfüllt.

• Test mit $k=15$: $P(X \leq 15) \approx 0{,}857$. Das ist $< 0{,}90$.
• Test mit $k=16$: $P(X \leq 16) \approx 0{,}913$. Das ist $> 0{,}90$. Erfüllt!

• $n$: $365$
• $p$: $0{,}40$
• Bedingung: „k oder mehr" $\to X \geq k$
• $P$: $> 0{,}95$
• Gesucht: kleinstes $k$

Bedingung: $P_{365;\, 0{,}4}(X \geq k) > 0{,}95$

$1 - P(X \leq k-1) > 0{,}95$

$-P(X \leq k-1) > -0{,}05$

$P(X \leq k-1) < 0{,}05$

Wir suchen das kleinste k, also testen wir Werte für $k-1$.

• Test mit $k-1=130$: $P(X \leq 130) \approx 0{,}045$. Das ist $< 0{,}05$. Erfüllt!
• Test mit $k-1=131$: $P(X \leq 131) \approx 0{,}058$. Das ist $> 0{,}05$.

Wenn $k-1=130$ ist, ist $P(X \leq 130) < 0{,}05$ erfüllt. Das heißt $P(X \geq 131) > 0{,}95$ ist erfüllt. Das kleinste k ist also 131.

• $n$: $1000$
• $p$: $0{,}05$
• Bedingung: „höchstens k Käufe" $\to X \leq k$
• $P$: $\geq 0{,}99$
• Gesucht: größtes $k$

Bedingung: $P_{1000;\, 0{,}05}(X \leq k) \geq 0{,}99$

Die Form ist bereits für den Taschenrechner geeignet.

Wir suchen das kleinste $k$, für das die Wahrscheinlichkeit $\geq 0{,}99$ wird.

• Test mit $k=64$: $P(X \leq 64) \approx 0{,}988$. Das ist $< 0{,}99$.
• Test mit $k=65$: $P(X \leq 65) \approx 0{,}992$. Das ist $\geq 0{,}99$. Erfüllt!