Was sind kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei der Binomialverteilung?

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei der Binomialverteilung geben an, wie wahrscheinlich es ist, dass die Anzahl der Treffer in einem bestimmten Bereich liegt – also nicht nur genau k , sondern mindestens k , höchstens k oder mehr als k . Statt einer einzelnen Punktwahrscheinlichkeit werden dabei alle Einzelwahrscheinlichkeiten eines Bereichs aufaddiert. Im Alltag tauchen solche Fragen auf, wenn z. B. eine Qualitätskontrolle prüft, ob mindestens 95 von 100 Bauteilen fehlerfrei sind.

Wie berechnet man eine Mindest-Wahrscheinlichkeit bei der Binomialverteilung?

Du nutzt die Umformungsregel P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) , weil die meisten Taschenrechner nur höchstens -Wahrscheinlichkeiten direkt berechnen können. Gehe in drei Schritten vor: Stelle fest, ob die Treffer- oder Misserfolgswahrscheinlichkeit gegeben ist; berechne ggf. p = 1 − q . Forme P(X ≥ k) in 1 − P(X ≤ k−1) um. Berechne P(X ≤ k−1) mit dem Taschenrechner und ziehe den Wert von 1 ab.

Wie berechnet man die Abweichung vom Erwartungswert bei der Binomialverteilung?

Berechne zunächst den Erwartungswert μ = n · p . Dann bestimmst du die untere Grenze ( μ − Abweichung ) und die obere Grenze ( μ + Abweichung ), wobei die Abweichung der angegebene Prozentsatz mal μ ist. Da X nur ganzzahlige Werte annimmt, rundest du die Grenzen entsprechend. Anschließend addierst du P(X ≤ untere Grenze) + P(X ≥ obere Grenze) , wobei der zweite Term über das Gegenereignis berechnet wird.

Wie liest man die Trefferwahrscheinlichkeit p aus einer Tabelle ab?

Definiere zunächst, was in der Aufgabe als Treffer gilt (z. B. „Hauptgewinn von 10 €"). Suche dann genau diesen Wert in der gegebenen Tabelle und lies die zugehörige Wahrscheinlichkeit als p ab. Danach löst du die Aufgabe wie gewohnt mit den bekannten Regeln für kumulierte Wahrscheinlichkeiten – also z. B. mit P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) .

Was ist der Unterschied zwischen höchstens k und mindestens k Treffern?

Höchstens k Treffer ( X ≤ k ) kann der Taschenrechner direkt berechnen – du gibst n , p und k ein. Mindestens k Treffer ( X ≥ k ) muss erst umgeformt werden: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) . Der entscheidende Unterschied liegt also im Vorzeichen und darin, ob du k selbst einschließt oder nicht – bei mindestens zählst du k mit, bei mehr als startest du erst ab k+1 .

Kumulierte Binomialverteilung (Fortgeschritten)

Stell dir vor, du spielst ein Online-Game und bekommst nach jeder Runde eine Lootbox. Du weißt, die Chance auf einen legendären Skin ist 5 %. Wie wahrscheinlich ist es, dass du in 50 Runden mindestens 3 legendäre Skins bekommst? Oder dass die Anzahl deiner seltenen Items stärker als normal vom Durchschnitt abweicht? Genau das sind die Fragen, bei denen die einfache Binomialverteilung an ihre Grenzen stößt. Mit den fortgeschrittenen Techniken zu kumulierten Wahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilungen, die du hier lernst, knackst du diese Probleme. Du rechnest nicht mehr nur aus, was bei genau k Treffern passiert, sondern für ganze Bereiche – „mindestens", „höchstens" oder „mehr als". Das ist der Cheat-Code, um echte Wahrscheinlichkeiten in Spielen, bei Qualitätskontrollen oder sogar bei Wahlen zu verstehen und vorherzusagen.

Vorwissen

Bevor wir in die fortgeschrittenen Berechnungen einsteigen, solltest du diese Grundlagen sicher beherrschen:

Binomialverteilung: Ein Zufallsexperiment, das nur zwei Ausgänge hat (Treffer/Niete), eine feste Anzahl an Versuchen ( $n$ ) und eine gleichbleibende Trefferwahrscheinlichkeit ( $p$ ).
- Beispiel: Ein Würfel wird 10-mal geworfen ( $n=10$ ). Ein Treffer ist das Würfeln einer 6 ( $p = \frac{1}{6}$ ). Die Anzahl der Sechsen ist binomialverteilt.
Parameter einer Binomialverteilung:
- $n$ : Die Anzahl der Versuche (z.B. 100 Schrauben werden geprüft).
- $p$ : Die Trefferwahrscheinlichkeit für einen Versuch (z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schraube defekt ist, ist 0,05).
- $k$ : Die Anzahl der Treffer, die uns interessiert (z.B. genau 3 defekte Schrauben).
Gegenereignis: Das Gegenteil eines Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen immer 1 (oder 100%).
- Formel: $P(\text{Ereignis}) + P(\text{Gegenereignis}) = 1$
- Beispiel: Wenn die Wahrscheinlichkeit für Regen 30% beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit für „kein Regen" (das Gegenereignis) $1 - 0{,}3 = 0{,}7$ , also 70%.
Erwartungswert ( $\mu$ ): Die durchschnittliche Anzahl an Treffern, die man bei sehr vielen Wiederholungen des Experiments erwarten würde.
- Formel: $\mu = n \cdot p$
- Beispiel: Wir werfen 60-mal einen Würfel ( $n=60$ ) und suchen die 6 ( $p=\frac{1}{6}$ ). Der Erwartungswert für die Anzahl der Sechsen ist $\mu = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10$ .

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis bestimmen

Beim Berechnen kumulierter Wahrscheinlichkeiten für Binomialverteilungen ist es manchmal so, dass nicht die Trefferwahrscheinlichkeit ( $p$ ) direkt gegeben ist, sondern die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg. Das ist kein Problem! Da es nur zwei Zustände gibt (Treffer oder Niete), können wir die Trefferwahrscheinlichkeit ganz einfach berechnen.

Die Regel lautet: $p = 1 - P(\text{Misserfolg})$

Beispiel: Wenn 5% der Schrauben fehlerhaft sind, dann sind $1 - 0{,}05 = 0{,}95$ , also 95% der Schrauben fehlerfrei.

Eine zweite wichtige Regel brauchen wir für Formulierungen wie „mindestens k Treffer". Das bedeutet $k$ Treffer oder mehr ( $X \geq k$ ). Dein Taschenrechner kann aber meist nur „höchstens k Treffer" ( $X \leq k$ ) berechnen. Wir müssen die Frage also „übersetzen":

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer ist dasselbe wie 1 minus die Wahrscheinlichkeit für höchstens k-1 Treffer.

Formel: $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die Anzahl der Versuche ( $n$ ) und die gegebene Wahrscheinlichkeit aus dem Text. Achte darauf, ob es die Erfolgs- oder Misserfolgswahrscheinlichkeit ist.
Berechne die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ mit $p = 1 - P(\text{Misserfolg})$ , falls die Misserfolgswahrscheinlichkeit gegeben ist.
Übersetze die Fragestellung (z.B. „mindestens 50") in eine mathematische Ungleichung für die Anzahl der Treffer $k$ (z.B. $X \geq 50$ ).
Forme um: Wenn du eine „mindestens"-Wahrscheinlichkeit ( $P(X \geq k)$ ) hast, verwende $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .
Berechne den Wert für $P(X \leq k-1)$ mit dem Taschenrechner (kumulierte Binomialverteilung) und setze ihn in die Formel aus Schritt 4 ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Gärtner pflanzt 200 Samen. Er weiß aus Erfahrung, dass 8% der Samen nicht keimen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 180 Samen keimen?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : Es werden 200 Samen gepflanzt, also $n=200$ .
- Wahrscheinlichkeit für Misserfolg: 8% der Samen keimen nicht, also $P(\text{Misserfolg}) = 0{,}08$ .
- Ein „Treffer" ist ein Samen, der keimt.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p berechnen
Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Samen keimt. Das ist das Gegenereignis zu „keimt nicht".

$p = 1 - P(\text{Misserfolg})$

$p = 1 - 0{,}08 = 0{,}92$
Schritt 3
Ereignis in Ungleichung übersetzen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 180 Samen keimen".

Das bedeutet $X \geq 180$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Wir verwenden die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .

$P(X \geq 180) = 1 - P(X \leq 180 - 1)$

$P(X \geq 180) = 1 - P(X \leq 179)$

Taschenrechner-Eingabe für kumulierte Binomialverteilung
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X \leq 179)$ mit dem Taschenrechner für $n=200$ und $p=0{,}92$ .

$P(X \leq 179) \approx 0{,}1485$

Jetzt setzen wir diesen Wert in unsere Formel ein:

$P(X \geq 180) = 1 - 0{,}1485 = 0{,}8515$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 180 Samen keimen, beträgt ca. 85,15%.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Basketballspieler hat eine Freiwurf-Fehlquote von 15%. In einem Training wirft er 50-mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 45-mal trifft?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : $n=50$ .
- Wahrscheinlichkeit für Misserfolg: $P(\text{Fehlwurf}) = 0{,}15$ .
- Ein „Treffer" ist ein erfolgreicher Wurf.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p berechnen
$p = 1 - P(\text{Fehlwurf})$

$p = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$
Schritt 3
Ereignis in Ungleichung übersetzen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 45 Treffer".

Das bedeutet $X \geq 45$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Wir verwenden die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .

$P(X \geq 45) = 1 - P(X \leq 45 - 1)$

$P(X \geq 45) = 1 - P(X \leq 44)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X \leq 44)$ mit dem Taschenrechner für $n=50$ und $p=0{,}85$ .

$P(X \leq 44) \approx 0{,}8172$

Jetzt setzen wir diesen Wert ein:

$P(X \geq 45) = 1 - 0{,}8172 = 0{,}1828$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 45-mal trifft, beträgt ca. 18,28%.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Smartphone-Hersteller gibt an, dass 2% seiner Geräte einen Produktionsfehler aufweisen. Eine Lieferung von 400 Geräten wird an einen Händler geschickt. Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 390 Geräte fehlerfrei sind?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : $n=400$ .
- Wahrscheinlichkeit für Misserfolg (ein Gerät hat einen Fehler): $P(\text{Fehler}) = 0{,}02$ .
- Ein „Treffer" ist ein fehlerfreies Gerät.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p berechnen
$p = 1 - P(\text{Fehler})$

$p = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$
Schritt 3
Ereignis in Ungleichung übersetzen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 390 fehlerfreie Geräte".

Das bedeutet $X \geq 390$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Wir verwenden die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .

$P(X \geq 390) = 1 - P(X \leq 390 - 1)$

$P(X \geq 390) = 1 - P(X \leq 389)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X \leq 389)$ mit dem Taschenrechner für $n=400$ und $p=0{,}98$ .

$P(X \leq 389) \approx 0{,}1198$

Jetzt setzen wir diesen Wert ein:

$P(X \geq 390) = 1 - 0{,}1198 = 0{,}8802$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 390 fehlerfreie Geräte beträgt ca. 88,02%.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Fluggesellschaft überbucht ihre Flüge. Die Erfahrung zeigt, dass 10% der gebuchten Passagiere nicht zum Flug erscheinen. Für einen Flug mit 150 Plätzen wurden 160 Tickets verkauft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 151 Passagiere erscheinen?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : Es wurden 160 Tickets verkauft, also $n=160$ .
- Wahrscheinlichkeit für Misserfolg (Passagier erscheint nicht): $P(\text{erscheint nicht}) = 0{,}10$ .
- Ein „Treffer" ist ein Passagier, der erscheint.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p berechnen
$p = 1 - P(\text{erscheint nicht})$

$p = 1 - 0{,}10 = 0{,}90$
Schritt 3
Ereignis in Ungleichung übersetzen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass „mindestens 151 Passagiere erscheinen".

Das bedeutet $X \geq 151$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Wir verwenden die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .

$P(X \geq 151) = 1 - P(X \leq 151 - 1)$

$P(X \geq 151) = 1 - P(X \leq 150)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X \leq 150)$ mit dem Taschenrechner für $n=160$ und $p=0{,}90$ .

$P(X \leq 150) \approx 0{,}9533$

Jetzt setzen wir diesen Wert ein:

$P(X \geq 151) = 1 - 0{,}9533 = 0{,}0467$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 151 Passagiere erscheinen (und der Flug überbucht ist), beträgt ca. 4,67%.

Beispiel 5

Aufgabe

Bei einer Multiple-Choice-Klausur mit 30 Fragen gibt es pro Frage 4 Antwortmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist. Ein Student rät bei allen Fragen. Die Klausur ist bestanden, wenn mindestens 10 Fragen richtig beantwortet sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student besteht?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : Es gibt 30 Fragen, also $n=30$ .
- Ein „Treffer" ist eine richtig geratene Antwort.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p berechnen
Bei 4 Antwortmöglichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit, die richtige zu erraten, 1 zu 4.

$p = \frac{1}{4} = 0{,}25$
Schritt 3
Ereignis in Ungleichung übersetzen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 10 richtige Antworten".

Das bedeutet $X \geq 10$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Wir verwenden die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .

$P(X \geq 10) = 1 - P(X \leq 10 - 1)$

$P(X \geq 10) = 1 - P(X \leq 9)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X \leq 9)$ mit dem Taschenrechner für $n=30$ und $p=0{,}25$ .

$P(X \leq 9) \approx 0{,}7759$

Jetzt setzen wir diesen Wert ein:

$P(X \geq 10) = 1 - 0{,}7759 = 0{,}2241$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, die Klausur durch Raten zu bestehen, beträgt ca. 22,41%.

Aufgabentyp 2: Abweichung vom Erwartungswert

Ein weiterer wichtiger Aufgabentyp bei kumulierten Wahrscheinlichkeiten für Binomialverteilungen fragt nicht nach einem festen Wert, sondern danach, wie stark das Ergebnis vom Durchschnitt abweicht. Der „Durchschnitt" ist hier der Erwartungswert $\mu$ .

Die Formel für den Erwartungswert lautet: $\mu = n \cdot p$

Eine Fragestellung wie „Die Anzahl der Treffer weicht um mehr als 10% vom Erwartungswert ab" bedeutet, dass das Ergebnis entweder deutlich kleiner oder deutlich größer als der Erwartungswert ist.

Das sind zwei getrennte Bereiche, deren Wahrscheinlichkeiten wir addieren müssen:

$P(\text{Abweichung}) = P(X < \text{untere Grenze}) + P(X > \text{obere Grenze})$

Die Grenzen berechnen wir so:

Untere Grenze: $\mu - (\text{Prozentsatz} \cdot \mu)$
Obere Grenze: $\mu + (\text{Prozentsatz} \cdot \mu)$

Wichtig: Da die Anzahl der Treffer $X$ nur ganze Zahlen sein kann, müssen wir die Grenzen richtig runden. Zum Beispiel ist $X < 58{,}5$ gleichbedeutend mit $X \leq 58$ , und $X > 71{,}5$ ist gleichbedeutend mit $X \geq 72$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere $n$ und $p$ aus der Aufgabenstellung.
Berechne den Erwartungswert mit der Formel $\mu = n \cdot p$ .
Berechne die untere und obere Grenze basierend auf der prozentualen Abweichung vom Erwartungswert: Untere Grenze $= \mu - (\% \cdot \mu)$ , Obere Grenze $= \mu + (\% \cdot \mu)$ .
Formuliere das Ereignis als zwei getrennte Wahrscheinlichkeiten: $P(X \leq k_{\text{unten}}) + P(X \geq k_{\text{oben}})$ . Achte darauf, die Grenzen korrekt auf ganze Zahlen zu runden.
Forme um: $P(X \leq k_{\text{unten}})$ kann direkt berechnet werden; $P(X \geq k_{\text{oben}})$ muss zu $1 - P(X \leq k_{\text{oben}}-1)$ umgeformt werden.
Berechne beide Teile mit dem Taschenrechner und addiere die Ergebnisse zur Gesamtwahrscheinlichkeit.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Partei erreicht bei Wahlen erfahrungsgemäß 30% der Stimmen. In einer Umfrage werden 500 Personen befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Befragten, die die Partei wählen würden, um mehr als 5% vom Erwartungswert abweicht.

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter n und p identifizieren
- $n$ = 500 (Anzahl der Befragten)
- $p$ = 0,30 (Wahrscheinlichkeit, die Partei zu wählen)
Schritt 2
Erwartungswert $\mu$ berechnen
$\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}30 = 150$
3
Schritt 3
Abweichungsgrenzen berechnen
Die Abweichung beträgt 5% vom Erwartungswert:

Abweichung $= 0{,}05 \cdot 150 = 7{,}5$
- Untere Grenze: $150 - 7{,}5 = 142{,}5$
- Obere Grenze: $150 + 7{,}5 = 157{,}5$
4
Schritt 4
Ereignis in zwei Ungleichungen übersetzen
„Mehr als 5% Abweichung" bedeutet $X < 142{,}5$ oder $X > 157{,}5$ .

Da X ganzzahlig sein muss:
- $X < 142{,}5 \to X \leq 142$
- $X > 157{,}5 \to X \geq 158$
Wir suchen also: $P(X \leq 142) + P(X \geq 158)$ .

Wahrscheinlichkeitsbereiche links und rechts vom Erwartungswert
5
Schritt 5
Ungleichungen für den Taschenrechner umformen
- $P(X \leq 142)$ ist bereits in der richtigen Form.
- $P(X \geq 158)$ wird zu $1 - P(X \leq 157)$ .
6
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren
Mit dem Taschenrechner ( $n=500, p=0{,}30$ ):
- $P(X \leq 142) \approx 0{,}2634$
- $P(X \leq 157) \approx 0{,}7534$
Also ist $P(X \geq 158) = 1 - 0{,}7534 = 0{,}2466$ .

Gesamtwahrscheinlichkeit $= P(X \leq 142) + P(X \geq 158)$

$= 0{,}2634 + 0{,}2466 = 0{,}51$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Umfrageergebnis um mehr als 5% vom Erwartungswert abweicht, beträgt 51%.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Callcenter weiß, dass 80% der Anrufe Kaufanfragen sind. An einem Tag gehen 200 Anrufe ein. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Kaufanfragen um mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter n und p identifizieren
- $n$ = 200
- $p$ = 0,80
Schritt 2
Erwartungswert $\mu$ berechnen
$\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}80 = 160$
3
Schritt 3
Abweichungsgrenzen berechnen
Abweichung $= 0{,}10 \cdot 160 = 16$
- Untere Grenze: $160 - 16 = 144$
- Obere Grenze: $160 + 16 = 176$
4
Schritt 4
Ereignis in zwei Ungleichungen übersetzen
„Mehr als 10% Abweichung" bedeutet $X < 144$ oder $X > 176$ .

Da X ganzzahlig sein muss:
- $X < 144 \to X \leq 143$
- $X > 176 \to X \geq 177$
Wir suchen: $P(X \leq 143) + P(X \geq 177)$ .
5
Schritt 5
Ungleichungen für den Taschenrechner umformen
- $P(X \leq 143)$ ist bereits in der richtigen Form.
- $P(X \geq 177)$ wird zu $1 - P(X \leq 176)$ .
6
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren
Mit dem Taschenrechner ( $n=200, p=0{,}80$ ):
- $P(X \leq 143) \approx 0{,}0021$
- $P(X \leq 176) \approx 0{,}9976$
Also ist $P(X \geq 177) = 1 - 0{,}9976 = 0{,}0024$ .

Gesamtwahrscheinlichkeit $= 0{,}0021 + 0{,}0024 = 0{,}0045$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung von mehr als 10% beträgt nur ca. 0,45%.

Beispiel 3

Aufgabe

In einer Großstadt nutzen 40% der Pendler öffentliche Verkehrsmittel. Für eine Studie werden 100 Pendler befragt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der ÖPNV-Nutzer in der Stichprobe um mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter n und p identifizieren
- $n$ = 100
- $p$ = 0,40
Schritt 2
Erwartungswert $\mu$ berechnen
$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}40 = 40$
3
Schritt 3
Abweichungsgrenzen berechnen
Abweichung $= 0{,}20 \cdot 40 = 8$
- Untere Grenze: $40 - 8 = 32$
- Obere Grenze: $40 + 8 = 48$
4
Schritt 4
Ereignis in zwei Ungleichungen übersetzen
„Mehr als 20% Abweichung" bedeutet $X < 32$ oder $X > 48$ .

Da X ganzzahlig sein muss:
- $X < 32 \to X \leq 31$
- $X > 48 \to X \geq 49$
Wir suchen: $P(X \leq 31) + P(X \geq 49)$ .
5
Schritt 5
Ungleichungen für den Taschenrechner umformen
- $P(X \leq 31)$ ist bereits in der richtigen Form.
- $P(X \geq 49)$ wird zu $1 - P(X \leq 48)$ .
6
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren
Mit dem Taschenrechner ( $n=100, p=0{,}40$ ):
- $P(X \leq 31) \approx 0{,}0469$
- $P(X \leq 48) \approx 0{,}9623$
Also ist $P(X \geq 49) = 1 - 0{,}9623 = 0{,}0377$ .

Gesamtwahrscheinlichkeit $= 0{,}0469 + 0{,}0377 = 0{,}0846$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung von mehr als 20% beträgt ca. 8,46%.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein fairer Würfel wird 120-mal geworfen. Ein „Treffer" ist das Würfeln einer 6. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Sechsen um mehr als 25% vom Erwartungswert abweicht?

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter n und p identifizieren
- $n$ = 120
- $p$ = $1/6 \approx 0{,}1667$
Schritt 2
Erwartungswert $\mu$ berechnen
$\mu = n \cdot p = 120 \cdot \frac{1}{6} = 20$
3
Schritt 3
Abweichungsgrenzen berechnen
Abweichung $= 0{,}25 \cdot 20 = 5$
- Untere Grenze: $20 - 5 = 15$
- Obere Grenze: $20 + 5 = 25$
4
Schritt 4
Ereignis in zwei Ungleichungen übersetzen
„Mehr als 25% Abweichung" bedeutet $X < 15$ oder $X > 25$ .

Da X ganzzahlig sein muss:
- $X < 15 \to X \leq 14$
- $X > 25 \to X \geq 26$
Wir suchen: $P(X \leq 14) + P(X \geq 26)$ .
5
Schritt 5
Ungleichungen für den Taschenrechner umformen
- $P(X \leq 14)$ ist bereits in der richtigen Form.
- $P(X \geq 26)$ wird zu $1 - P(X \leq 25)$ .
6
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren
Mit dem Taschenrechner ( $n=120, p=1/6$ ):
- $P(X \leq 14) \approx 0{,}0846$
- $P(X \leq 25) \approx 0{,}9154$
Also ist $P(X \geq 26) = 1 - 0{,}9154 = 0{,}0846$ .

Gesamtwahrscheinlichkeit $= 0{,}0846 + 0{,}0846 = 0{,}1692$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Sechsen um mehr als 25% abweicht, beträgt ca. 16,92%.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Online-Händler verkauft zu 60% Android-Smartphones und zu 40% iPhones. An einem Tag werden 80 Smartphones verkauft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der verkauften Android-Geräte um mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter n und p identifizieren
- $n$ = 80
- $p$ = 0,60 (Anteil Android)
Schritt 2
Erwartungswert $\mu$ berechnen
$\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}60 = 48$
3
Schritt 3
Abweichungsgrenzen berechnen
Abweichung $= 0{,}15 \cdot 48 = 7{,}2$
- Untere Grenze: $48 - 7{,}2 = 40{,}8$
- Obere Grenze: $48 + 7{,}2 = 55{,}2$
4
Schritt 4
Ereignis in zwei Ungleichungen übersetzen
„Mehr als 15% Abweichung" bedeutet $X < 40{,}8$ oder $X > 55{,}2$ .

Da X ganzzahlig sein muss:
- $X < 40{,}8 \to X \leq 40$
- $X > 55{,}2 \to X \geq 56$
Wir suchen: $P(X \leq 40) + P(X \geq 56)$ .
5
Schritt 5
Ungleichungen für den Taschenrechner umformen
- $P(X \leq 40)$ ist bereits in der richtigen Form.
- $P(X \geq 56)$ wird zu $1 - P(X \leq 55)$ .
6
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren
Mit dem Taschenrechner ( $n=80, p=0{,}60$ ):
- $P(X \leq 40) \approx 0{,}0498$
- $P(X \leq 55) \approx 0{,}9556$
Also ist $P(X \geq 56) = 1 - 0{,}9556 = 0{,}0444$ .

Gesamtwahrscheinlichkeit $= 0{,}0498 + 0{,}0444 = 0{,}0942$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung von mehr als 15% beträgt ca. 9,42%.

Aufgabentyp 3: Wahrscheinlichkeit p aus einer Verteilung ablesen

In manchen Aufgaben zur kumulierten Binomialverteilung ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ nicht direkt im Text versteckt, sondern muss aus einer Tabelle oder einem Diagramm abgelesen werden. Dies ist oft bei Glücksspielen der Fall, wo die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Gewinne in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt sind.

Beispiel:

$\begin{array}{l|c|c|c} \text{Gewinn in €} & 0 & 2 & 5 \\ \hline P(X=\text{Gewinn}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}$

Wenn die Aufgabe lautet: „Das Spiel wird 20-mal gespielt. Wie wahrscheinlich ist es, mindestens 4-mal 5€ zu gewinnen?", dann ist unser „Treffer" der Gewinn von 5€.

Wir lesen aus der Tabelle ab: Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist $p = P(X=5) = \frac{1}{6}$ .

Sobald wir $p$ auf diese Weise ermittelt haben, können wir die Aufgabe wie gewohnt mit den bekannten Regeln für kumulierte Wahrscheinlichkeiten lösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Definiere das Trefferereignis: Lies die Aufgabenstellung genau und bestimme, was als „Treffer" für die Binomialverteilung gilt (z.B. „einen Gewinn von 4€ erzielen").
Ermittle die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ : Suche die Wahrscheinlichkeit für genau dieses Trefferereignis in der gegebenen Tabelle oder dem Diagramm und lies den Wert für $p$ ab.
Identifiziere die Anzahl der Versuche ( $n$ ) aus dem Text und übersetze die Fragestellung (z.B. „mindestens 2 Spiele") in eine Ungleichung für die Anzahl der Treffer $k$ (z.B. $X \geq 2$ ).
Forme die Ungleichung falls nötig um. Meistens wird die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ benötigt.
Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner, indem du die ermittelten Werte für $n$ , $p$ und $k$ (bzw. $k-1$ ) verwendest.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Glücksrad hat drei Sektoren mit unterschiedlichen Gewinnen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn X pro Drehung ist in der Tabelle gezeigt.

$\begin{array}{l|c|c|c} \text{Gewinn in €} & 0 & 1 & 10 \\ \hline P(X=\text{Gewinn}) & 0{,}7 & 0{,}25 & 0{,}05 \end{array}$

Das Rad wird 50-mal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens 3-mal den Hauptgewinn von 10€ erzielt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Trefferereignis definieren
Ein „Treffer" ist es, den Hauptgewinn von 10€ zu erzielen.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p ermitteln
Wir lesen die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 10€ aus der Tabelle ab:

$p = P(X=10) = 0{,}05$

Glücksrad-Wahrscheinlichkeitstabelle mit Hauptgewinn 10 Euro
3
Schritt 3
Parameter n und k identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : Das Rad wird 50-mal gedreht, also $n=50$ .
- Anzahl der Treffer $k$ : „mindestens 3-mal", also $X \geq 3$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Wir verwenden die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 3 - 1) = 1 - P(X \leq 2)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X \leq 2)$ mit dem Taschenrechner für $n=50$ und $p=0{,}05$ .

$P(X \leq 2) \approx 0{,}5405$

Jetzt setzen wir diesen Wert ein:

$P(X \geq 3) = 1 - 0{,}5405 = 0{,}4595$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3-mal 10€ zu gewinnen, beträgt ca. 45,95%.

Beispiel 2

Aufgabe

Bei einem Kartenspiel werden Karten aus einem gut gemischten Skatblatt (32 Karten) gezogen und wieder zurückgelegt. Die Auszahlung Y hängt von der gezogenen Karte ab. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist unten gegeben.

$\begin{array}{l|c|c|c} \text{Karte} & \text{Ass} & \text{König} & \text{Andere} \\ \hline P(Y=\text{Karte}) & \frac{4}{32} & \frac{4}{32} & \frac{24}{32} \end{array}$

Es wird 20-mal gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2-mal ein Ass gezogen wird?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Trefferereignis definieren
Ein „Treffer" ist das Ziehen eines Asses.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p ermitteln
Aus der Tabelle lesen wir ab:

$p = P(Y=\text{Ass}) = \frac{4}{32} = 0{,}125$
3
Schritt 3
Parameter n und k identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : Es wird 20-mal gezogen, also $n=20$ .
- Anzahl der Treffer $k$ : „höchstens 2-mal", also $X \leq 2$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Die Ungleichung $P(X \leq 2)$ ist bereits in der Form, die der Taschenrechner direkt berechnen kann. Eine Umformung ist nicht nötig.
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X \leq 2)$ mit dem Taschenrechner für $n=20$ und $p=0{,}125$ .

$P(X \leq 2) \approx 0{,}5416$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 Asse zu ziehen, beträgt ca. 54,16%.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Würfel ist so gezinkt, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Augenzahlen wie folgt verteilt sind:

$\begin{array}{l|c|c|c} \text{Augenzahl} & 1 & 6 & \text{2,3,4 oder 5} \\ \hline P(\text{Augenzahl}) & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{array}$

Der Würfel wird 40-mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10-mal eine 1 gewürfelt wird?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Trefferereignis definieren
Ein „Treffer" ist das Würfeln einer 1.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p ermitteln
Aus der Tabelle lesen wir ab:

$p = P(\text{Augenzahl}=1) = 0{,}3$
3
Schritt 3
Parameter n und k identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : $n=40$ .
- Anzahl der Treffer $k$ : „mehr als 10-mal", also $X > 10$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Die Ungleichung $X > 10$ ist dasselbe wie $X \geq 11$ . Wir verwenden die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .

$P(X > 10) = P(X \geq 11) = 1 - P(X \leq 10)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X \leq 10)$ mit dem Taschenrechner für $n=40$ und $p=0{,}3$ .

$P(X \leq 10) \approx 0{,}3087$

Jetzt setzen wir diesen Wert ein:

$P(X > 10) = 1 - 0{,}3087 = 0{,}6913$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 10-mal eine 1 zu würfeln, beträgt ca. 69,13%.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Süßigkeitenautomat gibt mit gewissen Wahrscheinlichkeiten verschiedene Riegel aus. Die Verteilung ist wie folgt:

$\begin{array}{l|c|c|c} \text{Riegel} & \text{Schoko} & \text{Nuss} & \text{Karamell} \\ \hline P(\text{Riegel}) & 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}4 \end{array}$

Eine Person kauft 15 Riegel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau 2 Nussriegel erhält?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Trefferereignis definieren
Ein „Treffer" ist der Erhalt eines Nussriegels.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p ermitteln
Aus der Tabelle lesen wir ab:

$p = P(\text{Riegel}=\text{Nuss}) = 0{,}1$
3
Schritt 3
Parameter n und k identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : $n=15$ .
- Anzahl der Treffer $k$ : „genau 2", also $X = 2$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Die Wahrscheinlichkeit für $P(X=k)$ kann mit den meisten Taschenrechnern direkt berechnet werden (Binomial-Dichtefunktion, oft „Bpd" oder „binompdf"). Eine Umformung ist nicht nötig.
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X=2)$ mit dem Taschenrechner für $n=15$ , $p=0{,}1$ und $k=2$ .

$P(X=2) \approx 0{,}2669$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Nussriegel zu erhalten, beträgt ca. 26,69%.

Beispiel 5

Aufgabe

Bei einem Jahrmarktsspiel wirft man auf Dosen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der umgeworfenen Dosen (X) pro Wurf ist:

$\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Anzahl Dosen} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=\text{Anzahl}) & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}1 \end{array}$

Ein Spieler wirft 10-mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei mindestens einem Wurf alle 3 Dosen umwirft?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Trefferereignis definieren
Ein „Treffer" ist ein Wurf, bei dem alle 3 Dosen umgeworfen werden.
Schritt 2
Trefferwahrscheinlichkeit p ermitteln
Aus der Tabelle lesen wir ab:

$p = P(X=3) = 0{,}1$
3
Schritt 3
Parameter n und k identifizieren
- Anzahl der Versuche $n$ : $n=10$ .
- Anzahl der Treffer $k$ : „mindestens einem Wurf", also $X \geq 1$ .
Schritt 4
Formel für den Taschenrechner umformen
Wir verwenden die Regel $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .

$P(X \geq 1) = 1 - P(X \leq 1 - 1) = 1 - P(X \leq 0)$

$P(X \leq 0)$ bedeutet, dass es nur den Fall $X=0$ gibt. Also ist $P(X \leq 0) = P(X=0)$ .

$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir berechnen $P(X=0)$ mit dem Taschenrechner für $n=10$ und $p=0{,}1$ .

$P(X=0) \approx 0{,}3487$

Jetzt setzen wir diesen Wert ein:

$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}3487 = 0{,}6513$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, bei mindestens einem Wurf alle Dosen abzuräumen, beträgt ca. 65,13%.

Wichtige Erkenntnisse

Gegenereignis für p: Wenn die Misserfolgswahrscheinlichkeit $q$ gegeben ist, gilt für die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 1 - q$ .
Erwartungswert: Der zu erwartende Durchschnitt an Treffern ist $\mu = n \cdot p$ .
Die wichtigsten Umformungen für den Taschenrechner:
- Mindestens k Treffer: $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
- Mehr als k Treffer: $P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$
- Weniger als k Treffer: $P(X < k) = P(X \leq k-1)$
- Höchstens k Treffer: $P(X \leq k)$ (kann direkt berechnet werden)
Abweichung vom Erwartungswert: Dies erfordert oft die Berechnung von zwei getrennten Wahrscheinlichkeiten (ein Bereich unterhalb und ein Bereich oberhalb von $\mu$ ), die am Ende addiert werden.

Kumulierte Binomialverteilung einfach erklärt: Fortgeschritten

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Abweichung vom Erwartungswert

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Wahrscheinlichkeit p aus einer Verteilung ablesen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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