Bernoulli-Prozesse einfach erklärt: Kette, n und p

Bei jedem Wurf gibt es zwei relevante Ausgänge: Entweder fällt eine 6 (Treffer) oder keine 6 (Niete). Die Bedingung ist erfüllt.

Der Würfel ist fair. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, ist bei jedem Wurf $p = \frac{1}{6}$. Sie bleibt konstant. Die Bedingung ist erfüllt.

Das Ergebnis eines Wurfs hat keinen Einfluss auf den nächsten Wurf. Die Würfe sind unabhängig. Die Bedingung ist erfüllt.

Da alle Bedingungen erfüllt sind, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette. Der Würfel wird 10-mal geworfen, also ist die Länge $n = 10$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (eine 6) ist $p = \frac{1}{6}$.

Bei jedem Zug gibt es zwei Ausgänge: Die Kugel ist rot (Treffer) oder sie ist blau (Niete). Die Bedingung ist erfüllt.

Insgesamt sind 8 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, ist $p = \frac{5}{8}$. Da die Kugel zurückgelegt wird, ist die Situation vor jedem Zug identisch. Die Wahrscheinlichkeit bleibt konstant. Die Bedingung ist erfüllt.

Weil die Kugel zurückgelegt wird, beeinflusst ein Zug den nächsten nicht. Die Züge sind unabhängig. Die Bedingung ist erfüllt.

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. Es wird 4-mal gezogen, also ist die Länge $n = 4$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (rot) ist $p = \frac{5}{8}$.

Bei jedem Zug gibt es zwei Ausgänge: Die Kugel ist rot (Treffer) oder sie ist blau (Niete). Die Bedingung ist erfüllt.

Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Treffer ist $p_1 = \frac{5}{8}$. Wenn die erste gezogene Kugel rot war, sind nur noch 4 rote und 3 blaue Kugeln (insgesamt 7) in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit für einen zweiten roten Treffer wäre dann $p_2 = \frac{4}{7}$.

Da $p_1 \neq p_2$, ist die Wahrscheinlichkeit nicht konstant. Die Bedingung ist nicht erfüllt.

Bei jeder Drehung gibt es zwei relevante Ausgänge: Das Rad landet auf blau (Treffer) oder nicht blau (Niete). Die Bedingung ist erfüllt.

Da die Sektoren gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für „blau" bei jeder Drehung $p = \frac{1}{3}$. Sie bleibt konstant. Die Bedingung ist erfüllt.

Eine Drehung beeinflusst die nächste nicht. Die Drehungen sind unabhängig. Die Bedingung ist erfüllt.

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. Das Rad wird 5-mal gedreht, also ist die Länge $n = 5$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (blau) ist $p = \frac{1}{3}$.

Jede geprüfte Schraube hat zwei mögliche Zustände: Sie ist defekt (Treffer) oder in Ordnung (Niete). Die Bedingung ist erfüllt.

Die Wahrscheinlichkeit, eine defekte Schraube zu ziehen, ist mit $p = 0{,}05$ (also 5 %) angegeben. Da die Produktion „groß" ist, gehen wir davon aus, dass die Entnahme von 100 Schrauben die Gesamtwahrscheinlichkeit nicht merklich verändert. Die Wahrscheinlichkeit bleibt also praktisch konstant. Die Bedingung ist erfüllt.

Der Zustand einer Schraube ist unabhängig vom Zustand der anderen. Die Bedingung ist erfüllt.

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. Es werden 100 Schrauben geprüft, also ist die Länge $n = 100$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (defekt) ist $p = 0{,}05$.

Dies ist eine Bernoulli-Kette mit $n=3$. Ein Treffer ist „Kopf" mit der Wahrscheinlichkeit $p=0{,}5$. Eine Niete ist „Zahl" mit der Wahrscheinlichkeit $1-p = 0{,}5$. Wir suchen Pfade mit genau zwei „K" (Kopf). Es gibt drei solche Pfade: K-K-Z, K-Z-K, Z-K-K.

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für den Pfad K-K-Z:

$P(\text{K-K-Z}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$

Alle drei relevanten Pfade haben dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Es gibt 3 relevante Pfade. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist:

$P(\text{genau 2-mal Kopf}) = 3 \cdot P(\text{K-K-Z})$

$= 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375$

Dies ist eine Bernoulli-Kette mit $n=3$. Ein Treffer (T) ist ein getroffener Wurf mit $p=0{,}8$. Eine Niete (N) ist ein Fehlwurf mit $1-p = 0{,}2$. „Genau einmal nicht treffen" bedeutet das Gleiche wie „genau zweimal treffen". Wir suchen Pfade mit genau zwei T und einem N. Es gibt drei solche Pfade: T-T-N, T-N-T, N-T-T.

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für den Pfad T-T-N:

$P(\text{T-T-N}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}128$

Es gibt 3 relevante Pfade. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist:

$P(\text{genau 2 Treffer}) = 3 \cdot P(\text{T-T-N})$

$= 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384$

Dies ist eine Bernoulli-Kette mit $n=3$. Ein Treffer (R) ist eine richtige Antwort. Da es 4 Möglichkeiten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$. Eine Niete (F) ist eine falsche Antwort mit $1-p = \frac{3}{4} = 0{,}75$. Wir suchen Pfade mit genau einem R. Es gibt drei solche Pfade: R-F-F, F-R-F, F-F-R.

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für den Pfad R-F-F:

$P(\text{R-F-F}) = 0{,}25 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}75 = 0{,}140625$

Es gibt 3 relevante Pfade. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist:

$P(\text{genau 1 richtige}) = 3 \cdot P(\text{R-F-F})$

$= 3 \cdot 0{,}140625 = 0{,}421875$

Dies ist eine Bernoulli-Kette mit $n=4$. Ein Treffer (R) ist eine rote Ampel mit $p=0{,}4$. Eine Niete (G) ist eine grüne Ampel mit $1-p = 0{,}6$. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer. Es gibt nur einen Pfad, der dieser Bedingung entspricht: G-G-G-G.

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für den Pfad G-G-G-G:

$P(\text{G-G-G-G}) = 0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}6^4$

$= 0{,}1296$

Da es nur einen relevanten Pfad gibt, ist die Wahrscheinlichkeit aus Schritt 3 bereits das Endergebnis.

Dies ist eine Bernoulli-Kette mit $n=2$. Ein Treffer (T) hat die Wahrscheinlichkeit $p=0{,}9$. Eine Niete (N) hat die Wahrscheinlichkeit $1-p = 0{,}1$. „Mindestens einmal treffen" bedeutet „genau einmal treffen" ODER „genau zweimal treffen". Pfade für „genau 1 Treffer": T-N, N-T. Pfad für „genau 2 Treffer": T-T.

Ansatz 1: Direkte Berechnung

$P(\text{T-N}) = 0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}09$

$P(\text{N-T}) = 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}09$

$P(\text{T-T}) = 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$

$P(\text{mind. 1 Treffer}) = P(\text{T-N}) + P(\text{N-T}) + P(\text{T-T})$

$= 0{,}09 + 0{,}09 + 0{,}81 = 0{,}99$

Ansatz 2: Über das Gegenereignis (oft schneller!)

Das Gegenereignis von „mindestens einmal treffen" ist „keinmal treffen" (also der Pfad N-N).

$P(\text{N-N}) = 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann:

$P(\text{mind. 1 Treffer}) = 1 - P(\text{kein Treffer})$

$= 1 - 0{,}01 = 0{,}99$