Was ist die Standardabweichung der Binomialverteilung?

Die Standardabweichung der Binomialverteilung ist ein Maß dafür, wie stark die Ergebnisse eines Zufallsexperiments typischerweise um den Erwartungswert streuen. Sie wird berechnet mit der Formel σ = √(n · p · (1−p)) , wobei n die Anzahl der Versuche und p die Trefferwahrscheinlichkeit ist. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Ergebnisse nah am Erwartungswert liegen; eine große Standardabweichung zeigt eine starke Streuung an.

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung bei der Binomialverteilung?

Die Varianz Var(X) = n · p · (1−p) gibt die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert an. Die Standardabweichung σ ist die Quadratwurzel der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die ursprüngliche Zufallsgröße. In der Praxis ist die Standardabweichung leichter zu interpretieren, weil sie direkt zeigt, um wie viele Treffer die Ergebnisse typischerweise vom Mittelwert abweichen.

Wie findest du die Trefferwahrscheinlichkeit p, wenn die Standardabweichung gegeben ist?

Setze die gegebenen Werte in σ = √(n · p · (1−p)) ein und quadriere beide Seiten. Du erhältst dann eine quadratische Gleichung der Form n · p² − n · p + σ² = 0 , die du mit der Mitternachtsformel löst. Oft gibt es zwei Lösungen, die symmetrisch um 0,5 liegen (z. B. 0,2 und 0,8). Prüfe abschließend, ob beide Werte zwischen 0 und 1 liegen.

Standardabweichung Binomialverteilung

Q: Wie berechnest du die Standardabweichung einer Binomialverteilung Schritt für Schritt?

Du gehst in drei Schritten vor: Lies n (Anzahl der Versuche) und p (Trefferwahrscheinlichkeit) aus der Aufgabe heraus. Berechne die Varianz : Var(X) = n · p · (1−p) . Ziehe die Quadratwurzel aus der Varianz: σ = √Var(X) . Beispiel: Bei n = 100 und p = 0,5 ergibt sich Var(X) = 25 und σ = 5.

Q: Wann ist die Standardabweichung der Binomialverteilung am größten?

Die Standardabweichung der Binomialverteilung ist am größten, wenn p = 0,5 ist – also wenn Treffer und Niete gleich wahrscheinlich sind. In diesem Fall ist das Ergebnis am ungewissesten und die Streuung maximal. Zum Beispiel gilt bei n = 40 und p = 0,5: σ max = √10 ≈ 3,16 . Mit steigendem oder sinkendem p wird die Standardabweichung kleiner.

Die Standardabweichung der Binomialverteilung ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Stochastik: Sie sagt dir, wie stark die Ergebnisse eines Zufallsexperiments typischerweise um den Erwartungswert streuen. Stell dir vor, du spielst ein Online-Game und bekommst super seltene Items. Ist das nur Glück oder ist die Drop-Rate vielleicht an diesem Tag höher? Oder ein Politiker behauptet, eine neue Maßnahme hat die Arbeitslosigkeit „deutlich" gesenkt – aber wie viel Veränderung ist normal und was ist wirklich ein Erfolg? Die Standardabweichung ist wie ein „Lügendetektor" für den Zufall. Sie hilft dir zu entscheiden, ob ein Ergebnis normal und zu erwarten ist, oder ob es so ungewöhnlich ist, dass da mehr dahinterstecken muss. Mit diesem Tool kannst du Daten besser einschätzen und dich nicht von zufälligen Schwankungen täuschen lassen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Binomialverteilung: Beschreibt ein Zufallsexperiment, das mehrmals (n-mal) wiederholt wird und nur zwei Ergebnisse hat: „Treffer" oder „Niete".
- Beispiel: Eine Münze wird 20-mal geworfen. Das Zählen von „Kopf" ist ein binomialverteiltes Experiment.
Parameter n und p:
- n: Die Anzahl der Wiederholungen des Experiments.
- p: Die Wahrscheinlichkeit für einen „Treffer" bei einer einzigen Durchführung.
- Beispiel: Bei 20 Münzwürfen ist n = 20. Die Wahrscheinlichkeit für „Kopf" ist p = 0,5.
Erwartungswert ( $\mu$ ): Der Wert, den man im Durchschnitt erwartet.
- Formel: $\mu = n \cdot p$
- Beispiel: Bei 20 Münzwürfen erwartet man im Durchschnitt $\mu = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ Mal „Kopf".
Quadratische Gleichung lösen: Eine Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ löst man oft mit der Mitternachtsformel (oder abc-Formel).
- Formel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
- Beispiel: Die Gleichung $2x^2 - 10x + 12 = 0$ hat die Lösungen $x_1 = 2$ und $x_2 = 3$ .

Aufgabentyp 1: Standardabweichung einer Binomialverteilung berechnen

Der Erwartungswert sagt uns, welches Ergebnis wir im Durchschnitt erwarten. Aber die echten Ergebnisse schwanken natürlich um diesen Mittelwert. Die Standardabweichung ( $\sigma$ ) ist ein Maß dafür, wie stark diese typische Streuung ist.

Eine kleine Standardabweichung bedeutet: Die Ergebnisse liegen meistens sehr nah am Erwartungswert.
Eine große Standardabweichung bedeutet: Die Ergebnisse sind weiter verstreut.

Um die Standardabweichung zu berechnen, brauchen wir einen Zwischenschritt: die Varianz (Var(X)). Sie ist einfach das Quadrat der Standardabweichung.

Formeln, die du brauchst:

Varianz: $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$
Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Der Term $(1-p)$ ist einfach die Gegenwahrscheinlichkeit – also die Wahrscheinlichkeit für eine „Niete".

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die Anzahl der Versuche $n$ und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ aus der Aufgabenstellung.
Berechne die Varianz: Setze $n$ und $p$ in die Formel $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ ein.
Ziehe die Quadratwurzel aus der Varianz, um die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{Var(X)}$ zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine faire Münze wird 100 Mal geworfen. Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der Würfe, die „Kopf" zeigen. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
Aus dem Text entnehmen wir:
- Anzahl der Würfe: $n = 100$
- Wahrscheinlichkeit für „Kopf": $p = 0{,}5$
Schritt 2
Erwartungswert berechnen
Wir verwenden die Formel $\mu = n \cdot p$ .

$\mu = 100 \cdot 0{,}5 = 50$

Wir erwarten also im Durchschnitt 50 Mal „Kopf".
Schritt 3
Varianz berechnen
Wir setzen die Werte in die Formel $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ ein.

$Var(X) = 100 \cdot 0{,}5 \cdot (1-0{,}5)$

$Var(X) = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25$
Schritt 4 · Ergebnis
Standardabweichung berechnen
Wir ziehen die Wurzel aus der Varianz.

$\sigma = \sqrt{25} = 5$

Ergebnis:

Die Standardabweichung beträgt 5. Das bedeutet, die meisten Ergebnisse werden typischerweise zwischen $50-5=45$ und $50+5=55$ Mal „Kopf" liegen.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Würfel wird 60 Mal geworfen. Als „Treffer" gilt das Werfen einer 6. Berechne die Standardabweichung für die Anzahl der Treffer.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Anzahl der Würfe: $n = 60$
- Wahrscheinlichkeit für eine 6: $p = \frac{1}{6}$
Schritt 2
Varianz berechnen
Wir setzen die Werte in die Formel $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ ein.

$Var(X) = 60 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)$

$Var(X) = 10 \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{6} \approx 8{,}33$
Schritt 3 · Ergebnis
Standardabweichung berechnen
Wir ziehen die Wurzel aus der Varianz.

$\sigma = \sqrt{\frac{50}{6}} \approx 2{,}89$

Ergebnis:

Die Standardabweichung beträgt rund 2,89.

Beispiel 3

Aufgabe

Bei einer Qualitätskontrolle werden 500 Schrauben geprüft. Aus Erfahrung weiß man, dass 2 % der Schrauben defekt sind. Berechne die Standardabweichung für die Anzahl der defekten Schrauben in der Stichprobe.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Anzahl der Schrauben: $n = 500$
- Wahrscheinlichkeit für eine defekte Schraube: $p = 0{,}02$
Schritt 2
Varianz berechnen
Wir setzen die Werte in die Formel $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ ein.

$Var(X) = 500 \cdot 0{,}02 \cdot (1-0{,}02)$

$Var(X) = 10 \cdot 0{,}98 = 9{,}8$
Schritt 3 · Ergebnis
Standardabweichung berechnen
Wir ziehen die Wurzel aus der Varianz.

$\sigma = \sqrt{9{,}8} \approx 3{,}13$

Ergebnis:

Die Standardabweichung beträgt rund 3,13.

Beispiel 4

Aufgabe

In einer Umfrage werden 200 Personen befragt. 75 % der Bevölkerung stimmen einer Aussage zu. Berechne die Standardabweichung für die Anzahl der zustimmenden Personen in der Umfrage.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Anzahl der Personen: $n = 200$
- Wahrscheinlichkeit für Zustimmung: $p = 0{,}75$
Schritt 2
Varianz berechnen
Wir setzen die Werte in die Formel $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ ein.

$Var(X) = 200 \cdot 0{,}75 \cdot (1-0{,}75)$

$Var(X) = 150 \cdot 0{,}25 = 37{,}5$
Schritt 3 · Ergebnis
Standardabweichung berechnen
Wir ziehen die Wurzel aus der Varianz.

$\sigma = \sqrt{37{,}5} \approx 6{,}12$

Ergebnis:

Die Standardabweichung beträgt rund 6,12.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Basketballspieler trifft Freiwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %. Er wirft 50 Mal. Berechne die Standardabweichung für die Anzahl seiner Treffer.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Anzahl der Würfe: $n = 50$
- Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}8$
Schritt 2
Varianz berechnen
Wir setzen die Werte in die Formel $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ ein.

$Var(X) = 50 \cdot 0{,}8 \cdot (1-0{,}8)$

$Var(X) = 40 \cdot 0{,}2 = 8$
Schritt 3 · Ergebnis
Standardabweichung berechnen
Wir ziehen die Wurzel aus der Varianz.

$\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$

Ergebnis:

Die Standardabweichung beträgt rund 2,83.

Aufgabentyp 2: Parameter aus der Standardabweichung berechnen

Manchmal ist es auch umgekehrt: Wir kennen die Streuung (Standardabweichung $\sigma$ ) und die Anzahl der Versuche ( $n$ ), aber wir suchen die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .

Um das zu lösen, starten wir wieder mit der bekannten Formel:

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Unser Ziel ist es, diese Gleichung nach $p$ aufzulösen. Das führt fast immer auf eine quadratische Gleichung.

Der Weg zur quadratischen Gleichung:

Quadrieren: Wir quadrieren beide Seiten, um die Wurzel loszuwerden. $\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)$
Ausmultiplizieren: Wir multiplizieren die rechte Seite aus. $\sigma^2 = n \cdot p - n \cdot p^2$
Umstellen: Wir bringen alles auf eine Seite, um die typische Form $ap^2 + bp + c = 0$ zu erhalten. $n \cdot p^2 - n \cdot p + \sigma^2 = 0$

Diese Gleichung können wir dann mit der Mitternachtsformel lösen. Oft gibt es zwei mögliche Lösungen für $p$ , die symmetrisch zu 0,5 liegen (z. B. 0,2 und 0,8).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die Anzahl der Versuche $n$ und die Standardabweichung $\sigma$ aus der Aufgabenstellung.
Stelle die Formel $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ auf und setze die bekannten Werte ein.
Stelle um zur quadratischen Form: Quadriere beide Seiten, multipliziere aus und bringe alles auf eine Seite ( $ap^2 + bp + c = 0$ ).
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel: $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Prüfe die Lösungen: Gültige Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit der Stichprobengröße $n=100$ und der Standardabweichung $\sigma = \sqrt{9{,}6}$ . Bestimme die möglichen Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Gegebene Werte identifizieren
- $n = 100$
- $\sigma = \sqrt{9{,}6}$
Schritt 2
Gleichung aufstellen
Wir setzen die Werte in die Formel ein:

$\sqrt{9{,}6} = \sqrt{100 \cdot p \cdot (1-p)}$
Schritt 3
Gleichung zur quadratischen Form umstellen
Wir quadrieren beide Seiten:

$9{,}6 = 100 \cdot p \cdot (1-p)$

Wir teilen durch 100:

$0{,}096 = p \cdot (1-p)$

Wir multiplizieren aus:

$0{,}096 = p - p^2$

Wir stellen alles auf eine Seite, um die Form $ap^2+bp+c=0$ zu erhalten:

$p^2 - p + 0{,}096 = 0$
Schritt 4
Quadratische Gleichung lösen
Wir verwenden die Mitternachtsformel mit $a=1$ , $b=-1$ , $c=0{,}096$ .

$p_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0{,}096}}{2 \cdot 1}$

$p_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 0{,}384}}{2}$

$p_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{0{,}616}}{2}$

$p_1 = \frac{1 + \sqrt{0{,}616}}{2} \approx \frac{1 + 0{,}785}{2} \approx 0{,}89$

$p_2 = \frac{1 - \sqrt{0{,}616}}{2} \approx \frac{1 - 0{,}785}{2} \approx 0{,}11$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungen prüfen
Beide Werte, 0,89 und 0,11, liegen zwischen 0 und 1 und sind daher gültige Wahrscheinlichkeiten.

Ergebnis:

Die möglichen Werte für p sind ca. 0,11 oder 0,89.

Beispiel 2

Aufgabe

Bei einem Experiment mit $n=50$ Wiederholungen beträgt die Standardabweichung $\sigma=3$ . Berechne die mögliche(n) Trefferwahrscheinlichkeit(en) $p$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Gegebene Werte identifizieren
- $n = 50$
- $\sigma = 3$
Schritt 2
Gleichung aufstellen
$3 = \sqrt{50 \cdot p \cdot (1-p)}$
Schritt 3
Gleichung zur quadratischen Form umstellen
Quadrieren:

$9 = 50 \cdot p \cdot (1-p)$

Ausmultiplizieren:

$9 = 50p - 50p^2$

Umstellen:

$50p^2 - 50p + 9 = 0$
Schritt 4
Quadratische Gleichung lösen
Mitternachtsformel mit $a=50$ , $b=-50$ , $c=9$ .

$p_{1,2} = \frac{-(-50) \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 9}}{2 \cdot 50}$

$p_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{100}$

$p_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{700}}{100} \approx \frac{50 \pm 26{,}46}{100}$

$p_1 = \frac{50 + 26{,}46}{100} \approx 0{,}76$

$p_2 = \frac{50 - 26{,}46}{100} \approx 0{,}24$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungen prüfen
Beide Werte sind gültige Wahrscheinlichkeiten.

Ergebnis:

Die möglichen Werte für p sind ca. 0,24 oder 0,76.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Varianz einer binomialverteilten Zufallsgröße bei $n=20$ Versuchen beträgt $Var(X)=3{,}2$ . Bestimme die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Gegebene Werte identifizieren
- $n = 20$
- $Var(X) = 3{,}2$ . (Achtung, hier ist die Varianz, nicht die Standardabweichung gegeben!)
Schritt 2
Gleichung aufstellen
Wir verwenden die Varianzformel: $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ .

$3{,}2 = 20 \cdot p \cdot (1-p)$
Schritt 3
Gleichung zur quadratischen Form umstellen
Teilen durch 20:

$0{,}16 = p \cdot (1-p)$

Ausmultiplizieren:

$0{,}16 = p - p^2$

Umstellen:

$p^2 - p + 0{,}16 = 0$
Schritt 4
Quadratische Gleichung lösen
Mitternachtsformel mit $a=1$ , $b=-1$ , $c=0{,}16$ .

$p_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0{,}16}}{2 \cdot 1}$

$p_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 0{,}64}}{2}$

$p_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{0{,}36}}{2} = \frac{1 \pm 0{,}6}{2}$

$p_1 = \frac{1 + 0{,}6}{2} = 0{,}8$

$p_2 = \frac{1 - 0{,}6}{2} = 0{,}2$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungen prüfen
Beide Werte sind gültig.

Ergebnis:

Die möglichen Werte für p sind 0,2 oder 0,8.

Beispiel 4

Aufgabe

Für eine Binomialverteilung mit $n=200$ ist die Standardabweichung $\sigma=6$ . Berechne die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Gegebene Werte identifizieren
- $n = 200$
- $\sigma = 6$
Schritt 2
Gleichung aufstellen
$6 = \sqrt{200 \cdot p \cdot (1-p)}$
Schritt 3
Gleichung zur quadratischen Form umstellen
Quadrieren:

$36 = 200 \cdot p \cdot (1-p)$

$36 = 200p - 200p^2$

$200p^2 - 200p + 36 = 0$

Wir können die Gleichung durch 4 teilen, um kleinere Zahlen zu erhalten:

$50p^2 - 50p + 9 = 0$
Schritt 4
Quadratische Gleichung lösen
Mitternachtsformel mit $a=50$ , $b=-50$ , $c=9$ .

$p_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 9}}{2 \cdot 50}$

$p_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{100} = \frac{50 \pm \sqrt{700}}{100} \approx \frac{50 \pm 26{,}46}{100}$

$p_1 = \frac{50 + 26{,}46}{100} \approx 0{,}76$

$p_2 = \frac{50 - 26{,}46}{100} \approx 0{,}24$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungen prüfen
Beide Werte sind gültig.

Ergebnis:

Die möglichen Werte für p sind ca. 0,24 oder 0,76.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Glücksrad mit zwei Sektoren (Gewinn/Verlust) wird 40 Mal gedreht. Die Standardabweichung für die Anzahl der Gewinne ist maximal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen Gewinn und wie groß ist diese maximale Standardabweichung?

Fortschritt

2 / 2

1
Schritt 1
Parameter und Bedingung identifizieren
- $n = 40$
- Bedingung: Die Standardabweichung soll maximal sein. Dies tritt ein bei $p = 0{,}5$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Maximale Standardabweichung berechnen
Wir berechnen die Varianz mit $p=0{,}5$ .

$Var(X) = 40 \cdot 0{,}5 \cdot (1-0{,}5)$

$Var(X) = 40 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 10$

Jetzt berechnen wir die Standardabweichung.

$\sigma_{max} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn muss $p=0{,}5$ sein, um die maximale Standardabweichung zu erreichen. Diese beträgt $\sigma \approx 3{,}16$ .

Wichtige Erkenntnisse

Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert: $\mu = n \cdot p$ .
Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung: $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ .
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und misst die typische Streuung: $\sigma = \sqrt{Var(X)}$ .
Um $p$ aus $\sigma$ und $n$ zu berechnen, musst du die Formel umstellen und eine quadratische Gleichung lösen.
Die maximale Streuung (größte Standardabweichung) tritt immer bei einer Wahrscheinlichkeit von $p=0{,}5$ auf.

Standardabweichung der Binomialverteilung einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Standardabweichung einer Binomialverteilung berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Parameter aus der Standardabweichung berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Das könnte Dich auch interessieren

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.