Inkreis konstruieren: Schritt für Schritt erklärt

Wir zeichnen die Seite $c = 8\,\text{cm}$. Dann schlagen wir einen Kreisbogen mit Radius $7\,\text{cm}$ um Punkt A und einen mit Radius $5\,\text{cm}$ um Punkt B. Der Schnittpunkt ist C.

Wir konstruieren die Winkelhalbierenden $w_\alpha$ und $w_\beta$. Ihr Schnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt I.

Wir fällen das Lot von I auf die Seite c. Die Länge dieser Strecke ist der Radius r.

Wir zeichnen einen Kreis um I mit dem Radius r. Er berührt alle drei Seiten. Wir messen r mit dem Lineal.

Wir zeichnen die Basis $c = 6\,\text{cm}$ (Strecke AB). Dann zeichnen wir zwei Kreisbögen mit Radius $9\,\text{cm}$ von A und B aus. Ihr Schnittpunkt ist C.

Wir konstruieren die Winkelhalbierende $w_\alpha$ bei A und $w_\gamma$ bei C. Ihr Schnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt I.

Wir fällen das Lot von I auf die Seite AC. Die Länge ist der Radius r.

Wir zeichnen den Inkreis um I mit Radius r. Wir messen r.

Wir zeichnen die zwei Katheten im 90°-Winkel zueinander und verbinden ihre Endpunkte zur Hypotenuse.

Wir konstruieren die Winkelhalbierenden der beiden spitzen Winkel. Ihr Schnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt I.

Wir fällen das Lot von I auf die Seite AC. Da die Seiten a und b bereits senkrecht zueinander stehen, ist der Abstand zu den Seiten einfach die Differenz der Koordinaten, wenn man es in ein Koordinatensystem legt. Die Konstruktion des Lotes ist hier sehr einfach.

Wir zeichnen den Inkreis und messen den Radius r.

Wir zeichnen eine Seite mit 8 cm und schlagen von beiden Endpunkten Kreisbögen mit 8 cm Radius. Der Schnittpunkt ist die dritte Ecke.

Wir konstruieren zwei Winkelhalbierende. Ihr Schnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt I. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind die Winkelhalbierenden auch die Seitenhalbierenden und Höhen.

Wir fällen das Lot von I auf eine Seite, um den Radius r zu erhalten, zeichnen den Inkreis und messen r.

Wir folgen den bekannten Schritten: Dreieck mit Zirkel und Lineal zeichnen, zwei Winkelhalbierende konstruieren, um den Mittelpunkt I zu finden, das Lot für den Radius r fällen und den Inkreis zeichnen.

Wir zeichnen die Punkte A, B und C in ein Koordinatensystem und verbinden sie.

Wir konstruieren die Winkelhalbierenden von $\alpha$ und $\beta$, finden ihren Schnittpunkt I, fällen das Lot für den Radius r und zeichnen den Inkreis. Anschließend lesen wir die Werte ab.

Wir zeichnen die Punkte. Uns fällt auf, dass die Seite AB eine senkrechte Linie bei $x=2$ ist.

Wir konstruieren die Winkelhalbierenden von $\alpha$ und $\gamma$. Ihr Schnittpunkt ist I. Wir lesen die Koordinaten ab: $I \approx (4{,}0|4{,}3)$.

Da die Seite AB bei $x=2$ liegt, ist der senkrechte Abstand von I zu dieser Seite einfach der Unterschied der x-Koordinaten. Die x-Koordinate von I ist ca. 4,0.

Radius r = x-Koordinate von I − x-Koordinate von AB

$r \approx 4{,}0 - 2 = 2{,}0$

Wir zeichnen den Inkreis mit $I(4{,}0|4{,}3)$ und $r=2{,}0$.

Die Seite AB ist eine waagerechte Linie bei $y=2$. Wir zeichnen das Dreieck, konstruieren die Winkelhalbierenden von A und B und finden den Mittelpunkt I. Wir lesen ab: $I \approx (4{,}4|3{,}8)$.

Für den Radius nutzen wir wieder den einfachen Weg. Der Abstand von I zur waagerechten Seite AB ist der Unterschied der y-Koordinaten.

Radius r = y-Koordinate von I − y-Koordinate von AB

$r \approx 3{,}8 - 2 = 1{,}8$

Wir zeichnen den Inkreis.

Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei A. Die Seite AB ist senkrecht, die Seite AC ist waagerecht. Wir konstruieren die Winkelhalbierende von B, um I zu finden. Der Mittelpunkt liegt auf der Winkelhalbierenden des 90°-Winkels, die bei $y=x$ verläuft, wenn man den Ursprung nach A verschiebt.

Wir konstruieren die Winkelhalbierenden von B und C. Ihr Schnittpunkt ist $I \approx (2{,}4|2{,}4)$.

Der Radius r ist der Abstand zu den achsenparallelen Seiten: $r_x = x_I - x_A = 2{,}4 - 1 = 1{,}4$ $r_y = y_I - y_A = 2{,}4 - 1 = 1{,}4$

Der Radius ist $r \approx 1{,}4$.

Die Seite AC ist eine senkrechte Linie bei $x=8$. Wir zeichnen das Dreieck und konstruieren die Winkelhalbierenden von A und B. Ihr Schnittpunkt ist I. Wir lesen ab: $I \approx (6{,}1|5)$.

Der Radius r ist der Abstand von I zur senkrechten Seite AC:

Radius r = x-Koordinate von AC − x-Koordinate von I

$r \approx 8 - 6{,}1 = 1{,}9$

Wir zeichnen den Inkreis.

Wir konstruieren das Dreieck nach WSW-Satz.

Der Kreis berührt b und c. Der Mittelpunkt liegt also auf der Winkelhalbierenden $w_\alpha$. Wir konstruieren sie.

Der Mittelpunkt hat 1,5 cm Abstand zu Seite a. Er liegt also auf einer Parallelen zu a im Abstand von 1,5 cm. Wir konstruieren sie.

Der Schnittpunkt von $w_\alpha$ und der Parallelen ist der Mittelpunkt M.

Der Radius r ist der senkrechte Abstand von M zur Seite c (oder b). Wir fällen das Lot, zeichnen den Kreis und messen.

Wir konstruieren das Dreieck nach SWS-Satz.

Der Kreis berührt a und c. Der Mittelpunkt liegt auf der Winkelhalbierenden $w_\beta$. Wir konstruieren sie.

Der Mittelpunkt hat 1 cm Abstand zu Seite b. Er liegt auf einer Parallelen zu b im Abstand von 1 cm.

Der Schnittpunkt der Linien ist M. Der Radius r ist der Abstand von M zu Seite c. Wir konstruieren und messen.

1. Dreieck: Rechtwinkliges Dreieck zeichnen.
2. Bedingung 1: Kreis berührt Katheten a und b. Der Mittelpunkt M liegt auf der Winkelhalbierenden von $\gamma=90^\circ$.
3. Bedingung 2: Abstand 2 cm zur Hypotenuse c. M liegt auf einer Parallelen zu c im Abstand von 2 cm.
4. Mittelpunkt: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und der Parallelen ist M.
5. Radius: Der Radius r ist der Abstand von M zur Seite a (oder b). Da die Achsen senkrecht sind, ist das einfach die x- oder y-Koordinate von M, wenn C im Ursprung liegt. Wir messen r.

1. Dreieck: Gleichseitiges Dreieck mit 9 cm Seitenlänge.
2. Bedingung 1: Berührt a und b. M liegt auf der Winkelhalbierenden von $\gamma$ (die auch die Höhe auf c ist).
3. Bedingung 2: Abstand 1,5 cm zu c. M liegt auf einer Parallelen zu c im Abstand von 1,5 cm.
4. Mittelpunkt: M ist der Schnittpunkt der Höhe und der Parallelen.
5. Radius: r ist der Abstand von M zur Seite a. Wir fällen das Lot und messen.

Spezialfall: Da der Kreis die beiden gleichen Schenkel a und b berühren soll, muss sein Mittelpunkt M auf der Symmetrieachse des Dreiecks liegen. Diese Symmetrieachse ist gleichzeitig die Winkelhalbierende von $\gamma$ und die Höhe auf die Seite c.

Die zweite Bedingung besagt, dass M einen Abstand von 2 cm zur Basis c hat. Wir müssen also nur auf der Symmetrieachse (Höhe) einen Punkt M finden, der 2 cm von c entfernt ist.

1. Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck konstruieren.
2. Höhe/Winkelhalbierende: Die Höhe auf c zeichnen.
3. Mittelpunkt: Auf dieser Höhe von c aus 2 cm abmessen. Das ist M.
4. Radius: Den senkrechten Abstand von M zum Schenkel a (oder b) als Radius r bestimmen. Kreis zeichnen und messen.