Gleichschenklige Dreiecke einfach erklärt: Konstruieren & Beweisen

Gegeben ist der Basiswinkel $\alpha = 50°$. Da das Dreieck gleichschenklig mit $a=b$ ist, sind die Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß.

$\beta = \alpha = 50°$

Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°. Wir berechnen den Spitzenwinkel $\gamma$:

$\gamma = 180° - \alpha - \beta$

$\gamma = 180° - 50° - 50° = 80°$

Wir verwenden die Schenkel $a = b = 6\text{ cm}$ und den Spitzenwinkel $\gamma = 80°$.

1. Zeichne die Seite $b$ (Strecke AC) mit 6 cm Länge.
2. Trage am Punkt C den Winkel $\gamma = 80°$ an.
3. Zeichne von C aus die Seite $a$ mit 6 cm Länge. Der Endpunkt ist B.
4. Verbinde A und B.

Gegeben ist der Spitzenwinkel $\gamma = 100°$. Die verbleibenden $180° - 100° = 80°$ verteilen sich gleichmäßig auf die beiden Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$.

$\alpha = \beta = \frac{180° - 100°}{2} = \frac{80°}{2} = 40°$

Wir verwenden die Schenkel $a = b = 5\text{ cm}$ und den gegebenen Spitzenwinkel $\gamma = 100°$.

1. Zeichne die Seite $b$ (Strecke AC) mit 5 cm Länge.
2. Trage am Punkt C den Winkel $\gamma = 100°$ an.
3. Zeichne von C aus die Seite $a$ mit 5 cm Länge. Der Endpunkt ist B.
4. Verbinde A und B.

Gegeben ist der Basiswinkel $\beta = 75°$. Der andere Basiswinkel $\alpha$ ist gleich groß.

$\alpha = \beta = 75°$

Wir berechnen den Spitzenwinkel $\gamma$:

$\gamma = 180° - 75° - 75° = 180° - 150° = 30°$

Wir verwenden die Schenkel $a = b = 7\text{ cm}$ und den Spitzenwinkel $\gamma = 30°$.

1. Zeichne die Seite $b$ (Strecke AC) mit 7 cm Länge.
2. Trage am Punkt C den Winkel $\gamma = 30°$ an.
3. Zeichne von C aus die Seite $a$ mit 7 cm Länge. Der Endpunkt ist B.
4. Verbinde A und B.

Gegeben ist der Spitzenwinkel $\gamma = 60°$. Wir berechnen die Basiswinkel:

$\alpha = \beta = \frac{180° - 60°}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$

Alle drei Winkel sind 60°! Das bedeutet, es ist ein gleichseitiges Dreieck.

Wir verwenden die Schenkel $a = b = 4\text{ cm}$ und den Spitzenwinkel $\gamma = 60°$.

1. Zeichne die Seite $b$ (Strecke AC) mit 4 cm Länge.
2. Trage am Punkt C den Winkel $\gamma = 60°$ an.
3. Zeichne von C aus die Seite $a$ mit 4 cm Länge. Der Endpunkt ist B.
4. Verbinde A und B. Du wirst feststellen, dass auch die Basis $c$ genau 4 cm lang ist.

Die Dachschrägen sind die Schenkel des Dreiecks ($a = b = 15\text{ m}$). Gegeben ist der Spitzenwinkel $\gamma = 120°$.

Die beiden Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ sind gleich groß. Wir berechnen sie:

$\alpha = \beta = \frac{180° - \gamma}{2}$

$\alpha = \beta = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$

Eine maßstabsgetreue Konstruktion ist hier nicht verlangt, aber eine Skizze hilft.

Die Striche zeigen: $AC = AD$. Also ist Dreieck ADC gleichschenklig. Die Basiswinkel $\angle ACD$ ($\alpha$) und $\angle ADC$ sind gleich.

$\angle ADC = \alpha$

Mithilfe der Winkelsumme (180°) im Dreieck ADC gilt:

$\angle CAD + \angle ADC + \alpha = 180°$

$20° + \alpha + \alpha = 180°$

$20° + 2\alpha = 180° \quad | -20°$

$2\alpha = 160° \quad | :2$

$\alpha = 80°$

Also ist auch $\angle ADC = 80°$.

Die Winkel $\angle ADC$ und $\angle ADB$ sind Nebenwinkel an der Geraden BC. Ihre Summe ist 180°.

$\angle ADB = 180° - \angle ADC = 180° - 80° = 100°$

Die Striche zeigen: $AD = BD$. Also ist Dreieck ABD gleichschenklig. Die Basiswinkel $\angle DBA$ ($\beta$) und $\angle DAB$ ($\gamma$) sind gleich.

$\beta = \gamma$

Mithilfe der Winkelsumme im Dreieck ABD:

$\beta + \gamma + \angle ADB = 180°$

$\beta + \beta + 100° = 180°$

$2\beta + 100° = 180° \quad | -100°$

$2\beta = 80° \quad | :2$

$\beta = 40°$

Da $\gamma = \beta$, ist auch $\gamma = 40°$.

Das Dreieck ist gleichschenklig mit $AB = AC$. Die Basiswinkel sind $\angle ABC$ und $\angle ACB$.

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 36°}{2} = \frac{144°}{2} = 72°$

Das Dreieck ist gleichschenklig mit $BC = BD$. Die Basiswinkel sind $\angle BDC$ ($\delta$) und $\angle BCD$. Wir wissen aus Schritt 1, dass $\angle BCD = \angle ACB = 72°$.

Also ist auch $\delta = \angle BDC = 72°$.

Wir können zur Kontrolle den dritten Winkel $\angle CBD$ berechnen: $\angle CBD = 180° - 72° - 72° = 36°$.

Das Dreieck ist gleichschenklig mit $AC = BC$. Die Basiswinkel sind $\angle CAB$ und $\angle CBA$ ($\beta$).

$\angle CAB = \beta$

Mit der Winkelsumme:

$\angle CAB + \beta + \angle ACB = 180°$

$\beta + \beta + 40° = 180°$

$2\beta + 40° = 180° \quad | -40°$

$2\beta = 140° \quad | :2$

$\beta = 70°$

Die Informationen über das zweite Dreieck ADE und die kollinearen Punkte werden für die Lösung nicht benötigt. Es ist eine typische Falle mit überflüssigen Angaben.

Das Dreieck ist gleichschenklig mit $AE = BE$. Die Höhe von E auf AB halbiert die Basis AB und den Winkel $\angle AEB$. Da E auf CD liegt, ist die Höhe gleich der Seitenlänge des Quadrats, z. B. $s$. Der halbe Basispunkt sei F. Im rechtwinkligen Dreieck AFE ist die Seite AF $s/2$ und die Seite EF $s$.

Da ABE gleichschenklig ist und in einem symmetrischen Quadrat liegt, sind die Winkel $\angle EAB$ und $\angle EBA$ gleich.

Eine einfachere Lösung existiert, wenn wir annehmen, dass das Dreieck gleichseitig ist. Wenn ABE gleichseitig wäre, wären alle Winkel 60°. $\angle EAB = 60°$.

Der Winkel $\angle DAB$ im Quadrat ist 90°. Er setzt sich zusammen aus $\angle DAE$ ($\alpha$) und $\angle EAB$.

$\angle DAB = \angle DAE + \angle EAB = 90°$

Wenn wir annehmen, dass ABE gleichseitig ist (was eine übliche Interpretation solcher Aufgaben ist, wenn E auf der Mittelsenkrechten von AB liegt), dann ist $\angle EAB = 60°$.

$\alpha + 60° = 90°$

$\alpha = 30°$

Gleichschenklig mit $AB=BC$, $\angle ABC = 120°$. Die Basiswinkel sind:

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$

Gleichseitig. Alle Seiten sind gleich lang ($AD=DE=EA$) und alle Winkel sind 60°.

$\angle DAE = \angle EDA = \angle AED = 60°$

Gleichschenklig mit $CD=DE$. Da ADE gleichseitig ist, wissen wir $DE=AD$. Also $CD=AD$. Die Basiswinkel sind $\angle DCE$ und $\angle DEC$. Der Winkel an der Spitze ist $\angle CDE$. Wir kennen diesen Winkel noch nicht.

Die Aufgabe ist ohne weitere Information über die Beziehung der Dreiecke zueinander nicht eindeutig lösbar. Wir können nur einen Teil des Winkels berechnen: $\angle BCA = 30°$.

Die Geraden g und h sind parallel. Die Seite AC schneidet sie. Der gegebene Außenwinkel von 65° und der Winkel $\gamma$ sind Wechselwinkel. Daher sind sie gleich groß.

$\gamma = 65°$

Das Dreieck ist gleichschenklig mit $AB = AC$. Die Basiswinkel, die den Schenkeln gegenüberliegen, sind $\beta$ und $\gamma$. Sie müssen gleich groß sein.

$\beta = \gamma$

$\beta = 65°$

Die Summe aller Winkel im Dreieck ist 180°.

$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

$\alpha + 65° + 65° = 180°$

$\alpha + 130° = 180° \quad | -130°$

$\alpha = 50°$

Das Dreieck ist gleichschenklig mit $BC = AC$. Die Basiswinkel, die diesen Seiten gegenüberliegen, sind $\alpha$ und $\beta$. Sie müssen gleich groß sein.

$\alpha = \beta$

Da $\beta = 70°$, ist auch $\alpha = 70°$.

Wir berechnen den dritten Winkel $\gamma$ (an der Spitze C).

$\gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 70° - 70° = 40°$

Die Geraden g und h sind parallel. Die Seite BC schneidet sie. Der Außenwinkel $\delta$ und der Innenwinkel $\beta$ sind Wechselwinkel.

$\delta = \beta$

$\delta = 70°$

Das Dreieck ist gleichschenklig mit $AB = AC$. Die Basiswinkel $\beta$ und $\gamma$ sind gleich groß. Die verbleibenden $180° - 80° = 100°$ verteilen sich auf $\beta$ und $\gamma$.

$\beta = \gamma = \frac{100°}{2} = 50°$

Also ist $\beta = 50°$.

Die Geraden g und h sind parallel. Der Außenwinkel $\delta$ und der Innenwinkel $\gamma$ sind Wechselwinkel.

$\delta = \gamma$

Da $\gamma = 50°$, ist auch $\delta = 50°$.

Das Seil (g) und der Boden (h) sind parallel. Die Zeltkante AC schneidet sie. Der Außenwinkel von 55° und der Innenwinkel $\alpha$ ($\angle CAB$) sind Wechselwinkel.

$\alpha = 55°$

Das Dreieck ist gleichschenklig mit $AC = BC$. Die Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ ($\angle CBA$) sind gleich.

$\beta = \alpha = 55°$

Wir berechnen den gesuchten Winkel $\gamma$ an der Spitze.

$\gamma = 180° - \alpha - \beta$

$\gamma = 180° - 55° - 55° = 180° - 110°$

$\gamma = 70°$

1. Gleichschenkliges Dreieck ($AB=AC$): $\beta = \gamma$
2. Gegebene Bedingung: $\beta = \alpha + 20°$
3. Winkelsumme: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Wir setzen die ersten beiden Beziehungen in die Winkelsumme ein. Wir ersetzen $\gamma$ durch $\beta$ und dann $\beta$ durch $\alpha + 20°$.

$\alpha + (\alpha + 20°) + (\alpha + 20°) = 180°$

$3\alpha + 40° = 180° \quad | -40°$

$3\alpha = 140° \quad | :3$

$\alpha = \frac{140°}{3} \approx 46{,}67°$

Jetzt berechnen wir $\beta$:

$\beta = \alpha + 20° = 46{,}67° + 20° = 66{,}67°$

Und da $\gamma = \beta$, ist auch $\gamma \approx 66{,}67°$.

Die Information über die parallelen Geraden wurde hier nicht benötigt.

• Die Geraden g und h sind parallel (g ∥ h).
• Der Außenwinkel $\delta$ ist gleich dem Innenwinkel $\beta$. ($\delta = \beta$)

• Das Dreieck ABC ist gleichschenklig.

• Da g ∥ h ist, sind der Außenwinkel $\delta$ und der Innenwinkel $\gamma$ Wechselwinkel. Nach dem Wechselwinkelsatz gilt: $\delta = \gamma$.
• Aus der Aufgabenstellung wissen wir: $\delta = \beta$.
• Wenn $\delta$ sowohl gleich $\gamma$ als auch gleich $\beta$ ist, dann müssen $\beta$ und $\gamma$ untereinander auch gleich sein: $\beta = \gamma$.

• Wir haben gezeigt, dass im Dreieck ABC zwei Winkel ($\beta$ und $\gamma$) gleich groß sind.
• Nach der Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich sind, sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.
• Die Seite gegenüber von $\beta$ ist AC. Die Seite gegenüber von $\gamma$ ist AB.
• Also gilt: $AC = AB$.
• Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten ist gleichschenklig.

q.e.d. (quod erat demonstrandum – was zu beweisen war)

• CD halbiert $\gamma$, also $\angle ACD = \angle BCD$.
• CD steht senkrecht auf AB, also $\angle ADC = \angle BDC = 90°$.

• Dreieck ABC ist gleichschenklig.

• Betrachte die beiden Teildreiecke ADC und BDC.
• Im Dreieck ADC ist die Winkelsumme 180°. Also: $\angle CAD (\alpha) = 180° - 90° - \angle ACD$.
• Im Dreieck BDC ist die Winkelsumme 180°. Also: $\angle CBD (\beta) = 180° - 90° - \angle BCD$.
• Da $\angle ACD = \angle BCD$ (gegeben), sind die rechten Seiten der beiden Gleichungen identisch.
• Daraus folgt, dass auch die linken Seiten gleich sein müssen: $\alpha = \beta$.

• Wir haben gezeigt, dass im Dreieck ABC die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind.
• Nach der Umkehrung des Basiswinkelsatzes sind die gegenüberliegenden Seiten (AC und BC) gleich lang.
• Somit ist das Dreieck ABC gleichschenklig.

q.e.d.

• A, B sind Schnittpunkte zweier Kreise mit Mittelpunkten M1 und M2.

• Dreieck AM1M2 ist kongruent zu Dreieck BM1M2.

• Die Strecke AM1 ist ein Radius des ersten Kreises. Die Strecke BM1 ist ebenfalls ein Radius des ersten Kreises. Also $AM1 = BM1$.
• Die Strecke AM2 ist ein Radius des zweiten Kreises. Die Strecke BM2 ist ebenfalls ein Radius des zweiten Kreises. Also $AM2 = BM2$.
• Die Strecke M1M2 ist in beiden Dreiecken dieselbe Seite.
• Die beiden Dreiecke AM1M2 und BM1M2 stimmen also in allen drei Seiten überein (SSS-Satz).
• Daher sind sie kongruent.

Beweis Teil 2: Dreieck ABM1 ist gleichschenklig

• A und B liegen auf dem Kreis mit Mittelpunkt M1.

• Dreieck ABM1 ist gleichschenklig.

• Die Strecke AM1 ist der Radius des Kreises.
• Die Strecke BM1 ist ebenfalls der Radius desselben Kreises.
• Per Definition des Radius sind beide Strecken gleich lang: $AM1 = BM1$.

• Da das Dreieck ABM1 zwei gleich lange Seiten hat, ist es nach Definition ein gleichschenkliges Dreieck.

q.e.d.

• $\alpha_{\text{a}} = \beta_{\text{a}}$

• Dreieck ABC ist gleichschenklig.

• Der Innenwinkel $\alpha$ und der Außenwinkel $\alpha_{\text{a}}$ sind Nebenwinkel. Es gilt: $\alpha = 180° - \alpha_{\text{a}}$.
• Der Innenwinkel $\beta$ und der Außenwinkel $\beta_{\text{a}}$ sind ebenfalls Nebenwinkel. Es gilt: $\beta = 180° - \beta_{\text{a}}$.
• Da laut Voraussetzung $\alpha_{\text{a}} = \beta_{\text{a}}$ ist, sind die rechten Seiten der beiden Gleichungen identisch.
• Daraus folgt, dass auch die linken Seiten gleich sein müssen: $\alpha = \beta$.

• Wir haben gezeigt, dass im Dreieck ABC zwei Winkel ($\alpha$ und $\beta$) gleich groß sind.
• Nach der Umkehrung des Basiswinkelsatzes sind die gegenüberliegenden Seiten (BC und AC) gleich lang.
• Somit ist das Dreieck ABC gleichschenklig.

q.e.d.

• Fünfeck ABCDE mit fünf gleich langen Seiten.
• $AB = BC = CD = DE = EA$.

• Dreieck ABC ist gleichschenklig.

• Betrachte das Dreieck ABC.
• Die Seiten des Dreiecks sind AB und BC (und die Diagonale AC).
• Laut Voraussetzung gilt für die Seiten des Fünfecks: $AB = BC$.

• Das Dreieck ABC hat zwei gleich lange Seiten (AB und BC).
• Nach der Definition des gleichschenkligen Dreiecks ist es somit gleichschenklig.

q.e.d. (Dieser Beweis beruht nur auf der Definition.)

Gegeben ist $a = c = 12\text{ cm}$. Das Dreieck ist also gleichschenklig mit der Basis b.

Die Basiswinkel, die den Schenkeln a und c gegenüberliegen, sind $\alpha$ und $\gamma$. Es gilt: $\alpha = \gamma$.

Die Winkelsumme ist 180°:

$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Wir setzen $\beta = 60°$ und $\gamma = \alpha$ ein:

$\alpha + 60° + \alpha = 180°$

$2\alpha + 60° = 180° \quad | -60°$

$2\alpha = 120° \quad | :2$

$\alpha = 60°$

Da $\gamma = \alpha$, ist auch $\gamma = 60°$. Alle drei Winkel sind 60°.

Da alle Winkel 60° sind, ist das Dreieck gleichseitig. Alle Seiten müssen gleich lang sein.

$a = b = c$

Da $a = 12\text{ cm}$, muss auch $b = 12\text{ cm}$ sein.

Das Dreieck ist gleichschenklig. Ein Basiswinkel ist 60°.

Nach dem Basiswinkelsatz ist der zweite Basiswinkel ebenfalls 60°. Der dritte Winkel (an der Spitze) ist: 180° - 60° - 60° = 60°. Alle drei Winkel sind 60°.

Das Dreieck ist gleichseitig. Alle Seiten sind gleich lang. Die Basis muss also die gleiche Länge wie die Schenkel haben.

Das Dreieck ist gleichschenklig (a=b). Der Spitzenwinkel $\gamma$ ist 60°.

Die beiden Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ sind gleich groß und teilen sich die restlichen 180° - 60° = 120°.

$\alpha = \beta = \frac{120°}{2} = 60°$

Alle drei Winkel sind 60°.

Das Dreieck ist gleichseitig. Alle Seiten sind gleich lang.

$a = b = c$

Da a = 50 mm, ist auch $c = 50\text{ mm}$.

Das Dreieck ist gleichschenklig (zwei Schenkel à 2,5 m). Der Winkel zwischen ihnen (Spitzenwinkel) ist 60°.

Die Basiswinkel berechnen sich zu: $(180° - 60°) / 2 = 60°$. Alle drei Winkel sind 60°.

Das Dreieck ist gleichseitig. Alle Seiten sind gleich lang. Die dritte Seite (die Basis) muss also ebenfalls 2,5 m lang sein.

• Sei $\alpha = 60°$.
• Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt $\beta = \alpha$. Also ist auch $\beta = 60°$.
• Der dritte Winkel $\gamma$ ist $180° - (\alpha + \beta) = 180° - (60° + 60°) = 60°$.
• Alle drei Winkel sind 60°, also ist das Dreieck gleichseitig.

• Sei $\gamma = 60°$.
• Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt $\alpha = \beta$.
• Die Winkelsumme ist $\alpha + \beta + \gamma = 180°$, also $2\alpha + 60° = 180°$.
• $2\alpha = 120°$, woraus $\alpha = 60°$ folgt.
• Da $\alpha = \beta$, ist auch $\beta = 60°$.
• Alle drei Winkel sind 60°, also ist das Dreieck gleichseitig.

In beiden Fällen führt ein 60°-Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck dazu, dass alle Winkel 60° sind und das Dreieck somit gleichseitig ist.

q.e.d.