Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln. Die dritte Seite heißt Basis. Die wichtigste Eigenschaft: Die beiden Basiswinkel – also die Winkel an der Basis – sind immer gleich groß . Der Winkel zwischen den Schenkeln heißt Spitzenwinkel. Dank dieser Symmetrie reicht ein einziger bekannter Winkel aus, um alle drei Winkel des Dreiecks zu berechnen.

Wie berechnet man den Spitzenwinkel im gleichschenkligen Dreieck?

Wenn du einen Basiswinkel kennst, gehst du so vor: Der zweite Basiswinkel ist genauso groß. Addiere beide Basiswinkel. Ziehe die Summe von 180° ab: Spitzenwinkel = 180° − (2 × Basiswinkel) . Beispiel: Basiswinkel = 50° → Spitzenwinkel = 180° − 100° = 80°.

Wie berechnet man die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck?

Wenn der Spitzenwinkel gegeben ist, rechnest du so: Ziehe den Spitzenwinkel von 180° ab. Teile das Ergebnis durch 2: Basiswinkel = (180° − Spitzenwinkel) ÷ 2 . Beispiel: Spitzenwinkel = 100° → Basiswinkel = (180° − 100°) ÷ 2 = 40°.

Warum ist ein Dreieck im Kreisausschnitt immer gleichschenklig?

Ein Kreisausschnitt wird von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt. Verbindet man die Endpunkte der Radien durch eine Sehne, entsteht ein Dreieck. Da alle Radien eines Kreises gleich lang sind, hat dieses Dreieck zwei gleich lange Seiten – es ist also automatisch gleichschenklig. Der Winkel im Mittelpunkt ist der Spitzenwinkel, die Winkel an der Sehne sind die Basiswinkel.

Was ist der Unterschied zwischen Basiswinkel und Spitzenwinkel?

Im gleichschenkligen Dreieck gibt es zwei Arten von Winkeln: Die Basiswinkel liegen an der Basis (der Seite, die eine andere Länge hat) und sind immer gleich groß . Der Spitzenwinkel liegt gegenüber der Basis, also zwischen den beiden gleich langen Schenkeln. Er kann kleiner, gleich oder größer als die Basiswinkel sein – je nach Form des Dreiecks.

Winkel im gleichschenkligen Dreieck

Q: Kann ein gleichschenkliges Dreieck einen rechten Winkel haben?

Ja, das ist möglich – aber nur wenn der rechte Winkel der Spitzenwinkel ist. In diesem Fall gilt: (180° − 90°) ÷ 2 = 45°. Die drei Winkel sind dann 90°, 45° und 45° . Ein rechter Winkel als Basiswinkel ist dagegen unmöglich: Beide Basiswinkel müssten dann 90° betragen, was eine Winkelsumme von 180° nur für die Basis ergäbe – für den Spitzenwinkel bliebe 0° übrig, was kein echtes Dreieck ergibt.

Winkel im gleichschenkligen Dreieck berechnen – das klingt kompliziert, ist es aber nicht. Stell dir vor, du baust ein Dach, entwirfst ein Logo oder faltest einfach nur Papierkunst. Oft willst du, dass Dinge perfekt symmetrisch sind. Das gleichschenklige Dreieck ist der Held der Symmetrie! Das Coole daran: Es hat einen eingebauten „Cheat Code". Wenn du nur einen einzigen Winkel kennst, kannst du mit einer super einfachen Regel sofort die anderen beiden ausrechnen. Kein langes Raten, kein kompliziertes Messen. Lass uns diesen Trick lernen, damit du solche Aufgaben in Rekordzeit lösen kannst!

Schnellantwort

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten (die Schenkel) und eine dritte Seite (die Basis). Die entscheidende Eigenschaft: Die beiden Basiswinkel sind immer gleich groß. Zusammen mit der Winkelsumme von $180°$ , die in jedem Dreieck gilt, reicht ein einziger bekannter Winkel aus, um alle anderen Winkel im gleichschenkligen Dreieck zu berechnen.

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du eine wichtige Regel für alle Dreiecke kennen:

Winkelsumme im Dreieck: Die Summe der drei Innenwinkel in jedem Dreieck ist immer genau $180°$ $180°$ .
- Formel: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
- Beispiel: Wenn in einem Dreieck zwei Winkel $50°$ und $70°$ sind, dann ist der dritte Winkel $180° - 50° - 70° = 60°$ .

Aufgabentyp 1: Winkel im gleichschenkligen Dreieck berechnen

Beim Berechnen von Winkeln im gleichschenkligen Dreieck hilft dir die besondere Symmetrie des Dreiecks enorm weiter. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein spezielles Dreieck mit zwei gleich langen Seiten. Diese besonderen Eigenschaften helfen uns, Winkel ganz einfach zu berechnen.

Die wichtigsten Begriffe:

Die Schenkel: Das sind die beiden Seiten, die gleich lang sind.
Die Basis: Das ist die dritte Seite, die eine andere Länge hat.
Der Spitzenwinkel: Das ist der Winkel, der zwischen den beiden Schenkeln liegt.
Die Basiswinkel: Das sind die beiden Winkel, die an der Basis anliegen.

Die Goldene Regel: In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel immer gleich groß! Das ist der Schlüssel zu allen Aufgaben.

Gleichschenkliges Dreieck mit Basis Schenkeln und Winkeln

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Basis und Schenkel identifizieren: Schau dir das Dreieck an. Finde die beiden gleich langen Seiten (die Schenkel). Die dritte Seite ist die Basis.
Basiswinkel und Spitzenwinkel bestimmen: Die beiden Winkel an der Basis sind die Basiswinkel – denk dran: Sie sind gleich groß! Der Winkel gegenüber der Basis ist der Spitzenwinkel.
Gegebenen Winkel prüfen: Ist ein Basiswinkel gegeben (Fall A) oder der Spitzenwinkel (Fall B)?
Fall A – Basiswinkel gegeben: Der zweite Basiswinkel ist genauso groß. Addiere beide Basiswinkel und ziehe die Summe von $180°$ ab, um den Spitzenwinkel zu erhalten.
Fall B – Spitzenwinkel gegeben: Ziehe den Spitzenwinkel von $180°$ ab. Das Ergebnis ist die Summe der beiden Basiswinkel. Teile durch 2, um einen Basiswinkel zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

In einem gleichschenkligen Dreieck ABC ist die Seite $a$ die Basis. Der Winkel $\beta$ beträgt $50°$ . Berechne die Winkel $\gamma$ und $\alpha$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Basis und Schenkel identifizieren
Die Seite $a$ (gegenüber von Winkel $\alpha$ ) ist die Basis. Daher sind die Seiten $b$ und $c$ die gleich langen Schenkel.
Schritt 2
Basiswinkel und Spitzenwinkel bestimmen
Die Winkel an der Basis sind $\beta$ und $\gamma$ . Das sind die Basiswinkel. Der Winkel $\alpha$ ist der Spitzenwinkel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Gegebenen Winkel prüfen und berechnen
Gegeben ist der Basiswinkel $\beta = 50°$ (Fall A).
1. Da die Basiswinkel gleich groß sind, gilt: $\gamma = \beta = 50°$
2. Jetzt berechnen wir den Spitzenwinkel $\alpha$ mit der Winkelsumme von $180°$ . $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
$\alpha + 50° + 50° = 180°$

$\alpha + 100° = 180°$

$\alpha = 180° - 100° = 80°$

Ergebnis:

Der Winkel $\gamma$ ist $50°$ und der Winkel $\alpha$ ist $80°$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Spitzenwinkel von $100°$ . Wie groß sind die beiden Basiswinkel?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Basis- und Spitzenwinkel
Der gegebene Winkel ist der Spitzenwinkel mit $100°$ . Die beiden anderen Winkel sind die Basiswinkel und sind gleich groß. Nennen wir sie $\beta$ und $\gamma$ .
2
Schritt 3 · Ergebnis
Gegebenen Winkel prüfen und berechnen
Gegeben ist der Spitzenwinkel (Fall B).
1. Wir ziehen den Spitzenwinkel von $180°$ ab: $180° - 100° = 80°$
2. Dieses Ergebnis von $80°$ ist die Summe der beiden gleichen Basiswinkel.
3. Wir teilen durch 2, um einen Basiswinkel zu erhalten: $\beta = \gamma = \frac{80°}{2} = 40°$

Ergebnis:

Die beiden Basiswinkel sind jeweils $40°$ groß.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Kirchturmdach hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die Seite, die auf dem Turm aufliegt, ist die Basis. Der Winkel an der Spitze des Dachs beträgt $30°$ . Berechne die Winkel an der Basis.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Basis- und Spitzenwinkel
Das Dach ist ein gleichschenkliges Dreieck. Der Winkel an der Spitze ist der Spitzenwinkel, also $\alpha = 30°$ . Die Winkel an der Basis sind die beiden Basiswinkel, $\beta$ und $\gamma$ .
2
Schritt 3 · Ergebnis
Gegebenen Winkel prüfen und berechnen
Gegeben ist der Spitzenwinkel (Fall B).
1. Wir ziehen den Spitzenwinkel von $180°$ ab: $180° - 30° = 150°$
2. Das Ergebnis von $150°$ ist die Summe der beiden gleichen Basiswinkel.
3. Wir teilen durch 2: $\beta = \gamma = \frac{150°}{2} = 75°$

Ergebnis:

Die Winkel an der Basis des Kirchturmdachs betragen jeweils $75°$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Kann ein gleichschenkliges Dreieck einen rechten Winkel haben? Wenn ja, wie groß sind die anderen beiden Winkel?

Ja, das ist möglich. Wir müssen zwei Fälle prüfen:

Fall 1: Der rechte Winkel ( $90°$ ) ist der Spitzenwinkel.

Wir ziehen den Spitzenwinkel von $180°$ ab: $180° - 90° = 90°$
Diese $90°$ sind die Summe der beiden Basiswinkel.
Wir teilen durch 2: $\text{Basiswinkel} = \frac{90°}{2} = 45°$

In diesem Fall sind die Winkel $90°$ , $45°$ und $45°$ . Das funktioniert!

Fall 2: Der rechte Winkel ( $90°$ ) ist ein Basiswinkel.

Wenn ein Basiswinkel $90°$ ist, muss der andere Basiswinkel auch $90°$ sein.
Die Summe der beiden Basiswinkel wäre dann $90° + 90° = 180°$ .
Für den dritten Winkel (den Spitzenwinkel) bliebe dann nur noch $180° - 180° = 0°$ übrig. Ein Winkel von $0°$ ist in einem Dreieck nicht möglich.

Ergebnis:

Ja, ein gleichschenkliges Dreieck kann einen rechten Winkel haben. Es muss der Spitzenwinkel sein. Die Winkel sind dann $90°$ , $45°$ und $45°$ .

Beispiel 5

Aufgabe

In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Basis die Seite $\overline{AB}$ . Der Winkel $\gamma$ an der Spitze C beträgt $20°$ . Berechne die Winkel $\alpha$ und $\beta$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Basis und Schenkel identifizieren
Die Basis ist die Seite $\overline{AB}$ . Die Schenkel sind also die Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ .
Schritt 2
Basiswinkel und Spitzenwinkel bestimmen
Die Winkel an der Basis sind $\alpha$ und $\beta$ . Das sind die Basiswinkel. Der Winkel $\gamma$ ist der Spitzenwinkel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Gegebenen Winkel prüfen und berechnen
Gegeben ist der Spitzenwinkel $\gamma = 20°$ (Fall B).
1. Wir ziehen den Spitzenwinkel von $180°$ ab: $180° - 20° = 160°$
2. Das Ergebnis von $160°$ ist die Summe der beiden gleichen Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ .
3. Wir teilen durch 2, um die Größe der Basiswinkel zu erhalten: $\alpha = \beta = \frac{160°}{2} = 80°$

Ergebnis:

Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind beide $80°$ groß.

Aufgabentyp 2: Gleichschenklige Dreiecke im Kreisausschnitt

Manchmal verstecken sich gleichschenklige Dreiecke an Orten, wo man sie nicht sofort erwartet, zum Beispiel in einem Kreisausschnitt. Auch hier lassen sich Winkel im gleichschenkligen Dreieck berechnen – sobald du das Muster erkennst, ist es genauso einfach wie bei Aufgabentyp 1.

Ein Kreisausschnitt ist wie ein Pizzastück. Er wird von zwei Radien (die geraden Kanten des Pizzastücks) und einem Kreisbogen (die Kruste) begrenzt.

Wenn man die Endpunkte der Radien mit einer geraden Linie, einer sogenannten Sehne, verbindet, entsteht ein Dreieck.

Der Trick: Dieses Dreieck ist immer ein gleichschenkliges Dreieck! Warum?

Weil die beiden Seiten, die vom Mittelpunkt des Kreises ausgehen, beides Radien sind. Und alle Radien in einem Kreis sind immer gleich lang. Diese beiden Radien sind also die Schenkel des Dreiecks.

Der Winkel im Mittelpunkt des Kreises ist der Spitzenwinkel.
Die beiden Winkel an der Sehne sind die Basiswinkel.

Sobald du das erkannt hast, kannst du wieder die ganz normalen Regeln für gleichschenklige Dreiecke anwenden!

Gleichschenkliges Dreieck im Kreisausschnitt mit Radien und Sehne

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Das gleichschenklige Dreieck erkennen: Sieh dir die Abbildung an. Das Dreieck wird von zwei Radien und einer Sehne gebildet. Erkenne, dass die beiden Radien die gleich langen Schenkel sind.
Spitzen- und Basiswinkel zuordnen: Der Winkel im Mittelpunkt des Kreises ist der Spitzenwinkel. Die beiden Winkel an der Sehne sind die Basiswinkel (und somit gleich groß).
Die bekannten Regeln anwenden: Nutze die gleichen Rechenschritte wie bei normalen gleichschenkligen Dreiecken.
Spitzenwinkel gegeben: Ziehe ihn von $180°$ ab und teile das Ergebnis durch 2, um die Basiswinkel zu finden.
Basiswinkel gegeben: Der andere Basiswinkel ist gleich groß. Addiere beide und ziehe die Summe von $180°$ ab, um den Spitzenwinkel zu finden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

In einem Kreisausschnitt beträgt der Winkel im Mittelpunkt $110°$ . Ein Dreieck wird durch die beiden Radien und eine Sehne gebildet. Wie groß sind die beiden anderen Winkel ( $\alpha$ ) im Dreieck?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Das gleichschenklige Dreieck erkennen
Das Dreieck besteht aus zwei Radien und einer Sehne. Es ist also gleichschenklig.
Schritt 2
Spitzen- und Basiswinkel zuordnen
Der Winkel im Mittelpunkt ( $110°$ ) ist der Spitzenwinkel. Die beiden Winkel $\alpha$ sind die Basiswinkel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Die bekannten Regeln anwenden
Der Spitzenwinkel ist gegeben.
1. Ziehe den Spitzenwinkel von $180°$ ab: $180° - 110° = 70°$
2. Diese $70°$ sind die Summe der beiden gleichen Basiswinkel ( $\alpha + \alpha$ ).
3. Teile durch 2: $\alpha = \frac{70°}{2} = 35°$

Ergebnis:

Die beiden Winkel $\alpha$ sind jeweils $35°$ groß.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Dreieck in einem Kreisausschnitt hat einen Winkel von $25°$ an der Sehne. Wie groß ist der Winkel $\delta$ im Mittelpunkt des Kreises?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Das gleichschenklige Dreieck erkennen
Das Dreieck ist gleichschenklig, da es aus zwei Radien und einer Sehne besteht.
Schritt 2
Spitzen- und Basiswinkel zuordnen
Der gegebene Winkel von $25°$ ist ein Basiswinkel. Der Winkel $\delta$ ist der Spitzenwinkel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Die bekannten Regeln anwenden
Ein Basiswinkel ist gegeben.
1. Der zweite Basiswinkel ist ebenfalls $25°$ groß.
2. Addiere die beiden Basiswinkel: $25° + 25° = 50°$
3. Ziehe die Summe von $180°$ ab, um den Spitzenwinkel $\delta$ zu erhalten: $\delta = 180° - 50° = 130°$

Ergebnis:

Der Winkel $\delta$ im Mittelpunkt beträgt $130°$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Stück Käse hat die Form eines Kreisausschnitts. Der Winkel an der Spitze beträgt $60°$ . Man schneidet gerade von Ecke zu Ecke. Welche Winkel hat das abgeschnittene dreieckige Käsestück?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Das gleichschenklige Dreieck erkennen
Das abgeschnittene Stück ist ein Dreieck, das von zwei gleich langen Seiten (den Radien des Käserads) und der Schnittkante (der Sehne) gebildet wird. Es ist also gleichschenklig.
Schritt 2
Spitzen- und Basiswinkel zuordnen
Der Winkel an der Spitze ( $60°$ ) ist der Spitzenwinkel. Die beiden anderen Winkel sind die Basiswinkel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Die bekannten Regeln anwenden
1. Ziehe den Spitzenwinkel von $180°$ ab: $180° - 60° = 120°$
2. Diese $120°$ sind die Summe der beiden Basiswinkel.
3. Teile durch 2: $\text{Basiswinkel} = \frac{120°}{2} = 60°$

Ergebnis:

Alle drei Winkel sind $60°$ groß. Das Dreieck ist also nicht nur gleichschenklig, sondern sogar gleichseitig!

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Fächer wird so geöffnet, dass die beiden äußeren Stäbe einen Winkel von $180°$ bilden (ein Halbkreis). Stellt man sich eine Sehne zwischen den Endpunkten vor, welches Dreieck entsteht und welche Winkel hat es?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1 & 2
Situation analysieren
Die beiden äußeren Stäbe sind die Radien und bilden den Spitzenwinkel. Dieser beträgt $180°$ . Die Sehne ist die gerade Linie, die die Enden verbindet.
Schritt 3 · Ergebnis
Die bekannten Regeln anwenden
Wenn der Spitzenwinkel $180°$ ist, liegen die beiden Radien auf einer geraden Linie (dem Durchmesser). Das „Dreieck" ist zu einer geraden Linie entartet. Die Winkelsumme ist immer noch $180°$ , aber für die beiden Basiswinkel bleibt nichts übrig ( $180° - 180° = 0°$ ).

Ergebnis:

In diesem speziellen Fall entsteht kein echtes Dreieck mehr, sondern nur eine gerade Linie. Die Basiswinkel wären theoretisch $0°$ .

Beispiel 5

Aufgabe

In einem Kreisausschnitt ist einer der Basiswinkel $70°$ groß. Berechne den Mittelpunktswinkel.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Das gleichschenklige Dreieck erkennen
Das Dreieck im Kreisausschnitt ist gleichschenklig.
Schritt 2
Spitzen- und Basiswinkel zuordnen
Der gegebene Winkel von $70°$ ist ein Basiswinkel. Der gesuchte Mittelpunktswinkel ist der Spitzenwinkel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Die bekannten Regeln anwenden
Ein Basiswinkel ist gegeben.
1. Der zweite Basiswinkel ist ebenfalls $70°$ groß.
2. Addiere die beiden Basiswinkel: $70° + 70° = 140°$
3. Ziehe die Summe von $180°$ ab, um den Spitzenwinkel zu finden: $\text{Spitzenwinkel} = 180° - 140° = 40°$

Ergebnis:

Der Mittelpunktswinkel beträgt $40°$ .

Wichtige Erkenntnisse

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten (die Schenkel) gleich lang.
Die beiden Winkel an der Basis (die Basiswinkel) sind immer gleich groß.
Die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt $180°$ .
Ein Dreieck, das aus zwei Radien und einer Sehne in einem Kreis gebildet wird, ist immer gleichschenklig.

Winkel im gleichschenkligen Dreieck berechnen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Winkel im gleichschenkligen Dreieck berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Gleichschenklige Dreiecke im Kreisausschnitt

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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