Dreiecke konstruieren einfach erklärt: sss, sws, wsw, Ssw

Eine Skizze zeigt uns, dass alle drei Seiten gegeben sind (sss). Wir prüfen die Dreiecksungleichung mit den beiden kürzeren Seiten $a$ und $b$.

$a + b > c$

$5 \text{ cm} + 6 \text{ cm} > 8 \text{ cm}$

$11 \text{ cm} > 8 \text{ cm}$

Die Bedingung ist erfüllt. Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.

Wir zeichnen die längste Seite $c = 8 \text{ cm}$ und beschriften die Endpunkte mit A und B.

Wir nehmen die Seitenlänge $b = 6 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in Punkt A ein und zeichnen einen Kreisbogen.

Wir nehmen die Seitenlänge $a = 5 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in Punkt B ein und zeichnen einen zweiten Kreisbogen, der den ersten schneidet.

Wir verbinden den Schnittpunkt C mit A und B. Das Dreieck ABC ist fertig.

Wir prüfen die Dreiecksungleichung mit den beiden kürzeren Seiten. Hier sind das $b$ und $c$ (oder $a$ und $c$).

$b + c > a$

$7 \text{ cm} + 4 \text{ cm} > 7 \text{ cm}$

$11 \text{ cm} > 7 \text{ cm}$

Die Bedingung ist erfüllt.

Wir zeichnen die Seite $a = 7 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{BC}$).

Wir nehmen $c = 4 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in B ein und zeichnen einen Bogen. Dann nehmen wir $b = 7 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in C ein und zeichnen einen zweiten Bogen, der den ersten schneidet. Der Schnittpunkt ist A.

Wir verbinden A mit B und C.

Wir prüfen die Dreiecksungleichung mit den beiden kürzeren Seiten $a$ und $b$.

$a + b > c$

$3 \text{ cm} + 4 \text{ cm} > 8 \text{ cm}$

$7 \text{ cm} > 8 \text{ cm}$

Diese Aussage ist falsch. Die Bedingung ist nicht erfüllt.

Alle Seiten sind gleich lang. Wir prüfen: $6 \text{ cm} + 6 \text{ cm} > 6 \text{ cm}$. Das ist wahr.

Wir zeichnen die Seite $c = 6 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$).

Wir nehmen $6 \text{ cm}$ in den Zirkel. Wir stechen zuerst in A ein und zeichnen einen Bogen, dann stechen wir in B ein und zeichnen einen zweiten Bogen. Der Schnittpunkt ist C.

Wir verbinden A, B und C.

Die längste Seite ist $b = 7 \text{ cm}$. Wir prüfen mit den beiden kürzeren Seiten $a$ und $c$.

$a + c > b$

$4 \text{ cm} + 5 \text{ cm} > 7 \text{ cm}$

$9 \text{ cm} > 7 \text{ cm}$

Die Bedingung ist erfüllt.

Wir zeichnen die längste Seite $b = 7 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AC}$).

Wir nehmen $c = 5 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in A ein und zeichnen einen Bogen. Dann nehmen wir $a = 4 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in C ein und zeichnen einen zweiten Bogen. Der Schnittpunkt ist B.

Wir verbinden B mit A und C.

Die Skizze zeigt, dass der Winkel $\alpha$ zwischen den Seiten $b$ und $c$ liegt. Es handelt sich also um den Fall sws. Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.

Wir zeichnen die Seite $c = 8 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$).

Wir legen das Geodreieck an Punkt A an und tragen den Winkel $\alpha = 60°$ ab. Wir zeichnen einen Strahl von A aus.

Wir nehmen $b = 5 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in A ein und markieren den Punkt C auf dem Strahl.

Wir verbinden den Punkt C mit B. Das Dreieck ABC ist fertig.

Der Winkel $\gamma$ liegt zwischen den Seiten $a$ und $b$. Dies ist ein sws-Fall.

Wir zeichnen die Seite $a = 6 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{BC}$).

Wir legen das Geodreieck an Punkt C an und zeichnen den rechten Winkel $\gamma = 90°$. Wir zeichnen einen Strahl von C aus.

Wir nehmen $b = 4 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in C ein und markieren den Punkt A auf dem Strahl.

Wir verbinden A mit B.

Der Winkel $\beta$ liegt zwischen den Seiten $a$ und $c$. Dies ist ein sws-Fall.

Wir zeichnen die Seite $c = 7 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$).

Wir legen das Geodreieck an Punkt B an und tragen den stumpfen Winkel $\beta = 120°$ ab. Wir zeichnen einen Strahl.

Wir nehmen $a = 5 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in B ein und markieren den Punkt C auf dem Strahl.

Wir verbinden C mit A.

Der Winkel $\alpha$ liegt zwischen den gleich langen Seiten $b$ und $c$. Dies ist ein sws-Fall und das Ergebnis wird ein gleichschenkliges Dreieck sein.

Wir zeichnen die Seite $c = 6 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$).

Wir legen das Geodreieck an Punkt A an und tragen den Winkel $\alpha = 45°$ ab. Wir zeichnen einen Strahl.

Wir nehmen $b = 6 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in A ein und markieren den Punkt C auf dem Strahl.

Wir verbinden C mit B.

Der Winkel $\beta$ liegt zwischen den Seiten $a$ und $c$. Dies ist ein sws-Fall.

Wir zeichnen die Seite $c = 7.5 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$).

Wir legen das Geodreieck an Punkt B an und tragen den Winkel $\beta = 30°$ ab. Wir zeichnen einen Strahl.

Wir nehmen $a = 4.5 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in B ein und markieren den Punkt C auf dem Strahl.

Wir verbinden C mit A.

Die Skizze zeigt, dass die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ an der Seite $c$ anliegen (wsw). Wir prüfen die Bedingung:

$65° + 45° = 110°$

$110° < 180°$. Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.

Wir zeichnen die Seite $c = 6 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$).

Wir legen das Geodreieck an Punkt A an und tragen den Winkel $\alpha = 65°$ ab. Wir zeichnen einen Strahl.

Wir legen das Geodreieck an Punkt B an und tragen den Winkel $\beta = 45°$ ab. Wir zeichnen einen zweiten Strahl.

Der Schnittpunkt der beiden Strahlen ist der Punkt C.

Es liegt ein wsw-Fall vor. Wir prüfen die Winkelsumme:

$90° + 30° = 120°$

$120° < 180°$. Das Dreieck ist konstruierbar.

Wir zeichnen die Seite $c = 7 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$).

Wir zeichnen bei A einen $90°$-Winkel und bei B einen $30°$-Winkel. Wir zeichnen die beiden Strahlen.

Der Schnittpunkt ist C. Das Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Wir prüfen die Winkelsumme:

$90° + 100° = 190°$

$190°$ ist nicht kleiner als $180°$.

Es liegt ein wsw-Fall vor. Winkelsumme: $50° + 50° = 100° < 180°$. Konstruierbar.

Wir zeichnen die Basis $c = 8 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$).

Wir zeichnen bei A einen $50°$-Winkel und bei B ebenfalls einen $50°$-Winkel. Wir zeichnen die beiden Strahlen.

Der Schnittpunkt ist C.

Die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ liegen an der Seite $b$. Es ist ein wsw-Fall. Winkelsumme: $25° + 110° = 135° < 180°$. Konstruierbar.

Wir zeichnen die Seite $b = 9 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AC}$).

Wir zeichnen bei A einen $25°$-Winkel und bei C einen $110°$-Winkel. Wir zeichnen die beiden Strahlen.

Der Schnittpunkt ist B. Das Dreieck ist stumpfwinklig.

Wir haben zwei Seiten ($c$, $a$) und den Winkel $\alpha$. Der Winkel $\alpha$ liegt der Seite $a$ gegenüber. Wir vergleichen die Längen der beiden Seiten: $a = 5 \text{ cm}$ ist kürzer als $c = 8 \text{ cm}$.

Da der Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt, ist der Fall nicht eindeutig. Es kann 0, 1 oder 2 Lösungen geben.

Wir zeichnen die Seite $c = 8 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$) und tragen am Punkt A den Winkel $\alpha = 35°$ an. Wir zeichnen den Strahl.

Wir nehmen die Seite $a = 5 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in B ein und zeichnen einen Kreisbogen.

Der Kreisbogen schneidet den Strahl an zwei Punkten. Wir nennen sie $C_1$ und $C_2$.

Wir verbinden B mit $C_1$ und B mit $C_2$. Es gibt zwei mögliche Dreiecke: $ABC_1$ und $ABC_2$.

Der Winkel $\alpha$ liegt der Seite $a$ gegenüber. Wir vergleichen die Seiten: $a = 7 \text{ cm}$ ist länger als $c = 6 \text{ cm}$.

Da der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt, ist der Fall eindeutig. Es gibt genau eine Lösung.

Wir zeichnen $c = 6 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$) und tragen bei A den Winkel $\alpha = 50°$ an.

Wir nehmen $a = 7 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in B ein und zeichnen einen Bogen.

Der Kreisbogen schneidet den Strahl an genau einem Punkt C. Wir verbinden die Punkte zum Dreieck ABC.

Der Winkel $\alpha$ liegt der Seite $a$ gegenüber. Wir vergleichen die Seiten: $a = 4 \text{ cm}$ ist kürzer als $c = 10 \text{ cm}$. Der Fall ist nicht eindeutig.

Wir zeichnen $c = 10 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$) und tragen bei A den Winkel $\alpha = 30°$ an.

Wir nehmen $a = 4 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in B ein und zeichnen einen Bogen.

Der Kreisbogen ist zu kurz und schneidet den Strahl an keinem Punkt.

Der Winkel $\alpha$ liegt der Seite $a$ gegenüber. $a = 4 \text{ cm}$ ist kürzer als $c = 8 \text{ cm}$. Der Fall ist nicht eindeutig.

Wir zeichnen $c = 8 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AB}$) und tragen bei A den Winkel $\alpha = 30°$ an.

Wir nehmen $a = 4 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in B ein und zeichnen einen Bogen.

Der Kreisbogen berührt den Strahl an genau einem Punkt. Dies ist ein Spezialfall, der zu einem rechtwinkligen Dreieck führt.

Wir verbinden den Berührungspunkt C mit A und B. Es gibt genau eine Lösung.

Der Winkel $\gamma$ liegt der Seite $c$ gegenüber. Wir vergleichen die Seiten: $c = 7 \text{ cm}$ ist kürzer als $b = 10 \text{ cm}$. Der Fall ist nicht eindeutig.

Wir zeichnen die Seite $b = 10 \text{ cm}$ (Strecke $\overline{AC}$) und tragen bei C den Winkel $\gamma = 40°$ an.

Wir nehmen $c = 7 \text{ cm}$ in den Zirkel, stechen in A ein und zeichnen einen Bogen.

Der Kreisbogen schneidet den Strahl an zwei Punkten ($B_1$ und $B_2$). Es gibt also zwei mögliche Dreiecke.