Was sind angewandte Lagebeziehungen von Ebenen?

Angewandte Lagebeziehungen von Ebenen beschreiben, wie zwei oder mehr Ebenen im Raum zueinander liegen – zum Beispiel ob sie senkrecht (orthogonal) zueinander stehen oder eine gemeinsame Schnittgerade besitzen. In der Schule lernst du drei typische Aufgabentypen: Orthogonalität zweier Ebenen prüfen, eine orthogonale Ebene konstruieren und die Schnittgerade einer Ebenenschar bestimmen.

Wie prüfst du, ob zwei Ebenen senkrecht zueinander stehen?

Du liest die Normalenvektoren beider Ebenen direkt aus deren Koordinatenform ab und berechnest ihr Skalarprodukt . Ist das Skalarprodukt gleich 0 , stehen die Normalenvektoren senkrecht aufeinander – und damit sind auch die Ebenen orthogonal . Ist das Ergebnis ungleich 0, sind die Ebenen nicht senkrecht zueinander.

Wie findest du eine Ebene, die senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht?

Setze einen allgemeinen Normalenvektor n_H = (a, b, c) an und stelle die Bedingung n_G ∘ n_H = 0 auf. Diese Gleichung hat drei Unbekannte: Wähle zwei davon frei (z. B. a = 1 und c = 0 ) und berechne die dritte. Mit dem gefundenen Normalenvektor kannst du eine Ebenengleichung ax₁ + bx₂ + cx₃ = d mit beliebigem d aufstellen.

Was ist eine Ebenenschar und wie bestimmst du ihre Schnittgerade?

Eine Ebenenschar ist eine unendliche Menge von Ebenen, die durch einen Parameter t beschrieben werden. Für jeden Wert von t erhält man eine andere Ebene. Die gemeinsame Schnittgerade findest du, indem du die Ebenengleichung in die Form t · (A) + (B) = 0 umformst und dann A = 0 und B = 0 als zwei separate Bedingungen auflöst.

Warum gibt es unendlich viele Ebenen, die orthogonal zu einer gegebenen Ebene sind?

Zu jedem Vektor n_G gibt es unendlich viele Vektoren, die senkrecht dazu stehen – sie bilden eine ganze Ebene orthogonaler Richtungen. Das siehst du an der Bedingung n_G ∘ n_H = 0 : Sie liefert eine Gleichung mit drei Unbekannten, von denen zwei frei gewählt werden können. Jede zulässige Wahl ergibt einen anderen Normalenvektor und damit eine andere orthogonale Ebene.

Lagebeziehungen von Ebenen erklärt

Hast du dich jemals gefragt, wie in Videospielen oder Filmen eine Figur perfekt auf dem Boden läuft oder an einer Wand entlangschrammt, ohne durchzufallen? Das ist keine Magie, sondern pure Vektorgeometrie! Programmierer definieren Böden, Wände und andere Oberflächen als mathematische Ebenen. Ob eine Wand im exakten 90°-Winkel zum Boden steht, wird mit den gleichen Methoden berechnet, die du hier lernst. Angewandte Lagebeziehungen von Ebenen sind der „Source Code" hinter jeder realistischen 3D-Welt. Wenn du das hier meisterst, verstehst du, wie die digitale Welt um dich herum konstruiert wird.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Ebene in Koordinatenform: Beschreibt eine unendlich ausgedehnte, flache Oberfläche im Raum.
- Formel: $E: a x_1 + b x_2 + c x_3 = d$
- Beispiel: $E: 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 6$ ist die Gleichung einer Ebene.
Normalenvektor: Ein Vektor, der im 90°-Winkel (senkrecht) auf einer Ebene steht. Man kann ihn direkt aus der Koordinatenform ablesen.
- Beispiel: Bei der Ebene $E: 2x_1 + 3x_2 - 1x_3 = 6$ ist der Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

Normalenvektor senkrecht auf einer Ebene im Raum

Skalarprodukt: Eine Rechenoperation für zwei Vektoren. Das Ergebnis ist eine Zahl (ein Skalar), nicht ein Vektor.
- Formel: $\vec{a} \circ \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$
- Wichtige Eigenschaft: Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren Null ist, stehen sie senkrecht (orthogonal) zueinander.
- Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ , $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ . $\vec{a} \circ \vec{b} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + (-4) \cdot 2 = 6 + 2 - 8 = 0$ . Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
Geradengleichung in Parameterform: Beschreibt eine unendlich lange, gerade Linie im Raum.
- Formel: $g: \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{v}$
- Beispiel: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ ist die Gleichung einer Geraden.

Aufgabentyp 1: Orthogonalität zweier Ebenen prüfen

Zwei Ebenen stehen senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn ihre Normalenvektoren ebenfalls senkrecht zueinander stehen. Stell dir zwei Wände vor, die sich in einer Ecke treffen – sie sind orthogonal. Ihre Normalenvektoren (die aus den Wänden herausragen) stehen dann auch im 90°-Winkel zueinander.

Um das zu überprüfen, nutzen wir eine entscheidende Eigenschaft des Skalarprodukts: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Der Plan ist also ganz einfach: Wir lesen die Normalenvektoren beider Ebenen ab und berechnen ihr Skalarprodukt. Ist das Ergebnis 0, sind die Ebenen orthogonal.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Normalenvektoren ablesen: Lies die Koeffizienten von $x_1, x_2$ und $x_3$ aus beiden Ebenengleichungen ab, um die jeweiligen Normalenvektoren $\vec{n}_E$ und $\vec{n}_F$ zu bestimmen.
Skalarprodukt berechnen: Bilde das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren: $\vec{n}_E \circ \vec{n}_F$ .
Ergebnis interpretieren: Ist das Skalarprodukt = 0? Dann stehen die Normalenvektoren senkrecht aufeinander, und somit sind auch die Ebenen orthogonal. Ist das Skalarprodukt ≠ 0? Dann sind die Ebenen nicht orthogonal.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Ebenen $E: 4x_1 + 2{,}5x_2 + 2x_3 = 32$ und $F: -3x_1 + 2x_2 + 3{,}5x_3 = 41$ . Überprüfen Sie, ob diese Ebenen senkrecht zueinander stehen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Normalenvektoren ablesen
Aus den Ebenengleichungen lesen wir die Normalenvektoren ab:

$E: 4x_1 + 2{,}5x_2 + 2x_3 = 32 \ \to \ \vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ 2{,}5 \\ 2 \end{pmatrix}$

$F: -3x_1 + 2x_2 + 3{,}5x_3 = 41 \ \to \ \vec{n}_F = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3{,}5 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Skalarprodukt berechnen
Wir berechnen das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

$\vec{n}_E \circ \vec{n}_F = \begin{pmatrix} 4 \\ 2{,}5 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3{,}5 \end{pmatrix}$

$= (4) \cdot (-3) + (2{,}5) \cdot (2) + (2) \cdot (3{,}5)$

$= -12 + 5 + 7$

$= 0$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Das Skalarprodukt ist 0. Daher stehen die Normalenvektoren und somit auch die Ebenen E und F senkrecht zueinander.

Ergebnis:

Ja, die beiden Ebenen stehen senkrecht zueinander.

Beispiel 2

Aufgabe

Stehen die Ebenen $G: 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 5$ und $H: x_1 + x_2 + x_3 = 1$ orthogonal zueinander?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Normalenvektoren ablesen
$\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Skalarprodukt berechnen
$\vec{n}_G \circ \vec{n}_H = (2) \cdot (1) + (-3) \cdot (1) + (1) \cdot (1)$

$= 2 - 3 + 1$

$= 0$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Das Skalarprodukt ist 0. Die Ebenen G und H sind orthogonal.

Ergebnis:

Ja, die beiden Ebenen stehen senkrecht zueinander.

Beispiel 3

Aufgabe

Prüfen Sie die Ebenen $A: 5x_1 - 2x_3 = 10$ und $B: 2x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 0$ auf Orthogonalität.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Normalenvektoren ablesen
In Ebene A fehlt der Term mit $x_2$ . Das bedeutet, sein Koeffizient ist 0.

$\vec{n}_A = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_B = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Skalarprodukt berechnen
$\vec{n}_A \circ \vec{n}_B = (5) \cdot (2) + (0) \cdot (4) + (-2) \cdot (5)$

$= 10 + 0 - 10$

$= 0$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Das Skalarprodukt ist 0. Die Ebenen A und B sind orthogonal.

Ergebnis:

Ja, die beiden Ebenen stehen senkrecht zueinander.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Architekt plant zwei schräge Dachteile. Ihre Ebenen sind $D_1: x_1 + x_2 + 4x_3 = 50$ und $D_2: 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 30$ . Treffen sich die Dachteile im rechten Winkel?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Normalenvektoren ablesen
$\vec{n}_{D1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_{D2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Skalarprodukt berechnen
$\vec{n}_{D1} \circ \vec{n}_{D2} = (1) \cdot (2) + (1) \cdot (2) + (4) \cdot (-1)$

$= 2 + 2 - 4$

$= 0$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Das Skalarprodukt ist 0. Die Dachteile treffen sich im rechten Winkel.

Ergebnis:

Ja, die Dachteile treffen sich im rechten Winkel.

Beispiel 5

Aufgabe

Sind die Ebenen $K: -x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 7$ und $L: 3x_1 - 2x_2 - x_3 = 1$ orthogonal?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Normalenvektoren ablesen
$\vec{n}_K = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_L = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Skalarprodukt berechnen
$\vec{n}_K \circ \vec{n}_L = (-1) \cdot (3) + (2) \cdot (-2) + (-3) \cdot (-1)$

$= -3 - 4 + 3$

$= -4$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Das Skalarprodukt ist -4 und damit nicht 0. Die Ebenen sind nicht orthogonal.

Ergebnis:

Nein, die beiden Ebenen stehen nicht senkrecht zueinander.

Aufgabentyp 2: Gleichung einer orthogonalen Ebene bestimmen

Manchmal soll man nicht nur prüfen, ob zwei Ebenen orthogonal sind, sondern selbst eine Ebene finden, die zu einer gegebenen Ebene senkrecht steht.

Die Logik bleibt dieselbe: Die gesuchte Ebene H muss einen Normalenvektor $\vec{n}_H$ haben, der zum Normalenvektor der gegebenen Ebene G, $\vec{n}_G$ , orthogonal ist. Es muss also gelten: $\vec{n}_G \circ \vec{n}_H = 0$ .

Das Besondere hier ist: Es gibt unendlich viele Vektoren, die zu einem anderen Vektor senkrecht stehen. Stell dir einen Bleistift vor, der auf dem Tisch steht ( $\vec{n}_G$ ). Jeder Stift, der flach auf dem Tisch liegt, ist orthogonal zum stehenden Bleistift. Wir müssen nur einen davon finden.

Der Trick besteht darin, die Gleichung $\vec{n}_G \circ \vec{n}_H = 0$ aufzustellen und dann für die unbekannten Komponenten von $\vec{n}_H$ geschickt Werte zu wählen, um die Gleichung zu lösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Normalenvektor der gegebenen Ebene ablesen: Bestimme den Normalenvektor $\vec{n}_G$ aus der Gleichung der gegebenen Ebene G.
Bedingung für Orthogonalität aufstellen: Setze einen allgemeinen Vektor für die gesuchte Ebene an: $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ . Stelle die Gleichung für das Skalarprodukt auf: $\vec{n}_G \circ \vec{n}_H = 0$ .
Einen passenden Normalenvektor finden: Die Gleichung aus Schritt 2 hat drei Unbekannte ( $a, b, c$ ). Um eine Lösung zu finden, wähle zwei der Unbekannten frei. Am einfachsten ist es, eine Variable auf 1 und eine andere auf 0 zu setzen. Berechne dann die dritte, verbleibende Variable.
Ebenengleichung aufstellen: Setze die gefundenen Werte für $a, b$ und $c$ in die allgemeine Ebenengleichung ein: $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ . Die Zahl $d$ auf der rechten Seite kann frei gewählt werden (z. B. $d=0$ oder $d=1$ ), solange in der Aufgabe nichts anderes gefordert ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Betrachten Sie die Ebene $G$ mit der Gleichung $4x_1 - x_2 + 2x_3 = 7$ . Ermitteln Sie die Gleichung einer Ebene H, die senkrecht auf der Ebene G steht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Normalenvektor der gegebenen Ebene ablesen
Der Normalenvektor von G ist $\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Bedingung für Orthogonalität aufstellen
Wir suchen einen Vektor $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ , für den gilt:

$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = 0$

$4a - 1b + 2c = 0$
Schritt 3
Einen passenden Normalenvektor finden
Wir wählen zwei Variablen frei, z. B. $a=1$ und $c=0$ .

$4 \cdot (1) - b + 2 \cdot (0) = 0$

$4 - b = 0$

$b = 4$

Ein möglicher Normalenvektor für H ist also $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Ebenengleichung aufstellen
Wir setzen $\vec{n}_H$ in die Ebenengleichung ein und wählen $d=1$ .

$H: 1x_1 + 4x_2 + 0x_3 = 1$

Ergebnis:

Eine mögliche Ebene ist $H: x_1 + 4x_2 = 1$ . (Es gibt unendlich viele richtige Lösungen.)

Beispiel 2

Aufgabe

Finden Sie eine Ebene H, die orthogonal zur Ebene $G: 2x_1 + 5x_2 - 3x_3 = 10$ ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Normalenvektor der gegebenen Ebene ablesen
$\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Bedingung für Orthogonalität aufstellen
Für $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ muss gelten:

$2a + 5b - 3c = 0$
Schritt 3
Einen passenden Normalenvektor finden
Wir wählen $a=1$ und $b=1$ .

$2(1) + 5(1) - 3c = 0$

$2 + 5 - 3c = 0$

$7 - 3c = 0 \ \to \ 3c = 7 \ \to \ c = \frac{7}{3}$

Ein möglicher Normalenvektor ist $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7/3 \end{pmatrix}$ . Um Brüche zu vermeiden, können wir den ganzen Vektor mit 3 multiplizieren: $\vec{n}_H' = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Ebenengleichung aufstellen
Wir verwenden $\vec{n}_H'$ und wählen $d=0$ .

$H: 3x_1 + 3x_2 + 7x_3 = 0$

Ergebnis:

Eine mögliche Ebene ist $H: 3x_1 + 3x_2 + 7x_3 = 0$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Die x1-x2-Ebene wird durch die Gleichung $G: x_3 = 0$ beschrieben. Geben Sie die Gleichung einer Ebene H an, die senkrecht auf der x1-x2-Ebene steht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Normalenvektor der gegebenen Ebene ablesen
Die Gleichung $x_3 = 0$ kann als $0x_1 + 0x_2 + 1x_3 = 0$ geschrieben werden. Der Normalenvektor ist also $\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Bedingung für Orthogonalität aufstellen
Für $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ muss gelten:

$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = 0$

$0a + 0b + 1c = 0 \ \to \ c=0$
Schritt 3
Einen passenden Normalenvektor finden
Die Bedingung ist $c=0$ . Die Werte für $a$ und $b$ können wir frei wählen, solange nicht beide null sind. Wir wählen $a=1$ und $b=0$ .

Ein möglicher Normalenvektor ist $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Ebenengleichung aufstellen
Wir wählen $d=5$ .

$H: 1x_1 + 0x_2 + 0x_3 = 5$

Ergebnis:

Eine mögliche Ebene ist $H: x_1 = 5$ . (Jede Ebene, deren Normalenvektor in der x1-x2-Ebene liegt, ist eine Lösung, z. B. auch $x_2=3$ oder $2x_1+3x_2=7$ .)

Beispiel 4

Aufgabe

Finden Sie zwei verschiedene Ebenen, die beide orthogonal zur Ebene $G: x_1 - x_2 = 3$ sind.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Normalenvektor der gegebenen Ebene ablesen
$\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Bedingung für Orthogonalität aufstellen
Für $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ muss gelten:

$1a - 1b + 0c = 0 \ \to \ a - b = 0 \ \to \ a = b$
Schritt 3
Zwei passende Normalenvektoren finden
Die Bedingung ist $a=b$ . Die Variable $c$ kann frei gewählt werden.

Vektor 1: Wir wählen $a=1$ (also auch $b=1$ ) und $c=1$ . $\vec{n}_{H1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Vektor 2: Wir wählen $a=1$ (also auch $b=1$ ) und $c=0$ . $\vec{n}_{H2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Zwei Ebenengleichungen aufstellen
Ebene 1: Mit $\vec{n}_{H1}$ und $d=2$ : $H_1: x_1 + x_2 + x_3 = 2$ .

Ebene 2: Mit $\vec{n}_{H2}$ und $d=4$ : $H_2: x_1 + x_2 = 4$ .

Ergebnis:

Zwei mögliche Ebenen sind $H_1: x_1 + x_2 + x_3 = 2$ und $H_2: x_1 + x_2 = 4$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ermitteln Sie die Gleichung einer Ebene H, die senkrecht zur Ebene $G: 7x_2 = 14$ steht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Normalenvektor der gegebenen Ebene ablesen
Die Gleichung $7x_2 = 14$ kann als $0x_1 + 7x_2 + 0x_3 = 14$ geschrieben werden. Der Normalenvektor ist $\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Bedingung für Orthogonalität aufstellen
Für $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ muss gelten:

$0a + 7b + 0c = 0 \ \to \ 7b = 0 \ \to \ b=0$
Schritt 3
Einen passenden Normalenvektor finden
Die Bedingung ist $b=0$ . Wir können $a$ und $c$ frei wählen. Wir nehmen $a=1$ und $c=1$ .

Ein möglicher Normalenvektor ist $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Ebenengleichung aufstellen
Wir wählen $d=10$ .

$H: 1x_1 + 0x_2 + 1x_3 = 10$

Ergebnis:

Eine mögliche Ebene ist $H: x_1 + x_3 = 10$ .

Aufgabentyp 3: Schnittgerade einer Ebenenschar bestimmen

Eine Ebenenschar ist eine unendliche Menge von Ebenen, die durch einen Parameter, meistens $t$ , beschrieben werden. Für jeden Wert von $t$ erhält man eine andere Ebene aus der Schar. Man kann sich das wie ein Buch vorstellen: Jede Seite ist eine Ebene, und das ganze Buch ist die Ebenenschar. Der Buchrücken, an dem alle Seiten befestigt sind, ist die gemeinsame Schnittgerade.

Wir suchen also die Menge aller Punkte $(x_1, x_2, x_3)$ , die die Ebenengleichung erfüllen, egal welchen Wert der Parameter $t$ hat. Der Trick besteht darin, die Gleichung so umzuformen, dass der Parameter $t$ isoliert wird. Man bringt die Gleichung in die Form:

$t \cdot (\text{Term A}) + (\text{Term B}) = 0$

Damit diese Gleichung für alle Werte von $t$ wahr ist, müssen beide Terme für sich genommen Null sein: Term A = 0 und Term B = 0. Aus diesen beiden Bedingungen ergibt sich dann die Gleichung der Schnittgeraden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Ebenengleichung in Koordinatenform bringen: Falls die Gleichung in Vektorform gegeben ist, wandle sie durch Ausmultiplizieren des Skalarprodukts in die Koordinatenform ( $\ldots x_1 + \ldots x_2 + \ldots x_3 = \ldots$ ) um.
Gleichung nach dem Parameter $t$ sortieren: Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite 0 steht. Sortiere die Terme so, dass alle mit dem Parameter $t$ zusammenstehen und alle ohne $t$ zusammenstehen.
Parameter $t$ ausklammern: Klammere den Parameter $t$ aus. Du erhältst eine Gleichung der Form $t \cdot (\ldots) + (\ldots) = 0$ .
Zwei Bedingungen aufstellen: Damit die Gleichung für alle $t$ gilt, müssen beide Klammerausdrücke gleich Null sein: (1) $\ldots = 0$ und (2) $\ldots = 0$ .
Gleichung der Schnittgeraden bestimmen: Die beiden Bedingungen aus Schritt 4 sind Gleichungen für $x_1, x_2, x_3$ . Oft legen sie zwei Koordinaten fest, während eine Koordinate frei wählbar bleibt. Setze diese freie Koordinate gleich einem neuen Parameter (z. B. $s$ ) und stelle die Geradengleichung in Parameterform auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Ebenenschar $F_t: \vec{x} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 1 \end{pmatrix} = -t$ mit $t \in \mathbb{R}$ . Weisen Sie nach, dass alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Schnittgerade h besitzen, und geben Sie deren Gleichung an.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Ebenengleichung in Koordinatenform bringen
Wir setzen $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ ein:

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 1 \end{pmatrix} = -t$

$0 \cdot x_1 + t \cdot x_2 + 1 \cdot x_3 = -t$

$tx_2 + x_3 = -t$
Schritt 2
Gleichung nach dem Parameter $t$ sortieren
Wir bringen alles auf eine Seite:

$tx_2 + x_3 + t = 0$
Schritt 3
Parameter $t$ ausklammern
Wir fassen die Terme mit $t$ zusammen und klammern $t$ aus:

$t \cdot (x_2 + 1) + (x_3) = 0$
4
Schritt 4
Zwei Bedingungen aufstellen
Damit die Gleichung für alle $t$ gilt, müssen beide Teile Null sein:
1. Bedingung: $x_2 + 1 = 0 \ \to \ x_2 = -1$
2. Bedingung: $x_3 = 0$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung der Schnittgeraden bestimmen
Die Koordinate $x_1$ kommt in den Bedingungen nicht vor, also ist sie frei wählbar. Wir setzen $x_1 = s$ .

Damit haben wir: $x_1 = s$ , $x_2 = -1$ , $x_3 = 0$ .

Als Vektorgleichung geschrieben:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} s \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die gemeinsame Schnittgerade ist $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenenschar $E_t: tx_1 + 2x_2 + (1-t)x_3 = 1$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Ebenengleichung in Koordinatenform bringen
Die Gleichung liegt bereits in Koordinatenform vor.
Schritt 2
Gleichung nach dem Parameter $t$ sortieren
Wir lösen die Klammer auf und bringen alles auf eine Seite:

$tx_1 + 2x_2 + x_3 - tx_3 - 1 = 0$

$(tx_1 - tx_3) + (2x_2 + x_3 - 1) = 0$
Schritt 3
Parameter $t$ ausklammern
$t \cdot (x_1 - x_3) + (2x_2 + x_3 - 1) = 0$
4
Schritt 4
Zwei Bedingungen aufstellen
1. Bedingung: $x_1 - x_3 = 0 \ \to \ x_1 = x_3$
2. Bedingung: $2x_2 + x_3 - 1 = 0$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung der Schnittgeraden bestimmen
Aus Bedingung 1 wissen wir, dass $x_1$ und $x_3$ gleich sind. Wir können eine davon frei wählen, z. B. $x_3 = s$ . Dann ist auch $x_1 = s$ .

Das setzen wir in die 2. Bedingung ein, um $x_2$ zu finden:

$2x_2 + s - 1 = 0$

$2x_2 = 1 - s$

$x_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}s$

Zusammengefasst: $x_1 = s$ , $x_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}s$ , $x_3 = s$ .

$\vec{x} = \begin{pmatrix} s \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}s \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Schnittgerade ist $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist die Ebenenschar $G_t: x_1 + ty_2 - 2z = 3t$ . Finden Sie die gemeinsame Gerade aller Ebenen.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Ebenengleichung in Koordinatenform bringen
Die Gleichung liegt bereits in Koordinatenform vor (hier mit $y$ und $z$ statt $x_2, x_3$ ).
Schritt 2
Gleichung nach dem Parameter $t$ sortieren
$x_1 + ty_2 - 2z - 3t = 0$

$(ty_2 - 3t) + (x_1 - 2z) = 0$
Schritt 3
Parameter $t$ ausklammern
$t \cdot (y_2 - 3) + (x_1 - 2z) = 0$
4
Schritt 4
Zwei Bedingungen aufstellen
1. Bedingung: $y_2 - 3 = 0 \ \to \ y_2 = 3$
2. Bedingung: $x_1 - 2z = 0 \ \to \ x_1 = 2z$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung der Schnittgeraden bestimmen
Die Koordinate $z$ ist frei wählbar. Wir setzen $z = s$ . Dann ist $x_1 = 2s$ . Die Koordinate $y_2$ ist fest: $y_2=3$ .

Zusammengefasst: $x_1 = 2s$ , $y_2 = 3$ , $z = s$ .

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2s \\ 3 \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Schnittgerade ist $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Zeigen Sie, dass alle Ebenen der Schar $H_t: (2t+1)x_1 - tx_2 + 5x_3 = t+5$ eine gemeinsame Gerade haben und geben Sie ihre Gleichung an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Gleichung sortieren
Wir lösen die Klammer auf und bringen alles auf eine Seite:

$2tx_1 + x_1 - tx_2 + 5x_3 - t - 5 = 0$

$(2tx_1 - tx_2 - t) + (x_1 + 5x_3 - 5) = 0$
Schritt 3
Parameter $t$ ausklammern
$t \cdot (2x_1 - x_2 - 1) + (x_1 + 5x_3 - 5) = 0$
3
Schritt 4
Zwei Bedingungen aufstellen
1. Bedingung: $2x_1 - x_2 - 1 = 0$
2. Bedingung: $x_1 + 5x_3 - 5 = 0$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung der Schnittgeraden bestimmen
Wir haben ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Wir wählen eine Variable frei, z. B. $x_1 = s$ .

Aus der 2. Bedingung folgt für $x_3$ :

$s + 5x_3 - 5 = 0 \ \to \ 5x_3 = 5 - s \ \to \ x_3 = 1 - \frac{1}{5}s$

Aus der 1. Bedingung folgt für $x_2$ :

$2s - x_2 - 1 = 0 \ \to \ x_2 = 2s - 1$

Zusammengefasst: $x_1 = s$ , $x_2 = 2s - 1$ , $x_3 = 1 - \frac{1}{5}s$ .

$\vec{x} = \begin{pmatrix} s \\ 2s - 1 \\ 1 - \frac{1}{5}s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1/5 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Schnittgerade ist $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -0{,}2 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Finden Sie die Schnittgerade der Ebenenschar $K_t: \vec{x} \circ \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ -t \end{pmatrix} = 4$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Ebenengleichung in Koordinatenform bringen
$tx_1 + 1x_2 - tx_3 = 4$
Schritt 2
Gleichung nach dem Parameter $t$ sortieren
$tx_1 - tx_3 + x_2 - 4 = 0$
Schritt 3
Parameter $t$ ausklammern
$t \cdot (x_1 - x_3) + (x_2 - 4) = 0$
4
Schritt 4
Zwei Bedingungen aufstellen
1. Bedingung: $x_1 - x_3 = 0 \ \to \ x_1 = x_3$
2. Bedingung: $x_2 - 4 = 0 \ \to \ x_2 = 4$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung der Schnittgeraden bestimmen
Die Koordinate $x_2$ ist fest. Da $x_1 = x_3$ , können wir eine davon frei wählen, z. B. $x_3 = s$ . Dann ist auch $x_1 = s$ .

Zusammengefasst: $x_1 = s$ , $x_2 = 4$ , $x_3 = s$ .

$\vec{x} = \begin{pmatrix} s \\ 4 \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Schnittgerade ist $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Orthogonalität von Ebenen prüfen: Zwei Ebenen sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren Null ist: $\vec{n}_1 \circ \vec{n}_2 = 0$ .
Orthogonale Ebene finden: Stelle die Bedingung $\vec{n}_G \circ \vec{n}_H = 0$ auf. Wähle zwei Komponenten des gesuchten Vektors $\vec{n}_H$ geschickt (z. B. 1 und 0) und berechne die dritte.
Schnittgerade einer Ebenenschar: Forme die Ebenengleichung in die Struktur $t \cdot (A) + (B) = 0$ um. Die Schnittgerade wird durch die beiden Bedingungen $A=0$ und $B=0$ definiert.

Lagebeziehungen von Ebenen einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Orthogonalität zweier Ebenen prüfen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Gleichung einer orthogonalen Ebene bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Schnittgerade einer Ebenenschar bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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