Wie stellst du eine Geradengleichung aus zwei Punkten auf?

Du brauchst zwei Punkte A und B . Wähle einen der Punkte als Aufpunkt – sein Ortsvektor wird der Stützvektor. Den Richtungsvektor berechnest du mit der Regel „Spitze minus Schaft" : AB⃗ = b⃗ − a⃗ . Diesen Vektor setzt du dann in die allgemeine Formel g: x⃗ = a⃗ + t · AB⃗ ein. Es spielt keine Rolle, welchen der beiden Punkte du als Aufpunkt wählst – die Gerade bleibt dieselbe.

Wie funktioniert die Punktprobe bei einer Geraden in Parameterform?

Setze den Ortsvektor des zu prüfenden Punktes für x⃗ in die Geradengleichung ein. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen (eine pro Koordinate). Löse jede Gleichung nach dem Parameter t auf. Kommt in allen drei Zeilen derselbe Wert heraus, liegt der Punkt auf der Geraden. Kommen unterschiedliche Werte heraus, liegt er nicht darauf.

Wann liegt ein Punkt auf einer Strecke und nicht nur auf der Geraden?

Ein Punkt liegt auf der Strecke AB , wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind: Erstens muss die Punktprobe zeigen, dass er auf der zugehörigen Geraden liegt. Zweitens muss der dabei berechnete Parameterwert t im Intervall [0, 1] liegen, also 0 ≤ t ≤ 1 . Ein Wert von t > 1 oder t < 0 bedeutet, dass der Punkt zwar auf der Geraden, aber außerhalb der Strecke liegt.

Was ist der Unterschied zwischen Stützvektor und Richtungsvektor?

Der Stützvektor a⃗ ist der Ortsvektor eines bestimmten Punktes auf der Geraden – er legt den Startpunkt fest. Der Richtungsvektor v⃗ gibt an, in welche Richtung die Gerade verläuft. Während der Stützvektor einen konkreten Punkt beschreibt, bestimmt der Richtungsvektor die Steigung und Ausrichtung der Geraden im Raum. Beide zusammen legen die Gerade eindeutig fest.

Geraden in Parameterform einfach erklärt

Q: Was ist die Parameterform einer Geraden?

Die Parameterform einer Geraden lautet g: x⃗ = a⃗ + t · v⃗ . Dabei ist a⃗ der Stützvektor (Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden), v⃗ der Richtungsvektor und t ein frei wählbarer reeller Parameter. Für jeden Wert von t erhältst du einen anderen Punkt auf der Geraden. So lässt sich jede Gerade im zwei- oder dreidimensionalen Raum vollständig und eindeutig beschreiben – egal, ob im Schulheft oder in 3D-Spielwelten.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Stützvektor und Richtungsvektor?

Der Stützvektor a⃗ ist der Ortsvektor eines bestimmten Punktes auf der Geraden – er legt den Startpunkt fest. Der Richtungsvektor v⃗ gibt an, in welche Richtung die Gerade verläuft. Während der Stützvektor einen konkreten Punkt beschreibt, bestimmt der Richtungsvektor die Steigung und Ausrichtung der Geraden im Raum. Beide zusammen legen die Gerade eindeutig fest.

Die Geraden in Parameterform sind eines der zentralen Themen der Vektorgeometrie und begegnen dir spätestens in der Oberstufe in Klausuren und Abituraufgaben. Hast du dich jemals gefragt, wie dein Handy per GPS genau weiß, wo du bist, oder wie eine Figur in einem Videospiel exakt geradeaus läuft? Die Antwort liegt in der Vektorgeometrie! Die Parameterform einer Geraden ist wie der Quellcode für Bewegung in 3D-Welten. Du gibst einen Startpunkt an (wo die Bewegung beginnt) und eine Richtung (wohin es geht). Mit dieser einfachen Methode kann man alles beschreiben, von der Flugbahn eines Flugzeugs bis zum Laserstrahl in einem Sci-Fi-Film. Wenn du das hier meisterst, verstehst du die versteckte Mathematik, die hinter moderner Technik steckt.

Schnellantwort

Die Parameterform einer Geraden lautet $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$ . Dabei ist $\vec{a}$ der Stützvektor (Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden), $\vec{v}$ der Richtungsvektor und $t$ ein frei wählbarer reeller Parameter. Für jeden Wert von $t$ erhältst du einen anderen Punkt auf der Geraden – so lässt sich jede Gerade im zwei- oder dreidimensionalen Raum vollständig beschreiben.

Vorwissen

Bevor wir Geraden im Raum aufstellen, frischen wir kurz ein paar Grundlagen auf:

Punkt im 3D-Raum: Ein Punkt hat drei Koordinaten $(x_1, x_2, x_3)$ , die seine Position beschreiben.
- Beispiel: Der Punkt $P(2|5|3)$ befindet sich 2 Einheiten auf der $x_1$ -Achse, 5 auf der $x_2$ -Achse und 3 auf der $x_3$ -Achse.
Ortsvektor: Ein Vektor, der vom Ursprung $(0|0|0)$ zu einem Punkt zeigt. Er hat dieselben Koordinaten wie der Punkt.
- Beispiel: Der Ortsvektor des Punktes $P(2|5|3)$ ist $\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Vektor zwischen zwei Punkten: Um den Vektor von Punkt A zu Punkt B zu finden, rechnest du „Spitze minus Schaft".
- Formel: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
- Beispiel: Für $A(1|2|3)$ und $B(5|7|4)$ ist der Vektor $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Lineares Gleichungssystem (LGS): Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig gelöst werden müssen, um eine oder mehrere Unbekannte zu finden.
- Beispiel: $\text{(I)}: 2x = 4 \to x=2$ $\text{(II)}: x+y = 5 \to 2+y=5 \to y=3$

Aufgabentyp 1: Geradengleichung aus Punkt und Vektor bestimmen

Eine Gerade im Raum wird durch zwei Dinge eindeutig beschrieben:

Einen Aufpunkt (oder Stützpunkt) $A$ , dessen Ortsvektor $\vec{a}$ uns zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden führt.
Einen Richtungsvektor $\vec{v}$ , der die Richtung angibt, in die die Gerade verläuft.

Die allgemeine Formel für eine Gerade $g$ lautet:

$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

$\vec{x}$ ist der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt $X$ auf der Geraden.
$\vec{a}$ ist der Stützvektor (Ortsvektor zum Aufpunkt $A$ ).
$\vec{v}$ ist der Richtungsvektor.
$t$ ist ein Skalar (eine beliebige reelle Zahl), der Parameter. Er gibt an, wie oft wir den Richtungsvektor entlanggehen.

Gerade mit Stützvektor und Richtungsvektor im Raum

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Stützvektor identifizieren: Schreibe die Koordinaten des gegebenen Punktes als Vektor auf.
Richtungsvektor identifizieren: Der Richtungsvektor ist in der Aufgabe direkt gegeben – schreibe ihn ab.
Geradengleichung zusammensetzen: Setze den Stützvektor und den Richtungsvektor in die allgemeine Geradengleichung $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $A(3|1|2)$ und hat den Richtungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Bestimme die Parameterform der Geraden $g$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor identifizieren
Der gegebene Punkt ist $A(3|1|2)$ . Der Stützvektor ist also der Ortsvektor zu A:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor identifizieren
Der Richtungsvektor ist direkt gegeben:

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Wir setzen $\vec{a}$ und $\vec{v}$ in die allgemeine Form ein:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Parameterform der Geraden $g$ lautet $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Gleichung der Geraden $h$ , die durch den Punkt $P(-1|4|0)$ geht und parallel zum Vektor $\vec{u}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ verläuft.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor identifizieren
Der Stützvektor ist der Ortsvektor zum Punkt $P(-1|4|0)$ :

$\vec{p} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor identifizieren
Der Richtungsvektor ist der Vektor, zu dem die Gerade parallel ist:

$\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Wir setzen die Vektoren in die Formel ein:

$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Geradengleichung lautet $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Drohne startet am Punkt $S(0|0|10)$ und fliegt in Richtung des Vektors $\vec{d}=\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$ . Gib ihre Flugbahn als Geradengleichung an.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor identifizieren
Der Startpunkt ist $S(0|0|10)$ . Der Stützvektor ist:

$\vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor identifizieren
Die Flugrichtung ist durch den Vektor $\vec{d}$ gegeben:

$\vec{d} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Die Flugbahn $g$ lautet:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Flugbahn der Drohne wird durch $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$ beschrieben.

Beispiel 4

Aufgabe

Gib die Gleichung der Geraden $k$ an, die den Punkt $Q(10|-20|30)$ enthält und den Richtungsvektor $\vec{w}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ hat.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor identifizieren
Der Stützvektor ist der Ortsvektor zum Punkt $Q(10|-20|30)$ :

$\vec{q} = \begin{pmatrix} 10 \\ -20 \\ 30 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor identifizieren
Der Richtungsvektor ist gegeben:

$\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Die Geradengleichung lautet:

$k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ -20 \\ 30 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Gerade $k$ lautet $k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ -20 \\ 30 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Gerade $f$ geht durch den Ursprung $O(0|0|0)$ und hat die Richtung $\vec{r}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ . Wie lautet ihre Gleichung?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor identifizieren
Der Punkt ist der Ursprung $O(0|0|0)$ . Der Stützvektor ist der Nullvektor:

$\vec{o} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor identifizieren
Der Richtungsvektor ist gegeben:

$\vec{r} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Wir setzen die Vektoren ein. Den Nullvektor als Stützvektor kann man auch weglassen.

$f: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$

Vereinfacht:

$f: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Gerade durch den Ursprung lautet vereinfacht $f: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ .

Aufgabentyp 2: Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

Wenn eine Gerade durch zwei Punkte $A$ und $B$ verläuft, können wir die Geradengleichung ebenfalls aufstellen. Wir brauchen wieder einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.

Stützvektor: Wir können den Ortsvektor von einem der beiden Punkte nehmen, also entweder $\vec{a}$ oder $\vec{b}$ . Es ist egal, welchen du wählst, die Gerade bleibt dieselbe.
Richtungsvektor: Der Richtungsvektor ist der Vektor, der die beiden Punkte verbindet, also $\vec{AB}$ . Wir berechnen ihn mit der Regel „Spitze minus Schaft": $\vec{v} = \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ .

Die Geradengleichung lautet dann zum Beispiel:

$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot (\vec{b} - \vec{a})$

Gerade durch zwei Punkte A und B im Raum

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Stützvektor auswählen: Wähle einen der beiden gegebenen Punkte (z. B. A) als Aufpunkt. Der Stützvektor ist der Ortsvektor dieses Punktes ( $\vec{a}$ ).
Richtungsvektor berechnen: Berechne den Richtungsvektor, indem du den Vektor zwischen den beiden Punkten aufstellst. Nutze die Formel $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ („Spitze minus Schaft").
Geradengleichung zusammensetzen: Setze den ausgewählten Stützvektor und den berechneten Richtungsvektor in die allgemeine Geradengleichung ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A(5|0|2)$ und $B(2|4|0)$ . Bestimme die Parameterform der Geraden $g$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor auswählen
Wir wählen Punkt $A(5|0|2)$ als Aufpunkt. Der Stützvektor ist:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor berechnen
Wir berechnen den Richtungsvektor $\vec{AB}$ mit „Spitze minus Schaft":

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 4-0 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Wir setzen die Vektoren in die Formel ein:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Parameterform der Geraden $g$ lautet $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Gleichung der Geraden $h$ , die durch die Punkte $P(1|1|1)$ und $Q(3|2|1)$ verläuft.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor auswählen
Wir wählen $P(1|1|1)$ als Aufpunkt. Der Stützvektor ist:

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor berechnen
Der Richtungsvektor $\vec{PQ}$ ist:

$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-1 \\ 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Die Geradengleichung lautet:

$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Gerade $h$ lautet $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Laserstrahl geht von Punkt $L_1(-2|5|8)$ zu Punkt $L_2(0|5|-2)$ . Gib die Gleichung des Strahls an.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor auswählen
Wir nehmen den Startpunkt $L_1(-2|5|8)$ als Aufpunkt. Der Stützvektor ist:

$\vec{l_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor berechnen
Der Richtungsvektor $\vec{L_1L_2}$ ist:

$\vec{L_1L_2} = \vec{l_2} - \vec{l_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-(-2) \\ 5-5 \\ -2-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Die Gleichung des Laserstrahls lautet:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Der Laserstrahl wird durch $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}$ beschrieben.

Beispiel 4

Aufgabe

Stelle die Geradengleichung für die Gerade auf, die durch $C(4|3|-1)$ und $D(4|-3|-1)$ geht.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor auswählen
Wir wählen $C(4|3|-1)$ als Aufpunkt. Der Stützvektor ist:

$\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor berechnen
Der Richtungsvektor $\vec{CD}$ ist:

$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-4 \\ -3-3 \\ -1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Die Geradengleichung lautet:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Gerade durch $C$ und $D$ lautet $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Seilbahn fährt von der Talstation $T(100|200|500)$ zur Bergstation $B(500|400|1500)$ . Gib die Geradengleichung für das Seil an.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Stützvektor auswählen
Wir nehmen die Talstation $T(100|200|500)$ als Aufpunkt. Der Stützvektor ist:

$\vec{t} = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \\ 500 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Richtungsvektor berechnen
Der Richtungsvektor $\vec{TB}$ ist:

$\vec{TB} = \vec{b} - \vec{t} = \begin{pmatrix} 500 \\ 400 \\ 1500 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \\ 500 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400 \\ 200 \\ 1000 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung zusammensetzen
Die Geradengleichung für das Seil lautet:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \\ 500 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 400 \\ 200 \\ 1000 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Das Seil der Seilbahn wird durch $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \\ 500 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 400 \\ 200 \\ 1000 \end{pmatrix}$ beschrieben.

Aufgabentyp 3: Prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt (Punktprobe)

Um zu überprüfen, ob ein bestimmter Punkt $P$ auf einer Geraden $g$ liegt, führen wir eine Punktprobe durch. Die Idee ist einfach: Wenn der Punkt auf der Geraden liegt, muss es einen Wert für den Parameter $t$ geben, mit dem wir genau bei diesem Punkt landen.

Dazu setzen wir den Ortsvektor des Punktes $P$ für $\vec{x}$ in die Geradengleichung ein:

$\vec{p} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

Dadurch erhalten wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen (für jede Koordinate eine). Wenn dieses Gleichungssystem eine eindeutige Lösung für $t$ hat (d. h. für $t$ kommt in jeder Zeile derselbe Wert heraus), dann liegt der Punkt auf der Geraden. Wenn unterschiedliche Werte für $t$ herauskommen oder eine Zeile unlösbar ist, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Punktprobe auf einer Geraden im Koordinatensystem

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Punkt in Geradengleichung einsetzen: Setze den Ortsvektor des zu prüfenden Punktes für $\vec{x}$ in die gegebene Geradengleichung ein.
Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen: Schreibe die Vektorgleichung als drei einzelne Gleichungen für die $x_1$ -, $x_2$ - und $x_3$ -Koordinate auf.
LGS nach dem Parameter auflösen: Löse jede der drei Gleichungen nach dem Parameter (z. B. $t$ ) auf.
Ergebnis interpretieren: Kommt in allen drei Gleichungen derselbe Wert für den Parameter heraus? Dann liegt der Punkt auf der Geraden. Kommen unterschiedliche Werte heraus oder ist eine Gleichung nicht lösbar (z. B. $3=5$ )? Dann liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind der Punkt $A(2|2|1)$ und die Gerade $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$ . Zeigen Sie, dass $A$ auf $g$ liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt in Geradengleichung einsetzen
Wir setzen den Ortsvektor von $A(2|2|1)$ in die Geradengleichung ein:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 2 & 3
LGS aufstellen und lösen
Wir schreiben die Gleichung für jede Zeile einzeln auf und lösen nach $s$ auf:

$\text{(I)}: 2 = 0 + s \cdot 1 \quad \to \quad s = 2$

$\text{(II)}: 2 = -2 + s \cdot 2 \quad |+2$

$4 = s \cdot 2 \quad |:2$

$s = 2$

$\text{(III)}: 1 = -1 + s \cdot 1 \quad |+1$

$2 = s \cdot 1 \quad \to \quad s = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Da für alle drei Gleichungen derselbe Wert $s=2$ herauskommt, liegt der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ .

Ergebnis:

Der Punkt $A(2|2|1)$ liegt auf der Geraden $g$ (Parameterwert $s=2$ ).

Beispiel 2

Aufgabe

Prüfen Sie, ob der Punkt $P(5|3|7)$ auf der Geraden $h: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix}$ liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt in Geradengleichung einsetzen
$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
Schritt 2 & 3
LGS aufstellen und lösen
$\text{(I)}: 5 = 1 + t \cdot 2 \quad |-1$

$4 = t \cdot 2 \quad |:2$

$t = 2$

$\text{(II)}: 3 = 1 + t \cdot 1 \quad |-1$

$2 = t \quad \to \quad t = 2$

$\text{(III)}: 7 = 1 + t \cdot 3 \quad |-1$

$6 = t \cdot 3 \quad |:3$

$t = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Alle drei Gleichungen ergeben $t=2$ . Also liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $h$ .

Ergebnis:

Der Punkt $P(5|3|7)$ liegt auf der Geraden $h$ (Parameterwert $t=2$ ).

Beispiel 3

Aufgabe

Liegt der Punkt $Q(1|2|3)$ auf der Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt in Geradengleichung einsetzen
$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 2 & 3
LGS aufstellen und lösen
$\text{(I)}: 1 = 3 + r \cdot (-1) \quad |-3$

$-2 = -r \quad |\cdot(-1)$

$r = 2$

$\text{(II)}: 2 = 3 + r \cdot (-1) \quad |-3$

$-1 = -r \quad |\cdot(-1)$

$r = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Aus Zeile (I) folgt $r=2$ und aus Zeile (II) folgt $r=1$ . Da die Werte für den Parameter unterschiedlich sind, liegt der Punkt $Q$ nicht auf der Geraden $g$ .

Ergebnis:

Der Punkt $Q(1|2|3)$ liegt nicht auf der Geraden $g$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Untersuchen Sie, ob der Ursprung $O(0|0|0)$ auf der Geraden $k: \vec{x}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ 6\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ -3\end{pmatrix}$ liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt in Geradengleichung einsetzen
$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$
Schritt 2 & 3
LGS aufstellen und lösen
$\text{(I)}: 0 = 4 - 2t \quad |+2t$

$2t = 4 \quad |:2$

$t = 2$

$\text{(II)}: 0 = 2 - t \quad |+t$

$t = 2$

$\text{(III)}: 0 = 6 - 3t \quad |+3t$

$3t = 6 \quad |:3$

$t = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Alle drei Gleichungen ergeben $t=2$ . Der Ursprung liegt also auf der Geraden $k$ .

Ergebnis:

Der Ursprung $O(0|0|0)$ liegt auf der Geraden $k$ (Parameterwert $t=2$ ).

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist die Gerade $f: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ . Liegt der Punkt $R(3|2|4)$ auf dieser Geraden?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkt in Geradengleichung einsetzen
$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 2 & 3
LGS aufstellen und lösen
$\text{(I)}: 3 = 1 + s \quad |-1 \quad \to \quad s = 2$

$\text{(II)}: 2 = 0 + s \quad \to \quad s = 2$

$\text{(III)}: 4 = 1 + s \quad |-1 \quad \to \quad s = 3$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Aus den ersten beiden Zeilen folgt $s=2$ , aber aus der dritten Zeile folgt $s=3$ . Wegen dieses Widerspruchs liegt der Punkt $R$ nicht auf der Geraden $f$ .

Ergebnis:

Der Punkt $R(3|2|4)$ liegt nicht auf der Geraden $f$ .

Aufgabentyp 4: Prüfen, ob ein Punkt auf einer Strecke liegt

Manchmal wollen wir nicht nur wissen, ob ein Punkt auf einer unendlichen Geraden liegt, sondern ob er sich auf der Strecke zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ befindet.

Eine Gerade durch $A$ und $B$ kann so aufgestellt werden: $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{AB}$ .

Hierbei gibt der Parameter $t$ die Position auf der Geraden an:

Für $t=0$ sind wir genau am Startpunkt $A$ .
Für $t=1$ sind wir genau am Endpunkt $B$ .
Für Werte zwischen 0 und 1 (also $0 < t < 1$ ) befinden wir uns auf der Strecke zwischen $A$ und $B$ .
Für Werte außerhalb dieses Bereichs (z. B. $t=2$ oder $t=-0{,}5$ ) liegen wir zwar auf der Geraden, aber nicht mehr auf der Strecke $AB$ .

Um zu prüfen, ob ein Punkt $S$ auf der Strecke $AB$ liegt, müssen also zwei Bedingungen erfüllt sein:

$S$ muss auf der Geraden liegen, die durch $A$ und $B$ geht (Punktprobe).
Der dabei berechnete Parameter $t$ muss im Intervall $[0, 1]$ liegen, also $0 \le t \le 1$ .

Strecke AB mit Parameterwert zwischen 0 und 1

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Punktprobe durchführen: Führe eine normale Punktprobe durch, um zu prüfen, ob der Punkt $S$ überhaupt auf der Geraden durch A und B liegt. Setze dazu den Punkt in die Geradengleichung ein und löse nach dem Parameter $t$ auf.
Wert des Parameters überprüfen: Wenn die Punktprobe erfolgreich war (du hast einen eindeutigen Wert für $t$ erhalten), überprüfe diesen Wert: Liegt $t$ zwischen 0 und 1 (einschließlich der Grenzen, also $0 \le t \le 1$ )? Ja: Der Punkt liegt auf der Strecke $AB$ . Nein: Der Punkt liegt zwar auf der Geraden, aber nicht auf der Strecke $AB$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Punkte $A(6|4|-1)$ und $B(0|-5|2)$ . Die Gerade durch diese Punkte ist $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -6 \\ -9 \\ 3 \end{pmatrix}$ . Untersuchen Sie, ob der Punkt $S(4|1|0)$ auf der Strecke $AB$ liegt. Für $S$ wurde bereits $t=\frac{1}{3}$ berechnet.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Punktprobe durchführen
In der Aufgabe ist bereits gegeben, dass der Punkt $S$ auf der Geraden $g$ liegt und dass dafür der Parameterwert $t=\frac{1}{3}$ gilt. Eine erneute Punktprobe ist nicht nötig.
Schritt 2 · Ergebnis
Wert des Parameters überprüfen
Wir müssen prüfen, ob der Wert $t=\frac{1}{3}$ im Intervall $[0, 1]$ liegt.

$0 \le \frac{1}{3} \le 1$

Diese Bedingung ist erfüllt, da $\frac{1}{3}$ größer als 0 und kleiner als 1 ist.

Ergebnis:

Der Punkt $S$ liegt auf der Strecke $AB$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Die Gerade $h: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 6\end{pmatrix}$ beschreibt die Strecke vom Aufpunkt $A(1|2|3)$ zum Punkt $B$ . Liegt der Punkt $P(2|4|6)$ auf dieser Strecke?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Punktprobe durchführen
Wir setzen $P$ in die Geradengleichung ein:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 2 = 1 + 2t \to 1 = 2t \to t = 0{,}5$

$\text{(II)}: 4 = 2 + 4t \to 2 = 4t \to t = 0{,}5$

$\text{(III)}: 6 = 3 + 6t \to 3 = 6t \to t = 0{,}5$

Der Punkt liegt auf der Geraden mit $t=0{,}5$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Wert des Parameters überprüfen
Wir prüfen, ob $t=0{,}5$ im Intervall $[0, 1]$ liegt.

$0 \le 0{,}5 \le 1$

Die Bedingung ist erfüllt.

Ergebnis:

Der Punkt $P$ liegt auf der Strecke.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Seilbahn fährt von $A(0|0|0)$ nach $B(10|20|5)$ . Die Bahn wird beschrieben durch $g: \vec{x}=t \cdot\begin{pmatrix}10 \\ 20 \\ 5\end{pmatrix}$ . Befindet sich ein Vogel am Punkt $V(12|24|6)$ auf dem Seil?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Punktprobe durchführen
Wir setzen $V$ in die Geradengleichung ein:

$\begin{pmatrix} 12 \\ 24 \\ 6 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 12 = 10t \to t = 1{,}2$

$\text{(II)}: 24 = 20t \to t = 1{,}2$

$\text{(III)}: 6 = 5t \to t = 1{,}2$

Der Punkt liegt auf der Geraden mit $t=1{,}2$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Wert des Parameters überprüfen
Wir prüfen, ob $t=1{,}2$ im Intervall $[0, 1]$ liegt.

$0 \le 1{,}2 \le 1$

Diese Bedingung ist nicht erfüllt, da $1{,}2 > 1$ .

Ergebnis:

Der Vogel befindet sich auf der Verlängerung des Seils, aber nicht auf der Strecke zwischen den Stationen A und B.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist die Strecke $AB$ mit $A(5|5|5)$ und $B(1|1|1)$ . Die Gerade lautet $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 5\end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix}-4 \\ -4 \\ -4\end{pmatrix}$ . Liegt der Punkt $P(6|6|6)$ auf der Strecke $AB$ ?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Punktprobe durchführen
Wir setzen $P$ in die Geradengleichung ein:

$\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

Aus der ersten Zeile erhalten wir:

$6 = 5 - 4s \quad |-5$

$1 = -4s \quad |:(-4)$

$s = -0{,}25$

Da der Richtungsvektor in allen Komponenten gleich ist, gilt dies für alle Zeilen.
Schritt 2 · Ergebnis
Wert des Parameters überprüfen
Wir prüfen, ob $s=-0{,}25$ im Intervall $[0, 1]$ liegt.

$0 \le -0{,}25 \le 1$

Diese Bedingung ist nicht erfüllt, da $-0{,}25 < 0$ .

Ergebnis:

Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden, aber nicht auf der Strecke $AB$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Prüfen Sie, ob der Punkt $M(2|3|4)$ auf der Strecke zwischen $A(1|2|3)$ und $B(4|5|6)$ liegt. Die Gerade ist $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Punktprobe durchführen
Wir setzen $M$ in die Geradengleichung ein:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

Aus der ersten Zeile:

$2 = 1 + 3t \quad |-1$

$1 = 3t \quad |:3$

$t = \frac{1}{3}$

Die anderen Zeilen ergeben denselben Wert.
Schritt 2 · Ergebnis
Wert des Parameters überprüfen
Wir prüfen, ob $t=\frac{1}{3}$ im Intervall $[0, 1]$ liegt.

$0 \le \frac{1}{3} \le 1$

Die Bedingung ist erfüllt.

Ergebnis:

Der Punkt $M$ liegt auf der Strecke $AB$ .

Wichtige Erkenntnisse

Geradengleichung: $g: \vec{x} = \text{Stützvektor} + \text{Parameter} \cdot \text{Richtungsvektor}$ .
Gerade aus 2 Punkten (A, B): Nimm $\vec{a}$ als Stützvektor und $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ als Richtungsvektor.
Punktprobe: Setze den Punkt in die Geradengleichung ein. Wenn für den Parameter in allen drei Zeilen derselbe Wert herauskommt, liegt der Punkt auf der Geraden.
Punkt auf Strecke AB: Der Punkt muss auf der Geraden liegen UND der berechnete Parameter $t$ muss zwischen 0 und 1 liegen ( $0 \le t \le 1$ ).

Geraden in Parameterform einfach erklärt: Schritt für Schritt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Geradengleichung aus Punkt und Vektor bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt (Punktprobe)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Prüfen, ob ein Punkt auf einer Strecke liegt

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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