Wie führst du eine Punktprobe bei einer Ebene in Parameterform durch?

Du setzt den Ortsvektor des Punktes in die Ebenengleichung ein und stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen auf. Dann löst du zwei der Gleichungen nach λ und μ . Zuletzt prüfst du mit der dritten Gleichung: Ergibt sich eine wahre Aussage (z. B. 9 = 9), liegt der Punkt auf der Ebene. Ergibt sich ein Widerspruch (z. B. 7 = 4), liegt er nicht drauf.

Wie berechnest du Punkte auf einer Ebene in Parameterform?

Um Punkte auf einer Ebene in Parameterform zu berechnen, wählst du einfach beliebige Zahlen für die Parameter λ und μ – am bequemsten sind kleine ganze Zahlen wie 0, 1 oder −1. Diese Werte setzt du in die Ebenengleichung E: x⃗ = p⃗ + λ·u⃗ + μ·v⃗ ein und rechnest den resultierenden Vektor aus. Dieser Vektor ist der Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene.

Wie bestimmst du eine fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Ebene?

Du setzt den Punkt mit der unbekannten Koordinate (z. B. P(5|a|3) ) in die Ebenengleichung ein. Das ergibt drei Gleichungen: Eine enthält a , die anderen beiden nur λ und μ . Aus den beiden „sauberen" Gleichungen berechnest du λ und μ . Diese Werte setzt du anschließend in die dritte Gleichung ein und löst nach der unbekannten Koordinate auf.

Wann liegt ein Punkt nicht auf einer Ebene?

Ein Punkt liegt nicht auf einer Ebene, wenn das lineare Gleichungssystem der Punktprobe zu einem Widerspruch führt – also wenn nach dem Einsetzen der berechneten Parameter λ und μ in die dritte Gleichung eine falsche Aussage entsteht, zum Beispiel 7 = 4 . Das bedeutet: Es gibt keine Parameterkombination, die den Punkt auf der Ebene erzeugt.

Lagebeziehung Punkte und Ebenen

Q: Was ist die Lagebeziehung von Punkten und Ebenen in Parameterform?

Die Lagebeziehung von Punkten und Ebenen beschreibt, ob ein gegebener Punkt auf einer Ebene liegt oder nicht. Eine Ebene in Parameterform lautet E: x⃗ = p⃗ + λ·u⃗ + μ·v⃗ . Jede Kombination der Parameter λ und μ erzeugt den Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene. Um die Lagebeziehung zu prüfen, setzt du den Ortsvektor des Punktes in die Gleichung ein und löst das entstehende lineare Gleichungssystem.

Die Lagebeziehung von Punkten und Ebenen in Parameterform ist ein zentrales Thema der Vektorgeometrie und begegnet dir spätestens in der Oberstufe. Schon mal ein 3D-Spiel gezockt und dich gefragt, wie die Spielfigur perfekt auf dem Boden läuft oder eine Kugel an einer Wand abprallt? Das ist keine Magie, sondern pure Vektorgeometrie! Die Spiel-Engine berechnet ständig, ob deine Figur (ein Punkt) sich auf der Ebene des Bodens befindet. Die Ebenengleichung ist quasi der „Quellcode" für jede flache Oberfläche in der 3D-Welt – vom Boden über Wände bis hin zu Rampen. Wenn du verstehst, wie man prüft, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, verstehst du ein Grundprinzip, das hinter jeder modernen 3D-Grafik steckt.

Vorwissen

Bevor wir in die 3D-Welt der Ebenen eintauchen, sollten wir uns an ein paar Grundlagen erinnern:

Ortsvektor: Das ist ein Vektor, der vom Ursprung $(0|0|0)$ zu einem Punkt zeigt. Er hat dieselben Koordinaten wie der Punkt.
- Beispiel: Der Punkt $P(2|5|3)$ hat den Ortsvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Vektoren addieren und mit einer Zahl multiplizieren (Skalarmultiplikation):
- Beispiel: $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen: Oft müssen wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen. Das Additionsverfahren ist hier sehr nützlich.
- Beispiel:
$\text{(I)} \colon \ 2r + s = 5$

$\text{(II)} \colon -2r + 3s = 7$

Wir addieren (I) + (II): $4s = 12 \to s=3$ . Eingesetzt in (I): $2r + 3 = 5 \to 2r=2 \to r=1$ .

Aufgabentyp 1: Punkte auf einer Ebene berechnen

Eine Ebene in Parameterform sieht so aus:

$E: \vec{x} = \vec{p} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}$

$\vec{p}$ ist der Stützvektor. Er zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene.
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind die Richtungsvektoren. Sie spannen die Ebene vom Stützvektor aus auf.
$\lambda$ (Lambda) und $\mu$ (My) sind die Parameter. Das sind einfach Zahlen, die du frei wählen kannst.

Jede Kombination von Werten für $\lambda$ und $\mu$ erzeugt den Ortsvektor eines Punktes, der auf der Ebene liegt. Man kann sich das so vorstellen: Vom Ursprung aus gehst du zum Punkt $P$ (Stützvektor), dann eine bestimmte Anzahl ( $\lambda$ ) Schritte in Richtung $\vec{u}$ und eine andere Anzahl ( $\mu$ ) Schritte in Richtung $\vec{v}$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Werte für die Parameter wählen: Wähle beliebige Zahlen für $\lambda$ und $\mu$ . Am einfachsten sind kleine ganze Zahlen wie 0, 1 oder -1.
Werte einsetzen und ausrechnen: Setze die gewählten Werte in die Ebenengleichung ein und berechne den resultierenden Vektor. Dieser Vektor ist der Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Koordinaten von drei verschiedenen Punkten, die auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ liegen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Parameter wählen und ersten Punkt berechnen
Wir wählen drei einfache Kombinationen für $\lambda$ und $\mu$ .

1. Punkt (Wähle $\lambda = 0$ und $\mu = 0$ ):

$\vec{x_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\vec{x_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Der Punkt ist $P_1(1|2|3)$ . Das ist der Punkt, zu dem der Stützvektor zeigt.
Schritt 2
Zweiten Punkt berechnen
2. Punkt (Wähle $\lambda = 1$ und $\mu = 0$ ):

$\vec{x_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\vec{x_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Der Punkt ist $P_2(3|2|2)$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Dritten Punkt berechnen
3. Punkt (Wähle $\lambda = 0$ und $\mu = 1$ ):

$\vec{x_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\vec{x_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}$

Der Punkt ist $P_3(1|3|7)$ .

Ergebnis:

Die drei Punkte auf der Ebene sind $P_1(1|2|3)$ , $P_2(3|2|2)$ und $P_3(1|3|7)$ .

Quiz zu Lagebeziehung Punkte und Ebenen in Parameterform: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Lagebeziehung Punkte und Ebenen in Parameterform und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Lagebeziehung Punkte und Ebenen in Parameterform

Welcher Bestandteil der Ebenengleichung in Parameterform zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene?

Quizfrage 2 zu Lagebeziehung Punkte und Ebenen in Parameterform

Nur mit Account

Welcher Punkt ergibt sich für die Parameter $\lambda = 0$ und $\mu = 0$ in einer Ebenengleichung?

Übungsaufgabe zu Lagebeziehung Punkte und Ebenen in Parameterform

Nur mit Account

Der Punkt $A(3|3|z)$ liegt auf $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\1\\5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -1\\0\\3 \end{pmatrix}$ . Was ist $z$ ?

Tipp: Aus der zweiten Zeile folgt $\lambda = 1$ . Eingesetzt in die erste Zeile ergibt sich $\mu = -1$ . Setzt man beides in die dritte Zeile ein, erhält man $z = 5 - 3 = 2$ .

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Beispiel 2

Aufgabe

Eine Ebene geht durch den Ursprung und wird von den Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ aufgespannt. Gib die Koordinaten von zwei Punkten (außer dem Ursprung) an, die auf dieser Ebene liegen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ebenengleichung aufstellen
Da die Ebene durch den Ursprung geht, ist der Stützvektor der Nullvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Die Ebenengleichung lautet: $E: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Ersten Punkt berechnen
1. Punkt (Wähle $\lambda = 1$ und $\mu = 1$ ):

$\vec{x_1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{x_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Der Punkt ist $P_1(4|0|2)$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Zweiten Punkt berechnen
2. Punkt (Wähle $\lambda = 2$ und $\mu = -1$ ):

$\vec{x_2} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{x_2} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

Der Punkt ist $P_2(11|3|-2)$ .

Ergebnis:

Zwei Punkte auf der Ebene (außer dem Ursprung) sind $P_1(4|0|2)$ und $P_2(11|3|-2)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme einen Punkt auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ , der nicht der Stützpunkt ist.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Strategie festlegen
Der Stützpunkt ergibt sich, wenn man für die Parameter $r=0$ und $s=0$ wählt. Um einen anderen Punkt zu finden, wählen wir mindestens einen Parameter ungleich Null.
Schritt 2 · Ergebnis
Parameter einsetzen und ausrechnen
Wir wählen zum Beispiel $r = 2$ und $s = 0$ .

$\vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Ein möglicher Punkt ist $P(-2|2|12)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Beschreibe, wo diese Ebene im Koordinatensystem liegt und gib einen Punkt darauf an.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Ebene beschreiben
Der Stützvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ zeigt zum Punkt $(0|0|5)$ auf der z-Achse. Die Richtungsvektoren $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ (x-Richtung) und $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ (y-Richtung) spannen eine Ebene auf, die parallel zur x-y-Grundebene ist, aber um 5 Einheiten nach oben verschoben. Es ist eine horizontale Ebene auf der Höhe $z=5$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Punkt berechnen
Um einen Punkt zu berechnen, wählen wir $\lambda = 3$ und $\mu = 4$ .

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Ein Punkt auf der Ebene ist $P(3|4|5)$ . Man sieht, dass die z-Koordinate immer 5 ist.

Beispiel 5

Aufgabe

Finde einen Punkt auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ , indem du negative Parameterwerte verwendest.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Negative Parameter wählen
Wir können beliebige Zahlen für die Parameter einsetzen, auch negative. Wir wählen $t = -1$ und $u = -2$ .
Schritt 2 · Ergebnis
Einsetzen und ausrechnen
$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2-1+0 \\ 2+1-2 \\ 2+0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Ein Punkt auf der Ebene ist $P(1|1|4)$ .

Aufgabentyp 2: Prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt (Punktprobe)

Um zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt $P$ auf einer Ebene $E$ liegt, führst du eine Punktprobe durch. Die Idee ist einfach: Wenn der Punkt auf der Ebene liegt, muss es eine Kombination der Parameter $\lambda$ und $\mu$ geben, die genau zu diesem Punkt führt.

Wir setzen den Ortsvektor des Punktes $\vec{p}$ für $\vec{x}$ in die Ebenengleichung ein:

$\vec{p} = \vec{p}_{Stütz} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}$

Diese Vektorgleichung zerfällt in drei einzelne Gleichungen für die x-, y- und z-Koordinaten. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und den zwei Unbekannten $\lambda$ und $\mu$ .

Wenn das LGS eine eindeutige Lösung für $\lambda$ und $\mu$ hat (d.h., alle drei Gleichungen sind erfüllt), liegt der Punkt auf der Ebene.
Wenn das LGS zu einem Widerspruch führt (z.B. $5=6$ ), gibt es keine passende Parameterkombination, und der Punkt liegt nicht auf der Ebene.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Punkt in die Ebenengleichung einsetzen: Setze den Ortsvektor des zu prüfenden Punktes $P$ auf die linke Seite der Ebenengleichung.
Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen: Schreibe die Vektorgleichung als drei einzelne Gleichungen für jede Koordinate (x, y, z) auf.
LGS lösen: Nimm zwei der drei Gleichungen, um Werte für die Parameter $\lambda$ und $\mu$ zu berechnen. Hierfür eignen sich das Additions- oder Einsetzungsverfahren.
Probe mit der dritten Gleichung: Setze die in Schritt 3 berechneten Werte für $\lambda$ und $\mu$ in die dritte, bisher ungenutzte Gleichung ein. Ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. $12=12$ ), liegt der Punkt auf der Ebene. Ergibt sich eine falsche Aussage (ein Widerspruch, z.B. $10=12$ ), liegt der Punkt nicht auf der Ebene.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Prüfe, ob der Punkt $P(5|9|5)$ auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ liegt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punkt einsetzen
$\begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Schritt 2
LGS aufstellen
$\text{(I)} \colon \ 5 = 1 + 2\lambda$

$\text{(II)} \colon \ 9 = 3 + 4\lambda - \mu$

$\text{(III)} \colon \ 5 = 1 + 2\mu$
Schritt 3
LGS lösen
Aus Gleichung (I) können wir direkt $\lambda$ berechnen:

$5 = 1 + 2\lambda \quad |-1$

$4 = 2\lambda \quad |:2$

$\lambda = 2$

Aus Gleichung (III) können wir direkt $\mu$ berechnen:

$5 = 1 + 2\mu \quad |-1$

$4 = 2\mu \quad |:2$

$\mu = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe mit der dritten Gleichung
Wir setzen $\lambda = 2$ und $\mu = 2$ in die ungenutzte Gleichung (II) ein:

$9 = 3 + 4 \cdot (2) - (2)$

$9 = 3 + 8 - 2$

$9 = 9$

Ergebnis:

Das ist eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt auf der Ebene $E$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Liegt der Punkt $Q(0|1|2)$ auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Einsetzen und LGS aufstellen
$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{(I)} \colon \ 0 = 1 - r + 2s$

$\text{(II)} \colon \ 1 = 1 + s$

$\text{(III)} \colon \ 2 = 1 + r$
Schritt 3
LGS lösen
Aus Gleichung (II) folgt direkt:

$1 = 1 + s \quad |-1$

$s = 0$

Aus Gleichung (III) folgt direkt:

$2 = 1 + r \quad |-1$

$r = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe mit der dritten Gleichung
Wir setzen $r = 1$ und $s = 0$ in die ungenutzte Gleichung (I) ein:

$0 = 1 - (1) + 2 \cdot (0)$

$0 = 1 - 1 + 0$

$0 = 0$

Ergebnis:

Das ist eine wahre Aussage. Der Punkt $Q$ liegt auf der Ebene $E$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Zeige, dass der Punkt $A(7|7|7)$ nicht auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Einsetzen und LGS aufstellen
$\begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\text{(I)} \colon \ 7 = 1 + 3\lambda$

$\text{(II)} \colon \ 7 = 2 + \lambda + 2\mu$

$\text{(III)} \colon \ 7 = 3 + 2\lambda + \mu$
Schritt 3
LGS lösen
Aus Gleichung (I) können wir $\lambda$ berechnen:

$7 = 1 + 3\lambda \quad |-1$

$6 = 3\lambda \quad |:3$

$\lambda = 2$

Jetzt setzen wir $\lambda = 2$ in Gleichung (III) ein, um $\mu$ zu finden:

$7 = 3 + 2 \cdot (2) + \mu$

$7 = 3 + 4 + \mu$

$7 = 7 + \mu \quad |-7$

$\mu = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe mit der dritten Gleichung
Wir setzen $\lambda = 2$ und $\mu = 0$ in die ungenutzte Gleichung (II) ein:

$7 = 2 + (2) + 2 \cdot (0)$

$7 = 2 + 2 + 0$

$7 = 4$

Ergebnis:

Das ist eine falsche Aussage (ein Widerspruch). Der Punkt $A$ liegt also nicht auf der Ebene $E$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Die Ebene $L$ ist gegeben durch $L: \vec{x}=\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}+\mu \cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}$ . Zeigen Sie, dass der Punkt $S(4|4|12)$ in $L$ liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Einsetzen und LGS aufstellen
$\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\text{(I)} \colon \ 4 = 8 - 4\mu$

$\text{(II)} \colon \ 4 = 8 - 4\lambda$

$\text{(III)} \colon \ 12 = 6\lambda + 6\mu$
Schritt 3
LGS lösen
Aus (I):

$4 = 8 - 4\mu \quad |-8$

$-4 = -4\mu \quad |:(-4)$

$\mu = 1$

Aus (II):

$4 = 8 - 4\lambda \quad |-8$

$-4 = -4\lambda \quad |:(-4)$

$\lambda = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe mit der dritten Gleichung
Wir setzen $\lambda = 1$ und $\mu = 1$ in Gleichung (III) ein:

$12 = 6 \cdot (1) + 6 \cdot (1)$

$12 = 6 + 6$

$12 = 12$

Ergebnis:

Die Aussage ist wahr, also liegt der Punkt $S$ in der Ebene $L$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Überprüfe, ob der Ursprung $O(0|0|0)$ auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}$ liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Einsetzen und LGS aufstellen
$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}$

$\text{(I)} \colon \ 0 = 3 - 3r$

$\text{(II)} \colon \ 0 = 2 + r - 5s$

$\text{(III)} \colon \ 0 = 1 + r - 4s$
Schritt 3
LGS lösen
Aus (I) folgt:

$0 = 3 - 3r \quad |+3r$

$3r = 3 \quad |:3$

$r = 1$

Setze $r=1$ in (III) ein:

$0 = 1 + (1) - 4s$

$0 = 2 - 4s \quad |+4s$

$4s = 2 \quad |:4$

$s = 0{,}5$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe mit der dritten Gleichung
Wir setzen $r = 1$ und $s = 0{,}5$ in die ungenutzte Gleichung (II) ein:

$0 = 2 + (1) - 5 \cdot (0{,}5)$

$0 = 2 + 1 - 2{,}5$

$0 = 0{,}5$

Ergebnis:

Dies ist ein Widerspruch. Der Ursprung liegt nicht auf der Ebene $E$ .

Aufgabentyp 3: Fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Ebene bestimmen

Manchmal ist ein Punkt gegeben, bei dem eine Koordinate fehlt, z.B. $P(5|a|3)$ . Die Aufgabe ist, den Wert für $a$ so zu bestimmen, dass der Punkt auf einer gegebenen Ebene liegt.

Dieses Problem ist eine Variante der Punktprobe. Wir gehen davon aus, dass der Punkt auf der Ebene liegt, und nutzen diese Information, um die fehlende Koordinate zu berechnen.

Wir setzen den Punkt wie gewohnt in die Ebenengleichung ein. Dadurch erhalten wir wieder ein LGS mit drei Gleichungen. Eine dieser Gleichungen wird die Unbekannte $a$ enthalten. Die anderen beiden Gleichungen enthalten nur die Parameter $\lambda$ und $\mu$ . Wir können also diese beiden Gleichungen verwenden, um $\lambda$ und $\mu$ eindeutig zu bestimmen. Anschließend setzen wir die gefundenen Werte in die Gleichung mit $a$ ein und lösen nach $a$ auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Punkt mit fehlender Koordinate einsetzen: Setze den Ortsvektor des Punktes (z.B. $P(a|y|z)$ ) in die Ebenengleichung ein.
LGS aufstellen: Schreibe die Vektorgleichung als drei einzelne Gleichungen. Eine davon wird die Unbekannte (z.B. $a$ ) enthalten.
Parameter aus den „sauberen" Gleichungen berechnen: Nimm die beiden Gleichungen, die die Unbekannte nicht enthalten, und löse dieses 2×2-LGS, um die Werte für die Parameter $\lambda$ und $\mu$ zu finden.
Unbekannte Koordinate berechnen: Setze die berechneten Werte für $\lambda$ und $\mu$ in die Gleichung ein, die die Unbekannte enthält, und löse nach ihr auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Für welchen Wert von $a$ liegt der Punkt $P(6|a|1)$ auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Einsetzen und LGS aufstellen
$\begin{pmatrix} 6 \\ a \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\text{(I)} \colon \ 6 = 1 + r + 3s \ \to \ 5 = r + 3s$

$\text{(II)} \colon \ a = 2 + r - s$

$\text{(III)} \colon \ 1 = -r + 2s$
Schritt 3
Parameter berechnen
Wir benutzen die Gleichungen (I) und (III), da sie kein $a$ enthalten.

$\text{(I)} \colon \ 5 = r + 3s$

$\text{(III)} \colon \ 1 = -r + 2s$

Wir addieren (I) + (III):

$5+1 = (r - r) + (3s + 2s)$

$6 = 5s$

$s = \frac{6}{5}$

Setze $s$ in (I) ein:

$5 = r + 3 \cdot \left(\frac{6}{5}\right)$

$5 = r + \frac{18}{5} \quad | -\frac{18}{5}$

$\frac{25}{5} - \frac{18}{5} = r$

$r = \frac{7}{5}$
Schritt 4 · Ergebnis
Unbekannte Koordinate berechnen
Setze $r = \frac{7}{5}$ und $s = \frac{6}{5}$ in Gleichung (II) ein:

$a = 2 + \left(\frac{7}{5}\right) - \left(\frac{6}{5}\right)$

$a = 2 + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5}$

$a = \frac{11}{5}$

Ergebnis:

Für $a = \frac{11}{5}$ liegt der Punkt $P$ auf der Ebene.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme $k$ so, dass der Punkt $Q(k|4|-3)$ auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ liegt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Einsetzen und LGS aufstellen
$\begin{pmatrix} k \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\text{(I)} \colon \ k = 1 + r + 3s$

$\text{(II)} \colon \ 4 = 2 + r - s \ \to \ 2 = r - s$

$\text{(III)} \colon \ -3 = -r + 2s$
Schritt 3
Parameter berechnen
Wir benutzen die Gleichungen (II) und (III).

$\text{(II)} \colon \ 2 = r - s$

$\text{(III)} \colon \ -3 = -r + 2s$

Wir addieren (II) + (III):

$2 + (-3) = (r - r) + (-s + 2s)$

$-1 = s$

Setze $s=-1$ in (II) ein:

$2 = r - (-1)$

$2 = r + 1 \quad |-1$

$r = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Unbekannte Koordinate berechnen
Setze $r = 1$ und $s = -1$ in Gleichung (I) ein:

$k = 1 + (1) + 3 \cdot (-1)$

$k = 1 + 1 - 3$

$k = -1$

Ergebnis:

Für $k = -1$ liegt der Punkt $Q$ auf der Ebene.

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ . Der Punkt $A(3|3|z)$ liegt auf $E$ . Berechne $z$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Einsetzen und LGS aufstellen
$\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\text{(I)} \colon \ 3 = 2\lambda - \mu$

$\text{(II)} \colon \ 3 = 1 + 2\lambda$

$\text{(III)} \colon \ z = 5 + 3\mu$
Schritt 3
Parameter berechnen
Aus Gleichung (II) können wir $\lambda$ direkt berechnen:

$3 = 1 + 2\lambda \quad |-1$

$2 = 2\lambda \quad |:2$

$\lambda = 1$

Setze $\lambda=1$ in (I) ein, um $\mu$ zu finden:

$3 = 2(1) - \mu$

$3 = 2 - \mu \quad |-2$

$1 = -\mu$

$\mu = -1$
Schritt 4 · Ergebnis
Unbekannte Koordinate berechnen
Setze $\mu = -1$ in Gleichung (III) ein:

$z = 5 + 3(-1)$

$z = 5 - 3$

$z = 2$

Ergebnis:

Die fehlende Koordinate ist $z=2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Der Punkt $P(1|p|2)$ soll auf der Ebene $E: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ liegen, die durch den Ursprung geht. Bestimme $p$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Einsetzen und LGS aufstellen
Der Stützvektor ist der Nullvektor.

$\begin{pmatrix} 1 \\ p \\ 2 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\text{(I)} \colon \ 1 = \lambda$

$\text{(II)} \colon \ p = \mu$

$\text{(III)} \colon \ 2 = \lambda + \mu$
Schritt 3
Parameter berechnen
Aus Gleichung (I) wissen wir sofort: $\lambda = 1$ .

Setzen wir dies in Gleichung (III) ein:

$2 = (1) + \mu \quad |-1$

$\mu = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Unbekannte Koordinate berechnen
Laut Gleichung (II) ist $p = \mu$ . Da wir $\mu = 1$ berechnet haben, gilt:

$p = 1$

Ergebnis:

Für $p=1$ liegt der Punkt auf der Ebene.

Beispiel 5

Aufgabe

Für welchen Wert von $b$ liegt der Punkt $B(2|1|b)$ auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Einsetzen und LGS aufstellen
$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\text{(I)} \colon \ 2 = 1 + r + 2s \ \to \ 1 = r + 2s$

$\text{(II)} \colon \ 1 = r + s$

$\text{(III)} \colon \ b = 1 - s$
Schritt 3
Parameter berechnen
Wir benutzen die Gleichungen (I) und (II).

$\text{(I)} \colon \ 1 = r + 2s$

$\text{(II)} \colon \ 1 = r + s$

Wir ziehen (II) von (I) ab: (I) - (II)

$1 - 1 = (r - r) + (2s - s)$

$0 = s$

Setze $s=0$ in (II) ein:

$1 = r + (0)$

$r = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Unbekannte Koordinate berechnen
Setze $s = 0$ in Gleichung (III) ein:

$b = 1 - (0)$

$b = 1$

Ergebnis:

Für $b=1$ liegt der Punkt $B$ auf der Ebene.

Wichtige Erkenntnisse

Punkte berechnen: Wähle beliebige Werte für die Parameter $\lambda$ und $\mu$ , setze sie in die Ebenengleichung ein und rechne den Ortsvektor des Punktes aus.
Punktprobe: Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, setze seinen Ortsvektor in die Ebenengleichung ein. Löse das entstehende LGS. Gibt es eine eindeutige Lösung für $\lambda$ und $\mu$ , die alle drei Gleichungen erfüllt, liegt der Punkt drauf.
Fehlende Koordinate finden: Setze den Punkt mit der unbekannten Koordinate ein. Löse das LGS mit den beiden „vollständigen" Gleichungen, um $\lambda$ und $\mu$ zu finden. Setze diese Werte dann in die dritte Gleichung ein, um die Unbekannte zu berechnen.

Lagebeziehung Punkte und Ebenen in Parameterform