Lagebeziehung Punkte und Ebenen in Parameterform

Lagebeziehung von Punkten und Ebenen in Parameterform verständlich erklärt: Punkte auf einer Ebene berechnen, Punktprobe durchführen und fehlende Koordinaten bestimmen – mit ausführlichen Beispielen.

📅 Aktualisiert 30. Juni 2026⏱ 33 Min. Lesezeit✍️ Rocket Tutor Redaktion

Die Lagebeziehung von Punkten und Ebenen in Parameterform ist ein zentrales Thema der Vektorgeometrie und begegnet dir spätestens in der Oberstufe. Schon mal ein 3D-Spiel gezockt und dich gefragt, wie die Spielfigur perfekt auf dem Boden läuft oder eine Kugel an einer Wand abprallt? Das ist keine Magie, sondern pure Vektorgeometrie! Die Spiel-Engine berechnet ständig, ob deine Figur (ein Punkt) sich auf der Ebene des Bodens befindet. Die Ebenengleichung ist quasi der „Quellcode" für jede flache Oberfläche in der 3D-Welt – vom Boden über Wände bis hin zu Rampen. Wenn du verstehst, wie man prüft, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, verstehst du ein Grundprinzip, das hinter jeder modernen 3D-Grafik steckt.

Vorwissen

Bevor wir in die 3D-Welt der Ebenen eintauchen, sollten wir uns an ein paar Grundlagen erinnern:

  • Ortsvektor: Das ist ein Vektor, der vom Ursprung (0∣0∣0)(0|0|0) zu einem Punkt zeigt. Er hat dieselben Koordinaten wie der Punkt.

    • Beispiel: Der Punkt P(2∣5∣3)P(2|5|3) hat den Ortsvektor p⃗=(253)\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}.

  • Vektoren addieren und mit einer Zahl multiplizieren (Skalarmultiplikation):

    • Beispiel: 2⋅(103)+3⋅(21−1)=(206)+(63−3)=(833)2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}.

  • Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen: Oft müssen wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen. Das Additionsverfahren ist hier sehr nützlich.

    • Beispiel:

    (I) ⁣: 2r+s=5\text{(I)} \colon \ 2r + s = 5

    (II) ⁣:−2r+3s=7\text{(II)} \colon -2r + 3s = 7

    Wir addieren (I) + (II): 4s=12→s=34s = 12 \to s=3. Eingesetzt in (I): 2r+3=5→2r=2→r=12r + 3 = 5 \to 2r=2 \to r=1.

Aufgabentyp 1: Punkte auf einer Ebene berechnen

Eine Ebene in Parameterform sieht so aus:

E:x⃗=p⃗+λ⋅u⃗+μ⋅v⃗E: \vec{x} = \vec{p} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}

  • p⃗\vec{p} ist der Stützvektor. Er zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene.
  • u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} sind die Richtungsvektoren. Sie spannen die Ebene vom Stützvektor aus auf.
  • λ\lambda (Lambda) und μ\mu (My) sind die Parameter. Das sind einfach Zahlen, die du frei wählen kannst.

Jede Kombination von Werten für λ\lambda und μ\mu erzeugt den Ortsvektor eines Punktes, der auf der Ebene liegt. Man kann sich das so vorstellen: Vom Ursprung aus gehst du zum Punkt PP (Stützvektor), dann eine bestimmte Anzahl (λ\lambda) Schritte in Richtung u⃗\vec{u} und eine andere Anzahl (μ\mu) Schritte in Richtung v⃗\vec{v}.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Werte für die Parameter wählen: Wähle beliebige Zahlen für λ\lambda und μ\mu. Am einfachsten sind kleine ganze Zahlen wie 0, 1 oder -1.
  2. Werte einsetzen und ausrechnen: Setze die gewählten Werte in die Ebenengleichung ein und berechne den resultierenden Vektor. Dieser Vektor ist der Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Koordinaten von drei verschiedenen Punkten, die auf der Ebene E:x⃗=(123)+λ⋅(20−1)+μ⋅(014)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} liegen.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Parameter wählen und ersten Punkt berechnen

    Wir wählen drei einfache Kombinationen für λ\lambda und μ\mu.

    1. Punkt (Wähle λ=0\lambda = 0 und μ=0\mu = 0):

    x1⃗=(123)+0⋅(20−1)+0⋅(014)\vec{x_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}

    x1⃗=(123)+(000)+(000)=(123)\vec{x_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

    Der Punkt ist P1(1∣2∣3)P_1(1|2|3). Das ist der Punkt, zu dem der Stützvektor zeigt.

  2. Schritt 2
    Zweiten Punkt berechnen

    2. Punkt (Wähle λ=1\lambda = 1 und μ=0\mu = 0):

    x2⃗=(123)+1⋅(20−1)+0⋅(014)\vec{x_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}

    x2⃗=(123)+(20−1)=(322)\vec{x_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

    Der Punkt ist P2(3∣2∣2)P_2(3|2|2).

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Dritten Punkt berechnen

    3. Punkt (Wähle λ=0\lambda = 0 und μ=1\mu = 1):

    x3⃗=(123)+0⋅(20−1)+1⋅(014)\vec{x_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}

    x3⃗=(123)+(014)=(137)\vec{x_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}

    Der Punkt ist P3(1∣3∣7)P_3(1|3|7).

Ergebnis:

Die drei Punkte auf der Ebene sind P1(1∣2∣3)P_1(1|2|3), P2(3∣2∣2)P_2(3|2|2) und P3(1∣3∣7)P_3(1|3|7).

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Ebene geht durch den Ursprung und wird von den Vektoren u⃗=(510)\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und v⃗=(−1−12)\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} aufgespannt. Gib die Koordinaten von zwei Punkten (außer dem Ursprung) an, die auf dieser Ebene liegen.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Ebenengleichung aufstellen

    Da die Ebene durch den Ursprung geht, ist der Stützvektor der Nullvektor p⃗=(000)\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

    Die Ebenengleichung lautet: E:x⃗=λ⋅(510)+μ⋅(−1−12)E: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}.

  2. Schritt 2
    Ersten Punkt berechnen

    1. Punkt (Wähle λ=1\lambda = 1 und μ=1\mu = 1):

    x1⃗=1⋅(510)+1⋅(−1−12)\vec{x_1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

    x1⃗=(510)+(−1−12)=(402)\vec{x_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}

    Der Punkt ist P1(4∣0∣2)P_1(4|0|2).

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Zweiten Punkt berechnen

    2. Punkt (Wähle λ=2\lambda = 2 und μ=−1\mu = -1):

    x2⃗=2⋅(510)+(−1)⋅(−1−12)\vec{x_2} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

    x2⃗=(1020)+(11−2)=(113−2)\vec{x_2} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}

    Der Punkt ist P2(11∣3∣−2)P_2(11|3|-2).

Ergebnis:

Zwei Punkte auf der Ebene (außer dem Ursprung) sind P1(4∣0∣2)P_1(4|0|2) und P2(11∣3∣−2)P_2(11|3|-2).

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme einen Punkt auf der Ebene E:x⃗=(−4010)+r⋅(111)+s⋅(321)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, der nicht der Stützpunkt ist.

Fortschritt
2 / 2
  1. Schritt 1
    Strategie festlegen

    Der Stützpunkt ergibt sich, wenn man für die Parameter r=0r=0 und s=0s=0 wählt. Um einen anderen Punkt zu finden, wählen wir mindestens einen Parameter ungleich Null.

  2. Schritt 2 · Ergebnis
    Parameter einsetzen und ausrechnen

    Wir wählen zum Beispiel r=2r = 2 und s=0s = 0.

    x⃗=(−4010)+2⋅(111)+0⋅(321)\vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

    x⃗=(−4010)+(222)=(−2212)\vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix}

Ergebnis:

Ein möglicher Punkt ist P(−2∣2∣12)P(-2|2|12).

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene E:x⃗=(005)+λ⋅(100)+μ⋅(010)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. Beschreibe, wo diese Ebene im Koordinatensystem liegt und gib einen Punkt darauf an.

Fortschritt
2 / 2
  1. Schritt 1
    Ebene beschreiben

    Der Stützvektor (005)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} zeigt zum Punkt (0∣0∣5)(0|0|5) auf der z-Achse. Die Richtungsvektoren (100)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} (x-Richtung) und (010)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} (y-Richtung) spannen eine Ebene auf, die parallel zur x-y-Grundebene ist, aber um 5 Einheiten nach oben verschoben. Es ist eine horizontale Ebene auf der Höhe z=5z=5.

  2. Schritt 2 · Ergebnis
    Punkt berechnen

    Um einen Punkt zu berechnen, wählen wir λ=3\lambda = 3 und μ=4\mu = 4.

    x⃗=(005)+3⋅(100)+4⋅(010)\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

    x⃗=(005)+(300)+(040)=(345)\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}

Ergebnis:

Ein Punkt auf der Ebene ist P(3∣4∣5)P(3|4|5). Man sieht, dass die z-Koordinate immer 5 ist.

Beispiel 5

Aufgabe

Finde einen Punkt auf der Ebene E:x⃗=(222)+t⋅(1−10)+u⋅(01−1)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, indem du negative Parameterwerte verwendest.

Fortschritt
2 / 2
  1. Schritt 1
    Negative Parameter wählen

    Wir können beliebige Zahlen für die Parameter einsetzen, auch negative. Wir wählen t=−1t = -1 und u=−2u = -2.

  2. Schritt 2 · Ergebnis
    Einsetzen und ausrechnen

    x⃗=(222)+(−1)⋅(1−10)+(−2)⋅(01−1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

    x⃗=(222)+(−110)+(0−22)\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}

    x⃗=(2−1+02+1−22+0+2)=(114)\vec{x} = \begin{pmatrix} 2-1+0 \\ 2+1-2 \\ 2+0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}

Ergebnis:

Ein Punkt auf der Ebene ist P(1∣1∣4)P(1|1|4).

Aufgabentyp 2: Prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt (Punktprobe)

Um zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt PP auf einer Ebene EE liegt, führst du eine Punktprobe durch. Die Idee ist einfach: Wenn der Punkt auf der Ebene liegt, muss es eine Kombination der Parameter λ\lambda und μ\mu geben, die genau zu diesem Punkt führt.

Wir setzen den Ortsvektor des Punktes p⃗\vec{p} für x⃗\vec{x} in die Ebenengleichung ein:

p⃗=p⃗Stu¨tz+λ⋅u⃗+μ⋅v⃗\vec{p} = \vec{p}_{Stütz} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}

Diese Vektorgleichung zerfällt in drei einzelne Gleichungen für die x-, y- und z-Koordinaten. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und den zwei Unbekannten λ\lambda und μ\mu.

  • Wenn das LGS eine eindeutige Lösung für λ\lambda und μ\mu hat (d.h., alle drei Gleichungen sind erfüllt), liegt der Punkt auf der Ebene.
  • Wenn das LGS zu einem Widerspruch führt (z.B. 5=65=6), gibt es keine passende Parameterkombination, und der Punkt liegt nicht auf der Ebene.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Punkt in die Ebenengleichung einsetzen: Setze den Ortsvektor des zu prüfenden Punktes PP auf die linke Seite der Ebenengleichung.
  2. Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen: Schreibe die Vektorgleichung als drei einzelne Gleichungen für jede Koordinate (x, y, z) auf.
  3. LGS lösen: Nimm zwei der drei Gleichungen, um Werte für die Parameter λ\lambda und μ\mu zu berechnen. Hierfür eignen sich das Additions- oder Einsetzungsverfahren.
  4. Probe mit der dritten Gleichung: Setze die in Schritt 3 berechneten Werte für λ\lambda und μ\mu in die dritte, bisher ungenutzte Gleichung ein. Ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 12=1212=12), liegt der Punkt auf der Ebene. Ergibt sich eine falsche Aussage (ein Widerspruch, z.B. 10=1210=12), liegt der Punkt nicht auf der Ebene.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Prüfe, ob der Punkt P(5∣9∣5)P(5|9|5) auf der Ebene E:x⃗=(131)+λ⋅(240)+μ⋅(0−12)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} liegt.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Punkt einsetzen

    (595)=(131)+λ⋅(240)+μ⋅(0−12)\begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

  2. Schritt 2
    LGS aufstellen

    (I) ⁣: 5=1+2λ\text{(I)} \colon \ 5 = 1 + 2\lambda

    (II) ⁣: 9=3+4λ−μ\text{(II)} \colon \ 9 = 3 + 4\lambda - \mu

    (III) ⁣: 5=1+2μ\text{(III)} \colon \ 5 = 1 + 2\mu

  3. Schritt 3
    LGS lösen

    Aus Gleichung (I) können wir direkt λ\lambda berechnen:

    5=1+2λ∣−15 = 1 + 2\lambda \quad |-1

    4=2λ∣:24 = 2\lambda \quad |:2

    λ=2\lambda = 2

    Aus Gleichung (III) können wir direkt μ\mu berechnen:

    5=1+2μ∣−15 = 1 + 2\mu \quad |-1

    4=2μ∣:24 = 2\mu \quad |:2

    μ=2\mu = 2

  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Probe mit der dritten Gleichung

    Wir setzen λ=2\lambda = 2 und μ=2\mu = 2 in die ungenutzte Gleichung (II) ein:

    9=3+4⋅(2)−(2)9 = 3 + 4 \cdot (2) - (2)

    9=3+8−29 = 3 + 8 - 2

    9=99 = 9

Ergebnis:

Das ist eine wahre Aussage. Der Punkt PP liegt auf der Ebene EE.

Beispiel 2

Aufgabe

Liegt der Punkt Q(0∣1∣2)Q(0|1|2) auf der Ebene E:x⃗=(111)+r⋅(−101)+s⋅(210)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}?

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1 & 2
    Einsetzen und LGS aufstellen

    (012)=(111)+r⋅(−101)+s⋅(210)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

    (I) ⁣: 0=1−r+2s\text{(I)} \colon \ 0 = 1 - r + 2s

    (II) ⁣: 1=1+s\text{(II)} \colon \ 1 = 1 + s

    (III) ⁣: 2=1+r\text{(III)} \colon \ 2 = 1 + r

  2. Schritt 3
    LGS lösen

    Aus Gleichung (II) folgt direkt:

    1=1+s∣−11 = 1 + s \quad |-1

    s=0s = 0

    Aus Gleichung (III) folgt direkt:

    2=1+r∣−12 = 1 + r \quad |-1

    r=1r = 1

  3. Schritt 4 · Ergebnis
    Probe mit der dritten Gleichung

    Wir setzen r=1r = 1 und s=0s = 0 in die ungenutzte Gleichung (I) ein:

    0=1−(1)+2⋅(0)0 = 1 - (1) + 2 \cdot (0)

    0=1−1+00 = 1 - 1 + 0

    0=00 = 0

Ergebnis:

Das ist eine wahre Aussage. Der Punkt QQ liegt auf der Ebene EE.

Beispiel 3

Aufgabe

Zeige, dass der Punkt A(7∣7∣7)A(7|7|7) nicht auf der Ebene E:x⃗=(123)+λ⋅(312)+μ⋅(021)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} liegt.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1 & 2
    Einsetzen und LGS aufstellen

    (777)=(123)+λ⋅(312)+μ⋅(021)\begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

    (I) ⁣: 7=1+3λ\text{(I)} \colon \ 7 = 1 + 3\lambda

    (II) ⁣: 7=2+λ+2μ\text{(II)} \colon \ 7 = 2 + \lambda + 2\mu

    (III) ⁣: 7=3+2λ+μ\text{(III)} \colon \ 7 = 3 + 2\lambda + \mu

  2. Schritt 3
    LGS lösen

    Aus Gleichung (I) können wir λ\lambda berechnen:

    7=1+3λ∣−17 = 1 + 3\lambda \quad |-1

    6=3λ∣:36 = 3\lambda \quad |:3

    λ=2\lambda = 2

    Jetzt setzen wir λ=2\lambda = 2 in Gleichung (III) ein, um μ\mu zu finden:

    7=3+2⋅(2)+μ7 = 3 + 2 \cdot (2) + \mu

    7=3+4+μ7 = 3 + 4 + \mu

    7=7+μ∣−77 = 7 + \mu \quad |-7

    μ=0\mu = 0

  3. Schritt 4 · Ergebnis
    Probe mit der dritten Gleichung

    Wir setzen λ=2\lambda = 2 und μ=0\mu = 0 in die ungenutzte Gleichung (II) ein:

    7=2+(2)+2⋅(0)7 = 2 + (2) + 2 \cdot (0)

    7=2+2+07 = 2 + 2 + 0

    7=47 = 4

Ergebnis:

Das ist eine falsche Aussage (ein Widerspruch). Der Punkt AA liegt also nicht auf der Ebene EE.

Beispiel 4

Aufgabe

Die Ebene LL ist gegeben durch L:x⃗=(880)+λ⋅(0−46)+μ⋅(−406)L: \vec{x}=\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}+\mu \cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}. Zeigen Sie, dass der Punkt S(4∣4∣12)S(4|4|12) in LL liegt.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1 & 2
    Einsetzen und LGS aufstellen

    (4412)=(880)+λ⋅(0−46)+μ⋅(−406)\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}

    (I) ⁣: 4=8−4μ\text{(I)} \colon \ 4 = 8 - 4\mu

    (II) ⁣: 4=8−4λ\text{(II)} \colon \ 4 = 8 - 4\lambda

    (III) ⁣: 12=6λ+6μ\text{(III)} \colon \ 12 = 6\lambda + 6\mu

  2. Schritt 3
    LGS lösen

    Aus (I):

    4=8−4μ∣−84 = 8 - 4\mu \quad |-8

    −4=−4μ∣:(−4)-4 = -4\mu \quad |:(-4)

    μ=1\mu = 1

    Aus (II):

    4=8−4λ∣−84 = 8 - 4\lambda \quad |-8

    −4=−4λ∣:(−4)-4 = -4\lambda \quad |:(-4)

    λ=1\lambda = 1

  3. Schritt 4 · Ergebnis
    Probe mit der dritten Gleichung

    Wir setzen λ=1\lambda = 1 und μ=1\mu = 1 in Gleichung (III) ein:

    12=6⋅(1)+6⋅(1)12 = 6 \cdot (1) + 6 \cdot (1)

    12=6+612 = 6 + 6

    12=1212 = 12

Ergebnis:

Die Aussage ist wahr, also liegt der Punkt SS in der Ebene LL.

Beispiel 5

Aufgabe

Überprüfe, ob der Ursprung O(0∣0∣0)O(0|0|0) auf der Ebene E:x⃗=(321)+r⋅(−311)+s⋅(0−5−4)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} liegt.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1 & 2
    Einsetzen und LGS aufstellen

    (000)=(321)+r⋅(−311)+s⋅(0−5−4)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}

    (I) ⁣: 0=3−3r\text{(I)} \colon \ 0 = 3 - 3r

    (II) ⁣: 0=2+r−5s\text{(II)} \colon \ 0 = 2 + r - 5s

    (III) ⁣: 0=1+r−4s\text{(III)} \colon \ 0 = 1 + r - 4s

  2. Schritt 3
    LGS lösen

    Aus (I) folgt:

    0=3−3r∣+3r0 = 3 - 3r \quad |+3r

    3r=3∣:33r = 3 \quad |:3

    r=1r = 1

    Setze r=1r=1 in (III) ein:

    0=1+(1)−4s0 = 1 + (1) - 4s

    0=2−4s∣+4s0 = 2 - 4s \quad |+4s

    4s=2∣:44s = 2 \quad |:4

    s=0,5s = 0{,}5

  3. Schritt 4 · Ergebnis
    Probe mit der dritten Gleichung

    Wir setzen r=1r = 1 und s=0,5s = 0{,}5 in die ungenutzte Gleichung (II) ein:

    0=2+(1)−5⋅(0,5)0 = 2 + (1) - 5 \cdot (0{,}5)

    0=2+1−2,50 = 2 + 1 - 2{,}5

    0=0,50 = 0{,}5

Ergebnis:

Dies ist ein Widerspruch. Der Ursprung liegt nicht auf der Ebene EE.

Aufgabentyp 3: Fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Ebene bestimmen

Manchmal ist ein Punkt gegeben, bei dem eine Koordinate fehlt, z.B. P(5∣a∣3)P(5|a|3). Die Aufgabe ist, den Wert für aa so zu bestimmen, dass der Punkt auf einer gegebenen Ebene liegt.

Dieses Problem ist eine Variante der Punktprobe. Wir gehen davon aus, dass der Punkt auf der Ebene liegt, und nutzen diese Information, um die fehlende Koordinate zu berechnen.

Wir setzen den Punkt wie gewohnt in die Ebenengleichung ein. Dadurch erhalten wir wieder ein LGS mit drei Gleichungen. Eine dieser Gleichungen wird die Unbekannte aa enthalten. Die anderen beiden Gleichungen enthalten nur die Parameter λ\lambda und μ\mu. Wir können also diese beiden Gleichungen verwenden, um λ\lambda und μ\mu eindeutig zu bestimmen. Anschließend setzen wir die gefundenen Werte in die Gleichung mit aa ein und lösen nach aa auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Punkt mit fehlender Koordinate einsetzen: Setze den Ortsvektor des Punktes (z.B. P(a∣y∣z)P(a|y|z)) in die Ebenengleichung ein.
  2. LGS aufstellen: Schreibe die Vektorgleichung als drei einzelne Gleichungen. Eine davon wird die Unbekannte (z.B. aa) enthalten.
  3. Parameter aus den „sauberen" Gleichungen berechnen: Nimm die beiden Gleichungen, die die Unbekannte nicht enthalten, und löse dieses 2×2-LGS, um die Werte für die Parameter λ\lambda und μ\mu zu finden.
  4. Unbekannte Koordinate berechnen: Setze die berechneten Werte für λ\lambda und μ\mu in die Gleichung ein, die die Unbekannte enthält, und löse nach ihr auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Für welchen Wert von aa liegt der Punkt P(6∣a∣1)P(6|a|1) auf der Ebene E:x⃗=(120)+r⋅(11−1)+s⋅(3−12)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}?

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1 & 2
    Einsetzen und LGS aufstellen

    (6a1)=(120)+r⋅(11−1)+s⋅(3−12)\begin{pmatrix} 6 \\ a \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

    (I) ⁣: 6=1+r+3s → 5=r+3s\text{(I)} \colon \ 6 = 1 + r + 3s \ \to \ 5 = r + 3s

    (II) ⁣: a=2+r−s\text{(II)} \colon \ a = 2 + r - s

    (III) ⁣: 1=−r+2s\text{(III)} \colon \ 1 = -r + 2s

  2. Schritt 3
    Parameter berechnen

    Wir benutzen die Gleichungen (I) und (III), da sie kein aa enthalten.

    (I) ⁣: 5=r+3s\text{(I)} \colon \ 5 = r + 3s

    (III) ⁣: 1=−r+2s\text{(III)} \colon \ 1 = -r + 2s

    Wir addieren (I) + (III):

    5+1=(r−r)+(3s+2s)5+1 = (r - r) + (3s + 2s)

    6=5s6 = 5s

    s=65s = \frac{6}{5}

    Setze ss in (I) ein:

    5=r+3⋅(65)5 = r + 3 \cdot \left(\frac{6}{5}\right)

    5=r+185∣−1855 = r + \frac{18}{5} \quad | -\frac{18}{5}

    255−185=r\frac{25}{5} - \frac{18}{5} = r

    r=75r = \frac{7}{5}

  3. Schritt 4 · Ergebnis
    Unbekannte Koordinate berechnen

    Setze r=75r = \frac{7}{5} und s=65s = \frac{6}{5} in Gleichung (II) ein:

    a=2+(75)−(65)a = 2 + \left(\frac{7}{5}\right) - \left(\frac{6}{5}\right)

    a=2+15=105+15a = 2 + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5}

    a=115a = \frac{11}{5}

Ergebnis:

Für a=115a = \frac{11}{5} liegt der Punkt PP auf der Ebene.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme kk so, dass der Punkt Q(k∣4∣−3)Q(k|4|-3) auf der Ebene E:x⃗=(120)+r⋅(11−1)+s⋅(3−12)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} liegt.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1 & 2
    Einsetzen und LGS aufstellen

    (k4−3)=(120)+r⋅(11−1)+s⋅(3−12)\begin{pmatrix} k \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

    (I) ⁣: k=1+r+3s\text{(I)} \colon \ k = 1 + r + 3s

    (II) ⁣: 4=2+r−s → 2=r−s\text{(II)} \colon \ 4 = 2 + r - s \ \to \ 2 = r - s

    (III) ⁣: −3=−r+2s\text{(III)} \colon \ -3 = -r + 2s

  2. Schritt 3
    Parameter berechnen

    Wir benutzen die Gleichungen (II) und (III).

    (II) ⁣: 2=r−s\text{(II)} \colon \ 2 = r - s

    (III) ⁣: −3=−r+2s\text{(III)} \colon \ -3 = -r + 2s

    Wir addieren (II) + (III):

    2+(−3)=(r−r)+(−s+2s)2 + (-3) = (r - r) + (-s + 2s)

    −1=s-1 = s

    Setze s=−1s=-1 in (II) ein:

    2=r−(−1)2 = r - (-1)

    2=r+1∣−12 = r + 1 \quad |-1

    r=1r = 1

  3. Schritt 4 · Ergebnis
    Unbekannte Koordinate berechnen

    Setze r=1r = 1 und s=−1s = -1 in Gleichung (I) ein:

    k=1+(1)+3⋅(−1)k = 1 + (1) + 3 \cdot (-1)

    k=1+1−3k = 1 + 1 - 3

    k=−1k = -1

Ergebnis:

Für k=−1k = -1 liegt der Punkt QQ auf der Ebene.

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene E:x⃗=(015)+λ⋅(220)+μ⋅(−103)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}. Der Punkt A(3∣3∣z)A(3|3|z) liegt auf EE. Berechne zz.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1 & 2
    Einsetzen und LGS aufstellen

    (33z)=(015)+λ⋅(220)+μ⋅(−103)\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

    (I) ⁣: 3=2λ−μ\text{(I)} \colon \ 3 = 2\lambda - \mu

    (II) ⁣: 3=1+2λ\text{(II)} \colon \ 3 = 1 + 2\lambda

    (III) ⁣: z=5+3μ\text{(III)} \colon \ z = 5 + 3\mu

  2. Schritt 3
    Parameter berechnen

    Aus Gleichung (II) können wir λ\lambda direkt berechnen:

    3=1+2λ∣−13 = 1 + 2\lambda \quad |-1

    2=2λ∣:22 = 2\lambda \quad |:2

    λ=1\lambda = 1

    Setze λ=1\lambda=1 in (I) ein, um μ\mu zu finden:

    3=2(1)−μ3 = 2(1) - \mu

    3=2−μ∣−23 = 2 - \mu \quad |-2

    1=−μ1 = -\mu

    μ=−1\mu = -1

  3. Schritt 4 · Ergebnis
    Unbekannte Koordinate berechnen

    Setze μ=−1\mu = -1 in Gleichung (III) ein:

    z=5+3(−1)z = 5 + 3(-1)

    z=5−3z = 5 - 3

    z=2z = 2

Ergebnis:

Die fehlende Koordinate ist z=2z=2.

Beispiel 4

Aufgabe

Der Punkt P(1∣p∣2)P(1|p|2) soll auf der Ebene E:x⃗=λ⋅(101)+μ⋅(011)E: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} liegen, die durch den Ursprung geht. Bestimme pp.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1 & 2
    Einsetzen und LGS aufstellen

    Der Stützvektor ist der Nullvektor.

    (1p2)=λ⋅(101)+μ⋅(011)\begin{pmatrix} 1 \\ p \\ 2 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

    (I) ⁣: 1=λ\text{(I)} \colon \ 1 = \lambda

    (II) ⁣: p=μ\text{(II)} \colon \ p = \mu

    (III) ⁣: 2=λ+μ\text{(III)} \colon \ 2 = \lambda + \mu

  2. Schritt 3
    Parameter berechnen

    Aus Gleichung (I) wissen wir sofort: λ=1\lambda = 1.

    Setzen wir dies in Gleichung (III) ein:

    2=(1)+μ∣−12 = (1) + \mu \quad |-1

    μ=1\mu = 1

  3. Schritt 4 · Ergebnis
    Unbekannte Koordinate berechnen

    Laut Gleichung (II) ist p=μp = \mu. Da wir μ=1\mu = 1 berechnet haben, gilt:

    p=1p = 1

Ergebnis:

Für p=1p=1 liegt der Punkt auf der Ebene.

Beispiel 5

Aufgabe

Für welchen Wert von bb liegt der Punkt B(2∣1∣b)B(2|1|b) auf der Ebene E:x⃗=(101)+r⋅(110)+s⋅(21−1)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}?

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1 & 2
    Einsetzen und LGS aufstellen

    (21b)=(101)+r⋅(110)+s⋅(21−1)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

    (I) ⁣: 2=1+r+2s → 1=r+2s\text{(I)} \colon \ 2 = 1 + r + 2s \ \to \ 1 = r + 2s

    (II) ⁣: 1=r+s\text{(II)} \colon \ 1 = r + s

    (III) ⁣: b=1−s\text{(III)} \colon \ b = 1 - s

  2. Schritt 3
    Parameter berechnen

    Wir benutzen die Gleichungen (I) und (II).

    (I) ⁣: 1=r+2s\text{(I)} \colon \ 1 = r + 2s

    (II) ⁣: 1=r+s\text{(II)} \colon \ 1 = r + s

    Wir ziehen (II) von (I) ab: (I) - (II)

    1−1=(r−r)+(2s−s)1 - 1 = (r - r) + (2s - s)

    0=s0 = s

    Setze s=0s=0 in (II) ein:

    1=r+(0)1 = r + (0)

    r=1r = 1

  3. Schritt 4 · Ergebnis
    Unbekannte Koordinate berechnen

    Setze s=0s = 0 in Gleichung (III) ein:

    b=1−(0)b = 1 - (0)

    b=1b = 1

Ergebnis:

Für b=1b=1 liegt der Punkt BB auf der Ebene.

Wichtige Erkenntnisse

  • Punkte berechnen: Wähle beliebige Werte für die Parameter λ\lambda und μ\mu, setze sie in die Ebenengleichung ein und rechne den Ortsvektor des Punktes aus.
  • Punktprobe: Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, setze seinen Ortsvektor in die Ebenengleichung ein. Löse das entstehende LGS. Gibt es eine eindeutige Lösung für λ\lambda und μ\mu, die alle drei Gleichungen erfüllt, liegt der Punkt drauf.
  • Fehlende Koordinate finden: Setze den Punkt mit der unbekannten Koordinate ein. Löse das LGS mit den beiden „vollständigen" Gleichungen, um λ\lambda und μ\mu zu finden. Setze diese Werte dann in die dritte Gleichung ein, um die Unbekannte zu berechnen.

Häufige Fragen

Was ist die Lagebeziehung von Punkten und Ebenen in Parameterform?

Die Lagebeziehung von Punkten und Ebenen beschreibt, ob ein gegebener Punkt auf einer Ebene liegt oder nicht. Eine Ebene in Parameterform lautet E: x⃗ = p⃗ + λ·u⃗ + μ·v⃗. Jede Kombination der Parameter λ und μ erzeugt den Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene. Um die Lagebeziehung zu prüfen, setzt du den Ortsvektor des Punktes in die Gleichung ein und löst das entstehende lineare Gleichungssystem.

Wie führst du eine Punktprobe bei einer Ebene in Parameterform durch?

Du setzt den Ortsvektor des Punktes in die Ebenengleichung ein und stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen auf. Dann löst du zwei der Gleichungen nach λ und μ. Zuletzt prüfst du mit der dritten Gleichung: Ergibt sich eine wahre Aussage (z. B. 9 = 9), liegt der Punkt auf der Ebene. Ergibt sich ein Widerspruch (z. B. 7 = 4), liegt er nicht drauf.

Wie berechnest du Punkte auf einer Ebene in Parameterform?

Um Punkte auf einer Ebene in Parameterform zu berechnen, wählst du einfach beliebige Zahlen für die Parameter λ und μ – am bequemsten sind kleine ganze Zahlen wie 0, 1 oder −1. Diese Werte setzt du in die Ebenengleichung E: x⃗ = p⃗ + λ·u⃗ + μ·v⃗ ein und rechnest den resultierenden Vektor aus. Dieser Vektor ist der Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene.

Wie bestimmst du eine fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Ebene?

Du setzt den Punkt mit der unbekannten Koordinate (z. B. P(5|a|3)) in die Ebenengleichung ein. Das ergibt drei Gleichungen: Eine enthält a, die anderen beiden nur λ und μ. Aus den beiden „sauberen" Gleichungen berechnest du λ und μ. Diese Werte setzt du anschließend in die dritte Gleichung ein und löst nach der unbekannten Koordinate auf.

Wann liegt ein Punkt nicht auf einer Ebene?

Ein Punkt liegt nicht auf einer Ebene, wenn das lineare Gleichungssystem der Punktprobe zu einem Widerspruch führt – also wenn nach dem Einsetzen der berechneten Parameter λ und μ in die dritte Gleichung eine falsche Aussage entsteht, zum Beispiel 7 = 4. Das bedeutet: Es gibt keine Parameterkombination, die den Punkt auf der Ebene erzeugt.

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