Was sind angewandte Lagebeziehungen von Geraden?

Angewandte Lagebeziehungen von Geraden beschreiben, wie zwei Geraden im dreidimensionalen Raum zueinander liegen – ob sie sich schneiden, parallel verlaufen, windschief sind oder identisch sind. In der Praxis tauchen diese Fragen z. B. bei Flugbahnen, Laserstrahlen oder Kanten geometrischer Körper auf. Das mathematische Werkzeug dazu ist die Parameterform der Geradengleichung kombiniert mit einem linearen Gleichungssystem.

Wie prüfst du rechnerisch, ob sich zwei Geraden schneiden?

Du stellst für beide Geraden je eine Gleichung in Parameterform auf und setzt sie gleich. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen. Löst du zwei davon nach den Parametern t und s auf, prüfst du das Ergebnis in der dritten Gleichung (Probe): Geht die Probe auf, gibt es einen Schnittpunkt . Entsteht ein Widerspruch, sind die Geraden windschief oder parallel .

Was ist der Unterschied zwischen windschieven und parallelen Geraden?

Parallele Geraden haben denselben Richtungsvektor (oder ein skalares Vielfaches davon) – sie verlaufen gleichmäßig nebeneinander und treffen sich nie. Windschiefe Geraden dagegen haben unterschiedliche Richtungsvektoren und liegen in verschiedenen Ebenen; sie sind also weder parallel noch schneiden sie sich. Beide Fälle führen beim Lösen des LGS zu einem Widerspruch in der Probe.

Wie stellst du eine parallele Gerade durch einen gegebenen Punkt auf?

Lies den Richtungsvektor aus der gegebenen Geraden ab und übernimm ihn unverändert für die neue, parallele Gerade. Als Stützvektor verwendest du den Ortsvektor des vorgegebenen Punktes. Manchmal musst du diesen Punkt zuerst berechnen, z. B. als Mittelpunkt einer Strecke. Anschließend setzt du beide Vektoren in die Parameterform $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ ein.

Wann haben zwei Geraden unendlich viele Schnittpunkte?

Zwei Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte , wenn sie identisch sind. Das erkennst du daran, dass das LGS beim Gleichsetzen eine stets wahre Aussage liefert (z. B. $-25 = -25$), die unabhängig vom Parameter gilt. Um Identität zu bestätigen, prüfst du zusätzlich, ob der Stützpunkt einer Geraden auch auf der anderen Geraden liegt.

Lagebeziehungen von Geraden: Anwendungen einfach erklärt

Angewandte Lagebeziehungen von Geraden begegnen dir überall, wo Wege, Bahnen oder Strahlen im Raum modelliert werden – ob in der Flugsicherung, beim Programmieren von Spielen oder in der Robotik. Stell dir vor, du programmierst ein Videospiel: Ein Laserstrahl wird abgefeuert – trifft er den Gegner? Oder stell dir die Flugsicherung am Flughafen vor: Zwei Flugzeuge sind im Anflug. Werden sich ihre Routen kreuzen? Ein winziger Rechenfehler könnte katastrophale Folgen haben. Genau das ist Vektorrechnung in Aktion – die Grundlage für Kollisionserkennung in Spielen, GPS-Navigation und Robotik. Mit dem, was du hier lernst, kannst du die unsichtbaren Pfade von Objekten berechnen und vorhersagen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Die Geradengleichung in Parameterform: Beschreibt alle Punkte auf einer unendlich langen, geraden Linie.
- Formel: $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$
- Beispiel: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ . Der Punkt $(1|2|3)$ liegt auf der Geraden und für jeden Wert von $t$ erhält man einen weiteren Punkt.
Richtungsvektor zwischen zwei Punkten: Zeigt von einem Punkt zum anderen.
- Formel: $\vec{u} = \vec{B} - \vec{A}$
- Beispiel: Für die Punkte $A(1|1|1)$ und $B(3|4|5)$ ist der Richtungsvektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
Mittelpunkt einer Strecke: Der Punkt, der genau in der Mitte zwischen zwei Endpunkten liegt.
- Formel: $M = \left( \frac{x_A+x_B}{2} \mid \frac{y_A+y_B}{2} \mid \frac{z_A+z_B}{2} \right)$
- Beispiel: Der Mittelpunkt der Strecke zwischen $A(2|4|6)$ und $B(8|10|12)$ ist $M(5|7|9)$ .

Aufgabentyp 1: Schnittpunkt von Geraden im Sachzusammenhang prüfen

In Anwendungsaufgaben sind Geraden oft durch Start- und Zielpunkte beschrieben, z.B. die Flugbahnen von Drohnen oder Flugzeugen. Um herauszufinden, ob sich diese Bahnen kreuzen, müssen wir prüfen, ob die beiden Geraden einen gemeinsamen Punkt haben.

Der Weg dahin ist immer gleich:

Für jede Flugbahn eine Geradengleichung aufstellen.
Die beiden Geradengleichungen gleichsetzen.
Das entstehende lineare Gleichungssystem (LGS) lösen.

Das Ergebnis des LGS verrät uns, ob es einen Schnittpunkt gibt:

Eindeutige Lösung: Die Bahnen schneiden sich.
Keine Lösung (Widerspruch): Die Bahnen sind parallel oder windschief (sie verfehlen sich).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Geradengleichungen aufstellen

Für die erste Gerade $g_1$ : Wähle einen der beiden Punkte als Stützvektor. Berechne den Richtungsvektor, indem du die Ortsvektoren der beiden Punkte voneinander abziehst (Endpunkt minus Startpunkt).
Wiederhole dies für die zweite Gerade $g_2$ mit den anderen beiden Punkten. Wichtig: Verwende einen anderen Parameter (z.B. $t$ für $g_1$ und $s$ für $g_2$ ).

Schritt 2: Geradengleichungen gleichsetzen

Setze die beiden Geradengleichungen gleich: $g_1 = g_2$ .
Das ergibt eine Vektorgleichung der Form $\vec{p}_1 + t \cdot \vec{u}_1 = \vec{p}_2 + s \cdot \vec{u}_2$ .

Schritt 3: Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen

Schreibe die Vektorgleichung als drei einzelne Gleichungen für die x-, y- und z-Koordinaten auf.

Schritt 4: LGS lösen

Wähle zwei der drei Gleichungen aus, um die Werte für die Parameter $t$ und $s$ zu berechnen.

Schritt 5: Probe durchführen

Setze die berechneten Werte für $t$ und $s$ in die dritte, bisher ungenutzte Gleichung ein.
Fall A (Wahre Aussage): Wenn die Gleichung aufgeht (z.B. $5=5$ ), gibt es einen Schnittpunkt. Fahre mit Schritt 6 fort.
Fall B (Widerspruch): Wenn die Gleichung nicht aufgeht (z.B. $0=7$ ), gibt es keinen Schnittpunkt. Die Geraden sind windschief oder parallel. Du bist hier fertig.

Schritt 6: Schnittpunkt berechnen (nur bei Fall A)

Setze den Wert für $t$ in die Gleichung für $g_1$ (oder $s$ in $g_2$ ) ein und rechne den Ortsvektor des Schnittpunkts aus.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Zwei Drohnen bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang gerader Bahnen. Die erste Drohne beginnt ihre Flugroute am Punkt $A(0|6|0)$ und fliegt in Richtung des Punktes $B(2|0|0)$ . Die zweite Drohne startet am Punkt $C(0|0|3)$ und bewegt sich in Richtung des Punktes $D(1|0|5)$ . Untersuchen Sie rechnerisch, ob sich die Flugbahnen der beiden Drohnen kreuzen.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Geradengleichungen aufstellen
- Drohne 1 (Gerade g):
  - Stützvektor: $\vec{p}_g = \vec{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$
  - Richtungsvektor: $\vec{u}_g = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$
  - Gleichung: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$
- Drohne 2 (Gerade h):
  - Stützvektor: $\vec{p}_h = \vec{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
  - Richtungsvektor: $\vec{u}_h = \vec{D} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$
  - Gleichung: $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$
Schritt 2 & 3
Gleichsetzen und LGS aufstellen
Wir setzen $g=h$ :

$\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Das führt zu folgendem LGS:

$\text{(I)}: 0 + 2t = 0 + 1s \ \to \ 2t = s$

$\text{(II)}: 6 - 6t = 0 + 0s \ \to \ 6 - 6t = 0$

$\text{(III)}: 0 + 0t = 3 + 2s \ \to \ 0 = 3 + 2s$
Schritt 4
LGS lösen
Aus Gleichung (II) können wir direkt $t$ berechnen:

$6 - 6t = 0 \quad |+6t$

$6 = 6t \quad |:6$

$t = 1$

Jetzt setzen wir $t=1$ in Gleichung (I) ein, um $s$ zu finden:

$s = 2t = 2 \cdot 1$

$s = 2$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe durchführen
Wir setzen die berechneten Werte $t=1$ und $s=2$ in die ungenutzte Gleichung (III) ein:

$0 = 3 + 2s$

$0 = 3 + 2 \cdot 2$

$0 = 3 + 4$

$0 = 7$

Das ist ein Widerspruch. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Ergebnis:

Die Flugbahnen der beiden Drohnen kreuzen sich nicht.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Wanderweg verläuft geradlinig von Punkt $A(1|1|0)$ nach $B(3|5|4)$ . Ein zweiter Weg startet bei $C(1|5|2)$ und führt nach $D(4|2|5)$ . Prüfen Sie, ob sich die Wege kreuzen und geben Sie ggf. die Koordinaten der Kreuzung an.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Geradengleichungen aufstellen
- Weg 1 (Gerade g):
  - Stützvektor: $\vec{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
  - Richtungsvektor: $\vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$
  - $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$
- Weg 2 (Gerade h):
  - Stützvektor: $\vec{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$
  - Richtungsvektor: $\vec{D} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$
  - $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$
Schritt 2 & 3
Gleichsetzen und LGS aufstellen
$g=h \ \to \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 1 + 2t = 1 + 3s \ \to \ 2t = 3s$

$\text{(II)}: 1 + 4t = 5 - 3s$

$\text{(III)}: 4t = 2 + 3s$
Schritt 4
LGS lösen
Aus (I) folgt: $t = \frac{3}{2}s$ . Wir setzen dies in (III) ein:

$4 \cdot \left(\frac{3}{2}s\right) = 2 + 3s$

$6s = 2 + 3s \quad |-3s$

$3s = 2 \quad |:3$

$s = \frac{2}{3}$

Jetzt berechnen wir $t$ mit der Formel aus (I):

$t = \frac{3}{2}s = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$t = 1$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe durchführen
Wir setzen $t=1$ und $s=\frac{2}{3}$ in die ungenutzte Gleichung (II) ein:

$1 + 4t = 5 - 3s$

$1 + 4 \cdot 1 = 5 - 3 \cdot \frac{2}{3}$

$1 + 4 = 5 - 2$

$5 = 3$

Das ist ein Widerspruch. Die Wege kreuzen sich nicht.

Ergebnis:

Die Wanderwege kreuzen sich nicht. Sie sind windschief.

Beispiel 3

Aufgabe

Zwei Lichtstrahlen werden in einem Labor modelliert. Strahl 1 geht von $P_1(2|2|7)$ aus und zielt auf $P_2(4|3|6)$ . Strahl 2 startet bei $Q_1(5|2|4)$ und geht durch $Q_2(1|4|6)$ . Untersuchen Sie, ob sich die Lichtstrahlen treffen.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Geradengleichungen aufstellen
- Strahl 1 (Gerade g):
  - $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \left( \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
- Strahl 2 (Gerade h):
  - $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Schritt 2 & 3
Gleichsetzen und LGS aufstellen
$g=h \ \to \ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 2 + 2t = 5 - 4s$

$\text{(II)}: 2 + t = 2 + 2s \ \to \ t = 2s$

$\text{(III)}: 7 - t = 4 + 2s$
Schritt 4
LGS lösen
Wir setzen die Information aus (II), $t=2s$ , in Gleichung (III) ein:

$7 - (2s) = 4 + 2s \quad |+2s, -4$

$3 = 4s \quad |:4$

$s = \frac{3}{4}$

Nun berechnen wir $t$ :

$t = 2s = 2 \cdot \frac{3}{4}$

$t = \frac{3}{2}$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe durchführen
Wir setzen $t=\frac{3}{2}$ und $s=\frac{3}{4}$ in die ungenutzte Gleichung (I) ein:

$2 + 2t = 5 - 4s$

$2 + 2 \cdot \frac{3}{2} = 5 - 4 \cdot \frac{3}{4}$

$2 + 3 = 5 - 3$

$5 = 2$

Das ist ein Widerspruch. Die Strahlen treffen sich nicht.

Ergebnis:

Die Lichtstrahlen treffen sich nicht.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein U-Boot startet bei $A(10|10|-50)$ und bewegt sich in Richtung $B(30|30|-100)$ . Ein zweites U-Boot startet bei $C(0|0|-25)$ und bewegt sich in Richtung $D(40|40|-125)$ . Untersuchen Sie die Bahnen auf einen Schnittpunkt.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Geradengleichungen aufstellen
- U-Boot 1 (Gerade g):
  - Stützvektor: $\vec{A} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -50 \end{pmatrix}$
  - Richtungsvektor: $\vec{u}_g = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 20 \\ 20 \\ -50 \end{pmatrix}$
  - $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -50 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 20 \\ -50 \end{pmatrix}$
- U-Boot 2 (Gerade h):
  - Stützvektor: $\vec{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -25 \end{pmatrix}$
  - Richtungsvektor: $\vec{u}_h = \vec{D} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 40 \\ 40 \\ -100 \end{pmatrix}$
  - $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -25 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 40 \\ 40 \\ -100 \end{pmatrix}$
Vorab-Check auf Parallelität:

Der Richtungsvektor von h ist $\begin{pmatrix} 40 \\ 40 \\ -100 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 20 \\ -50 \end{pmatrix}$ . Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, also sind die Geraden parallel. Sie können sich nicht schneiden, es sei denn, sie sind identisch.
Schritt 2 & 3
Gleichsetzen und LGS aufstellen
$g=h \ \to \ \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -50 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 20 \\ -50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -25 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 40 \\ 40 \\ -100 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 10 + 20t = 40s$

$\text{(II)}: 10 + 20t = 40s$

$\text{(III)}: -50 - 50t = -25 - 100s$
Schritt 4 · Ergebnis
LGS lösen
Aus (I) folgt: $10 = 40s - 20t$ . Dividieren durch 10: $1 = 4s - 2t$ .

Wir lösen (I) nach $t$ auf: $20t = 40s - 10 \ \to \ t = 2s - 0.5$ .

Einsetzen in (III):

$-50 - 50(2s - 0.5) = -25 - 100s$

$-50 - 100s + 25 = -25 - 100s$

$-25 - 100s = -25 - 100s \quad |+100s$

$-25 = -25$

Dies ist eine wahre Aussage, aber sie hängt nicht von $s$ ab. Das System hat unendlich viele Lösungen, was bei parallelen Geraden bedeutet, dass sie identisch sind. Aber sind sie das? Wir prüfen, ob der Startpunkt von g auf h liegt:

$\begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -25 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 40 \\ 40 \\ -100 \end{pmatrix}$

Aus der ersten Zeile: $10 = 40s \ \to \ s = 1/4$ . Aus der dritten Zeile: $-50 = -25 - 100s \ \to \ -25 = -100s \ \to \ s = 1/4$ . Der Punkt liegt auf der Geraden. Die Geraden sind identisch.

Ergebnis:

Die Bahnen sind identisch. Sie schneiden sich an jedem Punkt.

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Seilbahngondel fährt von der Talstation $A(0|0|1)$ zur Bergstation $B(10|10|6)$ . Ein Vogel fliegt geradlinig vom Punkt $C(1|10|2)$ zum Punkt $D(10|1|5)$ . Kreuzt die Flugbahn des Vogels das Seil der Seilbahn?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Geradengleichungen aufstellen
- Seilbahn (Gerade g):
  - $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \left( \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix}$
- Vogel (Gerade h):
  - $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \\ 3 \end{pmatrix}$
Schritt 2 & 3
Gleichsetzen und LGS aufstellen
$g=h \ \to \ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 10t = 1 + 9s$

$\text{(II)}: 10t = 10 - 9s$

$\text{(III)}: 1 + 5t = 2 + 3s$
Schritt 4
LGS lösen
Wir können die linken Seiten von (I) und (II) gleichsetzen, da beide $10t$ sind:

$1 + 9s = 10 - 9s \quad |+9s, -1$

$18s = 9 \quad |:18$

$s = \frac{1}{2}$

Jetzt setzen wir $s=\frac{1}{2}$ in Gleichung (I) ein, um $t$ zu finden:

$10t = 1 + 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 4.5 = 5.5$

$10t = 5.5 \quad |:10$

$t = 0.55$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe durchführen
Wir setzen $t=0.55$ und $s=0.5$ in die ungenutzte Gleichung (III) ein:

$1 + 5t = 2 + 3s$

$1 + 5 \cdot 0.55 = 2 + 3 \cdot 0.5$

$1 + 2.75 = 2 + 1.5$

$3.75 = 3.5$

Das ist ein Widerspruch.

Ergebnis:

Die Flugbahn des Vogels kreuzt das Seil der Seilbahn nicht.

Aufgabentyp 2: Parallele Gerade durch einen Punkt bestimmen

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren in die gleiche oder genau entgegengesetzte Richtung zeigen. Mathematisch bedeutet das, dass der eine Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist:

$\vec{u}_1 = k \cdot \vec{u}_2$

Am einfachsten ist es, für die neue, parallele Gerade genau denselben Richtungsvektor zu verwenden wie für die gegebene Gerade. Der Stützvektor der neuen Geraden ist einfach der Ortsvektor des Punktes, durch den sie verlaufen soll.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Richtungsvektor identifizieren

Lies den Richtungsvektor aus der Gleichung der gegebenen Geraden ab.
Übernimm diesen Vektor unverändert für deine neue, parallele Gerade.

Schritt 2: Stützvektor bestimmen

Die Aufgabe gibt dir einen Punkt vor, durch den die neue Gerade verlaufen soll. Manchmal musst du diesen Punkt erst berechnen (z.B. als Mittelpunkt zweier anderer Punkte).
Wandle die Koordinaten dieses Punktes in einen Ortsvektor um. Das ist dein Stützvektor.

Schritt 3: Geradengleichung aufstellen

Setze den Stützvektor aus Schritt 2 und den Richtungsvektor aus Schritt 1 in die allgemeine Geradengleichung $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Betrachten Sie die Gerade $k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ . Formulieren Sie die Gleichung einer zu $k$ parallelen Geraden, die durch den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ mit den Endpunkten $A(1|3|7)$ und $B(5|5|1)$ verläuft.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Richtungsvektor identifizieren
Die gegebene Gerade $k$ hat den Richtungsvektor $\vec{u}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ . Da die neue Gerade $g$ parallel zu $k$ sein soll, verwenden wir denselben Richtungsvektor:

$\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Stützvektor bestimmen
Die Gerade soll durch den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ verlaufen. Wir berechnen zuerst die Koordinaten von $M$ :

$M = \left( \frac{x_A+x_B}{2} \mid \frac{y_A+y_B}{2} \mid \frac{z_A+z_B}{2} \right)$

$M = \left( \frac{1+5}{2} \mid \frac{3+5}{2} \mid \frac{7+1}{2} \right)$

$M = \left( \frac{6}{2} \mid \frac{8}{2} \mid \frac{8}{2} \right) = (3|4|4)$

Der Ortsvektor dieses Punktes ist unser Stützvektor:

$\vec{p}_g = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung aufstellen
Wir setzen den Stütz- und Richtungsvektor zusammen:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die parallele Gerade durch den Mittelpunkt $M(3|4|4)$ lautet $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finden Sie die Gleichung einer Geraden $h$ , die parallel zur Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ ist und durch den Punkt $P(7|2|3)$ verläuft.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Richtungsvektor identifizieren
Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist $\vec{u}_g = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Für unsere parallele Gerade $h$ übernehmen wir diesen Vektor:

$\vec{u}_h = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Stützvektor bestimmen
Die Gerade $h$ soll durch den Punkt $P(7|2|3)$ verlaufen. Der Ortsvektor zu diesem Punkt ist unser Stützvektor:

$\vec{p}_h = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung aufstellen
Wir kombinieren Stütz- und Richtungsvektor zur Geradengleichung für $h$ :

$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die parallele Gerade durch $P(7|2|3)$ lautet $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ein gerader Zaun wird durch die Punkte $A(10|2|0)$ und $B(10|8|0)$ beschrieben. Ein zweiter, paralleler Zaun soll am Punkt $C(15|2|0)$ beginnen. Geben Sie die Geradengleichung für den zweiten Zaun an.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Richtungsvektor identifizieren
Zuerst benötigen wir den Richtungsvektor des ersten Zauns. Wir berechnen ihn aus den Punkten A und B:

$\vec{u}_{Zaun1} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$

Da der zweite Zaun parallel sein soll, hat er denselben Richtungsvektor:

$\vec{u}_{Zaun2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Stützvektor bestimmen
Der zweite Zaun beginnt am Punkt $C(15|2|0)$ . Der Ortsvektor zu diesem Punkt ist der Stützvektor:

$\vec{p}_{Zaun2} = \begin{pmatrix} 15 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung aufstellen
Die Gleichung für den zweiten Zaun lautet:

$g_{Zaun2}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Der zweite, parallele Zaun wird beschrieben durch $g_{Zaun2}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 15 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Straße verläuft entlang der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Eine parallele Versorgungsleitung soll durch einen Punkt $P$ verlaufen, der genau in der Mitte zwischen $A(20|30|5)$ und $B(30|50|5)$ liegt. Bestimmen Sie die Gleichung der Versorgungsleitung.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Richtungsvektor identifizieren
Der Richtungsvektor der Straße ist $\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Die Versorgungsleitung ist parallel, also hat sie denselben Richtungsvektor:

$\vec{u}_{Leitung} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Stützvektor bestimmen
Der Stützvektor ist der Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ von $A$ und $B$ . Wir berechnen $M$ :

$M = \left( \frac{20+30}{2} \mid \frac{30+50}{2} \mid \frac{5+5}{2} \right)$

$M = \left( \frac{50}{2} \mid \frac{80}{2} \mid \frac{10}{2} \right) = (25|40|5)$

Der Stützvektor ist also:

$\vec{p}_{Leitung} = \begin{pmatrix} 25 \\ 40 \\ 5 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung aufstellen
Die Gleichung für die Versorgungsleitung lautet:

$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 25 \\ 40 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die parallele Versorgungsleitung hat die Gleichung $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 25 \\ 40 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Geben Sie die Gleichung einer Geraden an, die parallel zur z-Achse ist und durch den Punkt $Q(4|5|6)$ verläuft.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Richtungsvektor identifizieren
Die z-Achse verläuft senkrecht nach oben. Ein Punkt auf der z-Achse ist z.B. $(0|0|0)$ , ein anderer $(0|0|1)$ . Der Richtungsvektor der z-Achse ist also:

$\vec{u}_z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Da unsere gesuchte Gerade parallel zur z-Achse sein soll, hat sie denselben Richtungsvektor.
Schritt 2
Stützvektor bestimmen
Die Gerade soll durch den Punkt $Q(4|5|6)$ verlaufen. Der Ortsvektor zu diesem Punkt ist unser Stützvektor:

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung aufstellen
Wir setzen die Vektoren zusammen:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die gesuchte Gerade parallel zur z-Achse lautet $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Aufgabentyp 3: Lagebeziehung von Geraden in geometrischen Körpern

Bei Aufgaben mit geometrischen Körpern wie Quadern oder Pyramiden sind die Geraden oft durch die Kanten oder Diagonalen des Körpers definiert. Die Punkte, die du zum Aufstellen der Geradengleichungen brauchst, sind die Eckpunkte des Körpers.

Der Lösungsweg ist genau derselbe wie bei Aufgabentyp 1. Der einzige Unterschied ist der erste Schritt: Du musst die richtigen Punkte aus der Beschreibung des Körpers auswählen, um die Geradengleichungen aufzustellen.

Eine Kante wird durch zwei benachbarte Eckpunkte definiert.
Eine Diagonale wird durch zwei nicht benachbarte Eckpunkte definiert.

Sobald du die beiden Geradengleichungen hast, prüfst du sie auf Schnittpunkte, indem du sie gleichsetzt und das LGS löst.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Relevante Punkte identifizieren

Lies die Aufgabenstellung genau und identifiziere, welche Eckpunkte des Körpers die beiden Geraden definieren.

Schritt 2: Geradengleichungen aufstellen

Stelle für beide Geraden die Gleichung in Parameterform auf, genau wie in Aufgabentyp 1.

Schritt 3: Geradengleichungen gleichsetzen

Setze die beiden Geradengleichungen gleich ( $g=h$ ), um die Untersuchung auf einen Schnittpunkt zu beginnen.

Schritt 4: LGS aufstellen und lösen

Stelle das LGS mit drei Gleichungen auf und löse es, um die Werte für die Parameter (z.B. $r$ und $s$ ) zu finden.

Schritt 5: Probe und Interpretation

Führe die Probe mit der dritten Gleichung durch.
Wenn es eine eindeutige Lösung gibt, schneiden sich die Geraden. Wenn es einen Widerspruch gibt, sind sie windschief oder parallel.

Schritt 6: Schnittpunkt berechnen

Falls sich die Geraden schneiden, setze den Parameterwert in die entsprechende Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Schnittpunkts zu berechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Im dreidimensionalen Raum sind vier Eckpunkte eines Quaders gegeben: $A(5|0|0)$ , $C(0|0|3)$ , $D(5|2|0)$ und $F(0|2|3)$ . Die Gerade $g$ verläuft durch $A$ und $F$ , die Gerade $h$ durch $C$ und $D$ . Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden $g$ und $h$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes, falls einer existiert.

Quader mit Geraden g durch A und F sowie h durch C und D

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Punkte identifizieren und Geradengleichungen aufstellen
- Gerade g durch A(5|0|0) und F(0|2|3):
  - Stützvektor: $\vec{p}_g = \vec{A} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
  - Richtungsvektor: $\vec{u}_g = \vec{F} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
  - $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
- Gerade h durch C(0|0|3) und D(5|2|0):
  - Stützvektor: $\vec{p}_h = \vec{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
  - Richtungsvektor: $\vec{u}_h = \vec{D} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
  - $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
Schritt 3 & 4
Gleichsetzen und LGS lösen
$g=h \ \to \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 5 - 5r = 5s$

$\text{(II)}: 2r = 2s \ \to \ r = s$

$\text{(III)}: 3r = 3 - 3s$

Wir setzen die Information aus (II), $r=s$ , in Gleichung (I) ein:

$5 - 5r = 5r \quad |+5r$

$5 = 10r \quad |:10$

$r = \frac{1}{2}$

Da $r=s$ , ist auch $s = \frac{1}{2}$ .
Schritt 5
Probe durchführen
Wir setzen $r = \frac{1}{2}$ und $s = \frac{1}{2}$ in die ungenutzte Gleichung (III) ein:

$3r = 3 - 3s$

$3 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 3 \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{3}{2} = 3 - \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Die Aussage ist wahr. Die Geraden schneiden sich.
Schritt 6 · Ergebnis
Schnittpunkt berechnen
Wir setzen $r = \frac{1}{2}$ in die Gleichung für $g$ ein:

$\vec{S} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2.5 \\ 1 \\ 1.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.5 \\ 1 \\ 1.5 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Geraden schneiden sich im Punkt $S(2.5|1|1.5)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist eine Pyramide mit der Grundfläche $A(4|0|0)$ , $B(4|4|0)$ , $C(0|4|0)$ , $D(0|0|0)$ und der Spitze $S(2|2|6)$ . Untersuchen Sie die Lage der Kante $\overline{AS}$ und der Kante $\overline{BC}$ .

Pyramide mit Kante AS und Kante BC eingezeichnet

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Punkte identifizieren und Geradengleichungen aufstellen
- Gerade g durch A(4|0|0) und S(2|2|6) (Kante AS):
  - $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$
- Gerade h durch B(4|4|0) und C(0|4|0) (Kante BC):
  - $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 3 & 4
Gleichsetzen und LGS lösen
$g=h \ \to \ \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 4 - 2t = 4 - 4s$

$\text{(II)}: 2t = 4$

$\text{(III)}: 6t = 0$

Aus Gleichung (II) folgt: $2t = 4 \ \to \ t = 2$ . Aus Gleichung (III) folgt: $6t = 0 \ \to \ t = 0$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Interpretation
Wir haben für $t$ zwei unterschiedliche Werte ( $t=2$ und $t=0$ ) erhalten. Das ist ein direkter Widerspruch. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Ergebnis:

Die Kanten $\overline{AS}$ und $\overline{BC}$ sind windschief zueinander.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Würfel hat die Eckpunkte $A(0|0|0)$ , $B(3|0|0)$ , $C(3|3|0)$ , $D(0|3|0)$ , $E(0|0|3)$ , $F(3|0|3)$ , $G(3|3|3)$ und $H(0|3|3)$ . Untersuchen Sie die Lage der Raumdiagonalen $\overline{AG}$ und $\overline{BH}$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1 & 2
Punkte identifizieren und Geradengleichungen aufstellen
- Gerade g durch A(0|0|0) und G(3|3|3) (Diagonale AG):
  - $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$
- Gerade h durch B(3|0|0) und H(0|3|3) (Diagonale BH):
  - $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$
Schritt 3 & 4
Gleichsetzen und LGS lösen
$g=h \ \to \ t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 3t = 3 - 3s$

$\text{(II)}: 3t = 3s$

$\text{(III)}: 3t = 3s$

Aus (II) folgt direkt $t=s$ . Wir setzen dies in (I) ein:

$3t = 3 - 3t \quad |+3t$

$6t = 3 \quad |:6$

$t = \frac{1}{2}$

Da $t=s$ , ist auch $s = \frac{1}{2}$ .
Schritt 5
Probe durchführen
Die Gleichungen (II) und (III) sind identisch, eine Probe ist hier trivial, aber wir können den Wert in (III) einsetzen: $3 \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{2}$ , was stimmt. Die Geraden schneiden sich.
Schritt 6 · Ergebnis
Schnittpunkt berechnen
Wir setzen $t = \frac{1}{2}$ in die Gleichung für $g$ ein:

$\vec{S} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.5 \\ 1.5 \\ 1.5 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Raumdiagonalen schneiden sich im Mittelpunkt des Würfels bei $S(1.5|1.5|1.5)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein dreiseitiges Prisma hat die Grundfläche $A(2|0|0)$ , $B(0|2|0)$ , $C(0|0|0)$ und die Deckfläche $D(2|0|5)$ , $E(0|2|5)$ , $F(0|0|5)$ . Untersuchen Sie die Lage der Kante $\overline{AD}$ und der Kante $\overline{BE}$ .

Dreiseitiges Prisma mit Kanten AD und BE

Fortschritt

1 / 1

1
Schritt 1 & 2 · Ergebnis
Punkte identifizieren und Geradengleichungen aufstellen
- Gerade g durch A(2|0|0) und D(2|0|5) (Kante AD):
  - Richtungsvektor: $\vec{u}_g = \vec{D} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$
  - $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$
- Gerade h durch B(0|2|0) und E(0|2|5) (Kante BE):
  - Richtungsvektor: $\vec{u}_h = \vec{E} - \vec{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$
  - $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$
Analyse der Richtungsvektoren:

Die Richtungsvektoren $\vec{u}_g$ und $\vec{u}_h$ sind identisch. Daher sind die Geraden parallel oder identisch.

Prüfung auf Identität:

Wir prüfen, ob der Stützpunkt von $g$ , also $A(2|0|0)$ , auf der Geraden $h$ liegt:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$

Aus der ersten Zeile: $2 = 0 + 0s \ \to \ 2=0$ . Das ist ein Widerspruch.

Ergebnis:

Die Kanten $\overline{AD}$ und $\overline{BE}$ sind (echt) parallel.

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist derselbe Würfel wie zuvor mit Eckpunkt $G(3|3|3)$ . Untersuchen Sie die Lage der Kante $\overline{CG}$ und der Flächendiagonale $\overline{BD}$ der Grundfläche ( $B(3|0|0)$ , $D(0|3|0)$ ).

Würfel mit Kante CG und Flächendiagonale BD

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Punkte identifizieren und Geradengleichungen aufstellen
- Gerade g durch C(3|3|0) und G(3|3|3) (Kante CG):
  - $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
- Gerade h durch B(3|0|0) und D(0|3|0) (Diagonale BD):
  - $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 3 & 4
Gleichsetzen und LGS lösen
$g=h \ \to \ \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{(I)}: 3 = 3 - 3s$

$\text{(II)}: 3 = 3s$

$\text{(III)}: 3t = 0$

Aus Gleichung (I) folgt: $0 = -3s \ \to \ s = 0$ . Aus Gleichung (II) folgt: $3 = 3s \ \to \ s = 1$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Interpretation
Wir haben für $s$ zwei unterschiedliche Werte ( $s=0$ und $s=1$ ) erhalten. Das ist ein Widerspruch. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Ergebnis:

Die Kante $\overline{CG}$ und die Diagonale $\overline{BD}$ sind windschief zueinander.

Wichtige Erkenntnisse

Geradengleichung aufstellen: Du brauchst immer einen Stützvektor (Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden) und einen Richtungsvektor (Vektor zwischen zwei Punkten auf der Geraden).
Lagebeziehung prüfen: Der Schlüssel ist fast immer, die beiden Geradengleichungen gleichzusetzen und das resultierende Lineare Gleichungssystem (LGS) zu analysieren.
Ergebnisse des LGS deuten:
- Eindeutige Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
- Keine Lösung (Widerspruch): Die Geraden sind windschief oder echt parallel.
- Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch.
Parallele Geraden: Haben denselben Richtungsvektor (oder ein Vielfaches davon). Um eine parallele Gerade zu erstellen, übernimm einfach den Richtungsvektor und nutze den neuen Punkt als Stützvektor.

Lagebeziehungen von Geraden: Anwendungen einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Schnittpunkt von Geraden im Sachzusammenhang prüfen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Parallele Gerade durch einen Punkt bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Lagebeziehung von Geraden in geometrischen Körpern

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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