Lagebeziehung zweier Ebenen einfach erklärt

Aus den Koordinatenformen lesen wir die Normalenvektoren ab:

$\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_F = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Wir prüfen, ob $\vec{n}_E$ ein Vielfaches von $\vec{n}_F$ ist. Gibt es ein $k$, sodass $\vec{n}_E = k \cdot \vec{n}_F$?

$\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Aus der ersten Zeile folgt: $2 = k \cdot (-1) \to k = -2$. Wir überprüfen dies für die anderen Zeilen: Zweite Zeile: $-4 = -2 \cdot 2$ (stimmt). Dritte Zeile: $2 = -2 \cdot (-1)$ (stimmt). Da $k=-2$ für alle Zeilen passt, sind die Normalenvektoren kollinear. Die Ebenen sind also parallel oder identisch.

Wir vergleichen die rechten Seiten der Gleichungen mit dem Faktor $k=-2$.

Rechte Seite von E: $d_E = 8$. Rechte Seite von F: $d_F = -4$.

Wir prüfen, ob $d_E = k \cdot d_F$ gilt:

$8 = (-2) \cdot (-4)$

$8 = 8$

Die Aussage ist wahr.

$\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}$

Wir sehen sofort, dass $\vec{n}_H = 2 \cdot \vec{n}_G$. Der Faktor ist $k=2$. Die Vektoren sind kollinear, also sind die Ebenen parallel oder identisch.

Wir vergleichen die rechten Seiten mit dem Faktor $k=2$.

Rechte Seite von G: $d_G = 5$. Rechte Seite von H: $d_H = 12$.

Wir prüfen, ob $d_H = k \cdot d_G$ gilt:

$12 = 2 \cdot 5$

$12 = 10$

Diese Aussage ist falsch.

$\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Die Vektoren sind offensichtlich keine Vielfachen voneinander. Sie sind nicht kollinear.

Da die Normalenvektoren nicht kollinear sind, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden.

Wir stellen das LGS auf:

$\text{(I)}: x_1 + x_2 + x_3 = 6$

$\text{(II)}: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 9$

Wir wählen eine Variable als Parameter: Sei $x_3 = t$.

$\text{(I)}: x_1 + x_2 + t = 6 \to x_1 + x_2 = 6 - t$

$\text{(II)}: 2x_1 - x_2 + 3t = 9 \to 2x_1 - x_2 = 9 - 3t$

Wir addieren die beiden neuen Gleichungen, um $x_2$ zu eliminieren:

$(x_1 + x_2) + (2x_1 - x_2) = (6 - t) + (9 - 3t)$

$3x_1 = 15 - 4t$

$x_1 = 5 - \frac{4}{3}t$

Jetzt setzen wir $x_1$ in die umgestellte Gleichung (I) ein, um $x_2$ zu finden:

$(5 - \frac{4}{3}t) + x_2 = 6 - t$

$x_2 = 6 - t - 5 + \frac{4}{3}t$

$x_2 = 1 + \frac{1}{3}t$

Die Lösung als Vektor geschrieben:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - \frac{4}{3}t \\ 1 + \frac{1}{3}t \\ t \end{pmatrix}$

Das zerlegen wir in Stütz- und Richtungsvektor:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 1 \end{pmatrix}$

Für Ebene G (Normalenform) lesen wir den Normalenvektor direkt ab: $\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$. Für Ebene H (Koordinatenform) lesen wir die Koeffizienten ab: $\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}$.

Wir sehen, dass $\vec{n}_H = 2 \cdot \vec{n}_G$. Der Faktor ist $k=2$. Die Vektoren sind kollinear, die Ebenen sind also parallel oder identisch.

Um die rechten Seiten zu vergleichen, wandeln wir Ebene G in die Koordinatenform um:

$1 \cdot (x_1 - 1) + 0 \cdot (x_2 - 1) + 3 \cdot (x_3 - 0) = 0$

$x_1 - 1 + 3x_3 = 0$

$G: x_1 + 3x_3 = 1$

Jetzt vergleichen wir $G: x_1 + 3x_3 = 1$ mit $H: 2x_1 + 6x_3 = 5$. Wir multiplizieren die Gleichung von G mit unserem Faktor $k=2$: $2(x_1 + 3x_3) = 2(1) \to 2x_1 + 6x_3 = 2$.

Vergleich mit H: $2x_1 + 6x_3 = 2$ (das wäre eine identische Ebene zu G), $2x_1 + 6x_3 = 5$ (das ist H). Da $2 \neq 5$, sind die Ebenen echt parallel.

$\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

Die Vektoren sind nicht kollinear (z. B. wegen der Nullen an unterschiedlichen Stellen).

Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden.

Wir wandeln Ebene E in die Koordinatenform um:

$0(x_1-2) + 2(x_2-0) -1(x_3-1) = 0$

$2x_2 - x_3 + 1 = 0 \to 2x_2 - x_3 = -1$

Jetzt haben wir das LGS:

$\text{(I)}: 2x_2 - x_3 = -1$

$\text{(II)}: x_1 + 3x_3 = 1$

Wir wählen $x_3 = t$. Aus (II) folgt direkt: $x_1 + 3t = 1 \to x_1 = 1 - 3t$. Aus (I) folgt: $2x_2 - t = -1 \to 2x_2 = t - 1 \to x_2 = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}$.

Die Lösung als Vektor:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 - 3t \\ -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}t \\ t \end{pmatrix}$

Die Schnittgerade ist:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$

Aus der Parameterform von E lesen wir ab:

$x_1 = 1 + 2r - s$

$x_2 = r$

$x_3 = 1 + s$

Wir setzen diese in die Gleichung von H ein: $H: x_1 - 2x_2 + x_3 = 5$.

$(1 + 2r - s) - 2(r) + (1 + s) = 5$

Jetzt vereinfachen wir die linke Seite:

$1 + 2r - s - 2r + 1 + s = 5$

$(2r - 2r) + (-s + s) + (1+1) = 5$

$2 = 5$

Die Aussage $2=5$ ist ein Widerspruch. Es gibt keine Lösung.

$x_1 = 2 + s$

$x_2 = 1 + s + t$

$x_3 = s + 2t$

Wir setzen in $F: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 2$ ein:

$2(2+s) - 2(1+s+t) + (s+2t) = 2$

$4 + 2s - 2 - 2s - 2t + s + 2t = 2$

$(2s - 2s + s) + (-2t + 2t) + (4 - 2) = 2$

$s + 2 = 2$

$s = 0$

Wir erhalten eine lösbare Gleichung ($s=0$), die aber nicht mehr von $t$ abhängt. Das bedeutet, die Ebenen schneiden sich.

Wir setzen $s=0$ in die Parameterform von E ein:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$x_1 = 1 + s$

$x_2 = -t$

$x_3 = -2 - 3s + 2t$

Wir setzen in $F: 2x_1 - 5x_2 - 2x_3 = 6$ ein:

$2(1+s) - 5(-t) - 2(-2 - 3s + 2t) = 6$

$2 + 2s + 5t + 4 + 6s - 4t = 6$

$(2s + 6s) + (5t - 4t) + (2+4) = 6$

$8s + t + 6 = 6$

$8s + t = 0 \to t = -8s$

Wir erhalten eine lösbare Gleichung, die $s$ und $t$ in Beziehung setzt. Die Ebenen schneiden sich.

Wir setzen $t = -8s$ in die Parameterform von E ein:

$\vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}+(-8s) \cdot\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$

$\vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix}0 \\ 8 \\ -16\end{pmatrix}$

Jetzt fassen wir die Terme mit $s$ zusammen:

$\vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}+s \cdot \left( \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 8 \\ -16\end{pmatrix} \right)$

$\vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 8 \\ -19\end{pmatrix}$

$x_1 = 3 + r + 2s$

$x_2 = 1 - r$

$x_3 = 1 + s$

Wir setzen in $H: x_1 + x_2 - 2x_3 = 2$ ein:

$(3 + r + 2s) + (1 - r) - 2(1 + s) = 2$

$3 + r + 2s + 1 - r - 2 - 2s = 2$

$(r - r) + (2s - 2s) + (3 + 1 - 2) = 2$

$2 = 2$

Die Aussage $2=2$ ist immer wahr. Das bedeutet, jeder Punkt der Ebene G liegt auch auf der Ebene H.

$x_1 = 1 + 2\lambda + \mu$

$x_2 = 1 - \lambda$

$x_3 = \lambda - 2\mu$

Wir setzen in die Koordinatenform von $E_2$ ein:

$2(1 + 2\lambda + \mu) + 5(1 - \lambda) + (\lambda - 2\mu) = 3$

$2 + 4\lambda + 2\mu + 5 - 5\lambda + \lambda - 2\mu = 3$

$(4\lambda - 5\lambda + \lambda) + (2\mu - 2\mu) + (2+5) = 3$

$0\lambda + 0\mu + 7 = 3$

$7 = 3$

Die Aussage $7=3$ ist ein Widerspruch.