Vektorrechnung einfach erklärt: Addition bis Vektorkette

Vektorrechnung verständlich erklärt: Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation, Linearkombination und Vektorketten – mit vielen durchgerechneten Beispielen für die Schule.

📅 Aktualisiert 29. Juni 2026⏱ 26 Min. Lesezeit✍️ Rocket Tutor Redaktion

Hast du dich jemals gefragt, wie dein Handy per GPS genau weiß, wo du bist, oder wie eine Spiele-Engine die Flugbahn eines Balls in FIFA berechnet? Die Antwort ist Vektorrechnung. Vektoren sind das unsichtbare Gerüst der digitalen Welt – die Sprache, mit der Computer 3D-Raum, Bewegung und Kräfte verstehen. Wenn du diese Regeln lernst, lernst du nicht nur für die nächste Prüfung, sondern du verstehst die grundlegende Logik, die hinter moderner Technologie steckt. Das ist kein trockenes Rechnen – das ist ein Blick unter die Motorhaube der digitalen Welt.

Vorwissen

Bevor wir mit Vektoren durchstarten, solltest du diese Grundlagen sicher beherrschen:

  • Koordinatensystem: Ein Punkt im 3D-Raum wird durch drei Koordinaten (x, y, z) beschrieben.

    • Beispiel: Der Punkt P(2∣5∣3)P(2|5|3) liegt 2 Einheiten auf der x-Achse, 5 auf der y-Achse und 3 auf der z-Achse.

  • Rechnen mit negativen Zahlen: Besonders die Subtraktion einer negativen Zahl ist wichtig.

    • Beispiel: 5−(−2)=5+2=75 - (-2) = 5 + 2 = 7.

Aufgabentyp 1: Addition und Subtraktion von Vektoren

Ein Vektor ist wie eine Anweisung für eine Bewegung im Raum: Gehe x Schritte in die eine Richtung, y Schritte in die andere und z Schritte nach oben oder unten. Wenn du zwei Vektoren addierst oder subtrahierst, kombinierst du einfach diese Bewegungsanweisungen.

Die Regel ist ganz einfach: Du rechnest immer nur die Zahlen auf der gleichen Ebene (Zeile für Zeile) zusammen.

Addition: a⃗+b⃗=(a1a2a3)+(b1b2b3)=(a1+b1a2+b2a3+b3)\vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{array}\right)

Subtraktion: a⃗−b⃗=(a1a2a3)−(b1b2b3)=(a1−b1a2−b2a3−b3)\vec{a} - \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \end{array}\right)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Schreibe die beiden Vektoren mit dem Plus- oder Minuszeichen dazwischen nebeneinander.
  2. Erstelle einen neuen Ergebnisvektor. Berechne die oberste Zeile, dann die mittlere und zum Schluss die unterste Zeile und trage die Ergebnisse ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Vektoren v⃗=(3−12)\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) und w⃗=(−245)\vec{w} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right). Subtrahiere den Vektor w⃗\vec{w} von dem Vektor v⃗\vec{v} und gib das Ergebnis als Vektor a⃗\vec{a} an.

Fortschritt
2 / 2
  1. Schritt 1
    Vektoren aufschreiben

    Wir schreiben die Subtraktion auf:

    a⃗=v⃗−w⃗=(3−12)−(−245)\vec{a} = \vec{v} - \vec{w} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right)

  2. Schritt 2 · Ergebnis
    Komponentenweise berechnen

    Jetzt berechnen wir jede Zeile einzeln:

    a⃗=(3−(−2)−1−42−5)=(5−5−3)\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 3 - (-2) \\ -1 - 4 \\ 2 - 5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ -5 \\ -3 \end{array}\right)

Ergebnis:

Das Ergebnis ist a⃗=(5−5−3)\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ -5 \\ -3 \end{array}\right).

Beispiel 2

Aufgabe

Addiere die Vektoren p⃗=(100−5)\vec{p} = \left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ -5 \end{array}\right) und q⃗=(123)\vec{q} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) zum Ergebnisvektor r⃗\vec{r}.

Fortschritt
2 / 2
  1. Schritt 1
    Vektoren aufschreiben

    Wir schreiben die Addition auf:

    r⃗=p⃗+q⃗=(100−5)+(123)\vec{r} = \vec{p} + \vec{q} = \left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ -5 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)

  2. Schritt 2 · Ergebnis
    Komponentenweise berechnen

    Wir berechnen Zeile für Zeile:

    r⃗=(10+10+2−5+3)=(112−2)\vec{r} = \left(\begin{array}{c} 10 + 1 \\ 0 + 2 \\ -5 + 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 11 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)

Ergebnis:

Das Ergebnis ist r⃗=(112−2)\vec{r} = \left(\begin{array}{c} 11 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right).

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Flugzeug befindet sich am Punkt A(1∣2∣3)A(1|2|3). Der Steuerkurs wird durch den Vektor v⃗=(1005010)\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 100 \\ 50 \\ 10 \end{array}\right) beschrieben. Ein Seitenwind wirkt mit dem Vektor w⃗=(0−150)\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -15 \\ 0 \end{array}\right) auf das Flugzeug. Welchen Punkt BB steuert das Flugzeug tatsächlich an?

Fortschritt
2 / 2
  1. Schritt 1
    Vektoren aufschreiben

    Der Ortsvektor von A ist OA⃗=(123)\vec{OA} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right). Die resultierende Bewegung ist v⃗+w⃗\vec{v} + \vec{w}. Der Zielpunkt B hat den Ortsvektor OB⃗=OA⃗+v⃗+w⃗\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{v} + \vec{w}.

    OB⃗=(123)+(1005010)+(0−150)\vec{OB} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 100 \\ 50 \\ 10 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 0 \\ -15 \\ 0 \end{array}\right)

  2. Schritt 2 · Ergebnis
    Komponentenweise berechnen

    OB⃗=(1+100+02+50+(−15)3+10+0)=(1013713)\vec{OB} = \left(\begin{array}{c} 1 + 100 + 0 \\ 2 + 50 + (-15) \\ 3 + 10 + 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 101 \\ 37 \\ 13 \end{array}\right)

Ergebnis:

Das Flugzeug steuert den Punkt B(101∣37∣13)B(101|37|13) an.

Aufgabentyp 2: Skalarmultiplikation

Die Multiplikation eines Vektors mit einer normalen Zahl (einem Skalar) nennt man Skalarmultiplikation. Stell dir vor, der Vektor ist ein Schritt. Multiplizierst du ihn mit 3, machst du einfach drei dieser Schritte in die gleiche Richtung. Der Vektor wird also dreimal so lang.

Multiplizierst du ihn mit −1-1, machst du einen Schritt genau in die entgegengesetzte Richtung.

Die Regel ist wieder sehr einfach: Du multiplizierst jede einzelne Komponente des Vektors mit dem Skalar.

k⋅a⃗=k⋅(a1a2a3)=(k⋅a1k⋅a2k⋅a3)k \cdot \vec{a} = k \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} k \cdot a_1 \\ k \cdot a_2 \\ k \cdot a_3 \end{array}\right)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Schreibe den Skalar vor den Vektor.
  2. Multipliziere jede Zeile des Vektors mit dem Skalar und schreibe die Ergebnisse in einen neuen Vektor.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Multipliziere den Vektor d⃗=(3−12)\vec{d} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) mit dem Skalar 33.

Fortschritt
2 / 2
  1. Schritt 1
    Aufgabe aufschreiben

    3⋅d⃗=3⋅(3−12)3 \cdot \vec{d} = 3 \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)

  2. Schritt 2 · Ergebnis
    Komponentenweise multiplizieren

    Wir multiplizieren jede Komponente mit 3:

    3⋅d⃗=(3⋅33⋅(−1)3⋅2)=(9−36)3 \cdot \vec{d} = \left(\begin{array}{c} 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 9 \\ -3 \\ 6 \end{array}\right)

Ergebnis:

Das Ergebnis ist (9−36)\left(\begin{array}{c} 9 \\ -3 \\ 6 \end{array}\right).

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne −2⋅v⃗-2 \cdot \vec{v} mit v⃗=(5−101.5)\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ -10 \\ 1.5 \end{array}\right).

Fortschritt
2 / 2
  1. Schritt 1
    Aufgabe aufschreiben

    −2⋅v⃗=−2⋅(5−101.5)-2 \cdot \vec{v} = -2 \cdot \left(\begin{array}{c} 5 \\ -10 \\ 1.5 \end{array}\right)

  2. Schritt 2 · Ergebnis
    Komponentenweise multiplizieren

    Wir multiplizieren jede Komponente mit -2:

    −2⋅v⃗=(−2⋅5−2⋅(−10)−2⋅1.5)=(−1020−3)-2 \cdot \vec{v} = \left(\begin{array}{c} -2 \cdot 5 \\ -2 \cdot (-10) \\ -2 \cdot 1.5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -10 \\ 20 \\ -3 \end{array}\right)

Ergebnis:

Das Ergebnis ist (−1020−3)\left(\begin{array}{c} -10 \\ 20 \\ -3 \end{array}\right).

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Schatz ist vom Punkt P(1∣1∣1)P(1|1|1) aus in Richtung des Vektors r⃗=(48−2)\vec{r} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ -2 \end{array}\right) vergraben. Du musst aber nur die Hälfte des Weges gehen. An welchem Punkt SS befindet sich der Schatz?

Fortschritt
2 / 2
  1. Schritt 1
    Aufgabe aufschreiben

    OS⃗=(111)+0.5⋅(48−2)\vec{OS} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + 0.5 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ -2 \end{array}\right)

  2. Schritt 2 · Ergebnis
    Komponentenweise multiplizieren (und dann addieren)

    Zuerst die Skalarmultiplikation:

    0.5⋅(48−2)=(0.5⋅40.5⋅80.5⋅(−2))=(24−1)0.5 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0.5 \cdot 4 \\ 0.5 \cdot 8 \\ 0.5 \cdot (-2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)

    Jetzt die Addition:

    OS⃗=(111)+(24−1)=(1+21+41−1)=(350)\vec{OS} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1+2 \\ 1+4 \\ 1-1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right)

Ergebnis:

Der Schatz befindet sich am Punkt S(3∣5∣0)S(3|5|0).

Aufgabentyp 3: Linearkombination

Eine Linearkombination klingt kompliziert, ist aber nur ein Name dafür, die beiden vorherigen Regeln – Addition/Subtraktion und Skalarmultiplikation – in einer einzigen Aufgabe zu kombinieren.

Du bekommst eine Aufgabe wie „Berechne 3⋅a⃗−2⋅b⃗3 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b}".

Dabei gilt die bekannte Regel „Punkt vor Strich": Du führst zuerst alle Skalarmultiplikationen durch und addierst oder subtrahierst danach die Ergebnisvektoren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Schreibe die gegebene Formel auf und ersetze die Vektor-Buchstaben (z. B. a⃗\vec{a}) durch die tatsächlichen Spaltenvektoren.
  2. Berechne für jeden Teil der Formel die Skalarmultiplikation. Du erhältst dadurch neue, gestreckte oder gestauchte Vektoren.
  3. Addiere oder subtrahiere die neuen Vektoren, die du in Schritt 2 berechnet hast, komponentenweise zum finalen Ergebnisvektor.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Linearkombination 3⋅a⃗−2⋅b⃗3\cdot\vec{a}-2\cdot \vec{b}, mit a⃗=(3−13)\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) und b⃗=(−3−54)\vec{b}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ -5 \\ 4 \end{array}\right).

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Vektoren einsetzen

    3⋅(3−13)−2⋅(−3−54)3\cdot\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)-2\cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ -5 \\ 4 \end{array}\right)

  2. Schritt 2
    Skalarmultiplikationen durchführen

    Wir berechnen jeden Teil einzeln:

    3⋅(3−13)=(9−39)3\cdot\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 9 \\ -3 \\ 9 \end{array}\right)

    2⋅(−3−54)=(−6−108)2\cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ -5 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -6 \\ -10 \\ 8 \end{array}\right)

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Vektoren addieren/subtrahieren

    Jetzt setzen wir die neuen Vektoren in die Formel ein und subtrahieren:

    (9−39)−(−6−108)=(9−(−6)−3−(−10)9−8)=(1571)\left(\begin{array}{c} 9 \\ -3 \\ 9 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} -6 \\ -10 \\ 8 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 9 - (-6) \\ -3 - (-10) \\ 9 - 8 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 15 \\ 7 \\ 1 \end{array}\right)

Ergebnis:

Das Ergebnis ist (1571)\left(\begin{array}{c} 15 \\ 7 \\ 1 \end{array}\right).

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben sind x⃗=(102)\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right), y⃗=(−140)\vec{y} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) und z⃗=(22−3)\vec{z} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right). Berechne 2⋅x⃗+4⋅y⃗−z⃗2\cdot\vec{x} + 4\cdot\vec{y} - \vec{z}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Vektoren einsetzen

    2⋅(102)+4⋅(−140)−(22−3)2\cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + 4\cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right)

  2. Schritt 2
    Skalarmultiplikationen durchführen

    2⋅(102)=(204)2\cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)

    4⋅(−140)=(−4160)4\cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 16 \\ 0 \end{array}\right)

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Vektoren addieren/subtrahieren

    (204)+(−4160)−(22−3)=(2−4−20+16−24+0−(−3))=(−4147)\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -4 \\ 16 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 - 4 - 2 \\ 0 + 16 - 2 \\ 4 + 0 - (-3) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 14 \\ 7 \end{array}\right)

Ergebnis:

Das Ergebnis ist (−4147)\left(\begin{array}{c} -4 \\ 14 \\ 7 \end{array}\right).

Beispiel 3

Aufgabe

Finde den Ergebnisvektor für −u⃗−5⋅v⃗-\vec{u} - 5\cdot\vec{v}, wenn u⃗=(4−21)\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) und v⃗=(01−2)\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right).

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Vektoren einsetzen

    −1⋅(4−21)−5⋅(01−2)-1 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) - 5 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right)

  2. Schritt 2
    Skalarmultiplikationen durchführen

    −1⋅(4−21)=(−42−1)-1 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)

    5⋅(01−2)=(05−10)5 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ -10 \end{array}\right)

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Vektoren addieren/subtrahieren

    (−42−1)−(05−10)=(−4−02−5−1−(−10))=(−4−39)\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ -10 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 - 0 \\ 2 - 5 \\ -1 - (-10) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 9 \end{array}\right)

Ergebnis:

Das Ergebnis ist (−4−39)\left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 9 \end{array}\right).

Aufgabentyp 4: Linearkombinationen an Figuren

Die Vektorrechnung ist extrem nützlich, um Punkte im Raum zu finden. Dafür brauchen wir zwei wichtige Vektorarten:

  1. Ortsvektor: Der Ortsvektor OP⃗\vec{OP} ist der Weg vom Ursprung O(0∣0∣0)O(0|0|0) zu einem Punkt PP. Seine Koordinaten sind identisch mit denen des Punktes.

    • Beispiel: Der Punkt P(2∣3∣4)P(2|3|4) hat den Ortsvektor OP⃗=(234)\vec{OP} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right).

  2. Verbindungsvektor: Der Verbindungsvektor PQ⃗\vec{PQ} ist der direkte Weg von Punkt P zu Punkt Q. Man berechnet ihn mit der Regel „Spitze minus Fuß":

    • PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}

Mit diesen Vektoren können wir eine Vektorkette bilden, um einen unbekannten Punkt zu finden. Stell es dir wie eine Wegbeschreibung vor: „Um zum Punkt Q zu kommen, gehe zuerst zum Punkt P und von dort aus den doppelten Weg von P nach M."

Als Formel: OQ⃗=OP⃗+2⋅PM⃗\vec{OQ} = \vec{OP} + 2 \cdot \vec{PM}

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Zeichne eine einfache Skizze der Situation (z. B. Kugel, Parallelogramm). Überlege dir eine Vektorkette, die vom Ursprung zum gesuchten Punkt führt und nur bekannte Punkte oder berechenbare Vektoren verwendet.
  2. Berechne alle Verbindungsvektoren, die du für deine Kette aus Schritt 1 brauchst, mit der Regel „Spitze minus Fuß".
  3. Schreibe die Vektorkette als Gleichung auf und setze die bekannten Orts- und Verbindungsvektoren ein.
  4. Löse die Gleichung, indem du die Skalarmultiplikationen und Vektoradditionen/-subtraktionen durchführst.
  5. Gib die Koordinaten des gesuchten Punktes in der Punkt-Schreibweise an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Strecke PQ‾\overline{PQ} mit den Endpunkten P(8∣−5∣1)P(8|-5|1) und QQ ist der Durchmesser einer Kugel mit Mittelpunkt M(5∣−1∣1)M(5|-1|1). Berechne die Koordinaten von QQ.

Kugel mit Durchmesser PQ und Mittelpunkt M
Kugel mit Durchmesser PQ und Mittelpunkt M
Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Skizze und Plan

    Der Mittelpunkt M liegt genau in der Mitte des Durchmessers PQ. Der Weg von P nach M ist also genau derselbe wie der Weg von M nach Q. Der Vektor PM⃗\vec{PM} ist gleich dem Vektor MQ⃗\vec{MQ}.

    Unsere Vektorkette zum Punkt Q lautet: Gehe vom Ursprung O zum Punkt P und von dort zweimal den Vektor PM⃗\vec{PM} entlang.

    Plan: OQ⃗=OP⃗+2⋅PM⃗\vec{OQ} = \vec{OP} + 2 \cdot \vec{PM}

  2. Schritt 2
    Notwendige Verbindungsvektoren berechnen

    Wir brauchen den Vektor PM⃗\vec{PM}. Wir rechnen „Spitze minus Fuß":

    PM⃗=OM⃗−OP⃗=(5−11)−(8−51)=(5−8−1−(−5)1−1)=(−340)\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = \left(\begin{array}{c} 5 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5-8 \\ -1-(-5) \\ 1-1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)

  3. Schritt 3
    Vektorkette aufstellen und einsetzen

    OQ⃗=OP⃗+2⋅PM⃗\vec{OQ} = \vec{OP} + 2 \cdot \vec{PM}

    OQ⃗=(8−51)+2⋅(−340)\vec{OQ} = \left(\begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ 1 \end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)

  4. Schritt 4
    Linearkombination berechnen

    Zuerst die Skalarmultiplikation:

    2⋅(−340)=(−680)2 \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -6 \\ 8 \\ 0 \end{array}\right)

    Dann die Addition:

    OQ⃗=(8−51)+(−680)=(8−6−5+81+0)=(231)\vec{OQ} = \left(\begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ 1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -6 \\ 8 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 8-6 \\ -5+8 \\ 1+0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)

  5. Schritt 5 · Ergebnis
    Koordinaten des Punktes angeben
Ergebnis:

Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten Q(2∣3∣1)Q(2|3|1).

Beispiel 2

Aufgabe

Von einem Parallelogramm ABCD sind die Punkte A(1∣2∣3)A(1|2|3), B(4∣5∣6)B(4|5|6) und D(2∣3∣0)D(2|3|0) bekannt. Berechne die Koordinaten des Punktes C.

Parallelogramm ABCD mit bekannten Punkten A, B und D
Parallelogramm ABCD mit bekannten Punkten A, B und D
Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Skizze und Plan

    In einem Parallelogramm ist der Vektor von A nach B derselbe wie der von D nach C. Also gilt: AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC}.

    Unsere Vektorkette zum Punkt C lautet: Gehe vom Ursprung O zum Punkt D und von dort den Vektor AB⃗\vec{AB} entlang.

    Plan: OC⃗=OD⃗+AB⃗\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{AB}

  2. Schritt 2
    Notwendige Verbindungsvektoren berechnen

    Wir brauchen den Vektor AB⃗\vec{AB}:

    AB⃗=OB⃗−OA⃗=(456)−(123)=(333)\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)

  3. Schritt 3
    Vektorkette aufstellen und einsetzen

    OC⃗=OD⃗+AB⃗\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{AB}

    OC⃗=(230)+(333)\vec{OC} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)

  4. Schritt 4
    Linearkombination berechnen

    OC⃗=(2+33+30+3)=(563)\vec{OC} = \left(\begin{array}{c} 2+3 \\ 3+3 \\ 0+3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 3 \end{array}\right)

  5. Schritt 5 · Ergebnis
    Koordinaten des Punktes angeben
Ergebnis:

Der Punkt C hat die Koordinaten C(5∣6∣3)C(5|6|3).

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Mittelpunkt M der Strecke zwischen den Punkten A(10∣0∣20)A(10|0|20) und B(0∣10∣0)B(0|10|0).

Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Skizze und Plan

    Der Mittelpunkt M liegt genau auf der Hälfte des Weges von A nach B.

    Unsere Vektorkette zum Punkt M lautet: Gehe vom Ursprung O zum Punkt A und von dort die Hälfte des Vektors AB⃗\vec{AB} entlang.

    Plan: OM⃗=OA⃗+12⋅AB⃗\vec{OM} = \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}

  2. Schritt 2
    Notwendige Verbindungsvektoren berechnen

    Wir brauchen den Vektor AB⃗\vec{AB}:

    AB⃗=OB⃗−OA⃗=(0100)−(10020)=(−1010−20)\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 20 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -10 \\ 10 \\ -20 \end{array}\right)

  3. Schritt 3
    Vektorkette aufstellen und einsetzen

    OM⃗=(10020)+12⋅(−1010−20)\vec{OM} = \left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 20 \end{array}\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\begin{array}{c} -10 \\ 10 \\ -20 \end{array}\right)

  4. Schritt 4
    Linearkombination berechnen

    OM⃗=(10020)+(−55−10)=(5510)\vec{OM} = \left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 20 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -5 \\ 5 \\ -10 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 10 \end{array}\right)

  5. Schritt 5 · Ergebnis
    Koordinaten des Punktes angeben
Ergebnis:

Der Mittelpunkt ist M(5∣5∣10)M(5|5|10).

Wichtige Erkenntnisse

  • Addition/Subtraktion: Vektoren werden immer komponentenweise (Zeile für Zeile) addiert oder subtrahiert.
  • Skalarmultiplikation: Eine normale Zahl (Skalar) wird mit jeder einzelnen Komponente des Vektors multipliziert.
  • Linearkombination: Es gilt „Punkt vor Strich". Zuerst alle Skalarmultiplikationen, dann die Addition/Subtraktion.
  • Verbindungsvektor: Der Vektor von Punkt A nach B ist AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} („Spitze minus Fuß").
  • Vektorkette: Um einen unbekannten Punkt zu finden, bilde eine „Wegbeschreibung" vom Ursprung aus, die nur bekannte Vektoren verwendet.

Häufige Fragen

Was ist Vektorrechnung und wozu braucht man sie?

Vektorrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektoren befasst – also mit Größen, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung haben. Vektoren beschreiben Bewegungen, Kräfte und Positionen im 2D- oder 3D-Raum. In der Schule lernst du Vektorrechnung meist ab der Oberstufe. Praktisch eingesetzt wird sie überall: GPS-Navigation, Spieleentwicklung und Physik-Simulationen basieren auf denselben Rechenregeln, die du hier kennenlernst.

Wie addierst und subtrahierst du Vektoren?

Vektoren werden komponentenweise addiert oder subtrahiert – das heißt, du rechnest jede Zeile für sich. Aus $\vec{a} = (3, -1, 2)$ und $\vec{b} = (-2, 4, 5)$ folgt zum Beispiel $\vec{a} - \vec{b} = (3-(-2),\,-1-4,\,2-5) = (5, -5, -3)$. Du brauchst kein kompliziertes Verfahren: einfach Zeile für Zeile einzeln ausrechnen und in einen neuen Vektor eintragen.

Was ist der Unterschied zwischen Ortsvektor und Verbindungsvektor?

Der Ortsvektor $\vec{OP}$ zeigt vom Ursprung $O(0|0|0)$ zu einem Punkt $P$ – seine Komponenten sind identisch mit den Koordinaten des Punktes. Der Verbindungsvektor $\vec{PQ}$ zeigt dagegen von einem beliebigen Punkt $P$ zu einem anderen Punkt $Q$. Er wird mit der Regel Spitze minus Fuß berechnet: $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$.

Wie funktioniert die Skalarmultiplikation bei Vektoren?

Bei der Skalarmultiplikation multiplizierst du einen Vektor mit einer normalen Zahl (dem Skalar). Dabei wird jede einzelne Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert. Ein positiver Skalar streckt den Vektor, ein negativer Skalar dreht ihn um und streckt ihn. Beispiel: $3 \cdot (3, -1, 2) = (9, -3, 6)$. Der Skalar 0 ergibt immer den Nullvektor.

Was ist eine Linearkombination von Vektoren?

Eine Linearkombination kombiniert Skalarmultiplikation und Addition/Subtraktion in einem Schritt, zum Beispiel $3 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b}$. Die Rechenreihenfolge folgt dem Prinzip Punkt vor Strich: Zuerst führst du alle Skalarmultiplikationen durch, dann addierst oder subtrahierst du die entstandenen Vektoren komponentenweise. So kannst du beliebig viele Vektoren gewichtet miteinander verknüpfen.

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