Was ist die Koordinatenform einer Ebene?

Die Koordinatenform einer Ebene lautet n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d . Der Vektor (n₁, n₂, n₃) ist der Normalenvektor , der senkrecht zur Ebene steht, und d bestimmt den Abstand der Ebene vom Ursprung. Jede Ebene im 3D-Raum lässt sich eindeutig durch diese Form beschreiben – sie ist die Grundlage für Berechnungen in der Analytischen Geometrie.

Wie bestimmst du die Koordinatenform einer Ebene aus zwei Geraden?

Du benötigst die Richtungsvektoren der beiden Geraden. Bilde daraus den Normalenvektor n⃗ mit dem Kreuzprodukt : n⃗ = u⃗ × v⃗ . Setze dann die Komponenten von n⃗ in die allgemeine Form n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d ein. Den Wert d erhältst du, indem du die Koordinaten des Stützpunktes einer der Geraden einsetzt und die Gleichung löst.

Was ist die Achsenabschnittsform und wann nutzt du sie?

Die Achsenabschnittsform x₁/a + x₂/b + x₃/c = 1 nutzt du, wenn du die Schnittpunkte der Ebene mit den drei Koordinatenachsen kennst: a auf der x₁ -Achse, b auf der x₂ -Achse und c auf der x₃ -Achse. Du setzt die Werte ein und multiplizierst dann mit dem kgV der Nenner, um die übliche Koordinatenform zu erhalten.

Wie führst du eine Punktprobe bei einer Ebene durch?

Bei der Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes P(p₁|p₂|p₃) in die Ebenengleichung ein. Berechne die linke Seite und vergleiche sie mit d . Entsteht eine wahre Aussage (z. B. 10 = 10 ), liegt der Punkt auf der Ebene. Entsteht eine falsche Aussage (z. B. 7 = 8 ), liegt er nicht darauf.

Warum hat eine Ebene parallel zur Grundebene oft zwei mögliche Gleichungen?

Weil der Abstand vom Ursprung |d| ist, ergeben sich aus |d| = Abstand immer zwei Lösungen : eine positive und eine negative. Eine Ebene parallel zur x₁x₂ -Ebene mit Abstand 4 kann entweder bei x₃ = 4 (oberhalb) oder bei x₃ = -4 (unterhalb) liegen. Nur wenn ein konkreter Punkt gegeben ist, lässt sich die Gleichung eindeutig bestimmen.

Ebenen in Koordinatenform erklärt

Ebenen in Koordinatenform begegnen dir überall in der Analytischen Geometrie – und hinter jeder 3D-Oberfläche in Computerspielen oder animierten Filmen steckt genau diese Mathematik. Die Koordinatenform ist der „Bauplan" für Flächen im Raum: Sie sagt dir exakt, wo eine Ebene im 3D-Koordinatensystem liegt und wie sie ausgerichtet ist. Wenn du verstehst, wie diese Gleichungen funktionieren, knackst du den Code, mit dem digitale 3D-Welten gebaut werden.

Vorwissen

Bevor wir Ebenen aufstellen, frischen wir kurz zwei wichtige Werkzeuge auf:

Vektoren im 3D-Raum: Ein Vektor ist wie eine Wegbeschreibung mit drei Angaben: wie weit nach vorne/hinten ( $x_1$ ), wie weit nach rechts/links ( $x_2$ ) und wie weit nach oben/unten ( $x_3$ ).
- Beispiel: Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ bedeutet: 2 Schritte in $x_1$ -Richtung, -1 Schritt in $x_2$ -Richtung und 3 Schritte in $x_3$ -Richtung.
Kreuzprodukt (Vektorprodukt): Dieses Werkzeug erzeugt aus zwei Vektoren einen neuen Vektor, der senkrecht auf den beiden ursprünglichen steht. Das ist super wichtig, um den Normalenvektor einer Ebene zu finden.
- Formel: Für $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ ist $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$ .
- Beispiel: $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Aufgabentyp 1: Ebene aus besonderer Lage bestimmen

Manchmal hat eine Ebene eine ganz einfache Lage im Koordinatensystem. Sie kann zum Beispiel parallel zu einer der drei Grundebenen sein.

Die $x_1x_2$ -Ebene (der „Boden") hat die Gleichung $x_3 = 0$ . Jede Ebene parallel dazu hat die Form $x_3 = d$ .
Die $x_1x_3$ -Ebene (die „Seitenwand") hat die Gleichung $x_2 = 0$ . Jede Ebene parallel dazu hat die Form $x_2 = d$ .
Die $x_2x_3$ -Ebene (die „Rückwand") hat die Gleichung $x_1 = 0$ . Jede Ebene parallel dazu hat die Form $x_1 = d$ .

Der Wert $|d|$ gibt dabei direkt den Abstand der Ebene vom Ursprung an.

Drei Grundebenen im 3D-Koordinatensystem

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die parallele Grundebene ( $x_1x_2$ , $x_1x_3$ oder $x_2x_3$ ) aus der Aufgabenstellung.
Notiere die passende allgemeine Gleichung (z. B. $x_3 = d$ für eine Ebene parallel zur $x_1x_2$ -Ebene).
Verwende den gegebenen Abstand: Der Abstand vom Ursprung ist $|d|$ . Diese Gleichung hat meist zwei Lösungen (z. B. $d = 4$ oder $d = -4$ ).
Gib alle möglichen Ebenengleichungen an, indem du die gefundenen Werte für $d$ einsetzt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Ebene E ist parallel zur $x_1x_3$ -Ebene und hat vom Ursprung den Abstand 7. Bestimmen Sie alle möglichen Koordinatengleichungen für E.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Parallele Grundebene identifizieren
Die Ebene E ist parallel zur $x_1x_3$ -Ebene.
Schritt 2
Allgemeine Ebenengleichung aufstellen
Eine Ebene parallel zur $x_1x_3$ -Ebene hat die allgemeine Form:

$E: x_2 = d$
Schritt 3
Abstand verwenden, um d zu finden
Der Abstand vom Ursprung ist gegeben mit 7. Also gilt:

$|d| = 7$

Das bedeutet, es gibt zwei mögliche Werte für d:

$d_1 = 7$

$d_2 = -7$
Schritt 4 · Ergebnis
Mögliche Ebenengleichungen angeben
Wir setzen die beiden Werte für d ein:

$E_1: x_2 = 7$

$E_2: x_2 = -7$

Ergebnis:

Die zwei möglichen Ebenengleichungen lauten $E_1: x_2 = 7$ und $E_2: x_2 = -7$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Ebene F ist parallel zur $x_1x_2$ -Ebene. Ihr Abstand zum Ursprung beträgt 3. Geben Sie alle möglichen Koordinatengleichungen für F an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Parallele Grundebene identifizieren
Die Ebene F ist parallel zur $x_1x_2$ -Ebene.
Schritt 2
Allgemeine Ebenengleichung aufstellen
Die allgemeine Form für eine solche Ebene lautet:

$F: x_3 = d$
Schritt 3
Abstand verwenden, um d zu finden
Der Abstand ist 3, also gilt:

$|d| = 3$

Die möglichen Werte für d sind:

$d_1 = 3$

$d_2 = -3$
Schritt 4 · Ergebnis
Mögliche Ebenengleichungen angeben
Die beiden möglichen Ebenen sind:

$F_1: x_3 = 3$

$F_2: x_3 = -3$

Ergebnis:

Die zwei möglichen Ebenengleichungen lauten $F_1: x_3 = 3$ und $F_2: x_3 = -3$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Ebene G verläuft parallel zur $x_2x_3$ -Ebene und hat einen Abstand von 1,5 zum Ursprung. Finden Sie alle möglichen Ebenengleichungen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Parallele Grundebene identifizieren
Die Ebene G ist parallel zur $x_2x_3$ -Ebene.
Schritt 2
Allgemeine Ebenengleichung aufstellen
Die allgemeine Form lautet:

$G: x_1 = d$
Schritt 3
Abstand verwenden, um d zu finden
Der Abstand ist 1,5. Es gilt:

$|d| = 1,5$

Die Lösungen sind:

$d_1 = 1,5$

$d_2 = -1,5$
Schritt 4 · Ergebnis
Mögliche Ebenengleichungen angeben
Die Gleichungen lauten:

$G_1: x_1 = 1,5$

$G_2: x_1 = -1,5$

Ergebnis:

Die zwei möglichen Ebenengleichungen lauten $G_1: x_1 = 1{,}5$ und $G_2: x_1 = -1{,}5$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Ebene H ist parallel zur $x_1x_3$ -Ebene und geht durch den Punkt P(4|10|2). Bestimmen Sie die Koordinatengleichung von H.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Parallele Grundebene identifizieren
Die Ebene H ist parallel zur $x_1x_3$ -Ebene.
Schritt 2
Allgemeine Ebenengleichung aufstellen
Die allgemeine Form ist:

$H: x_2 = d$
Schritt 3
d mit dem Punkt bestimmen
Da der Punkt P(4|10|2) auf der Ebene liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Wir setzen die $x_2$ -Koordinate des Punktes ein:

$10 = d$

Der Abstand zum Ursprung ist hier also $|10| = 10$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Ebenengleichung angeben
Die eindeutige Ebenengleichung lautet:

$H: x_2 = 10$

Ergebnis:

Da der Punkt P den $x_2$ -Wert 10 hat, lautet die eindeutige Gleichung $H: x_2 = 10$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Der Deckel einer Kiste ist parallel zum Boden (in der $x_1x_2$ -Ebene) und befindet sich in einer Höhe von 0,5 Metern. Geben Sie die Ebenengleichung für den Deckel an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Parallele Grundebene identifizieren
Der Deckel ist parallel zur $x_1x_2$ -Ebene.
Schritt 2
Allgemeine Ebenengleichung aufstellen
Die allgemeine Form ist:

$E: x_3 = d$
Schritt 3
Abstand verwenden, um d zu finden
Die Höhe ist der Abstand in $x_3$ -Richtung. Da es sich um einen Deckel handelt, ist die Höhe positiv. Der Abstand zum Ursprung (Boden) ist 0,5.

$d = 0,5$
Schritt 4 · Ergebnis
Mögliche Ebenengleichungen angeben
Die Ebenengleichung für den Deckel ist:

$E: x_3 = 0,5$

Ergebnis:

Die Ebenengleichung für den Deckel lautet $E: x_3 = 0{,}5$ .

Aufgabentyp 2: Ebene aus Achsenabschnitten bestimmen

Wenn eine Ebene die Koordinatenachsen schneidet, nennt man die Schnittpunkte Achsenabschnitte. Schneidet die Ebene die $x_1$ -Achse bei $a$ , die $x_2$ -Achse bei $b$ und die $x_3$ -Achse bei $c$ , können wir die Ebene mit der Achsenabschnittsform beschreiben:

$E: \frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{b} + \frac{x_3}{c} = 1$

Diese Form ist sehr praktisch, um schnell eine Ebenengleichung aufzustellen, wenn die Schnittpunkte mit den Achsen bekannt sind. Um sie in die übliche Koordinatenform $n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$ umzuwandeln, müssen wir nur die Brüche auflösen.

Ebene mit Achsenabschnitten im 3D-Koordinatensystem

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lies die Werte für die Achsenabschnitte $a$ ( $x_1$ -Achse), $b$ ( $x_2$ -Achse) und $c$ ( $x_3$ -Achse) aus der Aufgabenstellung.
Setze die abgelesenen Werte in die Formel $E: \frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{b} + \frac{x_3}{c} = 1$ ein.
Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner $a, b, c$ , um die Brüche zu entfernen.
Vereinfache die Gleichung aus Schritt 3 – das Ergebnis ist die gesuchte Ebenengleichung in Koordinatenform.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Ebene E schneidet die $x_1$ -Achse bei $4$ , die $x_2$ -Achse bei $2$ und die $x_3$ -Achse bei $8$ . Bestimmen Sie die Ebenengleichung in Koordinatenform.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Achsenabschnitte identifizieren
$a = 4$ , $b = 2$ , $c = 8$
Schritt 2
Werte in die Achsenabschnittsform einsetzen
$E: \frac{x_1}{4} + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{8} = 1$
Schritt 3
Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren
Das kgV von 4, 2 und 8 ist 8. Wir multiplizieren die Gleichung mit 8:

$8 \cdot \left( \frac{x_1}{4} + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{8} \right) = 8 \cdot 1$

$8 \cdot \frac{x_1}{4} + 8 \cdot \frac{x_2}{2} + 8 \cdot \frac{x_3}{8} = 8$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinatenform angeben
$2x_1 + 4x_2 + 1x_3 = 8$

Ergebnis:

Die Ebenengleichung lautet $E: 2x_1 + 4x_2 + x_3 = 8$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Die Spurpunkte einer Ebene F sind $S_1(-1|0|0)$ , $S_2(0|5|0)$ und $S_3(0|0|2)$ . Geben Sie die Koordinatengleichung an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Achsenabschnitte identifizieren
$a = -1$ , $b = 5$ , $c = 2$
Schritt 2
Werte in die Achsenabschnittsform einsetzen
$F: \frac{x_1}{-1} + \frac{x_2}{5} + \frac{x_3}{2} = 1$
Schritt 3
Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren
Das kgV von -1, 5 und 2 ist 10. Wir multiplizieren mit 10:

$10 \cdot \left( -x_1 + \frac{x_2}{5} + \frac{x_3}{2} \right) = 10 \cdot 1$

$-10x_1 + 10 \cdot \frac{x_2}{5} + 10 \cdot \frac{x_3}{2} = 10$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinatenform angeben
$-10x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 10$

Ergebnis:

Die Ebenengleichung lautet $F: -10x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 10$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Ebene G hat die Achsenabschnitte $a=3$ , $b=3$ und $c=3$ . Wie lautet die Koordinatengleichung?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Achsenabschnitte identifizieren
$a = 3$ , $b = 3$ , $c = 3$
Schritt 2
Werte in die Achsenabschnittsform einsetzen
$G: \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{3} = 1$
Schritt 3
Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren
Der Hauptnenner ist 3. Wir multiplizieren mit 3:

$3 \cdot \left( \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{3} \right) = 3 \cdot 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinatenform angeben
$x_1 + x_2 + x_3 = 3$

Ergebnis:

Die Ebenengleichung lautet $G: x_1 + x_2 + x_3 = 3$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene H, die die Achsen bei $x_1=10$ , $x_2=-5$ und $x_3=1$ schneidet.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Achsenabschnitte identifizieren
$a = 10$ , $b = -5$ , $c = 1$
Schritt 2
Werte in die Achsenabschnittsform einsetzen
$H: \frac{x_1}{10} + \frac{x_2}{-5} + \frac{x_3}{1} = 1$
Schritt 3
Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren
Das kgV von 10 und -5 ist 10. Wir multiplizieren mit 10:

$10 \cdot \left( \frac{x_1}{10} - \frac{x_2}{5} + x_3 \right) = 10 \cdot 1$

$1x_1 - 2x_2 + 10x_3 = 10$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinatenform angeben
$x_1 - 2x_2 + 10x_3 = 10$

Ergebnis:

Die Ebenengleichung lautet $H: x_1 - 2x_2 + 10x_3 = 10$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Rampe wird durch eine Ebene beschrieben. Sie beginnt am Ursprung, schneidet die $x_1$ -Achse bei $6$ und die $x_2$ -Achse bei $8$ . Sie ist parallel zur $x_3$ -Achse. Wie lautet die Ebenengleichung?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Achsenabschnitte identifizieren
$a = 6$ , $b = 8$ , $c = 4$
Schritt 2
Werte in die Achsenabschnittsform einsetzen
$E: \frac{x_1}{6} + \frac{x_2}{8} + \frac{x_3}{4} = 1$
Schritt 3
Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren
Das kgV von 6, 8 und 4 ist 24. Wir multiplizieren mit 24:

$24 \cdot \frac{x_1}{6} + 24 \cdot \frac{x_2}{8} + 24 \cdot \frac{x_3}{4} = 24 \cdot 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinatenform angeben
$4x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 24$

Ergebnis:

Die Ebenengleichung lautet $E: 4x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 24$ .

Aufgabentyp 3: Punktprobe durchführen

Die Punktprobe ist ein einfacher Test, um zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Ebene liegt. Die Logik ist simpel: Wenn der Punkt auf der Ebene liegt, müssen seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen.

Gegeben ist eine Ebene $E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$ und ein Punkt $P(p_1|p_2|p_3)$ .

Wir setzen die Koordinaten von P in die Gleichung ein. Wenn eine wahre Aussage entsteht (z.B. $13=13$ ), liegt der Punkt auf der Ebene. Entsteht eine falsche Aussage (z.B. $10=13$ ), liegt der Punkt nicht auf der Ebene.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Notiere die Koordinaten des Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ und die Ebenengleichung $E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$ .
Setze die Koordinaten in die Ebenengleichung ein: ersetze $x_1$ durch $p_1$ , $x_2$ durch $p_2$ und $x_3$ durch $p_3$ .
Berechne den Wert der linken Seite der Gleichung.
Vergleiche das Ergebnis mit der rechten Seite $d$ : Sind die Werte gleich, liegt der Punkt auf der Ebene; sind sie ungleich, liegt er nicht darauf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 10$ . Prüfen Sie, ob der Punkt $P(3|2|2)$ auf E liegt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punkt und Ebene notieren
$P(3|2|2)$ und $E: 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 10$ .
Schritt 2
Punktkoordinaten einsetzen
Wir setzen die Koordinaten von P in E ein:

$2 \cdot (3) + 3 \cdot (2) - (2) = 10$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
$6 + 6 - 2 = 10$

$10 = 10$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen und antworten
Die Aussage $10=10$ ist wahr. Daher liegt der Punkt P auf der Ebene E.

Ergebnis:

Der Punkt P(3|2|2) liegt auf der Ebene E.

Beispiel 2

Aufgabe

Liegt der Punkt $Q(1|1|1)$ auf der Ebene $F: 5x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 8$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punkt und Ebene notieren
$Q(1|1|1)$ und $F: 5x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 8$ .
Schritt 2
Punktkoordinaten einsetzen
$5 \cdot (1) - 2 \cdot (1) + 4 \cdot (1) = 8$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
$5 - 2 + 4 = 8$

$7 = 8$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen und antworten
Die Aussage $7=8$ ist falsch. Der Punkt Q liegt nicht auf der Ebene F.

Ergebnis:

Der Punkt Q(1|1|1) liegt nicht auf der Ebene F.

Beispiel 3

Aufgabe

Prüfen Sie, ob der Ursprung $O(0|0|0)$ auf der Ebene $G: x_1 + x_2 + x_3 = 0$ liegt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punkt und Ebene notieren
$O(0|0|0)$ und $G: x_1 + x_2 + x_3 = 0$ .
Schritt 2
Punktkoordinaten einsetzen
$(0) + (0) + (0) = 0$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
$0 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen und antworten
Die Aussage $0=0$ ist wahr. Der Ursprung liegt auf der Ebene G. Man nennt solche Ebenen „Ursprungsebenen".

Ergebnis:

Der Ursprung O liegt auf der Ebene G.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $H: 10x_1 - 20x_3 = 30$ . Liegt der Punkt $R(5|100|1)$ darauf?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punkt und Ebene notieren
$R(5|100|1)$ und $H: 10x_1 - 20x_3 = 30$ .
Schritt 2
Punktkoordinaten einsetzen
Die Koordinate $x_2$ kommt in der Gleichung nicht vor, also ignorieren wir sie.

$10 \cdot (5) - 20 \cdot (1) = 30$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
$50 - 20 = 30$

$30 = 30$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen und antworten
Die Aussage $30=30$ ist wahr. Der Punkt R liegt auf der Ebene H.

Ergebnis:

Der Punkt R(5|100|1) liegt auf der Ebene H.

Beispiel 5

Aufgabe

Testen Sie, ob der Punkt $S(-2|0|3)$ ein Teil der Ebene $K: -x_1 + 5x_2 - 2x_3 = -4$ ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Punkt und Ebene notieren
$S(-2|0|3)$ und $K: -x_1 + 5x_2 - 2x_3 = -4$ .
Schritt 2
Punktkoordinaten einsetzen
$-(-2) + 5 \cdot (0) - 2 \cdot (3) = -4$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
$2 + 0 - 6 = -4$

$-4 = -4$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen und antworten
Die Aussage $-4=-4$ ist wahr. Der Punkt S liegt auf der Ebene K.

Ergebnis:

Der Punkt S(-2|0|3) liegt auf der Ebene K.

Aufgabentyp 4: Ebene aus zwei Geraden bestimmen

Wenn zwei sich schneidende oder parallele Geraden gegeben sind, spannen sie eine eindeutige Ebene auf. Um die Koordinatenform $E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$ zu finden, brauchen wir zwei Dinge:

Einen Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ , der senkrecht zur Ebene steht.
Einen beliebigen Punkt auf der Ebene, um $d$ zu berechnen.

Der Trick ist: Der Normalenvektor steht senkrecht auf allen Vektoren, die in der Ebene liegen. Die Richtungsvektoren der beiden Geraden liegen in der Ebene! Also können wir den Normalenvektor $\vec{n}$ mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnen.

Den Punkt auf der Ebene bekommen wir geschenkt: Der Stützvektor einer der Geraden ist der Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene.

Normalenvektor einer Ebene aus zwei Geraden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ der Geraden.
Berechne den Normalenvektor $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ durch das Kreuzprodukt. Vereinfache $\vec{n}$ falls möglich.
Stelle die vorläufige Ebenengleichung $E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$ auf.
Berechne $d$ , indem du die Koordinaten eines bekannten Punktes (z. B. den Stützpunkt einer Geraden) einsetzt.
Gib die endgültige Ebenengleichung mit dem berechneten $d$ an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ spannen eine Ebene E auf. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung von E.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Richtungsvektoren der Geraden bestimmen
$\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 3
Vorläufige Ebenengleichung aufstellen
$E: -1x_1 + 1x_2 + 1x_3 = d$
Schritt 4
Konstante d berechnen
Wir nehmen den Stützvektor von g als Punkt: $P(1|2|3)$ .

$-1 \cdot (1) + 1 \cdot (2) + 1 \cdot (3) = d$

$-1 + 2 + 3 = d$

$4 = d$
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Ebenengleichung angeben
$E: -x_1 + x_2 + x_3 = 4$

Ergebnis:

Die Koordinatengleichung der Ebene lautet $E: -x_1 + x_2 + x_3 = 4$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Ebene F wird durch die Punkte A(1|1|1), B(2|3|1) und C(0|1|2) aufgespannt. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Richtungsvektoren bestimmen
Wir bilden zwei Vektoren aus den Punkten, die in der Ebene liegen. Diese dienen als Richtungsvektoren.

$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{v} = \overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Schritt 3
Vorläufige Ebenengleichung aufstellen
$F: 2x_1 - 1x_2 + 2x_3 = d$
Schritt 4
Konstante d berechnen
Wir verwenden den Punkt A(1|1|1) als Stützpunkt.

$2 \cdot (1) - 1 \cdot (1) + 2 \cdot (1) = d$

$2 - 1 + 2 = d$

$3 = d$
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Ebenengleichung angeben
$F: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 3$

Ergebnis:

Die Koordinatengleichung der Ebene lautet $F: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 3$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene G, die durch die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ und den Punkt P(1|0|4) definiert ist.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Richtungsvektoren bestimmen
Ein Richtungsvektor ist der der Geraden g: $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Den zweiten Vektor bilden wir vom Stützpunkt der Geraden S(0|0|5) zum Punkt P(1|0|4):

$\vec{v} = \overrightarrow{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-1) - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

Wir vereinfachen $\vec{n}$ durch Teilen durch -2: $\vec{n'} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 3
Vorläufige Ebenengleichung aufstellen
$G: 1x_1 - 1x_2 + 1x_3 = d$
Schritt 4
Konstante d berechnen
Wir verwenden den Punkt P(1|0|4).

$1 \cdot (1) - 1 \cdot (0) + 1 \cdot (4) = d$

$1 - 0 + 4 = d$

$5 = d$
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Ebenengleichung angeben
$G: x_1 - x_2 + x_3 = 5$

Ergebnis:

Die Koordinatengleichung der Ebene lautet $G: x_1 - x_2 + x_3 = 5$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Die $x_1x_2$ -Ebene soll in Koordinatenform dargestellt werden. Nutzen Sie dafür zwei Richtungsvektoren.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Richtungsvektoren bestimmen
Die $x_1x_2$ -Ebene wird durch die $x_1$ -Achse und die $x_2$ -Achse aufgespannt. Die Richtungsvektoren dieser Achsen sind:

$\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 3
Vorläufige Ebenengleichung aufstellen
$E: 0x_1 + 0x_2 + 1x_3 = d \quad \to \quad x_3 = d$
Schritt 4
Konstante d berechnen
Die $x_1x_2$ -Ebene enthält den Ursprung O(0|0|0).

$0 = d$
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Ebenengleichung angeben
$E: x_3 = 0$

Ergebnis:

Die $x_1x_2$ -Ebene hat die Koordinatengleichung $E: x_3 = 0$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Ebene H wird von den Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ aufgespannt. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Richtungsvektoren bestimmen
Wir haben nur einen Richtungsvektor: $\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Den zweiten Vektor erhalten wir, indem wir die beiden Stützpunkte verbinden:

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Problem: Die beiden Vektoren sind identisch (kollinear). Das Kreuzprodukt wäre der Nullvektor. Das bedeutet, die Aufgabe ist fehlerhaft gestellt, da die beiden Stützpunkte auf derselben Geraden liegen. Die Geraden g und h sind identisch und spannen keine eindeutige Ebene auf.

Korrigierte Aufgabe: Nehmen wir an, der Stützvektor von h wäre $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Dann wäre $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 0 \\ (-1) \cdot 1 - 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$
Schritt 3
Vorläufige Ebenengleichung aufstellen
$H: -2x_1 + 4x_2 - 3x_3 = d$
Schritt 4
Konstante d berechnen
Wir nutzen den Stützpunkt von g, P(2|1|0).

$-2(2) + 4(1) - 3(0) = d$

$-4 + 4 - 0 = d \quad \to \quad d=0$
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Ebenengleichung angeben
$H: -2x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 0$

Ergebnis:

Die Koordinatengleichung der Ebene lautet $H: -2x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 0$ .

Wichtige Erkenntnisse

Koordinatenform: Die allgemeine Form einer Ebene ist $n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$ .
Parallele zu Grundebenen: Eine Ebene parallel zur $x_1x_2$ -Ebene hat die Form $x_3=d$ . Der Abstand zum Ursprung ist $|d|$ .
Achsenabschnittsform: Kennt man die Schnittpunkte mit den Achsen ( $a, b, c$ ), lautet die Formel $\frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{b} + \frac{x_3}{c} = 1$ .
Punktprobe: Setze die Koordinaten eines Punktes in die Ebenengleichung ein. Gilt die Gleichung, liegt der Punkt auf der Ebene.
Aus zwei Geraden: Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Bestimme $d$ durch Einsetzen eines Stützpunktes.

Ebenen in Koordinatenform einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Ebene aus besonderer Lage bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Ebene aus Achsenabschnitten bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Punktprobe durchführen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Ebene aus zwei Geraden bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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