Was ist die Normalenform einer Ebene?

Die Normalenform einer Ebene lautet E: [x⃗ − p⃗] · n⃗ = 0 . Sie beschreibt eine Ebene mithilfe eines Stützvektors p⃗ (Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene) und eines Normalenvektors n⃗ , der senkrecht auf der Ebene steht. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren in der Klammer ergibt immer null – das ist die geometrische Bedingung dafür, dass ein Punkt auf der Ebene liegt.

Wie rechnest du die Normalenform in die Koordinatenform um?

Du gehst in vier Schritten vor: Zuerst ersetzt du x⃗ durch seine Komponenten (x₁, x₂, x₃) . Dann berechnest du den Differenzvektor (x⃗ − p⃗) . Im dritten Schritt rechnest du das Skalarprodukt aus – du multiplizierst die Komponenten zeilenweise und addierst sie. Zuletzt löst du die Klammern auf und bringst alle konstanten Terme auf die rechte Seite. Das Ergebnis hat die Form n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d .

Wie liest du den Normalenvektor aus der Koordinatenform ab?

Das Ablesen geht ganz direkt: Die Koeffizienten vor x₁ , x₂ und x₃ in der Koordinatenform n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d sind die Komponenten des Normalenvektors . Aus 2x₁ + 3x₂ − x₃ = 5 liest du also sofort n⃗ = (2, 3, −1) ab. Fehlt eine Variable, ist der zugehörige Koeffizient null.

Was ist eine Punktprobe bei einer Ebenengleichung?

Bei der Punktprobe setzt du die Koordinaten eines Punktes P(p₁|p₂|p₃) in die Koordinatengleichung der Ebene ein. Ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 1 = 1 ), liegt der Punkt auf der Ebene. Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. 2 = 5 ), liegt er nicht darauf. Die Punktprobe lässt sich am schnellsten mit der Koordinatenform durchführen.

Wann geht eine Ebene durch den Ursprung?

Eine Ebene geht genau dann durch den Ursprung , wenn die Konstante d auf der rechten Seite der Koordinatenform gleich null ist – also n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = 0 . In der Normalenform entspricht das dem Fall p⃗ = (0, 0, 0) , d.h. der Stützvektor ist der Nullvektor. Du kannst den Ursprung dann direkt als Stützpunkt verwenden.

Ebenengleichungen umformen erklärt

Ebenengleichungen umformen gehört in der analytischen Geometrie zu den wichtigsten Fertigkeiten – und ist leichter, als es auf den ersten Blick wirkt. Hast du dich jemals gefragt, wie in einem Videospiel deine Figur perfekt auf dem Boden läuft oder gegen eine Wand stößt? Spiel-Engines brauchen eine super schnelle Methode, um zu erkennen, wo sich Oberflächen befinden. Für jede Kollisionsabfrage komplexe Vektoren zu berechnen, wäre viel zu langsam. Stattdessen verwenden sie die Koordinatenform einer Ebene. Es ist die effizienteste Methode, um zu prüfen, ob ein Punkt (wie deine Spielfigur) eine Fläche berührt. Indem du lernst, zwischen den verschiedenen Darstellungsformen einer Ebene zu wechseln, verstehst du die grundlegende Mathematik, die 3D-Welten erst möglich macht.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz drei wichtige Grundlagen:

Vektor: Ein Vektor ist eine mathematische Größe, die eine Richtung und eine Länge im Raum hat. Man stellt ihn oft als Pfeil oder als Spalte mit Zahlen dar.
- Beispiel: Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung, 3 in y-Richtung und 1 in z-Richtung.
Skalarprodukt (Punktprodukt): Dies ist eine Rechenoperation, um zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren. Das Ergebnis ist keine Vektor, sondern eine einzelne Zahl (ein Skalar).
- Formel: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$
- Beispiel: $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$
Normalenvektor: Ein Vektor, der senkrecht (im 90°-Winkel) auf einer Ebene steht. Er gibt die „Blickrichtung" oder Orientierung der Ebene im Raum an.

Aufgabentyp 1: Von der Normalenform zur Koordinatenform

Eine Ebene kann auf verschiedene Weisen beschrieben werden. Zwei wichtige Formen sind die Normalenform und die Koordinatenform.

1. Normalenform Sie verwendet einen Punkt auf der Ebene und einen Vektor, der senkrecht auf ihr steht. $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$

$\vec{n}$ ist der Normalenvektor (steht senkrecht auf der Ebene).
$\vec{p}$ ist der Stützvektor (der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Ebene).

2. Koordinatenform Sie beschreibt die Ebene durch eine einfache lineare Gleichung. $E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d$

Die Koeffizienten $n_1, n_2, n_3$ sind die Komponenten des Normalenvektors.
$d$ ist eine Konstante.

Unser Ziel ist es, die Vektoren aus der Normalenform „aufzulösen", um die einfache Koordinatenform zu erhalten. Das schaffen wir, indem wir das Skalarprodukt ausrechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Setze den allgemeinen Vektor $\vec{x}$ ein: Ersetze in der Normalenform den allgemeinen Vektor $\vec{x}$ durch seine Komponenten $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ .
Berechne den Differenzvektor: Berechne den Vektor in der eckigen Klammer, also die Differenz $(\vec{x} - \vec{p})$ .
Rechne das Skalarprodukt aus: Multipliziere den Differenzvektor mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ mithilfe des Skalarprodukts. Das Ergebnis ist eine Gleichung ohne Vektoren.
Vereinfache und forme um: Löse die Klammern auf und bringe alle Terme ohne $x_1, x_2$ oder $x_3$ auf die rechte Seite der Gleichung. Das Ergebnis ist die fertige Koordinatenform.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Forme die Ebenengleichung $E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$ in die Koordinatenform um.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeinen Vektor $\vec{x}$ einsetzen
$E: \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$
Schritt 2
Differenzvektor berechnen
$E: \begin{pmatrix} x_1 - 1 \\ x_2 - 2 \\ x_3 - 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$
Schritt 3
Skalarprodukt ausrechnen
Wir multiplizieren die Komponenten zeilenweise und addieren die Ergebnisse.

$(x_1 - 1) \cdot 2 + (x_2 - 2) \cdot 3 + (x_3 - 5) \cdot (-1) = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung vereinfachen und umformen
$2x_1 - 2 + 3x_2 - 6 - x_3 + 5 = 0$

$2x_1 + 3x_2 - x_3 - 3 = 0$

Jetzt bringen wir die Konstante auf die rechte Seite.

$2x_1 + 3x_2 - x_3 = 3$

Ergebnis:

Die Koordinatenform lautet $E: 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 3$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Forme die Ebenengleichung $E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$ in die Koordinatenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Vektor einsetzen und Differenz bilden
$E: \begin{pmatrix} x_1 - 3 \\ x_2 - 1 \\ x_3 - 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$
Schritt 3
Skalarprodukt ausrechnen
$(x_1 - 3) \cdot 0 + (x_2 - 1) \cdot 0 + (x_3 - 4) \cdot 1 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung vereinfachen
$0 + 0 + x_3 - 4 = 0$

$x_3 - 4 = 0$

$x_3 = 4$

Ergebnis:

Die Koordinatenform lautet $E: x_3 = 4$ . Diese Ebene ist parallel zur $x_1x_2$ -Grundebene.

Beispiel 3

Aufgabe

Forme die Ebenengleichung $E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$ in die Koordinatenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Vektor einsetzen und Differenz bilden
$E: \begin{pmatrix} x_1 - 0 \\ x_2 - 5 \\ x_3 - (-2) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$

$E: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 - 5 \\ x_3 + 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$
Schritt 3
Skalarprodukt ausrechnen
$x_1 \cdot 4 + (x_2 - 5) \cdot (-1) + (x_3 + 2) \cdot 0 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung vereinfachen
$4x_1 - x_2 + 5 + 0 = 0$

$4x_1 - x_2 + 5 = 0$

$4x_1 - x_2 = -5$

Ergebnis:

Die Koordinatenform lautet $E: 4x_1 - x_2 = -5$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Forme die Ebenengleichung $E: \vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$ in die Koordinatenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Vektor einsetzen und Differenz bilden
Die Gleichung lautet ausführlich: $E: \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$

$E: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$
Schritt 3
Skalarprodukt ausrechnen
$x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 1 + x_3 \cdot 1 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung vereinfachen
$x_1 + x_2 + x_3 = 0$

Ergebnis:

Die Koordinatenform lautet $E: x_1 + x_2 + x_3 = 0$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Forme die Ebenengleichung $E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} = 0$ in die Koordinatenform um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Vektor einsetzen und Differenz bilden
$E: \begin{pmatrix} x_1 - (-1) \\ x_2 - (-2) \\ x_3 - 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} = 0$

$E: \begin{pmatrix} x_1 + 1 \\ x_2 + 2 \\ x_3 - 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} = 0$
Schritt 3
Skalarprodukt ausrechnen
$(x_1 + 1) \cdot 5 + (x_2 + 2) \cdot (-2) + (x_3 - 3) \cdot (-4) = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung vereinfachen
$5x_1 + 5 - 2x_2 - 4 - 4x_3 + 12 = 0$

$5x_1 - 2x_2 - 4x_3 + 13 = 0$

$5x_1 - 2x_2 - 4x_3 = -13$

Ergebnis:

Die Koordinatenform lautet $E: 5x_1 - 2x_2 - 4x_3 = -13$ .

Aufgabentyp 2: Von der Koordinatenform zur Normalenform & Punktprobe

Jetzt gehen wir den umgekehrten Weg. Wir starten mit der einfachen Koordinatenform und wollen die vektorbasierte Normalenform erstellen. Außerdem prüfen wir, ob ein bestimmter Punkt auf der Ebene liegt.

Teil A: Die Punktprobe

Um zu testen, ob ein Punkt $P(p_1|p_2|p_3)$ auf der Ebene $E: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$ liegt, setzen wir einfach die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein.

Ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. $5=5$ ), liegt der Punkt auf der Ebene.
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $2=5$ ), liegt der Punkt nicht auf der Ebene.

Teil B: Umwandlung in die Normalenform

Wir suchen die Form $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$ . Dafür brauchen wir zwei Dinge:

Den Normalenvektor $\vec{n}$ : Das ist der einfachste Teil! Du kannst seine Komponenten direkt aus den Koeffizienten der Koordinatenform ablesen. Aus $E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d$ folgt $\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ .
Einen Stützvektor $\vec{p}$ : Wir brauchen den Ortsvektor irgendeines Punktes, der auf der Ebene liegt. Den finden wir durch Probieren. Am einfachsten ist es, zwei der Koordinaten (z.B. $x_1$ und $x_2$ ) auf Null zu setzen und die Gleichung nach der dritten Koordinate aufzulösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Teil A: Punktprobe für einen Punkt P

Setze die Koordinaten von P ein: Setze die $x_1$ -, $x_2$ - und $x_3$ -Koordinate des Punktes P in die Koordinatengleichung der Ebene ein.
Prüfe die Gleichung: Rechne die linke Seite der Gleichung aus. Wenn das Ergebnis gleich der rechten Seite ist, liegt der Punkt auf der Ebene. Ansonsten nicht.

Teil B: In Normalenform umwandeln

Lies den Normalenvektor $\vec{n}$ ab: Die Komponenten des Normalenvektors $\vec{n}$ sind die Zahlen, die vor $x_1, x_2$ und $x_3$ stehen. Schreibe sie als Vektor auf.
Finde den Stützvektor $\vec{p}$ : Finde einen beliebigen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt. Setze dazu typischerweise zwei Koordinaten gleich Null und löse nach der verbleibenden Koordinate auf. Der Ortsvektor dieses Punktes ist dein Stützvektor $\vec{p}$ .
Stelle die Normalenform auf: Setze den abgelesenen Normalenvektor $\vec{n}$ und den gefundenen Stützvektor $\vec{p}$ in die allgemeine Normalenform $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1 + 3x_3 = 1$ und der Punkt $P(-1|5|1)$ . a) Prüfe, ob P auf E liegt. b) Gib eine Gleichung von E in Normalenform an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Koordinaten einsetzen (Punktprobe)
Wir setzen $x_1 = -1$ , $x_2 = 5$ und $x_3 = 1$ in die Ebenengleichung ein. Da die Gleichung kein $x_2$ enthält, wird die 5 ignoriert.

$2 \cdot (-1) + 3 \cdot (1) = 1$
Schritt 2
Gleichung prüfen
$-2 + 3 = 1$

$1 = 1$

Die Aussage ist wahr. Der Punkt P liegt auf der Ebene E.
Schritt 3
Normalenvektor $\vec{n}$ ablesen
Die Ebene ist $E: 2x_1 + 0x_2 + 3x_3 = 1$ . Die Koeffizienten sind 2, 0 und 3.

Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Stützvektor $\vec{p}$ finden
Da wir aus Teil a) wissen, dass P auf der Ebene liegt, können wir ihn direkt als Stützpunkt verwenden.

Der Stützvektor ist $\vec{p} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

$E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 4$ und der Punkt $P(1|1|1)$ . a) Prüfe, ob P auf E liegt. b) Gib eine Gleichung von E in Normalenform an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Koordinaten einsetzen (Punktprobe)
Wir setzen $x_1 = 1$ , $x_2 = 1$ und $x_3 = 1$ ein.

$1 + 3 \cdot (1) - 2 \cdot (1) = 4$
Schritt 2
Gleichung prüfen
$1 + 3 - 2 = 4$

$2 = 4$

Die Aussage ist falsch. Der Punkt P liegt nicht auf der Ebene E.
Schritt 3
Normalenvektor $\vec{n}$ ablesen
Die Ebene ist $E: 1x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 4$ .

Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Stützvektor $\vec{p}$ finden
Wir müssen einen Punkt finden, der auf der Ebene liegt. Setzen wir $x_2=0$ und $x_3=0$ .

$x_1 + 3 \cdot (0) - 2 \cdot (0) = 4$

$x_1 = 4$

Ein Punkt auf der Ebene ist also A(4|0|0). Sein Ortsvektor ist unser Stützvektor.

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ergebnis:

$E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = 0$

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: 5x_1 - x_2 = 10$ und der Punkt $P(2|0|7)$ . a) Prüfe, ob P auf E liegt. b) Gib eine Gleichung von E in Normalenform an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Koordinaten einsetzen (Punktprobe)
Wir setzen $x_1 = 2$ , $x_2 = 0$ und $x_3 = 7$ ein.

$5 \cdot (2) - (0) = 10$
Schritt 2
Gleichung prüfen
$10 - 0 = 10$

$10 = 10$

Die Aussage ist wahr. Der Punkt P liegt auf der Ebene E.
Schritt 3
Normalenvektor $\vec{n}$ ablesen
Die Ebene ist $E: 5x_1 - 1x_2 + 0x_3 = 10$ .

Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Stützvektor $\vec{p}$ finden
Wir können den Punkt P aus der Aufgabenstellung verwenden.

Der Stützvektor ist $\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

$E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: x_3 = -4$ und der Punkt $P(1|1|-5)$ . a) Prüfe, ob P auf E liegt. b) Gib eine Gleichung von E in Normalenform an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Koordinaten einsetzen (Punktprobe)
Wir setzen die $x_3$ -Koordinate $-5$ ein.

$-5 = -4$
Schritt 2
Gleichung prüfen
Die Aussage ist falsch. Der Punkt P liegt nicht auf der Ebene E.
Schritt 3
Normalenvektor $\vec{n}$ ablesen
Die Ebene ist $E: 0x_1 + 0x_2 + 1x_3 = -4$ .

Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Stützvektor $\vec{p}$ finden
Wir brauchen einen Punkt, bei dem die $x_3$ -Koordinate -4 ist. Die anderen beiden Koordinaten können wir frei wählen, z.B. 0.

Ein einfacher Punkt auf der Ebene ist A(0|0|-4).

Der Stützvektor ist $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

$E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: -x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 0$ und der Punkt $P(2|1|0)$ . a) Prüfe, ob P auf E liegt. b) Gib eine Gleichung von E in Normalenform an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Koordinaten einsetzen (Punktprobe)
$-(2) + 2 \cdot (1) + 4 \cdot (0) = 0$
Schritt 2
Gleichung prüfen
$-2 + 2 + 0 = 0$

$0 = 0$

Die Aussage ist wahr. Der Punkt P liegt auf der Ebene E. Diese Ebene geht durch den Ursprung, da die Konstante auf der rechten Seite 0 ist.
Schritt 3
Normalenvektor $\vec{n}$ ablesen
Die Ebene ist $E: -1x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 0$ .

Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Stützvektor $\vec{p}$ finden
Wir können den Punkt P verwenden.

Der Stützvektor ist $\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

(Eine andere einfache Wahl wäre der Ursprung (0|0|0), da die Ebene durch ihn verläuft.)

Ergebnis:

$E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 0$

Wichtige Erkenntnisse

Normalenform → Koordinatenform: Setze $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ ein, berechne das Skalarprodukt und forme die Gleichung um.
Koordinatenform → Normalenform: Der Normalenvektor lässt sich direkt aus den Koeffizienten von $x_1, x_2, x_3$ ablesen. Einen Stützvektor findest du, indem du einen Punkt suchst, der die Gleichung erfüllt (z.B. durch Einsetzen von Nullen).
Punktprobe: Setze die Koordinaten des Punktes in die Koordinatenform ein. Ist die Gleichung erfüllt, liegt der Punkt auf der Ebene.

Ebenengleichungen umformen: Normalen- & Koordinatenform

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Von der Normalenform zur Koordinatenform

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Von der Koordinatenform zur Normalenform & Punktprobe

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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