Was sind angewandte Abstände von einer Ebene?

Angewandte Abstände von einer Ebene bezeichnen Aufgaben der Vektorgeometrie, bei denen der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt, einer Geraden oder einer parallelen Ebene und einer gegebenen Ebene berechnet wird. Die zentrale Formel lautet d(P, E) = |ap₁ + bp₂ + cp₃ − d| / √(a² + b² + c²) . Solche Berechnungen kommen in der Computergrafik, Robotik und in vielen Klausuraufgaben vor.

Wie berechnet man den Lotfußpunkt eines Punktes auf einer Ebene?

Den Lotfußpunkt F findest du in vier Schritten: Stelle zunächst die Lotgerade auf, die durch Punkt Q mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor verläuft. Setze dann die Koordinaten dieser Geraden in die Ebenengleichung ein. Löse nach dem Parameter t auf und setze t zurück in die Geradengleichung ein – das Ergebnis ist der Ortsvektor von F.

Wie findet man Punkte auf einer Geraden mit einem bestimmten Abstand zu einer Ebene?

Schreibe zunächst einen allgemeinen Punkt P_t auf der Geraden in Abhängigkeit von t auf. Setze dessen Koordinaten in die Abstandsformel ein und stelle die resultierende Betragsgleichung gleich dem geforderten Abstand d . Löse die Gleichung in zwei Fällen (positiver und negativer Betrag) – du erhältst in der Regel zwei Werte t₁ und t₂ und damit zwei Punkte.

Wie bestimmt man eine parallele Ebene mit einem vorgegebenen Abstand?

Parallele Ebenen haben denselben Normalenvektor , unterscheiden sich aber in der Konstante. Für die gegebene Ebene ax₁ + bx₂ + cx₃ = d_E gilt die Abstandsformel Abstand = |d_E − d_F| / |n| . Setze den gewünschten Abstand ein und löse die Betragsgleichung nach d_F auf – es entstehen zwei Lösungen, also zwei parallele Ebenen.

Was ist der Unterschied zwischen Lotfußpunkt und Abstand eines Punktes von einer Ebene?

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist eine skalare Zahl, die angibt, wie weit der Punkt von der Ebene entfernt ist. Der Lotfußpunkt dagegen ist ein konkreter Punkt auf der Ebene – nämlich genau der Punkt, der dem gegebenen Punkt am nächsten liegt. Der Abstand entspricht der Länge der Strecke zwischen dem Punkt und seinem Lotfußpunkt.

Abstände von einer Ebene einfach erklärt

Hast du dich jemals gefragt, wie ein Roboterarm in einer Fabrik genau weiß, wie weit er von einer Oberfläche entfernt ist, um etwas präzise zu greifen? Oder wie in einem Videospiel die Reflexionen auf einem spiegelglatten Boden oder die Schatten an einer Wand exakt berechnet werden? Die Antwort liegt in der Vektorgeometrie! Die Berechnungen zu angewandten Abständen von einer Ebene, die du hier lernst, sind das „Gehirn" hinter solchen 3D-Anwendungen. Du lernst die versteckte Mathematik, die es Computern ermöglicht, Abstände im Raum zu „sehen" und zu verstehen. Das ist keine trockene Theorie – das ist der Code, der virtuelle Welten und intelligente Maschinen antreibt.

Schnellantwort

Der Abstand eines Punktes P von einer Ebene E ist der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene. Er wird mit der Formel $d(P, E) = \frac{|a p_1 + b p_2 + c p_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ berechnet, wobei $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ die Koordinatenform der Ebene ist. Alle weiteren Aufgabentypen – Lotfußpunkt, Punkte auf Geraden, parallele Ebenen – bauen auf dieser zentralen Formel auf.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Koordinatenform einer Ebene: Beschreibt eine Ebene durch eine Gleichung.
- Formel: $E: ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$
- Beispiel: $E: 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 6$ . Der Vektor $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ steht senkrecht auf der Ebene (Normalenvektor).
Parameterform einer Geraden: Beschreibt eine Gerade durch einen Startpunkt und eine Richtung.
- Formel: $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$
- Beispiel: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ . Die Gerade startet bei $(1|2|3)$ und verläuft in Richtung des Vektors $\vec{u}$ .
Skalarprodukt: Ein Werkzeug, um den Winkel zwischen Vektoren zu prüfen. Ist das Ergebnis 0, stehen sie senkrecht aufeinander.
- Formel: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$
- Beispiel: $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 6 - 2 - 4 = 0$ . Die Vektoren sind orthogonal.
Betrag eines Vektors: Die Länge eines Vektors.
- Formel: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$
- Beispiel: $|\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ .
Abstandsformel (Punkt-Ebene): Berechnet den kürzesten Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.
- Formel: Für $P(p_1|p_2|p_3)$ und $E: ax_1 + bx_2 + cx_3 - d = 0$ gilt: $d(P, E) = \frac{|a p_1 + b p_2 + c p_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Aufgabentyp 1: Koordinaten des Lotfußpunktes bestimmen

Stell dir vor, du stehst an einem Punkt Q über einer ebenen Fläche E. Der Lotfußpunkt F ist der Punkt auf der Fläche, der direkt unter dir liegt. Es ist der Punkt, an dem eine senkrechte Linie (das Lot) von dir zur Ebene trifft.

Um diesen Punkt zu finden, bauen wir eine Hilfsgerade, die sogenannte Lotgerade. Diese Gerade geht durch den Punkt Q und steht senkrecht auf der Ebene E. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene ist genau der gesuchte Lotfußpunkt F.

Lotgerade von Punkt Q senkrecht auf Ebene E

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lotgerade aufstellen: Nimm den Ortsvektor von Q als Stützvektor und den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene als Richtungsvektor.
Schnittpunkt berechnen: Setze die Koordinaten der Lotgeraden in die Koordinatengleichung der Ebene ein.
Parameter t bestimmen: Löse die entstandene Gleichung nach $t$ auf.
Lotfußpunkt berechnen: Setze den Wert für $t$ in die Geradengleichung ein, um den Ortsvektor von F zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 15$ und der Punkt $Q(5|5|1)$ . Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F von Q auf E.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Lotgerade aufstellen
Der Stützvektor ist der Ortsvektor von $Q$ : $\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Lotgeraden: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ .

Die Lotgerade $g$ lautet: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Schnittpunkt von Gerade und Ebene berechnen
Wir schreiben die Koordinaten von $g$ einzeln auf: $x_1 = 5 + 2t$ $x_2 = 5 + t$ $x_3 = 1 - 2t$

Diese setzen wir in die Ebenengleichung $2x_1 + x_2 - 2x_3 = 15$ ein: $2(5 + 2t) + 1(5 + t) - 2(1 - 2t) = 15$
Schritt 3
Parameter t bestimmen
Wir lösen die Gleichung nach $t$ auf: $10 + 4t + 5 + t - 2 + 4t = 15$

$13 + 9t = 15 \quad |-13$

$9t = 2 \quad |:9$

$t = \frac{2}{9}$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinaten des Lotfußpunktes berechnen
Wir setzen $t = \frac{2}{9}$ in die Geradengleichung ein: $\vec{F} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{2}{9} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\vec{F} = \begin{pmatrix} 5 + \frac{4}{9} \\ 5 + \frac{2}{9} \\ 1 - \frac{4}{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{45}{9} + \frac{4}{9} \\ \frac{45}{9} + \frac{2}{9} \\ \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{49}{9} \\ \frac{47}{9} \\ \frac{5}{9} \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten $F(\frac{49}{9} | \frac{47}{9} | \frac{5}{9})$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: x_1 - 3x_2 + 4x_3 = -4$ und der Punkt $Q(1|1|1)$ . Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F von Q auf E.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Lotgerade aufstellen
Stützvektor: $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Richtungsvektor (Normalenvektor von E): $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

Lotgerade $g$ : $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Schnittpunkt von Gerade und Ebene berechnen
Koordinaten von $g$ : $x_1 = 1 + t$ $x_2 = 1 - 3t$ $x_3 = 1 + 4t$

Einsetzen in $E: x_1 - 3x_2 + 4x_3 = -4$ : $(1 + t) - 3(1 - 3t) + 4(1 + 4t) = -4$
Schritt 3
Parameter t bestimmen
$1 + t - 3 + 9t + 4 + 16t = -4$

$2 + 26t = -4 \quad |-2$

$26t = -6 \quad |:26$

$t = -\frac{6}{26} = -\frac{3}{13}$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinaten des Lotfußpunktes berechnen
Wir setzen $t = -\frac{3}{13}$ in $g$ ein: $\vec{F} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{3}{13} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\vec{F} = \begin{pmatrix} 1 - \frac{3}{13} \\ 1 + \frac{9}{13} \\ 1 - \frac{12}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{13}{13} - \frac{3}{13} \\ \frac{13}{13} + \frac{9}{13} \\ \frac{13}{13} - \frac{12}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{13} \\ \frac{22}{13} \\ \frac{1}{13} \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Der Lotfußpunkt ist $F(\frac{10}{13} | \frac{22}{13} | \frac{1}{13})$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Drohne befindet sich am Punkt $Q(10|8|-3)$ . Der flache Boden wird durch die Ebene $E: 5x_1 - 2x_2 - x_3 = 20$ beschrieben. Finden Sie den Punkt F auf dem Boden, der sich direkt unter der Drohne befindet.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Lotgerade aufstellen
Stützvektor (Position der Drohne): $\vec{p} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ -3 \end{pmatrix}$ .

Richtungsvektor (Normalenvektor des Bodens): $\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

Lotgerade $g$ : $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Schnittpunkt von Gerade und Ebene berechnen
Koordinaten von $g$ : $x_1 = 10 + 5t$ $x_2 = 8 - 2t$ $x_3 = -3 - t$

Einsetzen in $E: 5x_1 - 2x_2 - x_3 = 20$ : $5(10 + 5t) - 2(8 - 2t) - (-3 - t) = 20$
Schritt 3
Parameter t bestimmen
$50 + 25t - 16 + 4t + 3 + t = 20$

$37 + 30t = 20 \quad |-37$

$30t = -17 \quad |:30$

$t = -\frac{17}{30}$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinaten des Lotfußpunktes berechnen
Wir setzen $t = -\frac{17}{30}$ in $g$ ein: $\vec{F} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ -3 \end{pmatrix} - \frac{17}{30} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\vec{F} = \begin{pmatrix} 10 - \frac{85}{30} \\ 8 + \frac{34}{30} \\ -3 + \frac{17}{30} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{300-85}{30} \\ \frac{240+34}{30} \\ \frac{-90+17}{30} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{215}{30} \\ \frac{274}{30} \\ -\frac{73}{30} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{43}{6} \\ \frac{137}{15} \\ -\frac{73}{30} \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Der Punkt auf dem Boden ist $F(\frac{43}{6} | \frac{137}{15} | -\frac{73}{30})$ .

Aufgabentyp 2: Punkte auf einer Geraden mit festem Abstand zu einer Ebene finden

Stell dir eine schnurgerade Straße (Gerade g) vor, die schräg durch einen Berghang (Ebene E) verläuft. Wir wollen nun genau die zwei Punkte auf der Straße finden, die beispielsweise eine exakte Höhe von 6 Metern über dem Grundwasserspiegel (einer gedachten Ebene) haben.

Die Idee ist, einen allgemeinen Punkt $P_t$ auf der Geraden zu definieren, dessen Koordinaten vom Parameter $t$ abhängen. Dann verwenden wir die Abstandsformel, um den Abstand dieses allgemeinen Punktes zur Ebene zu berechnen. Wenn wir diesen Abstand gleich dem geforderten Wert setzen, erhalten wir eine Gleichung, mit der wir die passenden Werte für $t$ finden können. Meistens gibt es zwei solche Punkte.

Gerade g schneidet Ebene E mit zwei markierten Abstandspunkten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Allgemeinen Punkt aufstellen: Schreibe die Koordinaten eines Punktes $P_t$ auf der Geraden in Abhängigkeit von $t$ auf: $P_t(p_1 + t \cdot u_1 | p_2 + t \cdot u_2 | p_3 + t \cdot u_3)$ .
Abstandsformel anwenden: Setze die Koordinaten von $P_t$ in $d(P_t, E) = \frac{|a x_1(t) + b x_2(t) + c x_3(t) - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ ein.
Gleichung lösen: Setze den berechneten Abstand gleich dem geforderten Abstand und löse die Betragsgleichung mit zwei Fällen.
Koordinaten berechnen: Setze $t_1$ und $t_2$ in die Geradengleichung ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und die Ebene $E: 3x_1 - 4x_3 = 10$ . Ermitteln Sie alle Punkte auf $g$ , die einen Abstand von $d=5$ zu $E$ haben.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeinen Punkt der Geraden aufstellen
Ein allgemeiner Punkt $P_t$ auf $g$ hat die Koordinaten: $x_1 = 1 + 2t$ $x_2 = t$ $x_3 = 2 - t$ Also $P_t(1+2t | t | 2-t)$ .
Schritt 2
Abstandsformel anwenden
Die Ebene ist $E: 3x_1 + 0x_2 - 4x_3 - 10 = 0$ . Der Betrag des Normalenvektors ist $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ .

$d(P_t, E) = \frac{|3(1+2t) - 4(2-t) - 10|}{5}$

$d(P_t, E) = \frac{|3 + 6t - 8 + 4t - 10|}{5}$

$d(P_t, E) = \frac{|10t - 15|}{5}$
Schritt 3
Gleichung aufstellen und nach t auflösen
Wir setzen den Abstand gleich 5: $\frac{|10t - 15|}{5} = 5 \quad | \cdot 5$

$|10t - 15| = 25$

Fall 1: $10t - 15 = 25$ $10t = 40 \implies t_1 = 4$

Fall 2: $10t - 15 = -25$ $10t = -10 \implies t_2 = -1$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinaten der Punkte berechnen
Für $t_1 = 4$ : $\vec{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+8 \\ 0+4 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \implies P_1(9|4|-2)$

Für $t_2 = -1$ : $\vec{p}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 0-1 \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \implies P_2(-1|-1|3)$

Ergebnis:

Die gesuchten Punkte sind $P_1(9|4|-2)$ und $P_2(-1|-1|3)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Seilbahn fährt entlang der Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 50 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -1 \end{pmatrix}$ . Ein See wird durch die Ebene $E: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 20$ beschrieben. Finden Sie die Positionen der Seilbahn, an denen sie genau $d=12$ LE vom See entfernt ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeinen Punkt der Geraden aufstellen
$P_t(10t | 10t | 50-t)$
Schritt 2
Abstandsformel anwenden
Die Ebene ist $E: 2x_1 - 2x_2 + x_3 - 20 = 0$ . Der Betrag des Normalenvektors ist $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$ .

$d(P_t, E) = \frac{|2(10t) - 2(10t) + (50-t) - 20|}{3}$

$d(P_t, E) = \frac{|20t - 20t + 50 - t - 20|}{3}$

$d(P_t, E) = \frac{|30 - t|}{3}$
Schritt 3
Gleichung aufstellen und nach t auflösen
Wir setzen den Abstand gleich 12: $\frac{|30 - t|}{3} = 12 \quad | \cdot 3$

$|30 - t| = 36$

Fall 1: $30 - t = 36$ $-t = 6 \implies t_1 = -6$

Fall 2: $30 - t = -36$ $-t = -66 \implies t_2 = 66$
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinaten der Punkte berechnen
Für $t_1 = -6$ : $\vec{p}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 50 \end{pmatrix} - 6 \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -60 \\ -60 \\ 56 \end{pmatrix} \implies P_1(-60|-60|56)$

Für $t_2 = 66$ : $\vec{p}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 50 \end{pmatrix} + 66 \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 660 \\ 660 \\ -16 \end{pmatrix} \implies P_2(660|660|-16)$

Ergebnis:

Die gesuchten Positionen sind $P_1(-60|-60|56)$ und $P_2(660|660|-16)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben sind $g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $E: x_1 - x_2 + x_3 = 2$ . Finden Sie die Punkte auf $g$ mit Abstand $d=\sqrt{3}$ zu $E$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Allgemeinen Punkt der Geraden aufstellen
$P_t(3+t | 2+t | 1+t)$
Schritt 2
Abstandsformel anwenden
Die Ebene ist $E: x_1 - x_2 + x_3 - 2 = 0$ . Der Betrag des Normalenvektors ist $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ .

$d(P_t, E) = \frac{|(3+t) - (2+t) + (1+t) - 2|}{\sqrt{3}}$

$d(P_t, E) = \frac{|3+t - 2-t + 1+t - 2|}{\sqrt{3}}$

$d(P_t, E) = \frac{|t|}{\sqrt{3}}$
Schritt 3
Gleichung aufstellen und nach t auflösen
Wir setzen den Abstand gleich $\sqrt{3}$ : $\frac{|t|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \quad | \cdot \sqrt{3}$

$|t| = 3$

Das ergibt $t_1 = 3$ und $t_2 = -3$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Koordinaten der Punkte berechnen
Für $t_1 = 3$ : $\vec{p}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \implies P_1(6|5|4)$

Für $t_2 = -3$ : $\vec{p}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \implies P_2(0|-1|-2)$

Ergebnis:

Die gesuchten Punkte sind $P_1(6|5|4)$ und $P_2(0|-1|-2)$ .

Aufgabentyp 3: Punkte auf einer Koordinatenachse mit festem Abstand zu einer Ebene finden

Diese Aufgabe zu angewandten Abständen von einer Ebene ist eine Variante des vorherigen Typs. Statt einer beliebigen Geraden betrachten wir nun die drei Koordinatenachsen ( $x_1, x_2, x_3$ ) als unsere Geraden. Wir suchen also Punkte, die auf einer dieser Achsen liegen und einen bestimmten Abstand $d$ zu einer Ebene $E$ haben.

Der Trick ist, die Form eines Punktes auf jeder Achse zu kennen:

Ein Punkt auf der $x_1$ -Achse hat die Form $P(p_1|0|0)$ .
Ein Punkt auf der $x_2$ -Achse hat die Form $P(0|p_2|0)$ .
Ein Punkt auf der $x_3$ -Achse hat die Form $P(0|0|p_3)$ .

Für jede Achse setzen wir diese allgemeine Form in die Abstandsformel ein und lösen nach der unbekannten Koordinate auf. Pro Achse können wir null, einen oder zwei Punkte finden.

Koordinatenachsen mit Abstandspunkten zur Ebene

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wir führen die folgenden Schritte für jede der drei Koordinatenachsen ( $x_1, x_2, x_3$ ) durch.

Allgemeinen Punkt auf der Achse definieren: Zum Beispiel für die $x_1$ -Achse: $P(p_1|0|0)$ .
Abstandsformel anwenden: Setze die Koordinaten in die Abstandsformel für die gegebene Ebene ein. Viele Terme werden dabei null.
Gleichung lösen: Setze den Abstand gleich dem geforderten Wert $d$ und löse die Betragsgleichung nach der unbekannten Koordinate auf.
Punkte angeben: Schreibe die Koordinaten der gefundenen Punkte auf und wiederhole den Prozess für die anderen beiden Achsen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ermitteln Sie alle Punkte auf den Koordinatenachsen, die einen Abstand von $d=3$ zur Ebene $E: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 12$ haben.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Punkte auf der $x_1$-Achse
Ein Punkt hat die Form $P(p_1|0|0)$ . $d(P, E) = \frac{|2p_1 - 1(0) + 2(0) - 12|}{3} = \frac{|2p_1 - 12|}{3}$

Wir setzen den Abstand gleich 3: $\frac{|2p_1 - 12|}{3} = 3 \implies |2p_1 - 12| = 9$

Fall 1: $2p_1 - 12 = 9 \implies 2p_1 = 21 \implies p_1 = 10.5$ Fall 2: $2p_1 - 12 = -9 \implies 2p_1 = 3 \implies p_1 = 1.5$ Die Punkte sind $P_1(10.5|0|0)$ und $P_2(1.5|0|0)$ .
Schritt 2
Punkte auf der $x_2$-Achse
Ein Punkt hat die Form $P(0|p_2|0)$ . $d(P, E) = \frac{|2(0) - p_2 + 2(0) - 12|}{3} = \frac{|-p_2 - 12|}{3}$

Wir setzen den Abstand gleich 3: $\frac{|-p_2 - 12|}{3} = 3 \implies |-p_2 - 12| = 9$

Fall 1: $-p_2 - 12 = 9 \implies -p_2 = 21 \implies p_2 = -21$ Fall 2: $-p_2 - 12 = -9 \implies -p_2 = 3 \implies p_2 = -3$ Die Punkte sind $P_3(0|-21|0)$ und $P_4(0|-3|0)$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Punkte auf der $x_3$-Achse
Ein Punkt hat die Form $P(0|0|p_3)$ . $d(P, E) = \frac{|2(0) - 0 + 2p_3 - 12|}{3} = \frac{|2p_3 - 12|}{3}$

Wir setzen den Abstand gleich 3: $\frac{|2p_3 - 12|}{3} = 3 \implies |2p_3 - 12| = 9$

Fall 1: $2p_3 - 12 = 9 \implies 2p_3 = 21 \implies p_3 = 10.5$ Fall 2: $2p_3 - 12 = -9 \implies 2p_3 = 3 \implies p_3 = 1.5$ Die Punkte sind $P_5(0|0|10.5)$ und $P_6(0|0|1.5)$ .

Ergebnis:

Es gibt sechs Punkte: $P_1(10.5|0|0)$ , $P_2(1.5|0|0)$ , $P_3(0|-21|0)$ , $P_4(0|-3|0)$ , $P_5(0|0|10.5)$ und $P_6(0|0|1.5)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finden Sie alle Punkte auf den Koordinatenachsen mit Abstand $d=13$ zur Ebene $E: 3x_1 - 4x_2 + 12x_3 = 0$ .

Die Ebene ist $E: 3x_1 - 4x_2 + 12x_3 - 0 = 0$ . Der Betrag des Normalenvektors ist $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$ .

Schritt 1: Punkte auf der $x_1$ -Achse: $P(p_1|0|0)$

$d(P, E) = \frac{|3p_1 - 4(0) + 12(0) - 0|}{13} = \frac{|3p_1|}{13}$

Wir setzen den Abstand gleich 13: $\frac{|3p_1|}{13} = 13 \implies |3p_1| = 169 \implies p_1 = \pm \frac{169}{3}$ Die Punkte sind $P_1(\frac{169}{3}|0|0)$ und $P_2(-\frac{169}{3}|0|0)$ .

Schritt 2: Punkte auf der $x_2$ -Achse: $P(0|p_2|0)$

$d(P, E) = \frac{|3(0) - 4p_2 + 12(0) - 0|}{13} = \frac{|-4p_2|}{13}$

Wir setzen den Abstand gleich 13: $\frac{|-4p_2|}{13} = 13 \implies |-4p_2| = 169 \implies p_2 = \pm \frac{169}{4}$ Die Punkte sind $P_3(0|\frac{169}{4}|0)$ und $P_4(0|-\frac{169}{4}|0)$ .

Schritt 3: Punkte auf der $x_3$ -Achse: $P(0|0|p_3)$

$d(P, E) = \frac{|3(0) - 4(0) + 12p_3 - 0|}{13} = \frac{|12p_3|}{13}$

Wir setzen den Abstand gleich 13: $\frac{|12p_3|}{13} = 13 \implies |12p_3| = 169 \implies p_3 = \pm \frac{169}{12}$ Die Punkte sind $P_5(0|0|\frac{169}{12})$ und $P_6(0|0|-\frac{169}{12})$ .

Ergebnis:

Es gibt sechs Punkte, je zwei pro Achse.

Beispiel 3

Aufgabe

Ermitteln Sie alle Punkte auf den Koordinatenachsen, die einen Abstand von $d=2$ zur Ebene $E: 4x_1 = 24$ haben.

Die Ebene ist $E: 4x_1 - 24 = 0$ oder vereinfacht $x_1 = 6$ . Dies ist eine Ebene parallel zur $x_2x_3$ -Ebene. Der Betrag des Normalenvektors $\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ist $|\vec{n}| = \sqrt{4^2} = 4$ .

Schritt 1: Punkte auf der $x_1$ -Achse: $P(p_1|0|0)$

$d(P, E) = \frac{|4p_1 - 24|}{4} = |p_1 - 6|$

Wir setzen den Abstand gleich 2: $|p_1 - 6| = 2$

Fall 1: $p_1 - 6 = 2 \implies p_1 = 8$ Fall 2: $p_1 - 6 = -2 \implies p_1 = 4$ Die Punkte sind $P_1(8|0|0)$ und $P_2(4|0|0)$ .

Schritt 2: Punkte auf der $x_2$ -Achse: $P(0|p_2|0)$

$d(P, E) = \frac{|4(0) - 24|}{4} = \frac{|-24|}{4} = 6$

Der Abstand jedes Punktes auf der $x_2$ -Achse zur Ebene ist konstant 6. Da $6 \neq 2$ , gibt es keine Punkte auf der $x_2$ -Achse mit Abstand 2.

Schritt 3: Punkte auf der $x_3$ -Achse: $P(0|0|p_3)$

$d(P, E) = \frac{|4(0) - 24|}{4} = \frac{|-24|}{4} = 6$

Auch hier ist der Abstand konstant 6. Es gibt keine Punkte auf der $x_3$ -Achse mit Abstand 2.

Ergebnis:

Die einzigen Punkte sind $P_1(8|0|0)$ und $P_2(4|0|0)$ auf der $x_1$ -Achse.

Aufgabentyp 4: Parallele Ebene mit einem bestimmten Abstand finden

Stell dir eine Ebene E im Raum vor, zum Beispiel den Boden eines Zimmers. Wir wollen nun eine zweite Ebene F finden, die perfekt parallel dazu ist – wie die Decke des Zimmers – und einen exakten Abstand $d$ hat.

Der Schlüssel hierbei ist, dass parallele Ebenen denselben Normalenvektor haben. Wenn die gegebene Ebene die Gleichung $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d_E$ hat, dann muss die gesuchte Ebene die Form $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d_F$ haben. Unsere einzige Aufgabe ist es, den neuen Wert $d_F$ zu finden.

Es gibt immer zwei solche Ebenen: eine „über" und eine „unter" der ursprünglichen Ebene. Wir finden beide, indem wir die Abstandsformel für parallele Ebenen verwenden.

Zwei parallele Ebenen mit gleichem Normalenvektor und Abstand d

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Normalenvektor und Konstante identifizieren: Lies $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ und $d_E$ aus der Ebenengleichung ab.
Betrag des Normalenvektors berechnen: $|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .
Abstandsformel anwenden: Setze in $\text{Abstand} = \frac{|d_E - d_F|}{|\vec{n}|}$ ein.
Nach $d_F$ auflösen: Löse die Betragsgleichung und erhalte zwei Werte $d_{F1}$ und $d_{F2}$ .
Ebenengleichungen aufschreiben: $F_1: ax_1 + bx_2 + cx_3 = d_{F1}$ und $F_2: ax_1 + bx_2 + cx_3 = d_{F2}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 5$ . Finden Sie die Gleichungen der beiden Ebenen $F_1$ und $F_2$ , die parallel zu E sind und den Abstand $d=4$ haben.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Normalenvektor und Konstante identifizieren
Aus $E: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 5$ lesen wir ab: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $d_E = 5$ .
Schritt 2
Betrag des Normalenvektors berechnen
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$ .
Schritt 3
Abstandsformel anwenden
$4 = \frac{|5 - d_F|}{3}$
Schritt 4
Nach der neuen Konstante $d_F$ auflösen
$12 = |5 - d_F|$

Fall 1: $5 - d_F = 12 \implies -d_F = 7 \implies d_{F1} = -7$ Fall 2: $5 - d_F = -12 \implies -d_F = -17 \implies d_{F2} = 17$
Schritt 5 · Ergebnis
Ebenengleichungen aufschreiben
$F_1: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = -7$ $F_2: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 17$

Ergebnis:

Die beiden parallelen Ebenen sind $F_1: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = -7$ und $F_2: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 17$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Ebene ist durch $E: 6x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 10$ gegeben. Bestimmen Sie die Gleichungen zweier paralleler Ebenen im Abstand $d=2$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Normalenvektor und Konstante identifizieren
$\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$ und $d_E = 10$ .
Schritt 2
Betrag des Normalenvektors berechnen
$|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7$ .
Schritt 3
Abstandsformel anwenden
$2 = \frac{|10 - d_F|}{7}$
Schritt 4
Nach der neuen Konstante $d_F$ auflösen
$14 = |10 - d_F|$

Fall 1: $10 - d_F = 14 \implies -d_F = 4 \implies d_{F1} = -4$ Fall 2: $10 - d_F = -14 \implies -d_F = -24 \implies d_{F2} = 24$
Schritt 5 · Ergebnis
Ebenengleichungen aufschreiben
$F_1: 6x_1 - 3x_2 - 2x_3 = -4$ $F_2: 6x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 24$

Ergebnis:

Die beiden parallelen Ebenen sind $F_1: 6x_1 - 3x_2 - 2x_3 = -4$ und $F_2: 6x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 24$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Finden Sie die Gleichungen der Ebenen, die parallel zur Ebene $E: x_1 + x_2 + x_3 = 0$ sind und den Abstand $d=\sqrt{3}$ haben.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Normalenvektor und Konstante identifizieren
$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $d_E = 0$ .
Schritt 2
Betrag des Normalenvektors berechnen
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ .
Schritt 3
Abstandsformel anwenden
$\sqrt{3} = \frac{|0 - d_F|}{\sqrt{3}}$
Schritt 4
Nach der neuen Konstante $d_F$ auflösen
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = |-d_F| \implies 3 = |d_F|$

Das ergibt $d_{F1} = 3$ und $d_{F2} = -3$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Ebenengleichungen aufschreiben
$F_1: x_1 + x_2 + x_3 = 3$ $F_2: x_1 + x_2 + x_3 = -3$

Ergebnis:

Die beiden parallelen Ebenen sind $F_1: x_1 + x_2 + x_3 = 3$ und $F_2: x_1 + x_2 + x_3 = -3$ .

Aufgabentyp 5: Eine Gerade mit festem Abstand zu einer Ebene bestimmen

Stell dir vor, ein Flugzeug (Gerade g) soll in einer konstanten Sicherheitshöhe (Abstand d) über einem flachen, geneigten Gelände (Ebene E) fliegen. Wie lautet die Gleichung für eine mögliche Flugbahn?

Damit jeder Punkt auf der Geraden denselben Abstand zur Ebene hat, muss die Gerade parallel zur Ebene sein. Das bedeutet, der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht zum Normalenvektor der Ebene stehen.

Um die Geradengleichung $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ aufzustellen, brauchen wir zwei Dinge:

Einen Stützvektor $\vec{p}$ : Das ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes, der den geforderten Abstand $d$ zur Ebene hat.
Einen Richtungsvektor $\vec{u}$ : Das ist ein beliebiger Vektor, der senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene steht (ihr Skalarprodukt ist null).

Da es unendlich viele solcher Punkte und Richtungen gibt, ist die Lösung hier nicht eindeutig. Wir suchen nur eine von vielen möglichen Geraden.

Gerade g parallel zu Ebene E mit konstantem Abstand d

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Passenden Stützpunkt finden: Bestimme die Gleichung einer parallelen Ebene F im Abstand $d$ (wie in Aufgabentyp 4), wähle einen einfachen Punkt auf F und nutze dessen Ortsvektor als $\vec{p}$ .
Passenden Richtungsvektor finden: Löse $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ auf, indem du zwei Komponenten von $\vec{u}$ frei wählst und die dritte berechnest.
Geradengleichung aufstellen: Setze $\vec{p}$ und $\vec{u}$ in $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Ebene F ist durch die Gleichung $2x_1 + x_2 - 2x_3 = 10$ definiert. Ermitteln Sie die Parameterform einer Geraden g, für die jeder Punkt auf g einen Abstand von genau $d=6$ LE zur Ebene F besitzt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Einen passenden Stützpunkt P finden
Die Ebene ist $F: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 10$ . $|\vec{n}| = \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} = 3$ . Wir suchen eine parallele Ebene $H: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = d_H$ mit Abstand 6. $6 = \frac{|10 - d_H|}{3} \implies 18 = |10 - d_H|$ . Eine Möglichkeit ist $10 - d_H = 18 \implies d_H = -8$ . Unsere Hilfsebene ist $H: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = -8$ . Wir finden einen Punkt auf $H$ , indem wir $x_1=0, x_2=0$ setzen: $-2x_3 = -8 \implies x_3 = 4$ . Ein möglicher Stützpunkt ist $P(0|0|4)$ . Also $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Einen passenden Richtungsvektor $\vec{u}$ finden
Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ . Wir suchen $\vec{u}$ mit $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ . $2u_1 + u_2 - 2u_3 = 0$ . Wir wählen $u_1=1, u_3=1$ : $2(1) + u_2 - 2(1) = 0 \implies u_2 = 0$ . Ein möglicher Richtungsvektor ist $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung aufstellen
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

Dies ist eine von vielen korrekten Lösungen.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimmen Sie eine Gerade g, die parallel zur Ebene $E: 3x_1 - 5x_2 + x_3 = 7$ ist und einen Abstand von $d=\sqrt{35}$ hat.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Einen passenden Stützpunkt P finden
$|\vec{n}| = \sqrt{3^2+(-5)^2+1^2} = \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$ . Wir suchen eine parallele Ebene $H: 3x_1 - 5x_2 + x_3 = d_H$ mit Abstand $\sqrt{35}$ . $\sqrt{35} = \frac{|7 - d_H|}{\sqrt{35}} \implies 35 = |7 - d_H|$ . Eine Möglichkeit ist $7 - d_H = 35 \implies d_H = -28$ . Unsere Hilfsebene ist $H: 3x_1 - 5x_2 + x_3 = -28$ . Setze $x_1=0, x_2=0$ : $x_3 = -28$ . Ein Stützpunkt ist $P(0|0|-28)$ . Also $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -28 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Einen passenden Richtungsvektor $\vec{u}$ finden
Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Wir suchen $\vec{u}$ mit $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ . $3u_1 - 5u_2 + u_3 = 0$ . Wir wählen $u_1=5, u_2=3$ : $3(5) - 5(3) + u_3 = 0 \implies 15 - 15 + u_3 = 0 \implies u_3 = 0$ . Ein möglicher Richtungsvektor ist $\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung aufstellen
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -28 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

Eine mögliche Gerade mit Abstand $\sqrt{35}$ zur Ebene E.

Beispiel 3

Aufgabe

Finden Sie eine Gerade, deren Punkte alle den Abstand $d=2$ zur Ebene $E: 4x_1 + 3x_3 = 20$ haben.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Einen passenden Stützpunkt P finden
$|\vec{n}| = \sqrt{4^2+0^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$ . Wir suchen eine parallele Ebene $H: 4x_1 + 3x_3 = d_H$ mit Abstand 2. $2 = \frac{|20 - d_H|}{5} \implies 10 = |20 - d_H|$ . Eine Möglichkeit ist $20 - d_H = 10 \implies d_H = 10$ . Unsere Hilfsebene ist $H: 4x_1 + 3x_3 = 10$ . Setze $x_1=1$ : $4(1) + 3x_3 = 10 \implies 3x_3 = 6 \implies x_3 = 2$ . Wir können $x_2$ frei wählen, z.B. $x_2=0$ . Ein Stützpunkt ist $P(1|0|2)$ . Also $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Einen passenden Richtungsvektor $\vec{u}$ finden
Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ . Wir suchen $\vec{u}$ mit $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ . $4u_1 + 0u_2 + 3u_3 = 0 \implies 4u_1 + 3u_3 = 0$ . Wir wählen $u_1=3$ : $4(3) + 3u_3 = 0 \implies 12 = -3u_3 \implies u_3 = -4$ . Die Komponente $u_2$ kann beliebig sein, da sie mit 0 multipliziert wird. Wählen wir $u_2=1$ . Ein möglicher Richtungsvektor ist $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Geradengleichung aufstellen
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

Eine mögliche Gerade mit konstantem Abstand 2 zur Ebene E.

Wichtige Erkenntnisse

Lotfußpunkt: Der Schnittpunkt der Lotgeraden (durch Punkt Q, Richtung $\vec{n}$ ) mit der Ebene.
Abstand Punkt-Ebene: Die zentrale Formel ist $d(P, E) = \frac{|a p_1 + b p_2 + c p_3 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .
Punkte auf Gerade mit Abstand: Definiere einen allgemeinen Punkt $P_t$ auf der Geraden und setze ihn in die Abstandsformel ein. Löse die Betragsgleichung.
Parallele Ebenen: Haben den gleichen Normalenvektor $\vec{n}$ , aber unterschiedliche Konstanten $d_E$ und $d_F$ . Ihr Abstand ist $d = \frac{|d_E - d_F|}{|\vec{n}|}$ .
Gerade parallel zu Ebene: Der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden muss senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene stehen. Es gilt: $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ .

Abstände von einer Ebene: Alle Aufgabentypen erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Koordinaten des Lotfußpunktes bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 2: Punkte auf einer Geraden mit festem Abstand zu einer Ebene finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 3: Punkte auf einer Koordinatenachse mit festem Abstand zu einer Ebene finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 4: Parallele Ebene mit einem bestimmten Abstand finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Aufgabentyp 5: Eine Gerade mit festem Abstand zu einer Ebene bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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