Was ist ein Drachenviereck im Koordinatensystem?

Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Symmetrieachse bildet. Seine zwei Diagonalen stehen immer senkrecht (im 90°-Winkel) aufeinander. Im Koordinatensystem erkennst du ein Drachenviereck daran, dass zwei Eckpunkte auf einer horizontalen und zwei auf einer vertikalen Linie liegen. Eine Raute ist ein Sonderfall des Drachenvierecks, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind.

Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks?

Den Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnest du mit der Formel A = ½ · e · f , wobei e und f die Längen der beiden Diagonalen sind. Im Koordinatensystem bestimmst du die Diagonalenlängen durch Subtraktion der Koordinaten: Bei einer horizontalen Diagonale nimmst du den Betrag der Differenz der x-Koordinaten, bei einer vertikalen den Betrag der Differenz der y-Koordinaten.

Was ist eine Punktspiegelung und wie funktioniert sie?

Bei einer Punktspiegelung wird ein Punkt A an einem Spiegelzentrum Z gespiegelt, sodass ein Bildpunkt A' entsteht. Das Zentrum Z liegt genau in der Mitte zwischen A und A' . Du berechnest den Bildpunkt, indem du die Verschiebung von A nach Z (Δx und Δy) bestimmst und dieselbe Verschiebung noch einmal auf Z anwendest: x_A' = x_Z + Δx und y_A' = y_Z + Δy .

Wie bildest du das Verhältnis zweier Flächeninhalte?

Das Verhältnis zweier Flächeninhalte bildest du als Bruch: Du schreibst die erste Fläche in den Zähler und die zweite in den Nenner. Anschließend kürzt du den Bruch so weit wie möglich, indem du Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividierst. Die Reihenfolge ist dabei wichtig – das Verhältnis von A zu B ist nicht dasselbe wie das Verhältnis von B zu A .

Was ist der Unterschied zwischen Verhältnis und Differenz bei Flächen?

Das Verhältnis zweier Flächen gibt an, wie sie sich zueinander verhalten – ausgedrückt als gekürzter Bruch oder mit einem Doppelpunkt (z. B. 3:2). Die Differenz hingegen gibt an, um wie viele Flächeneinheiten eine Fläche größer ist als die andere – du subtrahierst einfach die kleinere von der größeren. Beim Verhältnis interessiert die relative Größe, bei der Differenz der absolute Unterschied.

Vierecke im Koordinatensystem

Vierecke im Koordinatensystem begegnen dir in vielen Mathe-Aufgaben der Schule – und das Schöne daran ist: Hinter den Aufgaben steckt dieselbe Logik, mit der Entwickler digitale Welten in Videospielen und Filmen aufbauen. Wenn du verstehst, wie man Punkte verschiebt, Flächen berechnet und Formen verändert, kannst du Objekte im Raum manipulieren wie ein Profi. In diesem Artikel lernst du, wie du den Flächeninhalt von Drachenvierecken berechnest, Punkte spiegelst und Rauten erzeugst sowie Flächeninhalte miteinander vergleichst – alles Schritt für Schritt erklärt.

Schnellantwort

Vierecke im Koordinatensystem sind geometrische Figuren mit vier Eckpunkten, deren Koordinaten genau bestimmt sind. Typische Aufgaben umfassen das Berechnen von Flächeninhalten (z. B. beim Drachenviereck mit $A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$ ), das Spiegeln von Punkten sowie das Vergleichen von Flächen über Verhältnis und Differenz. Die Koordinaten erlauben es, Seitenlängen und Diagonalen durch einfache Subtraktion zu bestimmen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Punkte im Koordinatensystem: Jeder Punkt hat eine x- und eine y-Koordinate, z. B. $P(3|2)$ . Die erste Zahl gibt die Position auf der x-Achse (rechts/links) an, die zweite Zahl die Position auf der y-Achse (oben/unten).
Abstand zwischen Punkten (horizontal/vertikal): Wenn zwei Punkte dieselbe y-Koordinate haben (horizontale Linie), ist ihr Abstand der Unterschied der x-Koordinaten. Haben sie dieselbe x-Koordinate (vertikale Linie), ist ihr Abstand der Unterschied der y-Koordinaten.
- Beispiel: Der Abstand zwischen $A(2|5)$ und $B(8|5)$ ist $|8 - 2| = 6$ Längeneinheiten.
Mittelpunkt einer Strecke: Der Mittelpunkt $M$ einer Strecke zwischen den Punkten $A(x_A|y_A)$ und $B(x_B|y_B)$ wird mit einer einfachen Formel berechnet.
- Formel: $M(\frac{x_A + x_B}{2} | \frac{y_A + y_B}{2})$
- Beispiel: Der Mittelpunkt von $A(2|1)$ und $B(6|7)$ ist $M(\frac{2+6}{2} | \frac{1+7}{2}) = M(4|4)$ .
Brüche kürzen: Um einen Bruch zu vereinfachen, teilt man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.
- Beispiel: $\frac{15}{25}$ kann man mit 5 kürzen: $\frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$ .

Aufgabentyp 1: Flächeninhalt von Drachenvierecken berechnen

Ein Drachenviereck (oder kurz: Drachen) ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Symmetrieachse ist. Seine Diagonalen stehen immer senkrecht (im 90°-Winkel) aufeinander.

Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks im Koordinatensystem zu berechnen, benutzt man eine einfache Formel, die die Längen der beiden Diagonalen $e$ und $f$ verwendet.

Flächenformel für das Drachenviereck: $A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$

Im Koordinatensystem sind die Diagonalen oft horizontale oder vertikale Linien. Ihre Längen kannst du dann ganz einfach durch Abzählen oder durch Subtraktion der Koordinaten bestimmen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die Diagonalen: Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem. Identifiziere die beiden Diagonalen, die die gegenüberliegenden Ecken verbinden (z. B. die Strecken $[AC]$ und $[BD]$ ).
Berechne die Länge der ersten Diagonale (e): Wenn sie horizontal liegt, berechne den Unterschied der x-Koordinaten ihrer Endpunkte. Wenn sie vertikal liegt, berechne den Unterschied der y-Koordinaten.
Berechne die Länge der zweiten Diagonale (f): Bestimme die Länge der zweiten Diagonale auf die gleiche Weise.
Berechne den Flächeninhalt: Setze die berechneten Längen für $e$ und $f$ in die Flächenformel $A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$ ein und berechne das Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Punkte $A(-3|1)$ , $B(2|4)$ , $C(7|1)$ und $D(2|-5)$ bilden ein Drachenviereck. Berechne seinen Flächeninhalt in $\text{cm}^2$ , wenn eine Längeneinheit $1 \text{ cm}$ entspricht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Diagonalen identifizieren
Die Diagonalen sind die Strecken $[AC]$ und $[BD]$ .
Schritt 2
Länge der Diagonale e = [AC] berechnen
Die Punkte $A(-3|1)$ und $C(7|1)$ liegen auf einer horizontalen Linie. Wir berechnen den Unterschied der x-Koordinaten:

$e = |x_C - x_A| = |7 - (-3)| = |7 + 3| = 10$

Die Länge beträgt $10 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Länge der Diagonale f = [BD] berechnen
Die Punkte $B(2|4)$ und $D(2|-5)$ liegen auf einer vertikalen Linie. Wir berechnen den Unterschied der y-Koordinaten:

$f = |y_B - y_D| = |4 - (-5)| = |4 + 5| = 9$

Die Länge beträgt $9 \text{ cm}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Flächeninhalt berechnen
Wir setzen die Längen in die Formel ein:

$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$

$A = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm}$

$A = 5 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 45 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Der Flächeninhalt beträgt $45 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Viereck wird durch die Punkte $P(0|0)$ , $Q(5|2)$ , $R(8|0)$ und $S(5|-6)$ definiert. Berechne den Flächeninhalt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Diagonalen identifizieren
Die Diagonalen sind die Strecken $[PR]$ und $[QS]$ .
Schritt 2
Länge der Diagonale e = [PR] berechnen
Die Punkte $P(0|0)$ und $R(8|0)$ liegen auf der x-Achse.

$e = |x_R - x_P| = |8 - 0| = 8$
Schritt 3
Länge der Diagonale f = [QS] berechnen
Die Punkte $Q(5|2)$ und $S(5|-6)$ liegen auf einer vertikalen Linie.

$f = |y_Q - y_S| = |2 - (-6)| = |2 + 6| = 8$
Schritt 4 · Ergebnis
Flächeninhalt berechnen
$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$

$A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8$

$A = 4 \cdot 8 = 32$

Ergebnis:

Der Flächeninhalt beträgt $32$ Flächeneinheiten.

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks mit den Eckpunkten $A(-2|5)$ , $B(0|10)$ , $C(4|5)$ und $D(0|0)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Diagonalen identifizieren
Die Diagonalen sind $[AC]$ und $[BD]$ .
Schritt 2
Länge der Diagonale e = [AC] berechnen
Horizontale Strecke von $A(-2|5)$ nach $C(4|5)$ .

$e = |x_C - x_A| = |4 - (-2)| = 6$
Schritt 3
Länge der Diagonale f = [BD] berechnen
Vertikale Strecke von $B(0|10)$ nach $D(0|0)$ .

$f = |y_B - y_D| = |10 - 0| = 10$
Schritt 4 · Ergebnis
Flächeninhalt berechnen
$A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10$

$A = 3 \cdot 10 = 30$

Ergebnis:

Der Flächeninhalt beträgt $30$ Flächeneinheiten.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Grundstück hat die Form eines Drachenvierecks mit den Eckpunkten $E(-10|-2)$ , $F(0|3)$ , $G(10|-2)$ und $H(0|-8)$ . Eine Flächeneinheit entspricht einem Quadratmeter. Wie groß ist das Grundstück?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Diagonalen identifizieren
Die Diagonalen sind $[EG]$ und $[FH]$ .
Schritt 2
Länge der Diagonale e = [EG] berechnen
Horizontale Strecke von $E(-10|-2)$ nach $G(10|-2)$ .

$e = |x_G - x_E| = |10 - (-10)| = 20$

Die Länge beträgt $20 \text{ m}$ .
Schritt 3
Länge der Diagonale f = [FH] berechnen
Vertikale Strecke von $F(0|3)$ nach $H(0|-8)$ .

$f = |y_F - y_H| = |3 - (-8)| = 11$

Die Länge beträgt $11 \text{ m}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Flächeninhalt berechnen
$A = \frac{1}{2} \cdot 20 \text{ m} \cdot 11 \text{ m}$

$A = 10 \text{ m} \cdot 11 \text{ m} = 110 \text{ m}^2$

Ergebnis:

Das Grundstück ist $110 \text{ m}^2$ groß.

Beispiel 5

Aufgabe

Die Punkte $W(1|1)$ , $X(4|3)$ , $Y(7|1)$ und $Z(4|-4)$ bilden ein Drachenviereck. Berechne den Flächeninhalt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Diagonalen identifizieren
Die Diagonalen sind $[WY]$ und $[XZ]$ .
Schritt 2
Länge der Diagonale e = [WY] berechnen
Horizontale Strecke von $W(1|1)$ nach $Y(7|1)$ .

$e = |x_Y - x_W| = |7 - 1| = 6$
Schritt 3
Länge der Diagonale f = [XZ] berechnen
Vertikale Strecke von $X(4|3)$ nach $Z(4|-4)$ .

$f = |y_X - y_Z| = |3 - (-4)| = 7$
Schritt 4 · Ergebnis
Flächeninhalt berechnen
$A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7$

$A = 3 \cdot 7 = 21$

Ergebnis:

Der Flächeninhalt beträgt $21$ Flächeneinheiten.

Aufgabentyp 2: Punkte spiegeln und Rauten erzeugen

Eine Punktspiegelung ist eine geometrische Transformation. Wenn du einen Punkt $A$ an einem Spiegelzentrum $Z$ spiegelst, erhältst du einen Bildpunkt $A'$ .

Dabei liegt das Spiegelzentrum $Z$ genau in der Mitte der Strecke zwischen $A$ und $A'$ . Der Weg von $A$ nach $Z$ ist exakt derselbe wie der Weg von $Z$ nach $A'$ .

Punktspiegelung mit Ursprungspunkt, Zentrum und Bildpunkt

Eine Raute ist ein besonderes Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Sie ist auch ein spezielles Drachenviereck. Ihre Diagonalen halbieren sich gegenseitig und stehen senkrecht aufeinander. Wenn du in einem Drachenviereck einen Eckpunkt am Mittelpunkt der anderen Diagonale spiegelst, entsteht oft eine Raute.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Berechne das Spiegelzentrum Z: Finde die Koordinaten des Punktes, an dem gespiegelt werden soll. Oft ist das der Mittelpunkt einer Strecke. Benutze die Mittelpunktsformel: $Z(\frac{x_1 + x_2}{2} | \frac{y_1 + y_2}{2})$ .
Bestimme die Verschiebung von A nach Z: Berechne, wie du vom ursprünglichen Punkt $A$ zum Zentrum $Z$ kommst. Berechne die Änderung in x-Richtung ( $\Delta x = x_Z - x_A$ ) und in y-Richtung ( $\Delta y = y_Z - y_A$ ).
Berechne den Bildpunkt A': Wende dieselbe Verschiebung auf das Zentrum $Z$ an: $x_{A'} = x_Z + \Delta x$ und $y_{A'} = y_Z + \Delta y$ .
Zeichne die neue Figur und analysiere sie: Trage den neuen Punkt $A'$ in das Koordinatensystem ein und verbinde die Eckpunkte zur neuen Figur. Berechne bei Bedarf den Flächeninhalt der neuen Figur.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der Punkt $A(2|3)$ soll am Punkt $Z(5|5)$ gespiegelt werden. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Mittelpunkt (Spiegelzentrum) Z
Das Spiegelzentrum ist gegeben: $Z(5|5)$ .
Schritt 2
Verschiebung von A nach Z bestimmen
Wir schauen uns die Koordinaten von $A(2|3)$ und $Z(5|5)$ an.

Änderung in x-Richtung: $\Delta x = x_Z - x_A = 5 - 2 = 3$ Änderung in y-Richtung: $\Delta y = y_Z - y_A = 5 - 3 = 2$

Um von A nach Z zu kommen, gehen wir 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben.
Schritt 3 · Ergebnis
Bildpunkt A' berechnen
Wir wenden dieselbe Verschiebung auf Z an:

$x_{A'} = x_Z + \Delta x = 5 + 3 = 8$ $y_{A'} = y_Z + \Delta y = 5 + 2 = 7$

Ergebnis:

Der Bildpunkt ist $A'(8|7)$ .

Punktspiegelung von A über Z nach A-Strich

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben sind die Punkte $B(1|6)$ und $D(1|-4)$ . Spiegle den Punkt $C(3|1)$ am Mittelpunkt der Strecke $[BD]$ . Wie lauten die Koordinaten des Bildpunktes $C'$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Mittelpunkt (Spiegelzentrum) Z berechnen
Wir berechnen den Mittelpunkt Z der Strecke $[BD]$ mit $B(1|6)$ und $D(1|-4)$ .

$x_Z = \frac{1+1}{2} = 1$ $y_Z = \frac{6+(-4)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Das Spiegelzentrum ist $Z(1|1)$ .
Schritt 2
Verschiebung von C nach Z bestimmen
Wir betrachten $C(3|1)$ und $Z(1|1)$ .

$\Delta x = x_Z - x_C = 1 - 3 = -2$ $\Delta y = y_Z - y_C = 1 - 1 = 0$

Die Verschiebung ist 2 Einheiten nach links.
Schritt 3 · Ergebnis
Bildpunkt C' berechnen
Wir wenden die Verschiebung auf Z an:

$x_{C'} = x_Z + \Delta x = 1 + (-2) = -1$ $y_{C'} = y_Z + \Delta y = 1 + 0 = 1$

Ergebnis:

Der Bildpunkt ist $C'(-1|1)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Spiegle den Punkt $P(-4|-2)$ am Ursprung $O(0|0)$ . Bestimme den Bildpunkt $P'$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Mittelpunkt (Spiegelzentrum) Z
Das Spiegelzentrum ist der Ursprung $O(0|0)$ .
Schritt 2
Verschiebung von P nach O bestimmen
Wir betrachten $P(-4|-2)$ und $O(0|0)$ .

$\Delta x = x_O - x_P = 0 - (-4) = 4$ $\Delta y = y_O - y_P = 0 - (-2) = 2$

Die Verschiebung ist 4 nach rechts und 2 nach oben.
Schritt 3 · Ergebnis
Bildpunkt P' berechnen
Wir wenden die Verschiebung auf O an:

$x_{P'} = x_O + \Delta x = 0 + 4 = 4$ $y_{P'} = y_O + \Delta y = 0 + 2 = 2$

Ergebnis:

Der Bildpunkt ist $P'(4|2)$ . (Hinweis: Bei einer Spiegelung am Ursprung drehen sich einfach die Vorzeichen der Koordinaten um.)

Beispiel 4

Aufgabe

Die Punkte $A(0|5)$ , $B(4|8)$ und $D(4|2)$ sind Eckpunkte eines Drachenvierecks. Der vierte Punkt $C$ entsteht durch Spiegelung von $A$ am Mittelpunkt der Strecke $[BD]$ . Bestimme $C$ und berechne den Flächeninhalt der entstandenen Raute $ABDC$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Mittelpunkt Z von [BD] berechnen
$Z(\frac{4+4}{2} | \frac{8+2}{2}) = Z(4|5)$
Schritt 2
Verschiebung von A nach Z bestimmen
Von $A(0|5)$ nach $Z(4|5)$ :

$\Delta x = 4 - 0 = 4$ $\Delta y = 5 - 5 = 0$
Schritt 3
Bildpunkt C berechnen
$x_C = x_Z + \Delta x = 4 + 4 = 8$ $y_C = y_Z + \Delta y = 5 + 0 = 5$

Der vierte Eckpunkt ist $C(8|5)$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Flächeninhalt der Raute berechnen
Die Diagonalen der Raute $ABDC$ sind $[AC]$ und $[BD]$ .

Länge von $e = [AC]$ : $|x_C - x_A| = |8 - 0| = 8$ Länge von $f = [BD]$ : $|y_B - y_D| = |8 - 2| = 6$

$A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$

Ergebnis:

Der Flächeninhalt beträgt $24$ Flächeneinheiten.

Beispiel 5

Aufgabe

Spiegle den Punkt $K(10|1)$ am Punkt $L(5|1)$ . Wie lautet der Bildpunkt $K'$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Mittelpunkt (Spiegelzentrum) L
Das Zentrum ist $L(5|1)$ .
Schritt 2
Verschiebung von K nach L bestimmen
Von $K(10|1)$ nach $L(5|1)$ :

$\Delta x = 5 - 10 = -5$ $\Delta y = 1 - 1 = 0$

Die Verschiebung ist 5 Einheiten nach links.
Schritt 3 · Ergebnis
Bildpunkt K' berechnen
Wir wenden die Verschiebung auf L an:

$x_{K'} = x_L + \Delta x = 5 + (-5) = 0$ $y_{K'} = y_L + \Delta y = 1 + 0 = 1$

Ergebnis:

Der Bildpunkt ist $K'(0|1)$ .

Aufgabentyp 3: Flächeninhalte vergleichen (Verhältnis und Differenz)

In vielen Aufgaben zu Vierecken im Koordinatensystem sollst du zwei oder mehr Figuren miteinander vergleichen. Die häufigsten Vergleiche sind das Verhältnis und die Differenz ihrer Flächeninhalte.

Verhältnis: Das Verhältnis gibt an, wie oft eine Größe in eine andere hineinpasst. Man drückt es als Bruch oder mit einem Doppelpunkt aus. Die Reihenfolge ist wichtig! Das Verhältnis von $A$ zu $B$ ist $\frac{A}{B}$ .
Differenz: Die Differenz ist das Ergebnis einer Subtraktion. Sie gibt an, um wie viel sich zwei Werte unterscheiden. Wenn gefragt wird, um wie viel $A$ größer ist als $B$ , rechnest du $A - B$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Berechne beide Flächeninhalte: Stelle sicher, dass du die Flächeninhalte beider Figuren, die du vergleichen sollst, berechnet hast. Nennen wir sie Fläche 1 und Fläche 2.
Bilde das Verhältnis und kürze: Um das Verhältnis von Fläche 1 zu Fläche 2 zu finden, schreibe den Bruch $\frac{\text{Fläche 1}}{\text{Fläche 2}}$ und kürze ihn so weit wie möglich.
Berechne die Differenz: Um den Unterschied zwischen den beiden Flächen zu finden, ziehe die kleinere Fläche von der größeren ab: $\text{Differenz} = |\text{Fläche 1} - \text{Fläche 2}|$ . Das Ergebnis gibt an, um wie viele Flächeneinheiten sich die Figuren unterscheiden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Drachenviereck hat einen Flächeninhalt von $40 \text{ cm}^2$ . Eine Raute hat einen Flächeninhalt von $60 \text{ cm}^2$ . a) Gib das Verhältnis des Flächeninhalts der Raute zum Drachenviereck an. b) Um wie viel $\text{cm}^2$ ist die Raute größer?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächeninhalte
Fläche Drachen = $40 \text{ cm}^2$ Fläche Raute = $60 \text{ cm}^2$
Schritt 2
Verhältnis bilden (Raute zu Drachen)
Wir setzen die Werte in den Bruch ein. Die Raute kommt in den Zähler, da nach dem Verhältnis „Raute zu Drachen" gefragt ist.

$\frac{\text{Fläche Raute}}{\text{Fläche Drachen}} = \frac{60}{40}$

Jetzt kürzen wir den Bruch (zuerst mit 10, dann mit 2):

$\frac{60}{40} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Das Verhältnis ist $\frac{3}{2}$ (oder 3:2).
Schritt 3 · Ergebnis
Differenz berechnen
Wir ziehen die kleinere Fläche von der größeren ab:

$\text{Differenz} = 60 \text{ cm}^2 - 40 \text{ cm}^2 = 20 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Raute ist um $20 \text{ cm}^2$ größer.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Quadrat hat eine Fläche von $100 \text{ m}^2$ . Ein Rechteck hat eine Fläche von $25 \text{ m}^2$ . a) Gib das Verhältnis von Rechteck zu Quadrat an. b) Berechne die Differenz der Flächen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächeninhalte
Fläche Quadrat = $100 \text{ m}^2$ Fläche Rechteck = $25 \text{ m}^2$
Schritt 2
Verhältnis bilden (Rechteck zu Quadrat)
$\frac{\text{Fläche Rechteck}}{\text{Fläche Quadrat}} = \frac{25}{100}$

Wir kürzen mit 25:

$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Das Verhältnis ist $\frac{1}{4}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Differenz berechnen
$\text{Differenz} = 100 \text{ m}^2 - 25 \text{ m}^2 = 75 \text{ m}^2$

Ergebnis:

Der Unterschied beträgt $75 \text{ m}^2$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Figur A hat eine Fläche von $18$ Einheiten. Figur B hat eine Fläche von $12$ Einheiten. Gib das Verhältnis von A zu B an und berechne den Flächenunterschied.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächeninhalte
Fläche A = 18 Fläche B = 12
Schritt 2
Verhältnis bilden (A zu B)
$\frac{18}{12}$

Wir kürzen mit 6:

$\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Das Verhältnis ist $\frac{3}{2}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Differenz berechnen
$\text{Differenz} = 18 - 12 = 6$

Ergebnis:

Der Unterschied beträgt 6 Flächeneinheiten.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Kreis hat eine Fläche von ca. $50 \text{ cm}^2$ . Ein darin einbeschriebenes Quadrat hat eine Fläche von $32 \text{ cm}^2$ . Gib das Verhältnis der Flächen (Quadrat zu Kreis) an und berechne, wie viel Fläche „übrig" bleibt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächeninhalte
Fläche Kreis = $50 \text{ cm}^2$ Fläche Quadrat = $32 \text{ cm}^2$
Schritt 2
Verhältnis bilden (Quadrat zu Kreis)
$\frac{32}{50}$

Wir kürzen mit 2:

$\frac{32}{50} = \frac{16}{25}$

Das Verhältnis ist $\frac{16}{25}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Differenz berechnen
Die „übrige" Fläche ist die Differenz:

$\text{Differenz} = 50 \text{ cm}^2 - 32 \text{ cm}^2 = 18 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Es bleiben $18 \text{ cm}^2$ übrig.

Beispiel 5

Aufgabe

Zwei Pizzen werden verglichen. Pizza „Groß" hat eine Fläche von $900 \text{ cm}^2$ . Pizza „Klein" hat eine Fläche von $450 \text{ cm}^2$ . a) In welchem Verhältnis steht die Fläche von „Klein" zu „Groß"? b) Um wie viel ist die große Pizza flächenmäßig größer?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Flächeninhalte
Fläche Groß = $900 \text{ cm}^2$ Fläche Klein = $450 \text{ cm}^2$
Schritt 2
Verhältnis bilden (Klein zu Groß)
$\frac{450}{900}$

Wir kürzen mit 450:

$\frac{450}{900} = \frac{1}{2}$

Die kleine Pizza hat die halbe Fläche der großen.
Schritt 3 · Ergebnis
Differenz berechnen
$\text{Differenz} = 900 \text{ cm}^2 - 450 \text{ cm}^2 = 450 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die große Pizza ist um $450 \text{ cm}^2$ größer.

Wichtige Erkenntnisse

Flächeninhalt Drachen/Raute: $A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$ . Die Diagonalen $e$ und $f$ stehen senkrecht aufeinander.
Länge einer horizontalen Strecke: Differenz der x-Koordinaten: $|x_2 - x_1|$ .
Länge einer vertikalen Strecke: Differenz der y-Koordinaten: $|y_2 - y_1|$ .
Mittelpunkt einer Strecke: $M(\frac{x_1 + x_2}{2} | \frac{y_1 + y_2}{2})$ .
Punktspiegelung: Der Spiegelpunkt $Z$ ist der Mittelpunkt zwischen Originalpunkt $A$ und Bildpunkt $A'$ .
Verhältnis A zu B: Bruch $\frac{A}{B}$ bilden und kürzen.
Differenz: Größerer Wert minus kleinerer Wert.

Vierecke im Koordinatensystem einfach erklärt