Was ist ein Lot in der Geometrie?

Ein Lot ist eine Linie, die einen rechten Winkel (90°) mit einer anderen Geraden bildet. In der Geometrie unterscheidet man zwei Fälle: das Lot fällen (der Ausgangspunkt liegt außerhalb der Geraden) und das Lot errichten (der Ausgangspunkt liegt auf der Geraden). In beiden Fällen erhältst du eine Senkrechte zur ursprünglichen Geraden. Lots sind grundlegende Konstruktionen, die du für viele weitere geometrische Aufgaben brauchst.

Wie konstruierst du ein Lot von einem Punkt auf eine Gerade?

Du brauchst nur Zirkel und Lineal. Steche in den Punkt P ein und zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade in zwei Punkten A und B schneidet. Steche dann nacheinander in A und B ein und zeichne zwei weitere Kreisbögen mit gleichem Radius, die sich im Punkt Q schneiden. Die Verbindungslinie PQ ist das gesuchte Lot – sie steht exakt im 90°-Winkel auf der Geraden.

Was ist der Unterschied zwischen Lot fällen und Lot errichten?

Beim Lot fällen liegt der Punkt außerhalb der Geraden – du suchst den kürzesten Abstand von dem Punkt zur Geraden. Beim Lot errichten liegt der Punkt auf der Geraden – du baust eine Senkrechte direkt an diesem Punkt auf. Der Unterschied liegt nur in der Ausgangslage; die Konstruktionsschritte sind ähnlich, beim Errichten werden die Hilfsbögen aber auf der anderen Seite der Geraden gezeichnet.

Wie konstruierst du eine Tangente an einen Kreis?

Eine Tangente an einen Kreis konstruierst du, indem du das Lot auf der Radiuslinie im Berührpunkt errichtest. Zeichne zuerst den Radius vom Mittelpunkt M zum Berührpunkt R. Behandle dann diese Radiuslinie als deine Gerade und errichte das Lot in R – genau wie in Aufgabentyp 2. Die so entstandene Linie ist die Tangente , die den Kreis in genau einem Punkt berührt.

Warum steht die Tangente immer senkrecht auf dem Radius?

Das ist ein grundlegender Satz der Kreisgeometrie: Der Radius eines Kreises steht im Berührpunkt immer senkrecht auf der Tangente . Geometrisch lässt sich das so begründen: Die Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt, und der kürzeste Abstand vom Mittelpunkt zu einer Geraden ist immer das Lot – also der senkrechte Abstand. Dieser Satz ist der Schlüssel für alle Tangentenkonstruktionen.

Senkrechte und Tangenten konstruieren

Senkrechte und Tangenten konstruieren gehört zu den grundlegenden Techniken der Geometrie – und du brauchst dafür weder Winkelmesser noch Taschenrechner, sondern nur Zirkel und Lineal. Hast du dich jemals gefragt, wie Designer in CAD-Programmen perfekte Linien und Kurven zeichnen? Oder wie in Videospielen ein Lichtstrahl physikalisch korrekt von einer Oberfläche abprallt? Die Antwort liegt in einfachen geometrischen Regeln, die du mit nur einem Zirkel und einem Lineal meistern kannst. Diese Techniken sind wie ein „Cheat Code" für die Geometrie. Sie ermöglichen es dir, präzise und fehlerfreie Konstruktionen zu erstellen, ohne auch nur eine einzige Zahl zu messen. Lerne diesen Trick, und du kannst nicht nur deine Mathe-Aufgaben 10x schneller lösen, sondern verstehst auch die geheime Sprache, mit der perfekte Formen und Strukturen erschaffen werden.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen, die du für die Konstruktionen brauchst:

Gerade: Eine unendlich lange, gerade Linie ohne Anfangs- oder Endpunkt.
- Beispiel: Eine Linie, die durch die Punkte A und B verläuft und auf beiden Seiten weitergeht.
Punkt: Ein exakter Ort ohne Ausdehnung. Wir markieren ihn mit einem Kreuz oder einem kleinen Kreis.
- Beispiel: Der Punkt P(2|3) im Koordinatensystem.
Zirkel: Ein Werkzeug zum Zeichnen von Kreisen und Kreisbögen mit einem festen Abstand (Radius) um einen Mittelpunkt.
Lineal: Ein Werkzeug zum Zeichnen von geraden Linien.
Rechter Winkel: Ein Winkel von genau 90 Grad, wie die Ecke eines Quadrats. Wir markieren ihn mit einem Punkt im Winkelbogen.
- Beispiel: Die Winkel zwischen der x- und y-Achse in einem Koordinatensystem sind rechte Winkel.

Aufgabentyp 1: Lot von einem Punkt auf eine Gerade fällen

Stell dir vor, du hast eine Gerade g und einen Punkt P, der nicht auf der Geraden liegt. Das Lot zu fällen bedeutet, die kürzeste Verbindungslinie von P zur Geraden g zu konstruieren. Diese Linie steht immer im rechten Winkel (90°) zur Geraden g.

Wir suchen also eine Linie, die durch P geht und senkrecht auf g steht. Das Tolle ist: Du brauchst dafür kein Geodreieck, nur Zirkel und Lineal!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Kreisbogen um den Punkt P zeichnen

Steche mit dem Zirkel in den Punkt P ein. Wähle den Radius so groß, dass der Zirkel die Gerade g an zwei Stellen schneidet. Zeichne einen Kreisbogen. Die beiden Schnittpunkte nennst du A und B.

Schritt 2: Zwei weitere Kreisbögen zeichnen

Steche nun zuerst in Punkt A ein und zeichne einen Kreisbogen auf der P-abgewandten Seite der Geraden. Behalte den Radius bei, steche in Punkt B ein und zeichne einen zweiten Kreisbogen, der den ersten schneidet. Den neuen Schnittpunkt nennst du Q.

Wichtig: Der Radius für diese beiden Bögen muss gleich sein. Du kannst oft den Radius aus Schritt 1 beibehalten.

Schritt 3: Das Lot einzeichnen

Verbinde den ursprünglichen Punkt P mit dem neuen Schnittpunkt Q mit einem Lineal. Diese Linie ist das Lot. Markiere den rechten Winkel zwischen dem Lot und der Geraden g.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P. Konstruiere das Lot von P auf g.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kreisbogen um P zeichnen
Wir stechen in P ein und zeichnen einen Kreisbogen, der die Gerade g in den Punkten A und B schneidet.

Kreisbogen um P schneidet Gerade g in A und B
Schritt 2
Zwei weitere Kreisbögen zeichnen
Wir behalten den Zirkelradius bei. Wir stechen in A ein und zeichnen einen Kreisbogen unterhalb der Geraden. Dann stechen wir in B ein und zeichnen einen zweiten Kreisbogen, der den ersten im Punkt Q schneidet.

Kreisbögen von A und B schneiden sich in Q
Schritt 3 · Ergebnis
Das Lot einzeichnen
Wir verbinden die Punkte P und Q mit dem Lineal. Die resultierende Linie ist das Lot. Wir markieren den rechten Winkel.

Fertiges Lot von P auf g mit rechtem Winkel

Ergebnis:

Die Linie PQ steht senkrecht auf g und ist das gesuchte Lot.

Beispiel 2

Aufgabe

Konstruiere das Lot vom Punkt K auf die senkrechte Gerade h.

Ausgangslage: Punkt K und senkrechte Gerade h

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kreisbogen um K zeichnen
Wir stechen in K ein und zeichnen einen Bogen, der die Gerade h in den Punkten A und B schneidet.

Kreisbogen um K schneidet h in A und B
Schritt 2
Zwei weitere Kreisbögen zeichnen
Wir stechen in A und B ein und zeichnen zwei sich schneidende Kreisbögen auf der anderen Seite der Geraden. Der Schnittpunkt ist L.

Kreisbögen von A und B schneiden sich in L
Schritt 3 · Ergebnis
Das Lot einzeichnen
Wir verbinden K und L. Diese Linie ist das Lot auf h.

Fertiges Lot von K auf h

Ergebnis:

Die Linie KL steht senkrecht auf h und ist das gesuchte Lot.

Beispiel 3

Aufgabe

Fälle das Lot vom Punkt S auf die diagonale Gerade d.

Ausgangslage: Punkt S und diagonale Gerade d

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kreisbogen um S zeichnen
Wir zeichnen einen Kreisbogen mit Zentrum S, der die Gerade d in A und B schneidet.

Kreisbogen um S schneidet d in A und B
Schritt 2
Zwei weitere Kreisbögen zeichnen
Von A und B aus zeichnen wir zwei weitere Bögen mit gleichem Radius, die sich in T schneiden.

Kreisbögen von A und B schneiden sich in T
Schritt 3 · Ergebnis
Das Lot einzeichnen
Die Verbindung von S und T ist das gesuchte Lot.

Fertiges Lot von S auf d

Ergebnis:

Die Linie ST steht senkrecht auf d und ist das gesuchte Lot.

Beispiel 4

Aufgabe

Der Punkt P liegt sehr nah an der Geraden g. Konstruiere trotzdem das Lot.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kreisbogen um P zeichnen
Auch wenn P nah an g ist, funktioniert das Verfahren. Wir zeichnen einen Bogen um P, der g in A und B schneidet. Der Radius muss nur groß genug sein.

Kreisbogen um P (nah an g) schneidet g in A und B
Schritt 2
Zwei weitere Kreisbögen zeichnen
Von A und B aus zeichnen wir Kreisbögen, die sich unterhalb von g im Punkt Q schneiden.

Kreisbögen von A und B schneiden sich in Q
Schritt 3 · Ergebnis
Das Lot einzeichnen
Wir verbinden P und Q und erhalten das Lot.

Fertiges Lot von P auf g, Punkt P nah an g

Ergebnis:

Die Linie PQ steht senkrecht auf g und ist das gesuchte Lot.

Beispiel 5

Aufgabe

Konstruiere das Lot vom Punkt Z auf die Gerade w.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kreisbogen um Z zeichnen
Wir stechen in Z ein und zeichnen einen großen Kreisbogen, der die Gerade w in den Punkten A und B schneidet.

Kreisbogen um Z schneidet w in A und B
Schritt 2
Zwei weitere Kreisbögen zeichnen
Wir zeichnen zwei sich schneidende Kreisbögen von A und B aus. Der Schnittpunkt ist Y.

Kreisbögen von A und B schneiden sich in Y
Schritt 3 · Ergebnis
Das Lot einzeichnen
Die Verbindungslinie von Z nach Y ist das Lot.

Fertiges Lot von Z auf w

Ergebnis:

Die Linie ZY steht senkrecht auf w und ist das gesuchte Lot.

Aufgabentyp 2: Lot in einem Punkt auf einer Geraden errichten

Jetzt ändern wir die Ausgangslage: Der Punkt P liegt diesmal direkt auf der Geraden g. Unsere Aufgabe ist es, eine Linie zu konstruieren, die exakt im Punkt P im rechten Winkel (90°) von der Geraden g abgeht.

Man nennt das auch das Lot errichten. Die Vorgehensweise ist leicht anders, aber genauso einfach und logisch.