Achsenspiegelung einfach erklärt: Figuren spiegeln

Die Achsenspiegelung ist eine der grundlegenden geometrischen Abbildungen und begegnet dir überall – vom gespiegelten Selfie auf deinem Handy bis hin zu symmetrischen Spiellevel-Designs. Wenn du verstehst, wie man Figuren an einer Geraden spiegelt, kannst du nicht nur Klausuraufgaben sicher lösen, sondern auch nachvollziehen, wie viele digitale Werkzeuge im Kern funktionieren. In diesem Artikel lernst du Schritt für Schritt, wie die Achsenspiegelung funktioniert, wie du Fixpunkte erkennst, wie du die Spiegelachse konstruierst und wie du Figuren selbst spiegelst – mit vielen durchgerechneten Beispielen.

Schnellantwort

Bei einer Achsenspiegelung wird eine Figur (die Urfigur) an einer Geraden (der Spiegelachse) gespiegelt, sodass eine neue Figur (die Bildfigur) entsteht. Die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung: Form und Größe der Figur bleiben unverändert – alle Seitenlängen und Winkel sind in der Bildfigur identisch zur Urfigur, die Figur erscheint lediglich spiegelverkehrt.

Vorwissen

Bevor wir mit dem Spiegeln beginnen, solltest du diese Grundlagen kennen:

• Senkrechte: Eine Linie, die eine andere Linie in einem exakten 90°-Winkel schneidet.

  • Beispiel: Die Mittellinie eines Geodreiecks hilft dir, eine Senkrechte zu zeichnen.

• Abstand messen: Die kürzeste Entfernung zwischen einem Punkt und einer Geraden. Man misst diese immer entlang der Senkrechten.

  • Beispiel: Mit einem Lineal misst du den Abstand von einem Punkt zur Kante deines Tisches.

• Eckpunkt: Ein Punkt, an dem zwei oder mehr Kanten einer Figur zusammentreffen.

  • Beispiel: Ein Dreieck hat drei Eckpunkte.

• Zirkel und Geodreieck: Die wichtigsten Werkzeuge für geometrische Konstruktionen. Der Zirkel zeichnet Kreise, das Geodreieck hilft bei rechten Winkeln und geraden Linien.

Aufgabentyp 1: Eigenschaften der Achsenspiegelung erkennen

Bei einer Achsenspiegelung wird eine Figur (die Urfigur) an einer Geraden (der Spiegelachse) gespiegelt. Das Ergebnis ist eine neue Figur (die Bildfigur).

Das Wichtigste dabei ist: Die Spiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Das bedeutet, die Form und Größe der Figur ändern sich nicht. Alles bleibt gleich, nur eben spiegelverkehrt.

• Seitenlängen bleiben gleich: Eine Seite der Urfigur ist exakt so lang wie die entsprechende Seite der Bildfigur.
• Winkel bleiben gleich: Ein Winkel der Urfigur ist exakt so groß wie der entsprechende Winkel der Bildfigur.

Deine Aufgabe ist es, die zusammengehörigen Teile zu finden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Entsprechende Punkte finden: Schau dir die Urfigur und die Bildfigur an. Finde heraus, welcher Eckpunkt der Bildfigur zu welchem Eckpunkt der Urfigur gehört. Zum Beispiel gehört der Punkt $\textcolor{#53E5D6}{A'}$ zum Punkt $\textcolor{#08BFFF}{A}$.
2. Entsprechende Seiten identifizieren und Längen übertragen: Eine Seite wird durch zwei Eckpunkte definiert (z.B. die Seite zwischen $\textcolor{#08BFFF}{A}$ und $\textcolor{#08BFFF}{B}$). Die entsprechende Seite in der Bildfigur liegt zwischen den entsprechenden Eckpunkten (also $\textcolor{#53E5D6}{A'}$ und $\textcolor{#53E5D6}{B'}$). Da die Längen gleich bleiben, gilt: Länge von $\textcolor{#08BFFF}{AB}$ = Länge von $\textcolor{#53E5D6}{A'B'}$.
3. Entsprechende Winkel identifizieren und Größen übertragen: Ein Winkel befindet sich an einem Eckpunkt (z.B. der Winkel bei $\textcolor{#08BFFF}{B}$). Der entsprechende Winkel in der Bildfigur befindet sich am entsprechenden Eckpunkt (also bei $\textcolor{#53E5D6}{B'}$). Da die Winkelgrößen gleich bleiben, gilt: Größe des Winkels bei $\textcolor{#08BFFF}{B}$ = Größe des Winkels bei $\textcolor{#53E5D6}{B'}$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Das grüne Dreieck A'B'C' ist das Spiegelbild des blauen Dreiecks ABC. Die Maße des blauen Dreiecks sind: Seite $a = 5 \text{ cm}$, Seite $b = 7 \text{ cm}$, Seite $c = 8 \text{ cm}$, Winkel $\alpha = 38.2°$, $\beta = 60°$, $\gamma = 81.8°$. Gib die Seitenlängen und Winkel des grünen Dreiecks an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2
   Seitenlängen bestimmen

   Da es sich um eine Achsenspiegelung handelt, sind die Figuren kongruent. Wir müssen nur die entsprechenden Teile zuordnen.

   • Die Seite $\textcolor{#53E5D6}{a'}$ entspricht der Seite $\textcolor{#08BFFF}{a}$. Also ist $\textcolor{#53E5D6}{a'} = \textcolor{#08BFFF}{a} = 5 \text{ cm}$.
   • Die Seite $\textcolor{#53E5D6}{b'}$ entspricht der Seite $\textcolor{#08BFFF}{b}$. Also ist $\textcolor{#53E5D6}{b'} = \textcolor{#08BFFF}{b} = 7 \text{ cm}$.
   • Die Seite $\textcolor{#53E5D6}{c'}$ entspricht der Seite $\textcolor{#08BFFF}{c}$. Also ist $\textcolor{#53E5D6}{c'} = \textcolor{#08BFFF}{c} = 8 \text{ cm}$.
2. 2
   Schritt 3 · Ergebnis
   Winkelgrößen bestimmen
   • Der Winkel $\textcolor{#53E5D6}{\alpha'}$ entspricht dem Winkel $\textcolor{#08BFFF}{\alpha}$. Also ist $\textcolor{#53E5D6}{\alpha'} = \textcolor{#08BFFF}{\alpha} = 38.2°$.
   • Der Winkel $\textcolor{#53E5D6}{\beta'}$ entspricht dem Winkel $\textcolor{#08BFFF}{\beta}$. Also ist $\textcolor{#53E5D6}{\beta'} = \textcolor{#08BFFF}{\beta} = 60°$.
   • Der Winkel $\textcolor{#53E5D6}{\gamma'}$ entspricht dem Winkel $\textcolor{#08BFFF}{\gamma}$. Also ist $\textcolor{#53E5D6}{\gamma'} = \textcolor{#08BFFF}{\gamma} = 81.8°$.

Ergebnis:

Das grüne Dreieck A'B'C' hat die Seitenlängen $a' = 5 \text{ cm}$, $b' = 7 \text{ cm}$, $c' = 8 \text{ cm}$ und die Winkel $\alpha' = 38.2°$, $\beta' = 60°$, $\gamma' = 81.8°$.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Trapez ABCD mit den Seitenlängen $AB = 10 \text{ cm}$, $BC = 5 \text{ cm}$, $CD = 4 \text{ cm}$, $DA = 5 \text{ cm}$ wird an einer Achse gespiegelt. Das Bild ist das Trapez A'B'C'D'. Wie lang sind die Seiten $A'B'$, $B'C'$, $C'D'$ und $D'A'$?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1 & 2 · Ergebnis
   Seitenlängen bestimmen

   Bei der Spiegelung bleiben alle Längen erhalten.

   • Seite $\textcolor{#53E5D6}{A'B'}$ entspricht Seite $\textcolor{#08BFFF}{AB}$. Länge: $10 \text{ cm}$.
   • Seite $\textcolor{#53E5D6}{B'C'}$ entspricht Seite $\textcolor{#08BFFF}{BC}$. Länge: $5 \text{ cm}$.
   • Seite $\textcolor{#53E5D6}{C'D'}$ entspricht Seite $\textcolor{#08BFFF}{CD}$. Länge: $4 \text{ cm}$.
   • Seite $\textcolor{#53E5D6}{D'A'}$ entspricht Seite $\textcolor{#08BFFF}{DA}$. Länge: $5 \text{ cm}$.

Ergebnis:

Alle Seiten des gespiegelten Trapezes sind identisch lang wie die des Originals.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein unregelmäßiges Fünfeck hat Innenwinkel von $100°, 110°, 120°, 95°, 115°$. Es wird an einer Geraden gespiegelt. Welche Winkel hat die Bildfigur?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

1 / 1

1. 1
   Schritt 1 & 2 · Ergebnis
   Winkelgrößen bestimmen

   Bei einer Achsenspiegelung bleiben die Winkelgrößen unverändert.

   Die Bildfigur hat exakt die gleichen Winkel wie die Urfigur.

Ergebnis:

Die Winkel des gespiegelten Fünfecks sind: $100°, 110°, 120°, 95°, 115°$.

Beispiel 4

Aufgabe

Das grüne L-förmige Polygon ist das Spiegelbild des blauen Polygons. Die Seitenlängen des blauen Polygons sind im Uhrzeigersinn: $6 \text{ cm}, 2 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 2 \text{ cm}, 6 \text{ cm}$. Gib die Seitenlängen des grünen Polygons an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

1 / 1

1. 1
   Schritt 1 & 2 · Ergebnis
   Seitenlängen bestimmen

   Die Seitenlängen bleiben bei der Spiegelung erhalten. Wir müssen nur aufpassen, die richtige Reihenfolge zu finden. Da die Figur gespiegelt wird, ist die Reihenfolge der entsprechenden Seiten im Gegenuhrzeigersinn dieselbe wie die der Urfigur im Uhrzeigersinn.

Ergebnis:

Die Seitenlängen des grünen Polygons sind ebenfalls: $6 \text{ cm}, 2 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 2 \text{ cm}, 6 \text{ cm}$.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Pfeil wird an einer horizontalen Achse gespiegelt. Der Winkel an der Spitze des Pfeils beträgt $40°$. Wie groß ist der Winkel an der Spitze des gespiegelten Pfeils?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

1 / 1

1. 1
   Schritt 1 & 2 · Ergebnis
   Winkelgröße bestimmen

   Die Winkelgröße ändert sich bei der Spiegelung nicht.

Ergebnis:

Der Winkel an der Spitze des gespiegelten Pfeils beträgt ebenfalls $40°$.

Aufgabentyp 2: Fixpunkte bei der Achsenspiegelung finden

Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der bei einer Spiegelung an seinem Platz bleibt. Er wird auf sich selbst abgebildet.

Die Regel ist ganz einfach: Ein Punkt ist genau dann ein Fixpunkt, wenn er auf der Spiegelachse liegt.

Wenn eine Figur gespiegelt wird, bleiben alle ihre Punkte, die zufällig auf der Spiegelachse liegen, genau dort, wo sie sind. Diese Punkte gehören sowohl zur Urfigur als auch zur Bildfigur.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Spiegelachse identifizieren: Finde die Spiegelachse in der Abbildung. Sie ist die Linie, an der gespiegelt wird.
2. Figur untersuchen: Betrachte die gegebene Figur (Urfigur). Überprüfe, welche ihrer Punkte (Eckpunkte oder Punkte auf den Kanten) die Spiegelachse berühren oder schneiden.
3. Fixpunkte benennen: Alle Punkte, die du in Schritt 2 gefunden hast, sind Fixpunkte. Notiere ihre Namen oder Koordinaten. Wenn kein Punkt der Figur die Achse berührt, gibt es keine Fixpunkte.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Dreieck ABC wird an der Geraden s gespiegelt. Der Eckpunkt C liegt auf der Achse s. Welche Fixpunkte gibt es bei dieser Spiegelung?

Lösung Schritt für Schritt

Schritt 1 & 2: Die Spiegelachse ist die Gerade $s$. Wir sehen, dass von den Eckpunkten des Dreiecks nur der Punkt $C$ auf der Achse liegt.

Schritt 3: Der einzige Fixpunkt ist der Eckpunkt $\textcolor{#9570FF}{C}$.

Ergebnis:

Es gibt genau einen Fixpunkt: Punkt $C$.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Rechteck ABCD wird an einer Achse s gespiegelt, die genau auf der Seite AB des Rechtecks liegt. Gib alle Fixpunkte an.

Lösung Schritt für Schritt

Schritt 1 & 2: Die Spiegelachse $s$ liegt auf der Seite $AB$. Das bedeutet, nicht nur die Eckpunkte $A$ und $B$ liegen auf der Achse, sondern alle Punkte dazwischen.

Schritt 3: Die Fixpunkte sind alle Punkte auf der Strecke $\textcolor{#9570FF}{AB}$. Man nennt dies eine Fixpunktgerade (in diesem Fall eine Fixpunktstrecke).

Ergebnis:

Alle Punkte auf der Strecke $AB$ sind Fixpunkte.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Kreis k wird an einer Geraden s gespiegelt. Der Kreis berührt die Gerade nicht. Gibt es Fixpunkte?

Lösung Schritt für Schritt

Schritt 1 & 2: Die Spiegelachse ist $s$. Die Figur ist der Kreis $k$. Kein einziger Punkt des Kreises liegt auf der Spiegelachse.

Schritt 3: Es gibt keine Fixpunkte.

Ergebnis:

Da der Kreis die Achse nicht berührt, gibt es keine Fixpunkte.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Fünfeck ABCDE wird an der Achse s gespiegelt. Die Achse schneidet die Seiten AE und CD. Welche Punkte sind Fixpunkte?

Lösung Schritt für Schritt

Schritt 1 & 2: Die Spiegelachse $s$ schneidet die Figur. Die Schnittpunkte liegen auf der Achse.

Schritt 3: Die Fixpunkte sind die beiden Schnittpunkte der Achse $s$ mit dem Umfang des Fünfecks. Nennen wir sie $S_1$ auf der Seite $AE$ und $S_2$ auf der Seite $CD$.

Ergebnis:

Die Fixpunkte sind $S_1$ (auf Seite $AE$) und $S_2$ (auf Seite $CD$).

Beispiel 5

Aufgabe

Zwei Figuren, ein Dreieck und ein Quadrat, werden an derselben Achse s gespiegelt. Das Dreieck hat einen Eckpunkt auf der Achse. Das Quadrat berührt die Achse nicht. Was sind die Fixpunkte des gesamten Systems?

Lösung Schritt für Schritt

Schritt 1 & 2: Wir betrachten jede Figur einzeln.

• Dreieck: Der Eckpunkt, der auf der Achse $s$ liegt, ist ein Fixpunkt.
• Quadrat: Da das Quadrat die Achse nicht berührt, hat es keine Fixpunkte.

Schritt 3: Der einzige Fixpunkt in dieser Anordnung ist der eine Eckpunkt des Dreiecks, der auf der Spiegelachse liegt.

Ergebnis:

Es gibt genau einen Fixpunkt – den Eckpunkt des Dreiecks auf der Achse $s$.

Aufgabentyp 3: Spiegelachse aus einer Spiegelung konstruieren

Wenn du eine Urfigur und ihre Bildfigur gegeben hast, kannst du die Spiegelachse selbst konstruieren. Der Trick basiert auf einer wichtigen Eigenschaft:

Die Spiegelachse ist immer die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt.

Das bedeutet, du musst nur ein einziges Paar zusammengehöriger Punkte finden (z.B. $\textcolor{#08BFFF}{A}$ und $\textcolor{#53E5D6}{A'}$), deren Mittelsenkrechte konstruieren, und schon hast du die Spiegelachse gefunden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Ein Paar entsprechender Punkte auswählen: Wähle einen beliebigen Eckpunkt der Urfigur (z.B. $A$) und den dazugehörigen Eckpunkt der Bildfigur ($A'$).
2. Kreisbogen um den ersten Punkt zeichnen: Nimm einen Zirkel. Steche in den Punkt $\textcolor{#08BFFF}{A}$ ein. Wähle einen Radius, der deutlich größer ist als die Hälfte des Abstands zu $A'$. Zeichne einen großen Kreisbogen.
3. Kreisbogen um den zweiten Punkt zeichnen: Behalte denselben Radius am Zirkel bei! Steche nun in den Punkt $\textcolor{#53E5D6}{A'}$ ein und zeichne einen zweiten Kreisbogen, der den ersten an zwei Stellen schneidet.
4. Spiegelachse einzeichnen: Verbinde die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen mit einem Lineal. Diese Linie ist die gesuchte Spiegelachse.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Das Dreieck A'B'C' ist durch Spiegelung des Dreiecks ABC entstanden. Konstruiere die Spiegelachse.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Punktepaar auswählen

   Wir wählen das Paar entsprechender Punkte $\textcolor{#08BFFF}{A}$ und $\textcolor{#53E5D6}{A'}$.

2. 2
   Schritt 2 & 3
   Kreisbögen zeichnen

   Wir stechen mit dem Zirkel in $\textcolor{#08BFFF}{A}$ ein und zeichnen einen Bogen. Dann stechen wir mit demselben Radius in $\textcolor{#53E5D6}{A'}$ ein und zeichnen einen zweiten Bogen, der den ersten schneidet. Wir erhalten zwei Schnittpunkte, $S_1$ und $S_2$.

   

3. 3
   Schritt 4 · Ergebnis
   Spiegelachse einzeichnen

   Wir verbinden $S_1$ und $S_2$ mit einer geraden Linie. Das ist die Spiegelachse.

   

Ergebnis:

Die Verbindungslinie von $S_1$ und $S_2$ ist die gesuchte Spiegelachse.

Beispiel 2

Aufgabe

Zwei spiegelbildliche Vierecke sind gegeben. Konstruiere die Symmetrieachse.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Punktepaar auswählen

   Wir wählen die Eckpunkte $\textcolor{#08BFFF}{P}$ und $\textcolor{#53E5D6}{P'}$.

2. 2
   Schritt 2 & 3
   Kreisbögen zeichnen

   Wir zeichnen zwei sich schneidende Kreisbögen mit gleichem Radius um die Punkte $\textcolor{#08BFFF}{P}$ und $\textcolor{#53E5D6}{P'}$.

3. 3
   Schritt 4 · Ergebnis
   Spiegelachse einzeichnen

   Die Gerade durch die Schnittpunkte der Bögen ist die Spiegelachse.

Ergebnis:

Die konstruierte Mittelsenkrechte von $PP'$ ist die Symmetrieachse der beiden Vierecke.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Pfeil wurde an einer unsichtbaren Achse gespiegelt. Finde die Achse durch Konstruktion.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Punktepaar auswählen

   Wir wählen die Spitzen der beiden Pfeile als unser Punktepaar, $\textcolor{#08BFFF}{S}$ und $\textcolor{#53E5D6}{S'}$.

2. 2
   Schritt 2 & 3
   Kreisbögen zeichnen

   Wir konstruieren die Mittelsenkrechte der Strecke $SS'$ mit dem Zirkel, indem wir zwei sich schneidende Kreisbögen mit gleichem Radius um $S$ und $S'$ zeichnen.

3. 3
   Schritt 4 · Ergebnis
   Spiegelachse einzeichnen

   Die Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte der Kreisbögen ist die Spiegelachse.

Ergebnis:

Die Mittelsenkrechte der Strecke $SS'$ ist die gesuchte Spiegelachse.

Beispiel 4

Aufgabe

Zwei Kreise mit gleichem Radius sind gegeben. Der eine ist das Spiegelbild des anderen. Konstruiere die Spiegelachse.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Punktepaar auswählen

   Bei Kreisen sind die Mittelpunkte die einfachsten korrespondierenden Punkte. Wir wählen also die Mittelpunkte $\textcolor{#08BFFF}{M_1}$ und $\textcolor{#53E5D6}{M_2}$.

2. 2
   Schritt 2 & 3
   Kreisbögen zeichnen

   Wir zeichnen um $\textcolor{#08BFFF}{M_1}$ und $\textcolor{#53E5D6}{M_2}$ jeweils einen Kreisbogen mit gleichem Radius (größer als die Hälfte des Abstands $M_1M_2$), sodass sie sich schneiden.

3. 3
   Schritt 4 · Ergebnis
   Spiegelachse einzeichnen

   Die Gerade durch die Schnittpunkte der Bögen ist die Spiegelachse.

Ergebnis:

Die Mittelsenkrechte der Strecke $M_1M_2$ ist die Spiegelachse der beiden Kreise.

Beispiel 5

Aufgabe

Die Figur F' ist das Spiegelbild von F. Konstruiere die Spiegelachse.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Punktepaar auswählen

   Wir suchen uns ein markantes, leicht zu identifizierendes Eckpunktepaar aus, z.B. den obersten Punkt der Figur $\textcolor{#08BFFF}{F}$ und den entsprechenden Punkt von $\textcolor{#53E5D6}{F'}$.

2. 2
   Schritt 2 & 3
   Kreisbögen zeichnen

   Wir führen die Standardkonstruktion der Mittelsenkrechten mit dem Zirkel für dieses Punktepaar durch.

3. 3
   Schritt 4 · Ergebnis
   Spiegelachse einzeichnen

   Wir verbinden die Schnittpunkte der Kreisbögen. Diese Gerade ist die Spiegelachse. Zur Kontrolle könnten wir die Konstruktion mit einem anderen Punktepaar wiederholen; die Achse müsste dieselbe sein.

Ergebnis:

Die konstruierte Gerade durch die Kreisbogen-Schnittpunkte ist die Spiegelachse von $F$ und $F'$.

Aufgabentyp 4: Eine Figur an einer Achse spiegeln

Wenn du eine Figur und eine Spiegelachse gegeben hast, kannst du die Bildfigur mit einem Geodreieck und einem Zirkel oder Lineal konstruieren. Der Schlüssel ist, jeden Eckpunkt einzeln zu spiegeln.

Für jeden Punkt der Urfigur gilt:

1. Der Abstand des Punktes zur Achse ist derselbe wie der Abstand seines Bildpunktes zur Achse.
2. Die Verbindungslinie zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt steht immer im rechten Winkel zur Spiegelachse.

Wir spiegeln also jeden Eckpunkt einzeln und verbinden die neuen Punkte am Ende.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Einen Eckpunkt der Urfigur auswählen: Wähle einen Eckpunkt der Urfigur, z.B. Punkt $A$.
2. Senkrechte zur Spiegelachse zeichnen: Lege dein Geodreieck mit der Mittellinie auf die Spiegelachse. Verschiebe es, bis die lange Kante durch den Punkt $A$ geht. Zeichne eine Hilfslinie, die von $A$ senkrecht zur Spiegelachse verläuft und auf der anderen Seite weitergeht.
3. Abstand übertragen und Bildpunkt markieren: Miss den Abstand von Punkt $A$ zur Spiegelachse entlang der Hilfslinie. Trage genau diesen Abstand auf der anderen Seite der Achse auf der Hilfslinie ab. Markiere diesen neuen Punkt als $\textcolor{#53E5D6}{A'}$.
4. Schritte 1–3 für alle Eckpunkte wiederholen: Führe dieses Verfahren für alle Eckpunkte der Urfigur durch ($B \to B'$, $C \to C'$, usw.).
5. Bildpunkte verbinden: Verbinde die neuen Punkte ($\textcolor{#53E5D6}{A'}$, $\textcolor{#53E5D6}{B'}$, $\textcolor{#53E5D6}{C'}$, ...) in der gleichen Reihenfolge wie die Originalpunkte. Die so entstandene Figur ist die gesuchte Bildfigur.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Spiegle das gegebene Dreieck ABC an der Achse s.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2 & 3 & 4
   Alle Eckpunkte spiegeln
   • Wir legen das Geodreieck senkrecht zur Achse $s$ an Punkt $\textcolor{#08BFFF}{A}$ an, messen den Abstand und tragen ihn auf der anderen Seite ab, um $\textcolor{#53E5D6}{A'}$ zu erhalten.
   • Wir wiederholen dies für Punkt $\textcolor{#08BFFF}{B}$, um $\textcolor{#53E5D6}{B'}$ zu erhalten.
   • Wir wiederholen dies für Punkt $\textcolor{#08BFFF}{C}$, um $\textcolor{#53E5D6}{C'}$ zu erhalten.
2. 2
   Schritt 5 · Ergebnis
   Bildpunkte verbinden

   Wir verbinden die Punkte $\textcolor{#53E5D6}{A'}$, $\textcolor{#53E5D6}{B'}$ und $\textcolor{#53E5D6}{C'}$ zum gespiegelten Dreieck.

   

Ergebnis:

Das gespiegelte Dreieck $A'B'C'$ ist die Bildfigur von $ABC$.

Beispiel 2

Aufgabe

Spiegle das Viereck an der horizontalen Achse g.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2 & 3 & 4
   Eckpunkte spiegeln

   Wir spiegeln jeden der vier Eckpunkte einzeln nach unten. Für jeden Eckpunkt zeichnen wir eine senkrechte Linie zur Achse $g$, messen den Abstand und markieren den Bildpunkt auf der anderen Seite (unterhalb der Achse).

2. 2
   Schritt 5 · Ergebnis
   Bildpunkte verbinden

   Wir verbinden die vier neuen Bildpunkte in der richtigen Reihenfolge, um das gespiegelte Viereck zu erhalten.

Ergebnis:

Das gespiegelte Viereck erscheint unterhalb der Achse $g$ und ist kongruent zum Original.

Beispiel 3

Aufgabe

Spiegle die Figur, die die Spiegelachse schneidet.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2 & 3 & 4
   Eckpunkte spiegeln
   • Für die Punkte auf der einen Seite der Achse spiegeln wir sie auf die andere Seite.
   • Für die Punkte auf der anderen Seite spiegeln wir sie zurück auf die erste Seite.
   • Wichtig: Punkte, die genau auf der Achse liegen (Fixpunkte), bleiben, wo sie sind!
2. 2
   Schritt 5 · Ergebnis
   Bildpunkte verbinden

   Wir verbinden alle Bildpunkte und Fixpunkte in der korrekten Reihenfolge. Das Ergebnis wird eine Figur sein, die die Originalfigur überlappt.

Ergebnis:

Die Bildfigur überlappt die Urfigur, weil beide die Achse schneiden.

Beispiel 4

Aufgabe

Spiegle den Buchstaben 'F' an der vertikalen Achse s.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1 & 2 & 3 & 4
   Eckpunkte spiegeln

   Wir spiegeln jeden der Endpunkte des 'F' über die Achse $s$ nach rechts.

2. 2
   Schritt 5 · Ergebnis
   Bildpunkte verbinden

   Wir verbinden die gespiegelten Punkte so, dass wieder ein (nun spiegelverkehrtes) 'F' entsteht.

Ergebnis:

Das gespiegelte 'F' zeigt nach links und ist das genaue Spiegelbild des Originals.

Beispiel 5

Aufgabe

Spiegle den Kreis k an der Achse s.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   Mittelpunkt spiegeln

   Wir spiegeln nur den Mittelpunkt $\textcolor{#08BFFF}{M}$ des Kreises über die Achse $s$, um den neuen Mittelpunkt $\textcolor{#53E5D6}{M'}$ zu erhalten. Dies geschieht wie gewohnt mit dem Geodreieck.

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Neuen Kreis zeichnen

   Wir nehmen einen Zirkel, stechen in den neuen Mittelpunkt $\textcolor{#53E5D6}{M'}$ ein und zeichnen einen Kreis mit demselben Radius wie der Originalkreis. Dieser neue Kreis ist die perfekte Spiegelung des alten.

Ergebnis:

Der gespiegelte Kreis hat denselben Radius wie der Originalkreis und seinen Mittelpunkt bei $M'$.

Aufgabentyp 5: Spiegeln an einer durch Punkte definierten Achse

Manchmal ist die Spiegelachse nicht direkt eingezeichnet, sondern nur durch zwei Punkte (z.B. $P$ und $Q$) definiert. Das ist kein Problem! Es kommt nur ein einziger Schritt hinzu.

Zuerst musst du die Spiegelachse selbst zeichnen. Danach ist es genau dieselbe Aufgabe wie zuvor.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Spiegelachse einzeichnen: Zeichne die beiden gegebenen Punkte (z.B. $\textcolor{#9570FF}{P}$ und $\textcolor{#9570FF}{Q}$) in das Koordinatensystem ein. Verbinde sie mit einem Lineal zu einer geraden Linie. Das ist deine Spiegelachse.
2. Figur spiegeln: Führe nun die Spiegelung der Figur genau so durch, wie im Schema zu Aufgabentyp 4 beschrieben. Nutze die gerade gezeichnete Linie als deine Spiegelachse.
   • Für jeden Eckpunkt eine Senkrechte zur Achse zeichnen.
   • Abstand zur Achse messen.
   • Abstand auf der anderen Seite abtragen, um den Bildpunkt zu erhalten.
   • Alle Bildpunkte verbinden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Punkte $A(1|1)$, $B(3|4)$, $C(1|4)$ und die Punkte $P(5|1)$ und $Q(5|6)$. Zeichne das Dreieck ABC und die Gerade durch P und Q. Spiegle dann das Dreieck an der Geraden.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

2 / 2

1. 1
   Schritt 1
   Spiegelachse einzeichnen

   Wir zeichnen die Punkte $\textcolor{#9570FF}{P(5|1)}$ und $\textcolor{#9570FF}{Q(5|6)}$ ein und verbinden sie zu einer vertikalen Geraden. Das ist unsere Spiegelachse $s$.

   

2. 2
   Schritt 2 · Ergebnis
   Figur spiegeln

   Wir spiegeln jeden Eckpunkt von ABC über die Achse $s$.

   • $A(1|1)$ ist 4 Einheiten links von der Achse ($x=5$). Der Bildpunkt $\textcolor{#53E5D6}{A'}$ ist 4 Einheiten rechts: $A'(5+4|1) = A'(9|1)$.
   • $B(3|4)$ ist 2 Einheiten links von der Achse. Der Bildpunkt $\textcolor{#53E5D6}{B'}$ ist 2 Einheiten rechts: $B'(5+2|4) = B'(7|4)$.
   • $C(1|4)$ ist 4 Einheiten links von der Achse. Der Bildpunkt $\textcolor{#53E5D6}{C'}$ ist 4 Einheiten rechts: $C'(5+4|4) = C'(9|4)$.

   Zuletzt verbinden wir $\textcolor{#53E5D6}{A'}$, $\textcolor{#53E5D6}{B'}$ und $\textcolor{#53E5D6}{C'}$ zum gespiegelten Dreieck.

   

Ergebnis:

$A'(9|1)$, $B'(7|4)$, $C'(9|4)$.

Wichtige Erkenntnisse

• Kongruenz: Bei einer Achsenspiegelung bleiben alle Längen und Winkel erhalten. Die Form der Figur ändert sich nicht.
• Fixpunkte: Punkte, die auf der Spiegelachse liegen, bewegen sich nicht. Sie sind Fixpunkte.
• Konstruktion der Achse: Die Spiegelachse ist die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt (z.B. $A$ und $A'$).
• Konstruktion der Spiegelung: Spiegle jeden Eckpunkt einzeln. Die Verbindungslinie von Punkt zu Bildpunkt steht immer im rechten Winkel zur Spiegelachse, und der Abstand zur Achse ist auf beiden Seiten gleich.