Was sind Vektoren und wie berechnet man sie?

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung oder Richtung im Raum und wird als Spalte geschrieben. Um einen Vektor zu berechnen, nutzt du die Regel „Spitze minus Schaft" : Du ziehst die Koordinaten des Startpunkts von den Koordinaten des Endpunkts ab. Für den Vektor AB gilt also AB⃗ = B⃗ − A⃗ . Diese Grundregel reicht für alle drei Aufgabentypen – vom einfachen Vektor berechnen bis zum Parallelogramm-Nachweis.

Wie berechne ich einen Vektor zwischen zwei Punkten?

Verwende die Regel „Spitze minus Schaft" : AB⃗ = B⃗ − A⃗ . Gehe in vier Schritten vor: (1) Identifiziere Start- und Endpunkt. (2) Schreibe die Formel auf. (3) Setze die Koordinaten ein und subtrahiere zeilenweise. (4) Notiere das Ergebnis als Spaltenvektor. Achte besonders auf die Reihenfolge der Buchstaben im Vektornamen – AB⃗ und BA⃗ zeigen in entgegengesetzte Richtungen.

Wie finde ich einen fehlenden Punkt mit einem Vektor?

Stelle die Grundformel AB⃗ = B⃗ − A⃗ um. Suchst du den Endpunkt B , gilt: B⃗ = A⃗ + AB⃗ (Startpunkt plus Vektor). Suchst du den Startpunkt A , gilt: A⃗ = B⃗ − AB⃗ (Endpunkt minus Vektor). Setze dann die bekannten Koordinaten ein und berechne zeilenweise. Das Ergebnis schreibst du in Punkt-Schreibweise, z. B. B(8|7|−2) .

Wie weise ich nach, dass ein Viereck ein Parallelogramm ist?

Ein Viereck ABCD ist ein Parallelogramm , wenn die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. In Vektoren ausgedrückt: Es muss gelten AB⃗ = DC⃗ und AD⃗ = BC⃗ . Berechne beide Vektorpaare mit „Spitze minus Schaft" und vergleiche sie. Sind die Vektoren eines Paares bereits verschieden, ist das Viereck kein Parallelogramm – du musst das zweite Paar dann nicht mehr prüfen.

Was ist der Unterschied zwischen einem Punkt und einem Vektor?

Ein Punkt beschreibt einen festen Ort im Koordinatensystem, z. B. P(2|5|3) . Ein Vektor beschreibt dagegen eine Verschiebung oder Richtung – er hat keinen festen Ort, sondern nur eine Länge und eine Richtung. Punkte werden mit runden Klammern notiert, Vektoren als Spalte. Wenn ein Vektor vom Ursprung aus gezeichnet wird, nennt man ihn Ortsvektor – dann stimmen seine Koordinaten mit denen des Endpunkts überein.

Vektoren berechnen einfach erklärt

Vektoren berechnen gehört zu den wichtigsten Grundfertigkeiten in der Analytischen Geometrie. Hast du dich jemals gefragt, wie dein Handy bei Google Maps genau weiß, wo du bist und wie es den Weg zum nächsten Kino berechnet? Oder wie in deinem Lieblingsspiel die Spielfigur exakt von Punkt A nach Punkt B läuft, ohne durch Wände zu glitchen? Die Antwort liegt in Vektoren! Vektoren sind das unsichtbare Navigationssystem der digitalen Welt. Sie sind nicht nur irgendwelche Zahlen, sondern die genauen Anweisungen für Bewegung und Position. Wenn du verstehst, wie man mit ihnen rechnet, verstehst du die grundlegende Logik, die hinter GPS, Game-Design und sogar Computeranimationen steckt. Das ist kein trockenes Mathe-Thema – das ist ein Blick unter die Haube der Technik, die du jeden Tag benutzt.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Punkte im Koordinatensystem: Ein Punkt gibt einen festen Ort an. Er wird mit normalen Klammern geschrieben.
- Beispiel: Der Punkt $P(2|5|3)$ ist ein fester Ort im Raum.
Vektoren: Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung oder eine Richtung. Er wird als Spalte geschrieben.
- Beispiel: Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ beschreibt eine Verschiebung um 3 Einheiten in x-Richtung, -1 in y-Richtung und 4 in z-Richtung.
Subtraktion und Addition von Zahlen: Du solltest sicher mit positiven und negativen Zahlen rechnen können.
- Beispiel: $5 - 8 = -3$ oder $-4 + (-2) = -6$ oder $7 - (-3) = 7 + 3 = 10$ .

Aufgabentyp 1: Vektor aus zwei Punkten berechnen

Ein Vektor zwischen zwei Punkten beschreibt den direkten Weg vom Startpunkt zum Endpunkt. Stell dir einen Pfeil vor, der vom Punkt A zum Punkt B zeigt. Diesen Pfeil nennen wir den Vektor $\overrightarrow{AB}$ .

Um ihn zu berechnen, verwenden wir eine einfache Regel: „Spitze minus Schaft". Das bedeutet, du ziehst die Koordinaten des Startpunkts (Schaft des Pfeils) von den Koordinaten des Endpunkts (Spitze des Pfeils) ab.

Die Formel lautet:

$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere Start- und Endpunkt: Lies die Koordinaten beider Punkte ab. Der erste Buchstabe im Vektornamen (z. B. A in $\overrightarrow{AB}$ ) ist der Startpunkt (Schaft), der zweite (B) ist der Endpunkt (Spitze).
Stelle die Formel auf: Schreibe „Spitze minus Schaft" auf. Für $\overrightarrow{AB}$ ist das $\vec{B} - \vec{A}$ .
Setze die Koordinaten ein und berechne: Setze die Koordinaten als Spaltenvektoren ein und subtrahiere zeilenweise.
Notiere das Ergebnis: Schreibe den berechneten Vektor als Ergebnis auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Punkte $A(2|3|5)$ und $B(8|7|1)$ . Berechne den Vektor $\overrightarrow{AB}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Start- und Endpunkt identifizieren
Startpunkt (Schaft): $A(2|3|5)$

Endpunkt (Spitze): $B(8|7|1)$
Schritt 2
Formel aufstellen
Wir verwenden die Regel „Spitze minus Schaft":

$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
Wir setzen die Koordinaten der Punkte ein:

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

Jetzt rechnen wir Zeile für Zeile:

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 7 - 3 \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Vektor lautet $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben sind die Punkte $P(-1|0|4)$ und $Q(-5|-2|6)$ . Berechne den Vektor $\overrightarrow{PQ}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Start- und Endpunkt identifizieren
Startpunkt (Schaft): $P(-1|0|4)$

Endpunkt (Spitze): $Q(-5|-2|6)$
Schritt 2
Formel aufstellen
$\overrightarrow{PQ} = \vec{Q} - \vec{P}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} -5 - (-1) \\ -2 - 0 \\ 6 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Vektor lautet $\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Vektor $\overrightarrow{BA}$ mit den Punkten $A(10|20|0)$ und $B(5|5|5)$ . Achte auf die Reihenfolge!

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Start- und Endpunkt identifizieren
Hier ist B der Startpunkt und A der Endpunkt.

Startpunkt (Schaft): $B(5|5|5)$

Endpunkt (Spitze): $A(10|20|0)$
Schritt 2
Formel aufstellen
$\overrightarrow{BA} = \vec{A} - \vec{B}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
$\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 10 - 5 \\ 20 - 5 \\ 0 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ -5 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Vektor lautet $\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ -5 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

$\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ -5 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Der Ursprung $O(0|0|0)$ und der Punkt $C(7|-3|12)$ definieren einen Vektor. Berechne den Vektor $\overrightarrow{OC}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Start- und Endpunkt identifizieren
Startpunkt (Schaft): $O(0|0|0)$

Endpunkt (Spitze): $C(7|-3|12)$
Schritt 2
Formel aufstellen
$\overrightarrow{OC} = \vec{C} - \vec{O}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 7 - 0 \\ -3 - 0 \\ 12 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Vektor $\overrightarrow{OC}$ hat dieselben Koordinaten wie der Punkt C. Man nennt ihn auch den Ortsvektor von C.

Ergebnis:

$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben sind die Punkte $M(1{,}5 | 2{,}5 | -3)$ und $N(4 | -0{,}5 | 0)$ . Berechne den Vektor $\overrightarrow{MN}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Start- und Endpunkt identifizieren
Startpunkt (Schaft): $M(1{,}5 | 2{,}5 | -3)$

Endpunkt (Spitze): $N(4 | -0{,}5 | 0)$
Schritt 2
Formel aufstellen
$\overrightarrow{MN} = \vec{N} - \vec{M}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
$\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 4 \\ -0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 2{,}5 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 4 - 1{,}5 \\ -0{,}5 - 2{,}5 \\ 0 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Vektor lautet $\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ .

Ergebnis:

$\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ .

Aufgabentyp 2: Punkt aus einem Vektor und einem Punkt berechnen

Manchmal kennst du den Startpunkt und den Vektor (den Weg), möchtest aber den Endpunkt wissen. Das ist so, als würdest du an einer bestimmten Stelle starten, eine genaue Anweisung befolgen („gehe 3 Schritte vor, 2 zur Seite") und dann wissen wollen, wo du landest.

Wir können die Grundformel einfach umstellen:

Ausgangsformel: $\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A}$

Um den Endpunkt B zu finden, addieren wir einfach den Startpunkt A auf beiden Seiten:

$\vec{B} = \vec{A} + \overrightarrow{AB}$

Um den Startpunkt A zu finden, stellen wir anders um:

$\vec{A} = \vec{B} - \overrightarrow{AB}$

Merke dir: Endpunkt = Startpunkt + Vektor

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die gegebenen Informationen: Lies aus der Aufgabe ab, was gegeben ist: der Startpunkt, der Endpunkt oder der Vektor? Was wird gesucht?
Wähle die passende Formel aus: Suchst du den Endpunkt B? Nutze $\vec{B} = \vec{A} + \overrightarrow{AB}$ . Suchst du den Startpunkt A? Nutze $\vec{A} = \vec{B} - \overrightarrow{AB}$ .
Setze die Koordinaten ein und berechne: Setze die gegebenen Koordinaten des Punktes und des Vektors in die Formel ein und berechne zeilenweise die Koordinaten des gesuchten Punktes.
Notiere das Ergebnis als Punkt: Schreibe das Ergebnis in der Punkt-Schreibweise, z. B. $B(x|y|z)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind der Punkt $A(5|1|2)$ und der Vektor $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ . Bestimme die Koordinaten des Punkts $B$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Informationen identifizieren
Gegeben: Startpunkt $A(5|1|2)$ und Vektor $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ .

Gesucht: Endpunkt $B$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir suchen den Endpunkt, also: $\vec{B} = \vec{A} + \overrightarrow{AB}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
$\vec{B} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}$

$\vec{B} = \begin{pmatrix} 5 + 3 \\ 1 + 6 \\ 2 + (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis als Punkt notieren
Der gesuchte Punkt ist $B(8|7|-2)$ .

Ergebnis:

Der gesuchte Punkt ist $B(8|7|-2)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Pfeil startet im Punkt $P(-2|7|0)$ und wird durch den Vektor $\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ beschrieben. Wo liegt die Pfeilspitze $Q$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Informationen identifizieren
Gegeben: Startpunkt $P(-2|7|0)$ und Vektor $\overrightarrow{PQ}$ .

Gesucht: Endpunkt $Q$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
$\vec{Q} = \vec{P} + \overrightarrow{PQ}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
$\vec{Q} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{Q} = \begin{pmatrix} -2 + 10 \\ 7 + (-5) \\ 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis als Punkt notieren
Die Pfeilspitze liegt im Punkt $Q(8|2|3)$ .

Ergebnis:

Die Pfeilspitze liegt im Punkt $Q(8|2|3)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben sind der Endpunkt $B(6|2|9)$ und der Vektor $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ . Bestimme die Koordinaten des Startpunkts $A$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Informationen identifizieren
Gegeben: Endpunkt $B(6|2|9)$ und Vektor $\overrightarrow{AB}$ .

Gesucht: Startpunkt $A$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
Wir suchen den Startpunkt, also: $\vec{A} = \vec{B} - \overrightarrow{AB}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
$\vec{A} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\vec{A} = \begin{pmatrix} 6 - 4 \\ 2 - (-1) \\ 9 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis als Punkt notieren
Der Startpunkt ist $A(2|3|4)$ .

Ergebnis:

Der Startpunkt ist $A(2|3|4)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Der Vektor $\overrightarrow{RS} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -8 \end{pmatrix}$ zeigt auf den Punkt $S(0|0|2)$ . Wo beginnt der Vektor, also wo liegt Punkt $R$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Informationen identifizieren
Gegeben: Endpunkt $S(0|0|2)$ und Vektor $\overrightarrow{RS}$ .

Gesucht: Startpunkt $R$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
$\vec{R} = \vec{S} - \overrightarrow{RS}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
$\vec{R} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -8 \end{pmatrix}$

$\vec{R} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ 0 - (-1) \\ 2 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis als Punkt notieren
Der Vektor beginnt im Punkt $R(1|1|10)$ .

Ergebnis:

Der Vektor beginnt im Punkt $R(1|1|10)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Punkt $K(10|-20|30)$ wird durch den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -10 \\ 20 \\ -30 \end{pmatrix}$ verschoben. Bestimme den neuen Punkt $L$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Informationen identifizieren
Die Verschiebung von K nach L wird durch den Vektor $\overrightarrow{KL} = \vec{v}$ beschrieben.

Gegeben: Startpunkt $K(10|-20|30)$ und Vektor $\overrightarrow{KL}$ .

Gesucht: Endpunkt $L$ .
Schritt 2
Passende Formel auswählen
$\vec{L} = \vec{K} + \overrightarrow{KL}$
Schritt 3
Koordinaten einsetzen und berechnen
$\vec{L} = \begin{pmatrix} 10 \\ -20 \\ 30 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -10 \\ 20 \\ -30 \end{pmatrix}$

$\vec{L} = \begin{pmatrix} 10 + (-10) \\ -20 + 20 \\ 30 + (-30) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis als Punkt notieren
Der neue Punkt ist der Ursprung $L(0|0|0)$ .

Ergebnis:

Der neue Punkt ist der Ursprung $L(0|0|0)$ .

Aufgabentyp 3: Eigenschaften von Figuren nachweisen (Parallelogramm)

Mit Vektoren können wir die Eigenschaften von geometrischen Figuren wie Parallelogrammen beweisen. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind.

In der Sprache der Vektoren bedeutet das: Die Vektoren, die die gegenüberliegenden Seiten beschreiben, müssen identisch sein.

Für ein Parallelogramm ABCD gilt also:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \quad \text{(beachte die Reihenfolge: von D nach C!)}$

und

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \quad \text{(beachte die Reihenfolge: von B nach C!)}$

Wenn du also zeigen sollst, dass vier Punkte ein Parallelogramm bilden, musst du nur diese Vektoren berechnen und vergleichen.

Parallelogramm ABCD mit eingezeichneten Vektoren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die gegenüberliegenden Vektorpaare: Skizziere das Viereck kurz oder schreibe die Eckpunkte in der gegebenen Reihenfolge (z. B. A, B, C, D) auf. Die gegenüberliegenden Vektorpaare sind $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$ sowie $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ .
Berechne das erste Vektorpaar: Berechne $\overrightarrow{AB}$ mit „Spitze minus Schaft" ( $\vec{B} - \vec{A}$ ) und den gegenüberliegenden Vektor $\overrightarrow{DC}$ ( $\vec{C} - \vec{D}$ ). Achte auf die richtige Reihenfolge!
Vergleiche das erste Vektorpaar: Prüfe, ob $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .
Berechne und vergleiche das zweite Vektorpaar (optional, aber sicher): Wiederhole Schritt 2 und 3 für $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ .
Ziehe die Schlussfolgerung: Wenn die gegenüberliegenden Vektoren paarweise identisch sind, handelt es sich um ein Parallelogramm. Wenn nicht, dann nicht.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Zeige, dass das Viereck mit den Eckpunkten $A(2|1|3)$ , $B(5|3|4)$ , $C(7|4|2)$ und $D(4|2|1)$ ein Parallelogramm ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegenüberliegende Vektorpaare identifizieren
Wir müssen zeigen, dass $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .
Schritt 2 & 3
Erstes Vektorpaar berechnen und vergleichen
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DC} = \vec{C} - \vec{D} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Die Vektoren sind identisch: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .
Schritt 4
Zweites Vektorpaar berechnen und vergleichen
$\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

Auch diese Vektoren sind identisch: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da die gegenüberliegenden Vektoren paarweise gleich sind, ist das Viereck ABCD ein Parallelogramm.

Ergebnis:

Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm.

Beispiel 2

Aufgabe

Prüfe, ob die Punkte $P(-1|0|5)$ , $Q(1|1|7)$ , $R(4|0|8)$ und $S(2|-1|6)$ ein Parallelogramm bilden.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegenüberliegende Vektorpaare identifizieren
Wir prüfen, ob $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}$ und $\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}$ .
Schritt 2 & 3
Erstes Vektorpaar berechnen und vergleichen
$\overrightarrow{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{SR} = \vec{R} - \vec{S} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Das erste Paar ist identisch.
Schritt 4
Zweites Vektorpaar berechnen und vergleichen
$\overrightarrow{PS} = \vec{S} - \vec{P} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{QR} = \vec{R} - \vec{Q} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Auch das zweite Paar ist identisch.
Schritt 5 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Ja, die Punkte PQRS bilden ein Parallelogramm.

Ergebnis:

PQRS ist ein Parallelogramm.

Beispiel 3

Aufgabe

Bilden die Punkte $A(1|1|1)$ , $B(3|4|2)$ , $C(4|5|5)$ und $D(2|2|3)$ ein Parallelogramm?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gegenüberliegende Vektorpaare identifizieren
Wir prüfen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$ .
Schritt 2 & 3
Erstes Vektorpaar berechnen und vergleichen
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DC} = \vec{C} - \vec{D} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$
Schritt 5 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Die Vektoren sind nicht identisch ( $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{DC}$ , da sich die z-Koordinaten unterscheiden). Wir müssen das zweite Paar gar nicht mehr prüfen. Das Viereck ABCD ist kein Parallelogramm.

Ergebnis:

Das Viereck ABCD ist kein Parallelogramm.

Beispiel 4

Aufgabe

Von einem Parallelogramm ABCD sind die Punkte $A(0|2|1)$ , $B(3|3|3)$ und $D(1|5|2)$ bekannt. Finde die Koordinaten des fehlenden Eckpunkts $C$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bekannten Vektor berechnen
Vorüberlegung: In einem Parallelogramm gilt $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ . Wir können diese Eigenschaft nutzen, um C zu finden.

Wir berechnen den Vektor, bei dem wir beide Punkte kennen:

$\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 2
Gleichung für den fehlenden Punkt aufstellen
Da es ein Parallelogramm ist, muss gelten: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ .

Also ist $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 3
Fehlenden Punkt berechnen
Wir kennen den Startpunkt $B$ und den Vektor $\overrightarrow{BC}$ . Wir suchen den Endpunkt $C$ . Wir verwenden die Formel: $\vec{C} = \vec{B} + \overrightarrow{BC}$ .

$\vec{C} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+1 \\ 3+3 \\ 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der fehlende Eckpunkt ist $C(4|6|4)$ .

Ergebnis:

Der fehlende Eckpunkt ist $C(4|6|4)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Viereck wird durch die Punkte $A(5|0|0)$ , $B(7|4|0)$ , $C(2|4|0)$ und $D(0|0|0)$ aufgespannt. Handelt es sich um ein Parallelogramm?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegenüberliegende Vektorpaare identifizieren
Wir prüfen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$ .
Schritt 2 & 3
Erstes Vektorpaar berechnen und vergleichen
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DC} = \vec{C} - \vec{D} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

Die Vektoren sind identisch.
Schritt 4
Zweites Vektorpaar berechnen und vergleichen
$\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Auch diese Vektoren sind identisch.
Schritt 5 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Ja, das Viereck ist ein Parallelogramm. Es liegt komplett in der xy-Ebene, da alle z-Koordinaten null sind.

Ergebnis:

Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm.

Wichtige Erkenntnisse

Vektor zwischen zwei Punkten: Berechne ihn immer mit der Regel „Spitze minus Schaft" ( $\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ ). Die Reihenfolge ist entscheidend!
Fehlenden Punkt finden: Stelle die Grundformel um. Meistens gilt: Endpunkt = Startpunkt + Vektor ( $\vec{B} = \vec{A} + \overrightarrow{AB}$ ).
Parallelogramm-Nachweis: Ein Viereck ABCD ist ein Parallelogramm, wenn die Vektoren der gegenüberliegenden Seiten identisch sind: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .

Vektoren berechnen einfach erklärt: Schritt für Schritt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Vektor aus zwei Punkten berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Punkt aus einem Vektor und einem Punkt berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Eigenschaften von Figuren nachweisen (Parallelogramm)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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