Was sind Tangentenprobleme bei Kreisen und Kugeln?

Tangentenprobleme bei Kreisen und Kugeln sind Aufgaben, bei denen du herausfinden musst, wie eine Gerade (2D) oder eine Ebene (3D) einen Kreis oder eine Kugel genau berührt – also tangiert. Der entscheidende Zusammenhang: Der Radius ist immer gleich dem senkrechten Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente bzw. Tangentenebene. Dieses Prinzip gilt sowohl für einfache Kreise in der Ebene als auch für Kugeln im dreidimensionalen Raum.

Wie berechnest du den Radius eines Kreises bei gegebener Tangente?

Du verwendest die Hesse'sche Normalform . Liegt die Tangente in der Form Ax + By + C = 0 vor, berechnest du den Radius mit r = |A·m_x + B·m_y + C| / √(A²+B²) . Forme die Geradengleichung bei Bedarf zuerst um, setze dann die Koordinaten des Mittelpunkts ein und stelle abschließend die Kreisgleichung auf. Diese drei Schritte führen immer zum Ziel.

Wie gehst du vor, wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist?

Eine Ebene in Parameterform muss zuerst in die Normalenform umgewandelt werden. Dazu berechnest du den Normalenvektor n⃗ = u⃗ × v⃗ als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren. Den Wert c erhältst du durch c = n⃗ · p⃗ (Stützvektor einsetzen). Dann kannst du die übliche Abstandsformel r = |n⃗ · m⃗ − c| / |n⃗| anwenden.

Warum gibt es bei einem achsentangentialen Kreis oft zwei Lösungen?

Wenn ein Kreis beide Koordinatenachsen berührt , liegt sein Mittelpunkt bei M(±r|±r) . Setzt du die Koordinaten eines bekannten Punktes auf dem Kreis ein, entsteht eine quadratische Gleichung für r . Quadratische Gleichungen haben in der Regel zwei Lösungen – und tatsächlich gibt es meist zwei verschiedene Kreise, die beide Bedingungen (Achsentangentialität und Punktdurchgang) gleichzeitig erfüllen.

Was ist der Unterschied zwischen der 2D- und der 3D-Abstandsformel?

Der Unterschied liegt nur in der Dimension: In 2D lautet die Formel d = |A·x_M + B·y_M + C| / √(A²+B²) für den Abstand eines Punktes von einer Geraden. In 3D kommt der Term C·z_M im Zähler und C² unter der Wurzel hinzu: d = |A·x_M + B·y_M + C·z_M + D| / √(A²+B²+C²) . Das Prinzip – senkrechter Abstand Mittelpunkt zur Tangente – ist in beiden Fällen identisch.

Tangentenprobleme bei Kreisen und Kugeln

Tangentenprobleme bei Kreisen und Kugeln begegnen dir in der Schule immer dann, wenn du herausfinden musst, ob und wie eine Gerade oder Ebene einen Kreis bzw. eine Kugel genau berührt. Das Geheimnis dahinter ist die Mathematik der Berührungspunkte. Ob es um die Umlaufbahn eines Satelliten geht, der die Erde „streift", oder um das Design von Zahnrädern in einer Uhr: Zu verstehen, wie sich Kreise, Kugeln und Geraden berühren, ist entscheidend. Dieses Wissen ermöglicht präzise Simulationen in der Physik und im Ingenieurwesen. Wenn du das hier meisterst, verstehst du eine der fundamentalen Regeln, nach denen die digitale und die reale Welt gebaut sind.

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du diese Grundlagen kennen:

Die Kreisgleichung: Beschreibt alle Punkte auf einem Kreis.
- Formel: $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$ , wobei $M(m_x|m_y)$ der Mittelpunkt und $r$ der Radius ist.
- Beispiel: Ein Kreis mit Mittelpunkt $M(2|3)$ und Radius $r=5$ hat die Gleichung $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$ .
Abstand eines Punktes von einer Geraden (2D): Misst den kürzesten Abstand.
- Formel: Für einen Punkt $P(p_x|p_y)$ und eine Gerade $Ax+By+C=0$ ist der Abstand $d = \frac{|A \cdot p_x + B \cdot p_y + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ .
- Beispiel: Der Abstand von $P(1|1)$ zur Geraden $3x+4y-12=0$ ist $d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 12|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|-5|}{5} = 1$ .
Abstand eines Punktes von einer Ebene (3D): Das gleiche Prinzip im Raum.
- Formel: Für einen Punkt $P(p_x|p_y|p_z)$ und eine Ebene $Ax+By+Cz+D=0$ ist der Abstand $d = \frac{|A \cdot p_x + B \cdot p_y + C \cdot p_z + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .
- Beispiel: Der Abstand von $P(1|1|1)$ zur Ebene $2x+y+2z-9=0$ ist $d = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 9|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}} = \frac{|-4|}{3} = \frac{4}{3}$ .
Kreuzprodukt: Erzeugt einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht.
- Formel: $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$
- Beispiel: $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Aufgabentyp 1: Kreisgleichung bei Tangentialität zu beiden Achsen

Wenn ein Kreis beide Koordinatenachsen (x- und y-Achse) berührt, hat das eine besondere Konsequenz für seinen Mittelpunkt und Radius.

$|m_x| = r$ und $|m_y| = r$ .

Das bedeutet, die Koordinaten des Mittelpunktes sind, bis auf das Vorzeichen, gleich dem Radius. Wenn der Kreis zum Beispiel im ersten Quadranten liegt (wo x und y positiv sind), ist sein Mittelpunkt $M(r|r)$ .

Kreis tangiert beide Koordinatenachsen im ersten Quadranten

Die allgemeine Kreisgleichung $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$ vereinfacht sich damit zu:

$(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$

Um den genauen Wert für $r$ zu finden, setzen wir die Koordinaten eines bekannten Punktes $A(x_A|y_A)$ , der auf dem Kreis liegt, in diese Gleichung ein. Das führt zu einer quadratischen Gleichung für $r$ , die oft zwei Lösungen hat – es gibt also zwei mögliche Kreise!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Mittelpunkt bestimmen: Analysiere die Lage des gegebenen Punktes und leite die Mittelpunktkoordinaten in Abhängigkeit von $r$ ab.
Spezifische Kreisgleichung aufstellen: Setze $M(\pm r|\pm r)$ in die allgemeine Kreisgleichung ein.
Punkt einsetzen und Gleichung für r aufstellen: Setze $A(x_A|y_A)$ ein, multipliziere aus und forme zur quadratischen Gleichung $ar^2 + br + c = 0$ um.
Radius berechnen: Löse mit der Mitternachtsformel $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .
Kreisgleichungen angeben: Schreibe für jeden positiven Radius die vollständige Kreisgleichung auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Finden Sie die Gleichung des Kreises, der beide Koordinatenachsen berührt und durch den Punkt $A(1|2)$ verläuft.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Mittelpunkt bestimmen
Der Punkt $A(1|2)$ liegt im 1. Quadranten. Also muss auch der Mittelpunkt des Kreises im 1. Quadranten liegen. Die Koordinaten des Mittelpunkts sind daher $M(r|r)$ .
Schritt 2
Spezifische Kreisgleichung aufstellen
Wir setzen $M(r|r)$ in die Kreisgleichung ein: $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$
Schritt 3
Punkt einsetzen und Gleichung für r aufstellen
Wir setzen die Koordinaten von $A(1|2)$ ein: $(1 - r)^2 + (2 - r)^2 = r^2$

Ausmultiplizieren: $(1 - 2r + r^2) + (4 - 4r + r^2) = r^2$

Zusammenfassen: $2r^2 - 6r + 5 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$
Schritt 4
Radius berechnen
Wir lösen die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=-6, c=5$ ): $r = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

$r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

$r = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$

$r = \frac{6 \pm 4}{2}$

Wir erhalten zwei mögliche Radien: $r_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1$

$r_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$
Schritt 5 · Ergebnis
Kreisgleichungen angeben
Für $r_1=1$ : $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2 \to (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

Für $r_2=5$ : $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2 \to (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Ergebnis:

Es gibt zwei Kreise: $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ und $(x-5)^2+(y-5)^2=25$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finden Sie die Gleichung des Kreises, der beide Koordinatenachsen berührt und durch den Punkt $B(-3|6)$ verläuft.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Mittelpunkt bestimmen
Der Punkt $B(-3|6)$ liegt im 2. Quadranten (x negativ, y positiv). Der Mittelpunkt muss also die Form $M(-r|r)$ haben.
Schritt 2
Spezifische Kreisgleichung aufstellen
$(x - (-r))^2 + (y - r)^2 = r^2$

$(x + r)^2 + (y - r)^2 = r^2$
Schritt 3
Punkt einsetzen und Gleichung für r aufstellen
Wir setzen die Koordinaten von $B(-3|6)$ ein: $(-3 + r)^2 + (6 - r)^2 = r^2$

$(9 - 6r + r^2) + (36 - 12r + r^2) = r^2$

$2r^2 - 18r + 45 = r^2$

$r^2 - 18r + 45 = 0$
Schritt 4
Radius berechnen
Mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=-18, c=45$ ): $r = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2}$

$r = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 180}}{2}$

$r = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2}$

$r_1 = \frac{18 - 12}{2} = 3$

$r_2 = \frac{18 + 12}{2} = 15$
Schritt 5 · Ergebnis
Kreisgleichungen angeben
Für $r_1=3$ : $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 9$

Für $r_2=15$ : $(x + 15)^2 + (y - 15)^2 = 225$

Ergebnis:

Es gibt zwei Kreise: $(x+3)^2+(y-3)^2=9$ und $(x+15)^2+(y-15)^2=225$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Finden Sie die Gleichung des Kreises, der beide Koordinatenachsen berührt und durch den Punkt $C(-4|-4)$ verläuft.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Mittelpunkt bestimmen
Der Punkt $C(-4|-4)$ liegt im 3. Quadranten. Der Mittelpunkt ist also $M(-r|-r)$ .
Schritt 2
Spezifische Kreisgleichung aufstellen
$(x + r)^2 + (y + r)^2 = r^2$
Schritt 3
Punkt einsetzen und Gleichung für r aufstellen
Wir setzen $C(-4|-4)$ ein: $(-4 + r)^2 + (-4 + r)^2 = r^2$

$2(-4 + r)^2 = r^2$

$2(16 - 8r + r^2) = r^2$

$32 - 16r + 2r^2 = r^2$

$r^2 - 16r + 32 = 0$
Schritt 4
Radius berechnen
Mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=-16, c=32$ ): $r = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2}$

$r = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 128}}{2}$

$r = \frac{16 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{16 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 8 \pm 4\sqrt{2}$

$r_1 = 8 - 4\sqrt{2} \approx 2{,}34$

$r_2 = 8 + 4\sqrt{2} \approx 13{,}66$
Schritt 5 · Ergebnis
Kreisgleichungen angeben
Für $r_1=8 - 4\sqrt{2}$ : $(x + (8 - 4\sqrt{2}))^2 + (y + (8 - 4\sqrt{2}))^2 = (8 - 4\sqrt{2})^2$

Für $r_2=8 + 4\sqrt{2}$ : $(x + (8 + 4\sqrt{2}))^2 + (y + (8 + 4\sqrt{2}))^2 = (8 + 4\sqrt{2})^2$

Ergebnis:

Zwei Kreise mit Radien $r_1 = 8 - 4\sqrt{2}$ und $r_2 = 8 + 4\sqrt{2}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Finden Sie die Gleichung des Kreises, der beide Koordinatenachsen berührt und durch den Punkt $D(10|-5)$ verläuft.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Mittelpunkt bestimmen
Der Punkt $D(10|-5)$ liegt im 4. Quadranten (x positiv, y negativ). Der Mittelpunkt ist also $M(r|-r)$ .
Schritt 2
Spezifische Kreisgleichung aufstellen
$(x - r)^2 + (y + r)^2 = r^2$
Schritt 3
Punkt einsetzen und Gleichung für r aufstellen
Wir setzen $D(10|-5)$ ein: $(10 - r)^2 + (-5 + r)^2 = r^2$

$(100 - 20r + r^2) + (25 - 10r + r^2) = r^2$

$2r^2 - 30r + 125 = r^2$

$r^2 - 30r + 125 = 0$
Schritt 4
Radius berechnen
Mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=-30, c=125$ ): $r = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 125}}{2}$

$r = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 500}}{2}$

$r = \frac{30 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{30 \pm 20}{2}$

$r_1 = \frac{30 - 20}{2} = 5$

$r_2 = \frac{30 + 20}{2} = 25$
Schritt 5 · Ergebnis
Kreisgleichungen angeben
Für $r_1=5$ : $(x - 5)^2 + (y + 5)^2 = 25$

Für $r_2=25$ : $(x - 25)^2 + (y + 25)^2 = 625$

Ergebnis:

Es gibt zwei Kreise: $(x-5)^2+(y+5)^2=25$ und $(x-25)^2+(y+25)^2=625$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Finden Sie die Gleichung des Kreises, der beide Koordinatenachsen berührt und durch den Punkt $E(8|8)$ verläuft.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Mittelpunkt bestimmen
Der Punkt $E(8|8)$ liegt im 1. Quadranten, also ist der Mittelpunkt $M(r|r)$ .
Schritt 2
Spezifische Kreisgleichung aufstellen
$(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$
Schritt 3
Punkt einsetzen und Gleichung für r aufstellen
Wir setzen $E(8|8)$ ein: $(8 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2$

$2(8 - r)^2 = r^2$

$2(64 - 16r + r^2) = r^2$

$128 - 32r + 2r^2 = r^2$

$r^2 - 32r + 128 = 0$
Schritt 4
Radius berechnen
Mit der Mitternachtsformel ( $a=1, b=-32, c=128$ ): $r = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 128}}{2}$

$r = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 512}}{2}$

$r = \frac{32 \pm \sqrt{512}}{2} = \frac{32 \pm 16\sqrt{2}}{2} = 16 \pm 8\sqrt{2}$

$r_1 = 16 - 8\sqrt{2} \approx 4{,}69$

$r_2 = 16 + 8\sqrt{2} \approx 27{,}31$
Schritt 5 · Ergebnis
Kreisgleichungen angeben
Für $r_1=16 - 8\sqrt{2}$ : $(x - (16 - 8\sqrt{2}))^2 + (y - (16 - 8\sqrt{2}))^2 = (16 - 8\sqrt{2})^2$

Für $r_2=16 + 8\sqrt{2}$ : $(x - (16 + 8\sqrt{2}))^2 + (y - (16 + 8\sqrt{2}))^2 = (16 + 8\sqrt{2})^2$

Ergebnis:

Zwei Kreise mit Radien $r_1 = 16 - 8\sqrt{2}$ und $r_2 = 16 + 8\sqrt{2}$ .

Aufgabentyp 2: Kreisgleichung bei gegebenem Mittelpunkt und Tangente

Wenn ein Kreis eine Gerade berührt (sie also eine Tangente ist), dann ist der Radius des Kreises genau der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente.

Kreis mit Mittelpunkt und Tangente, Radius als senkrechter Abstand

Um diesen Abstand zu berechnen, verwenden wir die Hesse'sche Normalform. Ist der Mittelpunkt $M(m_x|m_y)$ und die Tangente in der Form $Ax+By+C=0$ gegeben, lautet die Formel für den Radius $r$ :

$r = \frac{|A \cdot m_x + B \cdot m_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Sobald der Radius berechnet ist, kann man mit dem gegebenen Mittelpunkt ganz einfach die Kreisgleichung aufstellen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Geradengleichung vorbereiten: Stelle sicher, dass die Gleichung der Tangente in der allgemeinen Form $Ax+By+C=0$ vorliegt. Forme sie bei Bedarf um.
Radius mit Abstandsformel berechnen: Setze die Koordinaten des Mittelpunktes $M(m_x|m_y)$ und die Koeffizienten A, B, C in die Abstandsformel ein.
Kreisgleichung aufstellen: Setze den gegebenen Mittelpunkt und den berechneten Radius in $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ermitteln Sie die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt $M(2|1)$ , der die Gerade $g: 4x - 3y + 5 = 0$ als Tangente besitzt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Geradengleichung vorbereiten
Die Geradengleichung $4x - 3y + 5 = 0$ liegt bereits in der Form $Ax+By+C=0$ vor. Wir können ablesen: $A=4, B=-3, C=5$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Mittelpunkt ist $M(2|1)$ . Wir setzen in die Abstandsformel ein: $r = \frac{|4 \cdot 2 + (-3) \cdot 1 + 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$

$r = \frac{|8 - 3 + 5|}{\sqrt{16 + 9}}$

$r = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

Der Radius ist $r=2$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Kreisgleichung aufstellen
Mit Mittelpunkt $M(2|1)$ und Radius $r=2$ lautet die Gleichung: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

Ergebnis:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Kreis hat seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung $M(0|0)$ und berührt die Gerade $h: y = 2x - 10$ . Bestimmen Sie seine Gleichung.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Geradengleichung vorbereiten
Wir formen die Geradengleichung $y = 2x - 10$ in die allgemeine Form um: $2x - y - 10 = 0$

Hier ist $A=2, B=-1, C=-10$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Mittelpunkt ist $M(0|0)$ . $r = \frac{|2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - 10|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$

$r = \frac{|-10|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$
Schritt 3 · Ergebnis
Kreisgleichung aufstellen
Mit Mittelpunkt $M(0|0)$ und Radius $r=\frac{10}{\sqrt{5}}$ : $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = \left(\frac{10}{\sqrt{5}}\right)^2$

$x^2 + y^2 = \frac{100}{5}$

$x^2 + y^2 = 20$

Ergebnis:

$x^2 + y^2 = 20$

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt $M(-1|-5)$ , der die x-Achse tangiert.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Geradengleichung vorbereiten
Die x-Achse ist eine waagerechte Gerade. Ihre Gleichung lautet $y=0$ . In der allgemeinen Form ist das $0x + 1y + 0 = 0$ . Also $A=0, B=1, C=0$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Mittelpunkt ist $M(-1|-5)$ . $r = \frac{|0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-5) + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2}}$

$r = \frac{|-5|}{\sqrt{1}} = 5$

(Man kann auch direkt erkennen, dass der Abstand zur x-Achse der Betrag der y-Koordinate des Mittelpunkts ist.)
Schritt 3 · Ergebnis
Kreisgleichung aufstellen
Mit Mittelpunkt $M(-1|-5)$ und Radius $r=5$ : $(x - (-1))^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$

$(x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 25$

Ergebnis:

$(x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 25$

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Kreis mit Mittelpunkt $M(6|4)$ berührt die vertikale Gerade $x=1$ . Wie lautet seine Gleichung?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Geradengleichung vorbereiten
Die Gerade $x=1$ wird zu $x-1=0$ umgeformt. In der allgemeinen Form ist das $1x + 0y - 1 = 0$ . Also $A=1, B=0, C=-1$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Mittelpunkt ist $M(6|4)$ . $r = \frac{|1 \cdot 6 + 0 \cdot 4 - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}$

$r = \frac{|6 - 1|}{\sqrt{1}} = 5$

(Hier ist der Abstand der Betrag der Differenz der x-Koordinaten: $|6-1|=5$ .)
Schritt 3 · Ergebnis
Kreisgleichung aufstellen
Mit Mittelpunkt $M(6|4)$ und Radius $r=5$ : $(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 5^2$

$(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 25$

Ergebnis:

$(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 25$

Beispiel 5

Aufgabe

Finden Sie die Gleichung des Kreises, der den Mittelpunkt $M(3|-2)$ hat und die Gerade $g: 5x + 12y - 3 = 0$ berührt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Geradengleichung vorbereiten
Die Gleichung $5x + 12y - 3 = 0$ ist bereits in der richtigen Form. $A=5, B=12, C=-3$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Mittelpunkt ist $M(3|-2)$ . $r = \frac{|5 \cdot 3 + 12 \cdot (-2) - 3|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}$

$r = \frac{|15 - 24 - 3|}{\sqrt{25 + 144}}$

$r = \frac{|-12|}{\sqrt{169}} = \frac{12}{13}$

Der Radius ist $r=\frac{12}{13}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Kreisgleichung aufstellen
Mit Mittelpunkt $M(3|-2)$ und Radius $r=\frac{12}{13}$ : $(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = \left(\frac{12}{13}\right)^2$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = \frac{144}{169}$

Ergebnis:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = \frac{144}{169}$

Aufgabentyp 3: Radius einer Kugel bei Tangentialität zu einer Ebene

Dieses Prinzip lässt sich direkt vom 2D-Kreis auf die 3D-Kugel übertragen. Wenn eine Kugel eine Ebene berührt (sie also eine Tangentenebene ist), dann ist der Radius der Kugel genau der senkrechte Abstand vom Kugelmittelpunkt zur Ebene.

Kugel tangiert eine Ebene im dreidimensionalen Raum

Um diesen Abstand zu berechnen, verwenden wir wieder die Hesse'sche Normalform, diesmal für den 3D-Raum. Ist der Mittelpunkt $M(m_x|m_y|m_z)$ und die Ebene in der Form $Ax+By+Cz+D=0$ gegeben, lautet die Formel für den Radius $r$ :

$r = \frac{|A \cdot m_x + B \cdot m_y + C \cdot m_z + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Liegt die Ebene in Vektorform $\vec{n} \cdot \vec{x} - c = 0$ vor, lautet die Formel mit dem Ortsvektor $\vec{m}$ des Mittelpunktes:

$r = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m} - c|}{|\vec{n}|}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Ebenengleichung vorbereiten: Stelle sicher, dass die Gleichung der Ebene in der Koordinatenform ( $Ax+By+Cz+D=0$ ) oder Normalenform ( $\vec{n} \cdot \vec{x} - c = 0$ ) vorliegt.
Radius mit Abstandsformel berechnen: Setze die Koordinaten des Kugelmittelpunktes $M$ und die Parameter der Ebene in die passende Abstandsformel ein.
Ergebnis angeben: Der berechnete Abstand ist der gesuchte Radius $r$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Radius $r$ einer Kugel mit dem Zentrum $M(2|1|4)$ , sodass die Kugel die Ebene $E: 2x + 2y - z - 12 = 0$ tangiert.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ebenengleichung vorbereiten
Die Ebene $E: 2x + 2y - z - 12 = 0$ ist bereits in der Koordinatenform. Wir lesen ab: $A=2, B=2, C=-1, D=-12$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Mittelpunkt ist $M(2|1|4)$ . Wir setzen in die Formel ein: $r = \frac{|2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 - 12|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}$

$r = \frac{|4 + 2 - 4 - 12|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$

$r = \frac{|-10|}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis angeben
Der Radius der Kugel beträgt $\frac{10}{3}$ .

Ergebnis:

$r = \frac{10}{3}$

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Kugel mit Mittelpunkt $M(1|0|-2)$ berührt die Ebene $E: \vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} - 5 = 0$ . Berechne den Radius.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ebenengleichung vorbereiten
Die Ebene ist in der Normalenform $\vec{n} \cdot \vec{x} - c = 0$ gegeben. Wir lesen ab: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $c=5$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Ortsvektor des Mittelpunktes $M(1|0|-2)$ ist $\vec{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ .

Wir berechnen den Betrag des Normalenvektors: $|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

Wir berechnen das Skalarprodukt: $\vec{n} \cdot \vec{m} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 6 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 + 2 \cdot (-2) = 6 - 4 = 2$

Jetzt setzen wir alles in die Abstandsformel ein: $r = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m} - c|}{|\vec{n}|} = \frac{|2 - 5|}{7} = \frac{|-3|}{7} = \frac{3}{7}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis angeben
Der Radius ist $\frac{3}{7}$ .

Ergebnis:

$r = \frac{3}{7}$

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Kugel hat ihren Mittelpunkt im Ursprung $M(0|0|0)$ und tangiert die Ebene $E: x - y + z = 6$ . Welchen Radius hat sie?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ebenengleichung vorbereiten
Wir formen die Ebene um: $x - y + z - 6 = 0$ . Also $A=1, B=-1, C=1, D=-6$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Mittelpunkt ist $M(0|0|0)$ . $r = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}}$

$r = \frac{|-6|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis angeben
Der Radius beträgt $\frac{6}{\sqrt{3}}$ (oder $2\sqrt{3}$ nach Vereinfachung).

Ergebnis:

$r = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme den Radius einer Kugel mit Zentrum $M(5|5|5)$ , die die xy-Ebene berührt.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ebenengleichung vorbereiten
Die xy-Ebene ist die Ebene, auf der alle z-Koordinaten null sind. Ihre Gleichung ist $z=0$ . In Koordinatenform: $0x + 0y + 1z + 0 = 0$ . Also $A=0, B=0, C=1, D=0$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Mittelpunkt ist $M(5|5|5)$ . $r = \frac{|0 \cdot 5 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 5 + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}}$

$r = \frac{|5|}{\sqrt{1}} = 5$

(Der Abstand zur xy-Ebene ist immer der Betrag der z-Koordinate.)
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis angeben
Der Radius ist 5.

Ergebnis:

$r = 5$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne den Radius der Kugel mit Mittelpunkt $M(-2|3|-1)$ , die die Ebene $E: 4x_1 - 8x_3 = 20$ tangiert.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Ebenengleichung vorbereiten
Wir formen um: $4x_1 + 0x_2 - 8x_3 - 20 = 0$ . Also $A=4, B=0, C=-8, D=-20$ .
Schritt 2
Radius mit Abstandsformel berechnen
Der Mittelpunkt ist $M(-2|3|-1)$ . $r = \frac{|4 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 + (-8) \cdot (-1) - 20|}{\sqrt{4^2 + 0^2 + (-8)^2}}$

$r = \frac{|-8 + 0 + 8 - 20|}{\sqrt{16 + 64}}$

$r = \frac{|-20|}{\sqrt{80}} = \frac{20}{\sqrt{16 \cdot 5}} = \frac{20}{4\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis angeben
Der Radius ist $\sqrt{5}$ .

Ergebnis:

$r = \sqrt{5}$

Aufgabentyp 4: Radius einer Kugel bei Tangentialität zu einer Ebene in Parameterform

Manchmal ist die Tangentenebene nicht in der Koordinaten- oder Normalenform gegeben, sondern in der Parameterform:

$E: \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$

Die Abstandsformel funktioniert mit dieser Form nicht direkt. Wir müssen die Ebene zuerst umwandeln. Der Schlüssel dazu ist der Normalenvektor $\vec{n}$ , der senkrecht auf der Ebene steht. Wir erhalten ihn, indem wir das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ bilden:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$

Sobald wir den Normalenvektor $\vec{n}$ haben, können wir die Ebenengleichung in die Normalenform $\vec{n} \cdot \vec{x} - c = 0$ bringen. Den Wert für $c$ finden wir, indem wir den Stützvektor $\vec{p}$ einsetzen: $c = \vec{n} \cdot \vec{p}$ .

Danach können wir wie im vorherigen Aufgabentyp den Abstand vom Kugelmittelpunkt zur Ebene berechnen, um den Radius zu finden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Spannvektoren identifizieren: Lies den Stützvektor $\vec{p}$ und die beiden Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aus der Parameterform der Ebene ab.
Normalenvektor berechnen: Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ .
Ebenengleichung umwandeln: Stelle die Normalenform der Ebene auf. Die Gleichung lautet $\vec{n} \cdot \vec{x} - c = 0$ , wobei $c = \vec{n} \cdot \vec{p}$ .
Radius berechnen: Verwende die nun bekannte Normalenform und den gegebenen Kugelmittelpunkt $M$ , um den Radius $r$ mit der Abstandsformel zu berechnen: $r = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m} - c|}{|\vec{n}|}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Radius $r$ einer Kugel mit dem Zentrum $M(7|5|9)$ , die die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ tangiert.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Spannvektoren identifizieren
Stützvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Spannvektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 3
Ebenengleichung umwandeln
Wir berechnen $c = \vec{n} \cdot \vec{p}$ : $c = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -2 + 1 + 1 = 0$

Die Normalenform ist $E: \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 0 = 0$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Radius berechnen
Der Ortsvektor des Mittelpunkts $M(7|5|9)$ ist $\vec{m} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix}$ . $|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$

$\vec{n} \cdot \vec{m} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} = -14 + 5 + 9 = 0$

$r = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m} - c|}{|\vec{n}|} = \frac{|0 - 0|}{\sqrt{6}} = 0$

Der Radius ist 0. Das bedeutet, der Kugelmittelpunkt liegt auf der Ebene.

Ergebnis:

$r = 0$ (Kugelmittelpunkt liegt auf der Ebene)

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Kugel mit Mittelpunkt $M(10|0|0)$ berührt die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Berechne den Radius.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Spannvektoren identifizieren
Stützvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Spannvektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 0 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot (-4) - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 3 - 4 \cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 9 - (-16) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 25 \end{pmatrix}$
Schritt 3
Ebenengleichung umwandeln
$c = \vec{n} \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 25 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 25$

Die Normalenform ist $E: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 25 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 25 = 0$ . (Das ist die Ebene $25z - 25 = 0$ oder $z=1$ .)
Schritt 4 · Ergebnis
Radius berechnen
Ortsvektor des Mittelpunkts $M(10|0|0)$ ist $\vec{m} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ . $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 25^2} = 25$

$\vec{n} \cdot \vec{m} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 25 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$

$r = \frac{|0 - 25|}{25} = \frac{|-25|}{25} = 1$

Der Radius ist 1.

Ergebnis:

$r = 1$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Radius der Kugel mit Zentrum $M(3|2|1)$ , die die Ebene $E: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ tangiert.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Spannvektoren identifizieren
Der Stützvektor ist der Nullvektor: $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Spannvektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 3
Ebenengleichung umwandeln
$c = \vec{n} \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$

Die Normalenform ist $E: \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Radius berechnen
Ortsvektor von $M(3|2|1)$ ist $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ . $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$\vec{n} \cdot \vec{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 - 2 + 1 = 2$

$r = \frac{|2 - 0|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Der Radius ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Ergebnis:

$r = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Kugel mit Mittelpunkt $M(4|1|-3)$ berührt die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ . Berechne den Radius.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Spannvektoren identifizieren
Stützvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Spannvektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 0 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Schritt 3
Ebenengleichung umwandeln
$c = \vec{n} \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 7$

Die Normalenform ist $E: \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 7 = 0$ . (Das ist die Ebene $7x-7=0$ oder $x=1$ .)
Schritt 4 · Ergebnis
Radius berechnen
Ortsvektor von $M(4|1|-3)$ ist $\vec{m} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ . $|\vec{n}| = \sqrt{7^2 + 0^2 + 0^2} = 7$

$\vec{n} \cdot \vec{m} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = 28$

$r = \frac{|28 - 7|}{7} = \frac{21}{7} = 3$

Der Radius ist 3.

Ergebnis:

$r = 3$

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme den Radius der Kugel mit Zentrum $M(1|1|2)$ , die die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ tangiert.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Spannvektoren identifizieren
Stützvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Spannvektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Normalenvektor berechnen
$\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Schritt 3
Ebenengleichung umwandeln
$c = \vec{n} \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 5$

Die Normalenform ist $E: \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 5 = 0$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Radius berechnen
Ortsvektor von $M(1|1|2)$ ist $\vec{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ . $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$\vec{n} \cdot \vec{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 + 1 + 2 = 4$

$r = \frac{|4 - 5|}{\sqrt{3}} = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Der Radius ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Ergebnis:

$r = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Wichtige Erkenntnisse

Der Radius eines Kreises oder einer Kugel ist immer der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente bzw. Tangentenebene.
Dieser Abstand wird mit der Hesse'schen Normalform berechnet.
- Für 2D: $d = \frac{|A x_M + B y_M + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
- Für 3D: $d = \frac{|A x_M + B y_M + C z_M + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
Ein Kreis, der beide Achsen berührt, hat einen Mittelpunkt der Form $M(\pm r|\pm r)$ . Das Einsetzen eines Punktes führt zu einer quadratischen Gleichung für $r$ .
Eine Ebene in Parameterform muss zuerst in die Normalen- oder Koordinatenform umgewandelt werden. Den Normalenvektor erhält man durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren.

Tangentenprobleme bei Kreisen und Kugeln einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Kreisgleichung bei Tangentialität zu beiden Achsen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Kreisgleichung bei gegebenem Mittelpunkt und Tangente

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Radius einer Kugel bei Tangentialität zu einer Ebene

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Radius einer Kugel bei Tangentialität zu einer Ebene in Parameterform

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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