Was sind Kugelscharen und wie werden sie beschrieben?

Eine Kugelschar ist eine unendliche Menge von Kugeln, deren Mittelpunkte alle auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Man beschreibt sie durch einen allgemeinen Mittelpunkt M_t , dessen Koordinaten vom Parameter t abhängen. Setzt man diesen allgemeinen Mittelpunkt in die Kugelgleichung ein, erhält man die Gleichung der Kugelschar , die sowohl t als auch den Radius r als Variable enthält.

Wie bestimmst du die Mittelpunkte spezifischer Kugeln aus einer Kugelschar?

Du setzt die gegebenen Bedingungen – zum Beispiel einen festen Radius oder einen Punkt, durch den die Kugel verläuft – in die Schar-Gleichung ein. Das ergibt eine Gleichung, die nur noch t als Unbekannte enthält. Löst du diese (oft quadratische) Gleichung, erhältst du die Parameterwerte t₁ und t₂ , aus denen du durch Einsetzen in M_t die konkreten Mittelpunkte berechnest.

Wann berührt eine Kugel eine Ebene?

Eine Kugel berührt eine Ebene genau dann, wenn der Abstand ihres Mittelpunkts zur Ebene gleich ihrem Radius ist: d(M, E) = r . Diesen Abstand berechnest du mit der Hesseschen Normalenform . Liegt der Mittelpunkt auf einer Geraden (Kugelschar), hängt der Abstand vom Parameter t ab, und du löst die entstehende Betragsgleichung.

Wie findest du den Berührpunkt einer Kugel mit einer Ebene?

Der Berührpunkt B liegt auf der Senkrechten vom Mittelpunkt M zur Ebene. Du berechnest ihn mit der Formel OB = OM ± r · n₀ , wobei n₀ der normierte Normalenvektor der Ebene ist. Das Vorzeichen wählst du anhand des Terms im Betrag der Abstandsformel: ist er positiv, subtrahierst du; ist er negativ, addierst du.

Wann schneiden sich zwei Kugeln aus einer Kugelschar?

Zwei Kugeln schneiden sich, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte d kleiner als die Summe ihrer Radien ist: d < r₁ + r₂ . Gilt d = r₁ + r₂ , berühren sie sich von außen. Ist d > r₁ + r₂ , haben sie keine gemeinsamen Punkte. Den Abstand d berechnest du direkt aus den Koordinaten der Mittelpunkte.

Kugelscharen einfach erklärt

Hast du dich jemals gefragt, wie 3D-Spiele oder Simulationsprogramme funktionieren? Wie eine Software erkennt, ob ein virtueller Ball eine Wand trifft oder zwei Raumschiffe kollidieren? Die Antwort liegt in der Vektorgeometrie, und Kugelscharen sind ein perfektes Beispiel dafür. Stell dir vor, du programmierst eine Seifenblase, die durch den Raum fliegt. Ihre möglichen Positionen bilden eine „Schar" von Kugeln auf einer Linie. Wenn du jetzt berechnen musst, wann diese Seifenblase eine unsichtbare Wand (eine Ebene) berührt, brauchst du genau die Mathematik, die wir hier lernen. Das ist keine trockene Theorie – das ist der Maschinenraum der virtuellen Welten!

Vorwissen

Bevor wir in die Kugelscharen eintauchen, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Parameterform einer Geraden: Beschreibt alle Punkte auf einer Geraden durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.
- Formel: $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}$
- Beispiel: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ beschreibt eine Gerade durch den Punkt (1|2|3).
Kugelgleichung: Beschreibt alle Punkte, die einen festen Abstand (Radius) von einem Mittelpunkt haben.
- Formel: $(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2$
- Beispiel: $(x_1 - 4)^2 + (x_2 - 0)^2 + (x_3 - 5)^2 = 9$ ist eine Kugel mit Mittelpunkt M(4|0|5) und Radius $r=3$ .
Abstand zweier Punkte im Raum: Die Länge der direkten Verbindung zwischen zwei Punkten.
- Formel: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
- Beispiel: Der Abstand zwischen A(1|1|1) und B(3|1|2) ist $\sqrt{(3-1)^2 + (1-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$ .
Abstand eines Punktes von einer Ebene (Hesse-Form): Der kürzeste Abstand vom Punkt zur Ebene.
- Formel: Für eine Ebene $E: ax_1 + bx_2 + cx_3 - d = 0$ und einen Punkt $P(p_1|p_2|p_3)$ ist der Abstand $D = \frac{|a \cdot p_1 + b \cdot p_2 + c \cdot p_3 - d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .
- Beispiel: Der Abstand von P(1|1|1) zur Ebene $E: 2x_1 + 1x_2 + 2x_3 - 1 = 0$ ist $D = \frac{|2\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot1 - 1|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}} = \frac{|4|}{3} = \frac{4}{3}$ .

Aufgabentyp 1: Kugelschar auf einer Geraden analysieren

Eine Kugelschar ist eine unendliche Menge von Kugeln, die eine gemeinsame Eigenschaft haben. In diesem Fall liegen alle ihre Mittelpunkte auf einer einzigen Geraden.

Um eine solche Schar zu beschreiben, gehen wir so vor:

Wir stellen die Geradengleichung auf, auf der die Mittelpunkte liegen. Ein beliebiger Punkt auf dieser Geraden hat Koordinaten, die vom Parameter $t$ abhängen: $M_t(m_1(t)|m_2(t)|m_3(t))$ .
Diese allgemeinen Mittelpunktskoordinaten setzen wir in die Kugelgleichung ein. Das Ergebnis ist die Gleichung der Kugelschar, die von $t$ und dem Radius $r$ abhängt.

Um aus dieser unendlichen Schar bestimmte Kugeln zu finden, bekommen wir zusätzliche Bedingungen. Zum Beispiel:

Die Kugel hat einen bestimmten Radius $r=5$ .
Die Kugel geht durch einen bestimmten Punkt, z. B. den Ursprung $O(0|0|0)$ .

Diese Bedingungen setzen wir in die Schar-Gleichung ein und lösen sie nach dem Parameter $t$ auf. Oft erhalten wir zwei Lösungen für $t$ , also zwei Kugeln, die die Bedingungen erfüllen.

Schnittverhalten zweier Kugeln prüfen: Zwei Kugeln mit Mittelpunkten $M_{1}$ , $M_{2}$ und Radien $r_{1}$ , $r_{2}$ ...

schneiden sich, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte $d$ kleiner ist als die Summe ihrer Radien: $d < r_1 + r_2$ .
berühren sich, wenn der Abstand genau der Summe der Radien entspricht: $d = r_1 + r_2$ .
haben keine gemeinsamen Punkte, wenn der Abstand größer ist: $d > r_1 + r_2$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Geradengleichung für die Mittelpunkte aufstellen

Bestimme die Parameterform der Geraden $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}$ , auf der alle Kugelmittelpunkte liegen.

Schritt 2: Allgemeinen Mittelpunkt $M_t$ definieren

Lies die Koordinaten eines allgemeinen Mittelpunkts $M_t$ aus der Geradengleichung ab. Die Koordinaten werden den Parameter $t$ enthalten, z. B. $M_t(p_1+t\cdot v_1 | p_2+t\cdot v_2 | p_3+t\cdot v_3)$ .

Schritt 3: Gleichung der Kugelschar aufstellen

Setze die Koordinaten von $M_t$ in die allgemeine Kugelgleichung ein: $(x_1 - m_1(t))^2 + (x_2 - m_2(t))^2 + (x_3 - m_3(t))^2 = r^2$ .

Schritt 4: Gegebene Bedingungen einsetzen

Nimm die zusätzlichen Informationen aus der Aufgabenstellung (z. B. einen festen Radius und einen Punkt, der auf der Kugel liegt) und setze sie in die Schar-Gleichung ein.

Schritt 5: Parameter $t$ berechnen

Die Gleichung aus Schritt 4 enthält nur noch die Unbekannte $t$ . Löse diese Gleichung. Oft ist es eine quadratische Gleichung, die null, eine oder zwei Lösungen haben kann.

Schritt 6: Mittelpunkte der gesuchten Kugeln bestimmen

Setze die gefundenen Werte für $t$ (z. B. $t_1$ und $t_2$ ) in die Koordinaten des allgemeinen Mittelpunkts $M_t$ aus Schritt 2 ein, um die konkreten Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$ zu erhalten.

Schritt 7: Schnittverhalten prüfen (falls gefordert)

Berechne den Abstand $d$ zwischen den Mittelpunkten $M_1$ und $M_2$ . Vergleiche $d$ mit der Summe der Radien $r_1 + r_2$ , um zu entscheiden, ob sich die Kugeln schneiden, berühren oder nicht.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Mittelpunkte einer Kugelschar liegen auf der Geraden $g$ , die durch $A(0|1|0)$ und $B(2|2|2)$ geht. Bestimme die Mittelpunkte der beiden Kugeln aus der Schar, die den Radius $r=3$ haben und durch den Ursprung $O(0|0|0)$ gehen. Prüfe anschließend, ob sie sich schneiden.

Fortschritt

7 / 7

Schritt 1
Geradengleichung für die Mittelpunkte aufstellen
Stützvektor $\vec{p} = \vec{OA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Richtungsvektor $\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 2-1 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Die Geradengleichung lautet: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Allgemeinen Mittelpunkt $M_t$ definieren
Ein allgemeiner Mittelpunkt hat die Koordinaten $M_t(2t | 1+t | 2t)$ .
Schritt 3
Gleichung der Kugelschar aufstellen
$(x_1 - 2t)^2 + (x_2 - (1+t))^2 + (x_3 - 2t)^2 = r^2$ .
Schritt 4
Gegebene Bedingungen einsetzen
Wir wissen: Der Radius ist $r=3$ und die Kugel geht durch den Punkt $O(0|0|0)$ . Wir setzen $x_1=0, x_2=0, x_3=0$ und $r=3$ ein.

$(0 - 2t)^2 + (0 - (1+t))^2 + (0 - 2t)^2 = 3^2$
Schritt 5
Parameter $t$ berechnen
$(-2t)^2 + (-(1+t))^2 + (-2t)^2 = 9$

$4t^2 + (1+t)^2 + 4t^2 = 9$

$8t^2 + (1 + 2t + t^2) = 9$

$9t^2 + 2t + 1 = 9$

$9t^2 + 2t - 8 = 0$

Wir lösen diese quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel ( $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ):

$t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8)}}{2 \cdot 9}$

$t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 288}}{18}$

$t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{292}}{18} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{73}}{18} = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{9}$

Wir haben zwei Lösungen: $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{73}}{9} \approx 0{,}84$ und $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{73}}{9} \approx -1{,}06$ .
Schritt 6
Mittelpunkte der gesuchten Kugeln bestimmen
Wir setzen $t_1$ und $t_2$ in $M_t(2t | 1+t | 2t)$ ein.

Für $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{73}}{9}$ : $M_1\!\left(\frac{-2+2\sqrt{73}}{9} \,\Big|\, \frac{8+\sqrt{73}}{9} \,\Big|\, \frac{-2+2\sqrt{73}}{9}\right) \approx M_1(1{,}68 | 1{,}84 | 1{,}68)$

Für $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{73}}{9}$ : $M_2\!\left(\frac{-2-2\sqrt{73}}{9} \,\Big|\, \frac{8-\sqrt{73}}{9} \,\Big|\, \frac{-2-2\sqrt{73}}{9}\right) \approx M_2(-2{,}12 | -0{,}06 | -2{,}12)$
Schritt 7 · Ergebnis
Schnittverhalten prüfen
Der Abstand der Mittelpunkte $d$ ist die Länge des Vektors $\vec{M_1M_2}$ .

$\vec{M_1M_2} = \vec{m_2} - \vec{m_1} = (t_2-t_1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \left(\frac{-2\sqrt{73}}{9}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$d = \left|\frac{-2\sqrt{73}}{9}\right| \cdot \sqrt{2^2+1^2+2^2} = \frac{2\sqrt{73}}{9} \cdot \sqrt{9} = \frac{2\sqrt{73}}{9} \cdot 3 = \frac{2\sqrt{73}}{3} \approx 5{,}7$

Die Summe der Radien ist $r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6$ .

Ergebnis:

Da $d \approx 5{,}7 < 6$ ist, schneiden sich die beiden Kugeln.

Beispiel 2

Aufgabe

Die Mittelpunkte einer Kugelschar liegen auf der z-Achse. Eine Kugel aus dieser Schar hat den Radius $r=5$ und geht durch den Punkt $P(3|0|4)$ . Bestimme die Mittelpunkte der möglichen Kugeln.

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Geradengleichung für die Mittelpunkte aufstellen
Die z-Achse kann als Gerade dargestellt werden mit Stützvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ . $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Schritt 2
Allgemeinen Mittelpunkt $M_t$ definieren
Ein allgemeiner Mittelpunkt auf der z-Achse hat die Koordinaten $M_t(0 | 0 | t)$ .
Schritt 3
Gleichung der Kugelschar aufstellen
$(x_1 - 0)^2 + (x_2 - 0)^2 + (x_3 - t)^2 = r^2$ . $x_1^2 + x_2^2 + (x_3 - t)^2 = r^2$ .
Schritt 4
Gegebene Bedingungen einsetzen
Wir wissen: $r=5$ und die Kugel geht durch $P(3|0|4)$ . Wir setzen $x_1=3, x_2=0, x_3=4$ und $r=5$ ein.

$3^2 + 0^2 + (4 - t)^2 = 5^2$
Schritt 5
Parameter $t$ berechnen
$9 + (4 - t)^2 = 25$

$(4 - t)^2 = 16$

Wir ziehen die Wurzel: $4 - t = \pm 4$

Das führt zu zwei Fällen: Fall 1: $4 - t = 4 \implies t_1 = 0$ Fall 2: $4 - t = -4 \implies t_2 = 8$
Schritt 6 · Ergebnis
Mittelpunkte der gesuchten Kugeln bestimmen
Wir setzen die $t$ -Werte in $M_t(0 | 0 | t)$ ein.

Für $t_1 = 0$ ist der Mittelpunkt $M_1(0|0|0)$ . Für $t_2 = 8$ ist der Mittelpunkt $M_2(0|0|8)$ .

Ergebnis:

Die beiden möglichen Mittelpunkte sind der Ursprung und der Punkt $(0|0|8)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Die Mittelpunkte einer Kugelschar liegen auf der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Welche Kugel aus der Schar berührt die $x_2x_3$ -Ebene und hat den kleinstmöglichen Radius?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Allgemeiner Mittelpunkt
Ein allgemeiner Mittelpunkt auf der Geraden ist $M_t(1+t | 1 | 1)$ .
Schritt 3
Bedingung verstehen
Die $x_2x_3$ -Ebene ist durch die Gleichung $x_1 = 0$ definiert. Eine Kugel berührt diese Ebene, wenn der Abstand ihres Mittelpunktes zur Ebene gleich ihrem Radius ist.

Der Abstand eines Punktes $M_t(1+t | 1 | 1)$ von der Ebene $x_1=0$ ist einfach der Betrag seiner $x_1$ -Koordinate. Also ist der Radius $r = |1+t|$ .
Schritt 4
Kleinstmöglichen Radius finden
Wir suchen den kleinstmöglichen Radius. Der Radius ist $r = |1+t|$ . Der Wert dieses Ausdrucks ist am kleinsten, wenn der Inhalt der Betragsstriche null ist.

$1+t = 0 \implies t = -1$ .

Der kleinstmögliche Radius ist somit $r = |1+(-1)| = 0$ . Eine Kugel mit Radius 0 ist ein Punkt.
Schritt 5 · Ergebnis
Mittelpunkt bestimmen
Wir setzen $t = -1$ in die Koordinaten von $M_t$ ein:

$M_{-1}(1+(-1) | 1 | 1) = M(0|1|1)$ .

Ergebnis:

Die gesuchte „Kugel" ist also nur der Punkt $M(0|1|1)$ , der in der $x_2x_3$ -Ebene liegt. Dies ist die Kugel mit dem kleinstmöglichen Radius ( $r=0$ ).

Beispiel 4

Aufgabe

Zwei Kugeln einer Schar haben ihre Mittelpunkte auf der Geraden $g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Beide Kugeln haben den Radius $r=10$ und gehen durch den Punkt $P(5|0|0)$ . Bestimme die Mittelpunkte der beiden Kugeln.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1 & 2
Allgemeiner Mittelpunkt
Ein allgemeiner Mittelpunkt ist $M_t(3t | 4t | 0)$ .
Schritt 3
Gleichung der Kugelschar
$(x_1 - 3t)^2 + (x_2 - 4t)^2 + (x_3 - 0)^2 = r^2$
Schritt 4
Bedingungen einsetzen
Wir wissen: $r=10$ und die Kugel geht durch $P(5|0|0)$ .

$(5 - 3t)^2 + (0 - 4t)^2 + (0 - 0)^2 = 10^2$
Schritt 5
Parameter $t$ berechnen
$(5 - 3t)^2 + (-4t)^2 = 100$

$25 - 30t + 9t^2 + 16t^2 = 100$

$25t^2 - 30t + 25 = 100$

$25t^2 - 30t - 75 = 0$

Wir teilen durch 5, um die Zahlen zu verkleinern: $5t^2 - 6t - 15 = 0$

Mit der Mitternachtsformel: $t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-15)}}{2 \cdot 5}$

$t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 300}}{10}$

$t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{336}}{10} = \frac{6 \pm 4\sqrt{21}}{10} = \frac{3 \pm 2\sqrt{21}}{5}$

Die beiden Lösungen sind $t_1 = \frac{3 + 2\sqrt{21}}{5} \approx 2{,}43$ und $t_2 = \frac{3 - 2\sqrt{21}}{5} \approx -1{,}23$ .
Schritt 6 · Ergebnis
Mittelpunkte bestimmen
Wir setzen die $t$ -Werte in $M_t(3t | 4t | 0)$ ein.

$M_1\!\left(\frac{9+6\sqrt{21}}{5} \,\Big|\, \frac{12+8\sqrt{21}}{5} \,\Big|\, 0\right) \approx M_1(7{,}3 | 9{,}73 | 0)$

$M_2\!\left(\frac{9-6\sqrt{21}}{5} \,\Big|\, \frac{12-8\sqrt{21}}{5} \,\Big|\, 0\right) \approx M_2(-3{,}7 | -4{,}93 | 0)$

Ergebnis:

Die Mittelpunkte der beiden Kugeln sind $M_1 \approx (7{,}3 | 9{,}73 | 0)$ und $M_2 \approx (-3{,}7 | -4{,}93 | 0)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Die Mittelpunkte einer Kugelschar liegen auf der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Alle Kugeln der Schar gehen durch den Ursprung. Bestimme den Mittelpunkt der Kugel mit dem kleinsten Radius.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Allgemeiner Mittelpunkt
Ein allgemeiner Mittelpunkt ist $M_t(t | t | 5)$ .
Schritt 3
Bedingung verstehen
Alle Kugeln gehen durch den Ursprung $O(0|0|0)$ . Das bedeutet, der Radius jeder Kugel ist genau der Abstand ihres Mittelpunktes $M_t$ vom Ursprung.

Wir berechnen das Quadrat des Radius (um die Wurzel zu vermeiden): $r^2 = d(M_t, O)^2 = (t-0)^2 + (t-0)^2 + (5-0)^2$

$r^2 = t^2 + t^2 + 25 = 2t^2 + 25$ .
Schritt 4
Kleinsten Radius finden
Wir suchen den kleinsten Radius. Das ist gleichbedeutend mit der Suche nach dem kleinsten $r^2$ . Der Ausdruck $2t^2 + 25$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei $t=0$ . Der Ausdruck wird also minimal, wenn $t=0$ ist.
Schritt 5 · Ergebnis
Mittelpunkt bestimmen
Wir setzen $t=0$ in die Koordinaten von $M_t$ ein:

$M_0(0 | 0 | 5)$ .

Ergebnis:

Der Mittelpunkt der Kugel mit dem kleinsten Radius ist $M(0|0|5)$ . Der Radius dieser Kugel ist $r = \sqrt{2(0)^2 + 25} = 5$ .

Aufgabentyp 2: Kugeln bestimmen, die eine Ebene berühren

Eine häufige Anforderung beim Arbeiten mit Kugelscharen ist, Kugeln zu finden, die eine gegebene Ebene berühren. Die zentrale Bedingung dafür ist einfach, aber wirkungsvoll:

Der Abstand vom Kugelmittelpunkt $M$ zur Ebene $E$ muss exakt dem Radius $r$ der Kugel entsprechen.

$d(M, E) = r$

Um dies zu berechnen, nutzen wir die Hesse'sche Normalenform für den Abstand. Wenn die Mittelpunkte der Kugeln wieder auf einer Geraden liegen, hängen die Koordinaten von $M$ vom Parameter $t$ ab. Die Abstandsformel wird dann zu einer Gleichung, die $t$ und $r$ enthält.

Oft ist der Radius $r$ ebenfalls eine Variable. In diesem Fall lösen wir die Gleichung nach $t$ auf und erhalten einen Ausdruck für $t$ , der von $r$ abhängt. Setzen wir diesen Ausdruck in die Geradengleichung für die Mittelpunkte ein, erhalten wir die Koordinaten der Mittelpunkte in Abhängigkeit von $r$ .

Den Berührpunkt finden: Der Berührpunkt $B$ ist der Punkt auf der Ebene, der dem Mittelpunkt $M$ am nächsten ist. Der Vektor $\vec{MB}$ steht senkrecht auf der Ebene, ist also parallel zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene.

Die Länge des Vektors $\vec{MB}$ ist genau der Radius $r$ . Um den Berührpunkt zu finden, gehen wir vom Mittelpunkt $M$ aus um die Länge $r$ in Richtung (oder entgegengesetzt der Richtung) des Normalenvektors.

$\vec{OB} = \vec{OM} \pm r \cdot \vec{n_0}$

Dabei ist $\vec{n_0}$ der auf die Länge 1 normierte Normalenvektor: $\vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Geradengleichung und allgemeinen Mittelpunkt $M_t$ bestimmen

Stelle die Geradengleichung auf, auf der die Mittelpunkte liegen, und notiere die Koordinaten von $M_t$ in Abhängigkeit von $t$ .

Schritt 2: Abstandsformel (Punkt-Ebene) aufstellen

Notiere die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene. Bringe die gegebene Ebenengleichung in die Form $ax_1+bx_2+cx_3-d=0$ .

Schritt 3: Abstandsgleichung formulieren und lösen

Setze die Koordinaten von $M_t$ in die Abstandsformel ein. Setze diesen Abstand gleich dem Radius $r$ . Dies ergibt eine Betragsgleichung mit der Unbekannten $t$ . Löse diese Gleichung, indem du die beiden Fälle (positiver und negativer Inhalt der Betragsstriche) betrachtest. Die Lösungen für $t$ können von $r$ abhängen.

Schritt 4: Mittelpunkte bestimmen

Setze die in Schritt 3 gefundenen Ausdrücke für $t$ (z. B. $t_1(r)$ und $t_2(r)$ ) in die Koordinaten von $M_t$ ein. Das Ergebnis sind die Koordinaten der Mittelpunkte in Abhängigkeit von $r$ .

Schritt 5: Berührpunkte bestimmen

(a) Lies den Normalenvektor $\vec{n}$ aus der Ebenengleichung ab.

(b) Berechne seine Länge $|\vec{n}|$ und normiere ihn: $\vec{n_0} = \frac{1}{|\vec{n}|} \cdot \vec{n}$ .

(c) Berechne die Ortsvektoren der Berührpunkte mit der Formel $\vec{p} = \vec{m} \pm r \cdot \vec{n_0}$ . Um zu entscheiden, ob du addieren oder subtrahieren musst, schaue dir das Vorzeichen des Terms innerhalb des Betrags in der Abstandsberechnung aus Schritt 3 an. Ist es positiv, liegt $M$ auf der Seite, in die $\vec{n}$ zeigt, und du musst subtrahieren, um zur Ebene zu kommen. Ist es negativ, musst du addieren.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Mittelpunkte von Kugeln mit Radius $r$ liegen auf der Geraden $g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Sie berühren die Ebene $E: 4x_1 - 3x_3 = 10$ . Gib die Koordinaten der Mittelpunkte und Berührpunkte in Abhängigkeit von $r$ an.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Allgemeiner Mittelpunkt
Ein allgemeiner Mittelpunkt ist $M_t(t | t | 0)$ .
Schritt 2
Abstandsformel vorbereiten
Die Ebene lautet $E: 4x_1 + 0x_2 - 3x_3 - 10 = 0$ . Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$ .
Schritt 3
Abstandsgleichung lösen
Der Abstand von $M_t$ zu $E$ muss $r$ sein.

$r = \frac{|4 \cdot t + 0 \cdot t - 3 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2}}$

$r = \frac{|4t - 10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|4t - 10|}{\sqrt{25}} = \frac{|4t - 10|}{5}$

$5r = |4t - 10|$

Wir lösen die Betragsgleichung: Fall 1: $5r = 4t - 10 \implies 4t = 5r + 10 \implies t_1 = 1{,}25r + 2{,}5$ Fall 2: $5r = -(4t - 10) = -4t + 10 \implies 4t = -5r + 10 \implies t_2 = -1{,}25r + 2{,}5$
Schritt 4
Mittelpunkte bestimmen
Wir setzen $t_1$ und $t_2$ in $M_t(t|t|0)$ ein.

$M_1(1{,}25r + 2{,}5 \mid 1{,}25r + 2{,}5 \mid 0)$

$M_2(-1{,}25r + 2{,}5 \mid -1{,}25r + 2{,}5 \mid 0)$
Schritt 5 · Ergebnis
Berührpunkte bestimmen
a) Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$ .

b) Länge $|\vec{n}| = 5$ . Normierter Vektor $\vec{n_0} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$ .

c) Für $M_1$ war der Term im Betrag $4t_1 - 10 = 4(1{,}25r+2{,}5)-10 = 5r+10-10 = 5r > 0$ . Wir müssen subtrahieren.

$\vec{p_1} = \vec{m_1} - r \cdot \vec{n_0} = \begin{pmatrix} 1{,}25r+2{,}5 \\ 1{,}25r+2{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} - r \cdot \begin{pmatrix} 4/5 \\ 0 \\ -3/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}45r+2{,}5 \\ 1{,}25r+2{,}5 \\ 0{,}6r \end{pmatrix}$

Für $M_2$ war der Term $4t_2 - 10 = -5r < 0$ . Wir müssen addieren.

$\vec{p_2} = \vec{m_2} + r \cdot \vec{n_0} = \begin{pmatrix} -1{,}25r+2{,}5 \\ -1{,}25r+2{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4/5 \\ 0 \\ -3/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0{,}45r+2{,}5 \\ -1{,}25r+2{,}5 \\ -0{,}6r \end{pmatrix}$

Ergebnis:

Die Berührpunkte sind $P_{1}(0{,}45r+2{,}5 \mid 1{,}25r+2{,}5 \mid 0{,}6r)$ und $P_{2}(-0{,}45r+2{,}5 \mid -1{,}25r+2{,}5 \mid -0{,}6r)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Kugel mit Mittelpunkt auf der y-Achse soll die Ebene $E: x_1 + x_2 + x_3 = 6$ berühren. Der Berührpunkt ist $B(2|2|2)$ . Bestimme den Mittelpunkt und den Radius der Kugel.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Allgemeiner Mittelpunkt
Ein Punkt auf der y-Achse hat die Form $M(0 | m_2 | 0)$ .
Schritt 2
Bedingung verstehen
Der Vektor vom Mittelpunkt $M$ zum Berührpunkt $B$ muss senkrecht zur Ebene stehen, also ein Vielfaches des Normalenvektors $\vec{n}$ sein.

Der Normalenvektor von $E$ ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Der Vektor $\vec{MB}$ ist $\vec{b} - \vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ m_2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2-m_2 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Da $\vec{MB}$ parallel zu $\vec{n}$ sein muss, gilt: $\begin{pmatrix} 2 \\ 2-m_2 \\ 2 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Aus der ersten und dritten Zeile sehen wir sofort, dass der Faktor $k=2$ sein muss.

Jetzt betrachten wir die zweite Zeile: $2 - m_2 = k \cdot 1 = 2$ $m_2 = 0$
Schritt 3 · Ergebnis
Mittelpunkt und Radius bestimmen
Der Mittelpunkt ist also $M(0|0|0)$ , der Ursprung.

Der Radius ist der Abstand von $M$ zu $B$ . $r = d(M,B) = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ .

Ergebnis:

Der Mittelpunkt ist $M(0|0|0)$ und der Radius ist $r = 2\sqrt{3}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Die Mittelpunkte von Kugeln mit Radius $r=6$ liegen auf der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Bestimme die Mittelpunkte der Kugeln, die die $x_1x_3$ -Ebene berühren.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Allgemeiner Mittelpunkt
Ein allgemeiner Mittelpunkt ist $M_t(1 | t | 1)$ .
Schritt 2 & 3
Abstandsgleichung
Die $x_1x_3$ -Ebene ist durch die Gleichung $x_2 = 0$ gegeben. Der Abstand eines Punktes $M_t(1|t|1)$ von dieser Ebene ist der Betrag seiner $x_2$ -Koordinate: $d = |t|$ .

Die Bedingung ist, dass dieser Abstand dem Radius $r=6$ entspricht.

$|t| = 6$

Dies hat zwei einfache Lösungen: $t_1 = 6$ und $t_2 = -6$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Mittelpunkte bestimmen
Wir setzen die $t$ -Werte in $M_t(1|t|1)$ ein.

Für $t_1=6$ : $M_1(1|6|1)$ Für $t_2=-6$ : $M_2(1|-6|1)$

Ergebnis:

Die beiden Mittelpunkte sind $M_1(1|6|1)$ und $M_2(1|-6|1)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Für welchen Radius $r$ berühren sich die beiden Kugeln aus der ersten Beispielaufgabe? Die Mittelpunkte waren $M_1(1{,}25r + 2{,}5 \mid 1{,}25r + 2{,}5 \mid 0)$ und $M_2(-1{,}25r + 2{,}5 \mid -1{,}25r + 2{,}5 \mid 0)$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Abstand der Mittelpunkte berechnen
$d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$

$x_2-x_1 = (-1{,}25r+2{,}5) - (1{,}25r+2{,}5) = -2{,}5r$ $y_2-y_1 = (-1{,}25r+2{,}5) - (1{,}25r+2{,}5) = -2{,}5r$ $z_2-z_1 = 0 - 0 = 0$

$d^2 = (-2{,}5r)^2 + (-2{,}5r)^2 + 0^2$ $d^2 = 6{,}25r^2 + 6{,}25r^2 = 12{,}5r^2$

$d = \sqrt{12{,}5r^2} = r \cdot \sqrt{12{,}5}$
Schritt 2 · Ergebnis
Bedingung anwenden
$d = 2r$

$r \cdot \sqrt{12{,}5} = 2r$

Da $r>0$ sein muss, können wir durch $r$ teilen:

$\sqrt{12{,}5} = 2$

$12{,}5 = 4$

Dies ist ein Widerspruch. Das bedeutet, es gibt keinen Radius $r$ , für den sich die beiden Kugeln berühren. Da $\sqrt{12{,}5} \approx 3{,}54 > 2$ , gilt stets $d > 2r$ — der Abstand ist immer größer als die Summe der Radien. Die Kugeln haben für kein $r > 0$ gemeinsame Punkte.

Ergebnis:

Es gibt keinen Radius $r > 0$ , für den sich die beiden Kugeln berühren.

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Kugel mit Mittelpunkt auf der Geraden $g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ berührt die Ebene $E: 3x_1 + 4x_2 = 25$ . Bestimme den Mittelpunkt und den Radius der Kugel.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Allgemeiner Mittelpunkt
Der Mittelpunkt liegt auf der z-Achse: $M_t(0 | 0 | t)$ .
Schritt 2 & 3
Abstandsgleichung
Die Ebene ist $E: 3x_1 + 4x_2 + 0x_3 - 25 = 0$ . Der Abstand von $M_t$ zu $E$ ist der Radius $r$ .

$r = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot t - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2}}$

$r = \frac{|-25|}{\sqrt{9+16}} = \frac{25}{\sqrt{25}} = \frac{25}{5} = 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Der Abstand des Mittelpunktes von der Ebene ist immer 5, egal welchen Wert $t$ hat. Das liegt daran, dass die Gerade (die z-Achse) parallel zur Ebene ist. Der Normalenvektor der Ebene $\vec{n}=(3|4|0)$ steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden $\vec{v}=(0|0|1)$ , da ihr Skalarprodukt 0 ist.

Das bedeutet, dass jede Kugel mit Mittelpunkt auf der z-Achse und Radius $r=5$ die Ebene berührt. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

Ergebnis:

Der Radius ist eindeutig $r=5$ . Die Mittelpunkte sind alle Punkte auf der z-Achse, also $M(0|0|t)$ für jedes beliebige $t \in \mathbb{R}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Eine Kugelschar auf einer Geraden wird durch einen allgemeinen Mittelpunkt $M_t$ beschrieben, dessen Koordinaten vom Parameter $t$ abhängen.
Um spezifische Kugeln zu finden, setzt man gegebene Bedingungen (z. B. Radius, Punkt auf Kugel) in die Schar-Gleichung ein und löst nach $t$ .
Das Schnittverhalten zweier Kugeln wird durch den Vergleich des Mittelpunktsabstands $d$ mit der Summe der Radien $r_1+r_2$ bestimmt.
Eine Kugel berührt eine Ebene, wenn der Abstand ihres Mittelpunkts zur Ebene genau ihrem Radius entspricht: $d(M, E) = r$ .
Der Berührpunkt $B$ liegt auf der Geraden durch den Mittelpunkt $M$ , die senkrecht zur Ebene steht. Man findet ihn mit $\vec{OB} = \vec{OM} \pm r \cdot \vec{n_0}$ .

Kugelscharen einfach erklärt: Mittelpunkte & Ebenen

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Kugelschar auf einer Geraden analysieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Kugeln bestimmen, die eine Ebene berühren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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