Was sind die Sigma-Regeln bei der Normalverteilung?

Die Sigma-Regeln (auch empirische Regeln genannt) sind Faustregeln für die Normalverteilung. Sie besagen, dass ca. 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Erwartungswert liegen, 95 % innerhalb von zwei und 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen.

Wie wende ich die 1-Sigma-Regel an?

Bei der 1-Sigma-Regel rechnest du den Erwartungswert plus und minus eine Standardabweichung. In diesem symmetrischen Intervall befinden sich ungefähr 68 % aller Daten einer normalverteilten Größe.

Was mache ich bei asymmetrischen Intervallen?

Bei asymmetrischen Intervallen nutzt du die Symmetrie der Glockenkurve. Du teilst das Intervall am Erwartungswert in zwei Hälften auf, berechnest die Wahrscheinlichkeit für jede Seite einzeln (indem du die Hauptregel halbierst) und addierst die Ergebnisse.

Sigma-Regeln der Normalverteilung

Wenn du Wahrscheinlichkeiten bei einer Normalverteilung berechnen musst, gibt es einen genialen Trick: die Sigma-Regeln. Stell dir vor, du bist in einer Prüfung und sollst schnell eine Wahrscheinlichkeit schätzen. Während alle anderen mühsam den Taschenrechner quälen oder in Tabellen nachschlagen, kennst du diese Geheimwaffe. Mit drei einfachen Zahlen (68, 95 und 99,7) kannst du viele Aufgaben in Sekunden lösen und beeindruckst damit alle. Lerne hier, wie du Wahrscheinlichkeiten bei Normalverteilung mit Sigma-Regeln berechnen kannst und sei immer einen Schritt voraus.

Vorwissen

Bevor wir loslegen, frischen wir kurz ein paar Grundlagen auf:

Normalverteilung (Glockenkurve): Dies ist eine sehr häufige Art der Datenverteilung, bei der die meisten Werte in der Mitte liegen und die Werte nach außen hin seltener werden. Die grafische Darstellung sieht aus wie eine Glocke.
- Beispiel: Die Körpergrößen von erwachsenen Männern in Deutschland sind ungefähr normalverteilt.

Erwartungswert $\mu$ (My): Das ist der Durchschnittswert und gleichzeitig der höchste Punkt der Glockenkurve. Er gibt an, wo das Zentrum der Verteilung liegt.
- Beispiel: Wenn die durchschnittliche Körpergröße 180 cm beträgt, ist der Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 180 \text{ cm}}$ .
Standardabweichung $\sigma$ (Sigma): Dieses Maß gibt an, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, die Werte liegen sehr nah am Durchschnitt. Eine große bedeutet, sie sind weit verteilt.
- Beispiel: Eine Standardabweichung von $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 5 \text{ cm}}$ bedeutet, dass die meisten Körpergrößen in einem Bereich von 175 cm bis 185 cm liegen.
Notation $N_{\mu; \sigma}$ : Dies ist eine Kurzschreibweise für eine Normalverteilung. Sie gibt dir direkt den Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu}$ und die Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma}$ .
- Beispiel: $N_{180; 5}$ bedeutet, wir haben eine Normalverteilung mit $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 180}$ und $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 5}$ .

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeiten mit den Sigma-Regeln berechnen

Die Sigma-Regeln (auch empirische Regeln genannt) sind Faustregeln, um schnell Wahrscheinlichkeiten für normalverteilte Daten zu schätzen. Sie geben an, wie viel Prozent der Daten innerhalb einer bestimmten Anzahl von Standardabweichungen vom Erwartungswert liegen.

Es gibt drei Hauptregeln:

$1\sigma$ -Regel: Ungefähr 68 % aller Werte liegen im Intervall $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 1 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 1 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .
$2\sigma$ -Regel: Ungefähr 95 % aller Werte liegen im Intervall $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 2 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 2 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .
$3\sigma$ -Regel: Ungefähr 99,7 % aller Werte liegen im Intervall $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 3 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 3 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .

Wichtig: Die Symmetrie nutzen!

Die Glockenkurve ist perfekt symmetrisch zum $\textcolor{#08BFFF}{\text{Erwartungswert } \mu}$ . Das bedeutet, die linke und die rechte Hälfte sind spiegelbildlich. Das hilft uns bei Berechnungen:

Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall $[\textcolor{#08BFFF}{\mu}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 1 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ ist genau die Hälfte von 68 %, also 34 %.
Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall $[\textcolor{#08BFFF}{\mu}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 2 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ ist genau die Hälfte von 95 %, also 47,5 %.

So können wir auch Wahrscheinlichkeiten für unsymmetrische Intervalle berechnen, indem wir sie am Erwartungswert $\mu$ aufteilen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere Erwartungswert und Standardabweichung: Lies $\mu$ und $\sigma$ aus der Angabe ab.
Rechne Intervallgrenzen in Sigma-Einheiten um: Drücke die Grenzen als $\mu \pm k \cdot \sigma$ aus.
Wende die passende Sigma-Regel an: Lies bei symmetrischen Intervallen den Wert direkt ab oder teile asymmetrische Intervalle am Erwartungswert auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Die Füllmenge von Kaffeepackungen ist normalverteilt mit $N_{500; 10}$ (in Gramm). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Packung zwischen 490 g und 510 g wiegt.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus der Angabe $N_{500; 10}$ lesen wir ab:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 500}$ g
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 10}$ g
2
Schritt 2
Intervallgrenzen in Sigma-Einheiten umrechnen
Das gesuchte Intervall ist $[490, 510]$ .
- Untere Grenze: $490 = 500 - 10 = \textcolor{#08BFFF}{\mu} - 1 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}$
- Obere Grenze: $510 = 500 + 10 = \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 1 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}$
Das Intervall entspricht also genau der $\textcolor{#9570FF}{1\sigma}$ -Umgebung.
Schritt 3 · Ergebnis
Passende Sigma-Regel anwenden
Das Intervall ist symmetrisch um den Erwartungswert. Wir wenden die $1\sigma$ -Regel an:

$P(490 \le X \le 510) = P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu + 1\sigma) \approx \textcolor{#9570FF}{0,68}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 68 %.

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Quizfrage 1 zu Normalverteilung

Was bedeutet die Schreibweise $N_{180; 5}$ für eine Normalverteilung?

Quizfrage 2 zu Normalverteilung

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Wie viel Prozent der Werte liegen laut den Sigma-Regeln ungefähr im Intervall $[\mu - 2 \cdot \sigma, \mu + 2 \cdot \sigma]$ ?

Übungsaufgabe zu Normalverteilung

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Beispiel 1

Aufgabe

Die Lebensdauer von LED-Lampen sei normalverteilt mit $N_{15000; 2000}$ (in Stunden). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe eine Lebensdauer zwischen 9000 und 21000 Stunden hat.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus $N_{15000; 2000}$ folgt:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 15000}$ Stunden
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 2000}$ Stunden
2
Schritt 2
Intervallgrenzen in Sigma-Einheiten umrechnen
Das gesuchte Intervall ist $[9000, 21000]$ .
- Untere Grenze: $9000 = 15000 - 6000 = \textcolor{#08BFFF}{\mu} - 3 \cdot \textcolor{#53E5D6}{2000} = \mu - 3\sigma$
- Obere Grenze: $21000 = 15000 + 6000 = \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 3 \cdot \textcolor{#53E5D6}{2000} = \mu + 3\sigma$
Das Intervall entspricht der $\textcolor{#9570FF}{3\sigma}$ -Umgebung.
Schritt 3 · Ergebnis
Passende Sigma-Regel anwenden
Das Intervall ist symmetrisch. Wir wenden die $3\sigma$ -Regel an:

$P(9000 \le X \le 21000) = P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx \textcolor{#9570FF}{0,997}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 99,7 %.

Beispiel 2

Aufgabe

Der IQ-Wert in einer Population ist normalverteilt mit $N_{100; 15}$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ zwischen 70 und 115 hat.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus $N_{100; 15}$ folgt:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 100}$
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 15}$
2
Schritt 2
Intervallgrenzen in Sigma-Einheiten umrechnen
Das gesuchte Intervall ist $[70, 115]$ .
- Untere Grenze: $70 = 100 - 30 = \textcolor{#08BFFF}{\mu} - 2 \cdot \textcolor{#53E5D6}{15} = \mu - 2\sigma$
- Obere Grenze: $115 = 100 + 15 = \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 1 \cdot \textcolor{#53E5D6}{15} = \mu + 1\sigma$
Das Intervall ist $[\mu - 2\sigma, \mu + 1\sigma]$ und damit asymmetrisch.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Passende Sigma-Regel anwenden (asymmetrischer Fall)
Wir teilen das Intervall am Erwartungswert $\mu=100$ auf: $P(70 \le X \le 115) = P(70 \le X \le 100) + P(100 \le X \le 115)$

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für jeden Teil:
- Teil 1: $P(70 \le X \le 100) = P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu)$ Das ist die Hälfte der $2\sigma$ -Umgebung: $\frac{1}{2} \cdot P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx \frac{0,95}{2} = 0,475$
- Teil 2: $P(100 \le X \le 115) = P(\mu \le X \le \mu + 1\sigma)$ Das ist die Hälfte der $1\sigma$ -Umgebung: $\frac{1}{2} \cdot P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu + 1\sigma) \approx \frac{0,68}{2} = 0,34$
Jetzt addieren wir beide Teile: $P(70 \le X \le 115) \approx 0,475 + 0,34 = \textcolor{#9570FF}{0,815}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 81,5 %.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Maschine füllt Zuckertüten. Das Gewicht ist normalverteilt mit $N_{1000; 4}$ (in Gramm). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tüte mehr als 1008 g enthält?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus $N_{1000; 4}$ folgt:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 1000}$ g
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 4}$ g
Schritt 2
Intervallgrenzen in Sigma-Einheiten umrechnen
Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für $X > 1008$ . Die Grenze ist 1008. $1008 = 1000 + 8 = \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 2 \cdot \textcolor{#53E5D6}{4} = \mu + 2\sigma$

Wir suchen also $P(X > \mu + 2\sigma)$ . Dies ist der rechte "Schwanz" der Verteilung.
Schritt 3 · Ergebnis
Passende Sigma-Regel anwenden (Symmetrie nutzen)
Die Gesamtfläche unter der Kurve ist 1 (oder 100 %). Die Fläche links vom Erwartungswert $\mu$ ist 0,5 (oder 50 %).

Wir wissen, dass das Intervall $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$ eine Wahrscheinlichkeit von ca. 95 % hat. Wegen der Symmetrie hat das Intervall $[\mu, \mu + 2\sigma]$ die halbe Wahrscheinlichkeit, also $0,95 / 2 = 0,475$ .

Die Wahrscheinlichkeit, links von $\mu + 2\sigma$ zu sein, ist die Summe der linken Hälfte und diesem Teilintervall: $P(X \le \mu + 2\sigma) = P(X \le \mu) + P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0,5 + 0,475 = 0,975$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist der Rest: $P(X > \mu + 2\sigma) = 1 - P(X \le \mu + 2\sigma) \approx 1 - 0,975 = \textcolor{#9570FF}{0,025}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 2,5 %.

Beispiel 4

Aufgabe

Die Reaktionszeit eines Autofahrers sei normalverteilt mit $N_{0,8; 0,1}$ (in Sekunden). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Reaktionszeit zwischen 0,7 s und 0,9 s liegt.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus $N_{0,8; 0,1}$ folgt:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 0,8}$ s
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 0,1}$ s
2
Schritt 2
Intervallgrenzen in Sigma-Einheiten umrechnen
Das gesuchte Intervall ist $[0,7, 0,9]$ .
- Untere Grenze: $0,7 = 0,8 - 0,1 = \textcolor{#08BFFF}{\mu} - 1 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}$
- Obere Grenze: $0,9 = 0,8 + 0,1 = \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 1 \cdot \textcolor{#53E5D6}{\sigma}$
Das Intervall entspricht genau der $\textcolor{#9570FF}{1\sigma}$ -Umgebung.
Schritt 3 · Ergebnis
Passende Sigma-Regel anwenden
Das Intervall ist symmetrisch. Wir wenden die $1\sigma$ -Regel an:

$P(0,7 \le X \le 0,9) = P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu + 1\sigma) \approx \textcolor{#9570FF}{0,68}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 68 %.

Aufgabentyp 2: Intervall aus Wahrscheinlichkeit bestimmen

Manchmal ist es genau andersherum: Du hast eine Wahrscheinlichkeit gegeben und sollst das passende symmetrische Intervall um den Erwartungswert finden.

Auch hier helfen die Sigma-Regeln, nur dass du sie jetzt rückwärts anwendest:

Wenn die Wahrscheinlichkeit ca. 68 % (oder 0,68) beträgt, suchst du die $1\sigma$ -Umgebung: $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 1\textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 1\textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .
Wenn die Wahrscheinlichkeit ca. 95 % (oder 0,95) beträgt, suchst du die $2\sigma$ -Umgebung: $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 2\textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 2\textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .
Wenn die Wahrscheinlichkeit ca. 99,7 % (oder 0,997) beträgt, suchst du die $3\sigma$ -Umgebung: $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 3\textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 3\textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .

Hinweis: Manchmal werden präzisere Werte wie 68,3 % oder 95,4 % verwendet. Das Prinzip bleibt aber dasselbe.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere Erwartungswert und Standardabweichung: Lies $\mu$ und $\sigma$ aus der Aufgabenstellung ab.
Ordne die Wahrscheinlichkeit zu: Finde heraus, ob die gegebene Wahrscheinlichkeit zur $1\sigma$ -, $2\sigma$ - oder $3\sigma$ -Regel gehört.
Berechne die Intervallgrenzen: Setze $\mu$ und $\sigma$ in die Formel $\mu \pm k \cdot \sigma$ ein und gib das Intervall an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

Eine Zufallsgröße X ist normalverteilt mit $N_{150; 5}$ . Bestimme das symmetrische Intervall, in dem die Werte von X mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 95 % liegen.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus $N_{150; 5}$ lesen wir ab:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 150}$
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 5}$
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit der passenden Sigma-Regel zuordnen
Die gegebene Wahrscheinlichkeit ist 95 %. Das entspricht der $2\sigma$ -Regel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Intervallgrenzen berechnen
Wir verwenden die Formel für die $2\sigma$ -Umgebung: $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 2\textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 2\textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .
- Untere Grenze: $150 - 2 \cdot 5 = 150 - 10 = 140$
- Obere Grenze: $150 + 2 \cdot 5 = 150 + 10 = 160$

Ergebnis:

Das gesuchte Intervall ist $[140, 160]$ .

Beispiel 1

Aufgabe

Die Körpergröße von Frauen einer bestimmten Altersgruppe ist normalverteilt mit $N_{165; 6}$ (in cm). In welchem symmetrischen Bereich liegen die Körpergrößen von ca. 68 % dieser Frauen?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus $N_{165; 6}$ folgt:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 165}$ cm
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 6}$ cm
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit der passenden Sigma-Regel zuordnen
Die gegebene Wahrscheinlichkeit ist 68 %. Das entspricht der $1\sigma$ -Regel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Intervallgrenzen berechnen
Wir verwenden die Formel für die $1\sigma$ -Umgebung: $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 1\textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 1\textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .
- Untere Grenze: $165 - 1 \cdot 6 = 159$
- Obere Grenze: $165 + 1 \cdot 6 = 171$

Ergebnis:

Der gesuchte Bereich ist $[159 \text{ cm}, 171 \text{ cm}]$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Die Schraubenlänge aus einer Produktion ist normalverteilt mit $N_{50; 0,2}$ (in mm). Der Hersteller garantiert, dass 99,7 % der Schrauben innerhalb eines bestimmten Toleranzbereichs liegen. Wie lautet dieses symmetrische Intervall?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus $N_{50; 0,2}$ folgt:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 50}$ mm
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 0,2}$ mm
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit der passenden Sigma-Regel zuordnen
Die gegebene Wahrscheinlichkeit ist 99,7 %. Das entspricht der $3\sigma$ -Regel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Intervallgrenzen berechnen
Wir verwenden die Formel für die $3\sigma$ -Umgebung: $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 3\textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 3\textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .
- Untere Grenze: $50 - 3 \cdot 0,2 = 50 - 0,6 = 49,4$
- Obere Grenze: $50 + 3 \cdot 0,2 = 50 + 0,6 = 50,6$

Ergebnis:

Das Toleranzintervall ist $[49,4 \text{ mm}, 50,6 \text{ mm}]$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Zufallsgröße Y ist normalverteilt mit $N_{200; 25}$ . Bestimme das symmetrische Intervall, in dem die Werte von Y mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68,3 % liegen.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus $N_{200; 25}$ folgt:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 200}$
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 25}$
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit der passenden Sigma-Regel zuordnen
Die gegebene Wahrscheinlichkeit ist 68,3 %. Dies ist eine genauere Angabe für die $1\sigma$ -Regel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Intervallgrenzen berechnen
Wir verwenden die Formel für die $1\sigma$ -Umgebung: $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 1\textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 1\textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .
- Untere Grenze: $200 - 1 \cdot 25 = 175$
- Obere Grenze: $200 + 1 \cdot 25 = 225$

Ergebnis:

Das gesuchte Intervall ist $[175, 225]$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Das Gewicht von neugeborenen Babys sei normalverteilt mit $N_{3400; 500}$ (in Gramm). In welchem symmetrischen Intervall liegt das Gewicht von ca. 95,4 % aller Neugeborenen?

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren
Aus $N_{3400; 500}$ folgt:
- Erwartungswert $\textcolor{#08BFFF}{\mu = 3400}$ g
- Standardabweichung $\textcolor{#53E5D6}{\sigma = 500}$ g
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit der passenden Sigma-Regel zuordnen
Die gegebene Wahrscheinlichkeit ist 95,4 %. Dies ist eine genauere Angabe für die $2\sigma$ -Regel.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Intervallgrenzen berechnen
Wir verwenden die Formel für die $2\sigma$ -Umgebung: $[\textcolor{#08BFFF}{\mu} - 2\textcolor{#53E5D6}{\sigma}, \textcolor{#08BFFF}{\mu} + 2\textcolor{#53E5D6}{\sigma}]$ .
- Untere Grenze: $3400 - 2 \cdot 500 = 3400 - 1000 = 2400$
- Obere Grenze: $3400 + 2 \cdot 500 = 3400 + 1000 = 4400$

Ergebnis:

Das gesuchte Intervall ist $[2400 \text{ g}, 4400 \text{ g}]$ .

Wichtige Erkenntnisse

Die Sigma-Regeln sind schnelle Faustregeln für Normalverteilungen.
$1\sigma$ -Regel: ca. 68 % der Werte liegen im Intervall $[\mu \pm \sigma]$ .
$2\sigma$ -Regel: ca. 95 % der Werte liegen im Intervall $[\mu \pm 2\sigma]$ .
$3\sigma$ -Regel: ca. 99,7 % der Werte liegen im Intervall $[\mu \pm 3\sigma]$ .
Die Symmetrie der Glockenkurve ist dein wichtigstes Werkzeug. Die Wahrscheinlichkeit für die halben Intervalle (z. B. $[\mu, \mu+\sigma]$ ) ist genau die Hälfte der Wahrscheinlichkeit des ganzen Intervalls.
Bei asymmetrischen Intervallen zerlegst du sie am Erwartungswert $\mu$ und addierst die Wahrscheinlichkeiten der beiden Teile.

Normalverteilung: Wahrscheinlichkeiten mit Sigma-Regeln berechnen

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