Diskrete Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen einfach erklärt: Wertebereich bestimmen, Verteilungstabellen erstellen und fehlende Wahrscheinlichkeiten berechnen – mit vielen Beispielen.

📅 Aktualisiert 30. Juni 2026⏱ 51 Min. Lesezeit✍️ Rocket Tutor Redaktion

Hast du dich jemals gefragt, wie Spieleentwickler die Beute in einer Schatzkiste (Lootbox) festlegen? Oder warum bei einem Glücksrad der Hauptgewinn so selten ist? Das ist keine Magie, sondern reine Mathematik! Dahinter stecken diskrete Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie sind das Geheimrezept, um die Regeln von Zufall und Glück zu verstehen und sogar vorherzusagen. Wenn du dieses Wissen kennst, kannst du nicht nur die Fairness von Spielen durchschauen, sondern auch verstehen, wie Versicherungen Risiken berechnen oder wie man in der Wissenschaft Daten analysiert.

Schnellantwort

Eine diskrete Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße jeden ihrer möglichen Werte annimmt. Die wichtigste Regel: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist immer 1.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

  • Zufallsexperiment: Ein Vorgang mit einem unvorhersehbaren Ergebnis.

    • Beispiel: Das Werfen einer Münze.

  • Ergebnismenge Ω\Omega: Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

    • Beispiel: Beim Würfeln eines normalen Würfels ist die Ergebnismenge Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.

  • Laplace-Wahrscheinlichkeit: Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E so:

    • Formel: P(E)=Anzahl der gu¨nstigen ErgebnisseAnzahl aller mo¨glichen ErgebnisseP(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}
    • Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, ist P(6)=16P(6) = \frac{1}{6}.

  • Baumdiagramm und Pfadregeln: Ein Baumdiagramm hilft bei mehrstufigen Zufallsexperimenten.

    • 1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhältst du, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.
    • 2. Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das durch mehrere Pfade dargestellt wird, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser einzelnen Pfade.

Aufgabentyp 1: Bestimmen des Ergebnisraums einer Zufallsgröße

Stell dir ein Zufallsexperiment vor, wie das Werfen von zwei Würfeln. Die Ergebnisse sind Paare wie (1, 1), (1, 2) usw. Das ist oft unhandlich.

Eine Zufallsgröße (oft mit einem Großbuchstaben wie XX bezeichnet) ist eine Art „Übersetzer". Sie ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine bestimmte Zahl zu.

Die Menge aller Zahlen, die die Zufallsgröße annehmen kann, nennt man ihren Wertebereich oder Ergebnisraum.

Beispiel:

  • Zufallsexperiment: Werfen von zwei Münzen. Ergebnisse sind {KK, KZ, ZK, ZZ}.
  • Zufallsgröße X: „Anzahl der Köpfe".
  • Übersetzung:
    • KK →\to 2
    • KZ →\to 1
    • ZK →\to 1
    • ZZ →\to 0
  • Der Wertebereich von XX ist also die Menge aller möglichen Zahlen: {0,1,2}\{0, 1, 2\}.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Alle Ergebnisse des Experiments auflisten: Notiere alle möglichen Ergebnisse des beschriebenen Zufallsexperiments. Bei zwei Würfeln sind das zum Beispiel alle Zahlenpaare von (1,1) bis (6,6).
  2. Die Regel der Zufallsgröße verstehen: Lies genau, was die Zufallsgröße beschreibt. Ist es die Summe, die Differenz, das Produkt oder etwas anderes?
  3. Die Regel auf jedes Ergebnis anwenden: Gehe deine Liste der Ergebnisse durch und berechne für jedes Ergebnis den Wert, den die Zufallsgröße ihm zuordnet.
  4. Alle einzigartigen Werte sammeln: Schreibe alle berechneten Zahlenwerte auf. Jede Zahl, die mehrfach vorkommt, wird nur einmal notiert. Diese Sammlung ist der gesuchte Wertebereich (Ergebnisraum) der Zufallsgröße.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Es werden zwei normale sechsseitige Würfel geworfen. Bestimme, welche Werte die Zufallsgröße SS: „Die Summe der Augenzahlen" annehmen kann.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Die möglichen Ergebnisse sind alle Zahlenpaare. Der erste Würfel kann die Zahlen 1 bis 6 zeigen, der zweite ebenfalls. Beispiele für Ergebnisse sind (1,1), (1,2), (2,1), ..., (6,6).

  2. Schritt 2
    Die Regel der Zufallsgröße verstehen

    Die Zufallsgröße SS ist als die Summe der beiden Augenzahlen definiert.

  3. Schritt 3
    Die Regel auf jedes Ergebnis anwenden

    Wir berechnen die Summe für die extremsten Fälle, um den Bereich zu finden:

    • Kleinste mögliche Summe: 1+1=21 + 1 = 2
    • Größte mögliche Summe: 6+6=126 + 6 = 12

    Alle anderen Summen liegen dazwischen. Zum Beispiel: 1+2=31+2=3, 1+3=41+3=4, 5+4=95+4=9 usw.

  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Alle einzigartigen Werte sammeln

    Wir sammeln alle möglichen Summen, die auftreten können. Das sind alle ganzen Zahlen von der kleinsten bis zur größten Summe.

Ergebnis:

Der Wertebereich von SS ist also {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Münze wird dreimal geworfen. Bestimme den Wertebereich der Zufallsgröße KK: „Anzahl der Würfe, die ‚Kopf' zeigen".

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Die möglichen Ergebnisse bei drei Würfen sind (K=Kopf, Z=Zahl): KKK, KKZ, KZK, ZKK, KZZ, ZKZ, ZZK, ZZZ

  2. Schritt 2
    Die Regel der Zufallsgröße verstehen

    Die Zufallsgröße KK zählt, wie oft ‚Kopf' in einem Ergebnis vorkommt.

  3. Schritt 3
    Die Regel auf jedes Ergebnis anwenden
    • KKK →\to 3
    • KKZ, KZK, ZKK →\to 2
    • KZZ, ZKZ, ZZK →\to 1
    • ZZZ →\to 0
  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Alle einzigartigen Werte sammeln

    Die möglichen Anzahlen für ‚Kopf' sind 0, 1, 2 und 3.

Ergebnis:

Der Wertebereich von KK ist also {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\}.

Beispiel 3

Aufgabe

Aus einer Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme den Wertebereich der Zufallsgröße RR: „Anzahl der gezogenen roten Kugeln".

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Die möglichen Ergebnisse sind Paare von Farben (r=rot, b=blau): (r, r), (r, b), (b, r), (b, b)

  2. Schritt 2
    Die Regel der Zufallsgröße verstehen

    Die Zufallsgröße RR zählt die Anzahl der roten Kugeln in einem Ergebnis.

  3. Schritt 3
    Die Regel auf jedes Ergebnis anwenden
    • (r, r) →\to 2 rote Kugeln
    • (r, b) →\to 1 rote Kugel
    • (b, r) →\to 1 rote Kugel
    • (b, b) →\to 0 rote Kugeln
  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Alle einzigartigen Werte sammeln

    Die möglichen Anzahlen für rote Kugeln sind 0, 1 und 2.

Ergebnis:

Der Wertebereich von RR ist also {0,1,2}\{0, 1, 2\}.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Glücksrad hat drei gleich große Sektoren mit den Zahlen 1, 2 und 5. Das Rad wird zweimal gedreht. Bestimme den Wertebereich der Zufallsgröße PP: „Das Produkt der beiden gedrehten Zahlen".

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Die möglichen Zahlenpaare sind: (1,1), (1,2), (1,5) (2,1), (2,2), (2,5) (5,1), (5,2), (5,5)

  2. Schritt 2
    Die Regel der Zufallsgröße verstehen

    Die Zufallsgröße PP ist das Produkt der beiden Zahlen.

  3. Schritt 3
    Die Regel auf jedes Ergebnis anwenden
    • 1⋅1=11 \cdot 1 = 1
    • 1⋅2=21 \cdot 2 = 2
    • 1⋅5=51 \cdot 5 = 5
    • 2⋅1=22 \cdot 1 = 2
    • 2⋅2=42 \cdot 2 = 4
    • 2⋅5=102 \cdot 5 = 10
    • 5⋅1=55 \cdot 1 = 5
    • 5⋅2=105 \cdot 2 = 10
    • 5⋅5=255 \cdot 5 = 25
  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Alle einzigartigen Werte sammeln

    Wir sammeln alle unterschiedlichen Produkte: 1, 2, 4, 5, 10, 25

Ergebnis:

Der Wertebereich von PP ist also {1,2,4,5,10,25}\{1, 2, 4, 5, 10, 25\}.

Beispiel 5

Aufgabe

Zwei Tetraeder-Würfel (vier Seiten, beschriftet mit 1, 2, 3, 4) werden geworfen. Bestimme den Wertebereich der Zufallsgröße DD: „Die positive Differenz der beiden Augenzahlen".

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Die Ergebnisse sind Zahlenpaare von (1,1) bis (4,4).

  2. Schritt 2
    Die Regel der Zufallsgröße verstehen

    Die Zufallsgröße DD ist die positive Differenz, also der Betrag der Differenz ∣a−b∣|a-b|.

  3. Schritt 3
    Die Regel auf jedes Ergebnis anwenden

    Wir suchen die kleinste und größte mögliche Differenz:

    • Kleinste Differenz: z.B. bei (1,1) →∣1−1∣=0\to |1-1| = 0
    • Größte Differenz: z.B. bei (4,1) →∣4−1∣=3\to |4-1| = 3

    Andere mögliche Differenzen sind:

    • z.B. bei (2,1) →∣2−1∣=1\to |2-1| = 1
    • z.B. bei (3,1) →∣3−1∣=2\to |3-1| = 2
  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Alle einzigartigen Werte sammeln

    Die möglichen positiven Differenzen sind 0, 1, 2 und 3.

Ergebnis:

Der Wertebereich von DD ist also {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\}.

Aufgabentyp 2: Bestimmen der Wahrscheinlichkeitsverteilung im Sachkontext

Nachdem wir wissen, welche Werte eine Zufallsgröße annehmen kann, wollen wir nun wissen: Wie wahrscheinlich ist jeder dieser Werte?

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße XX ist eine Tabelle oder ein Diagramm, das jedem möglichen Wert xix_i von XX seine genaue Wahrscheinlichkeit P(X=xi)P(X=x_i) zuordnet.

Eine wichtige Regel dabei ist: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung muss immer 1 (oder 100%) ergeben.

Beispiel-Tabelle für eine Zufallsgröße X:

Wert xi012Wahrscheinlichkeit P(X=xi)0,250,50,25\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Wert } x_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x_i) & 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}

Kontrolle: 0,25+0,5+0,25=10{,}25 + 0{,}5 + 0{,}25 = 1. Die Verteilung ist gültig.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Wertebereich der Zufallsgröße bestimmen: Finde zuerst alle möglichen Werte {x1,x2,...,xn}\{x_1, x_2, ..., x_n\}, die die Zufallsgröße annehmen kann. Das wird die erste Zeile deiner Tabelle.
  2. Alle Ergebnisse des Experiments auflisten: Schreibe alle möglichen Ergebnisse des zugrundeliegenden Zufallsexperiments auf (z.B. alle Würfelpaare, alle Münzwurfkombinationen).
  3. Wahrscheinlichkeit für jeden Wert berechnen: Gehe jeden Wert xix_i aus Schritt 1 durch. Finde alle Ergebnisse, die zu diesem Wert führen, zähle sie und berechne P(X=xi)=Anzahl gu¨nstiger ErgebnisseAnzahl aller mo¨glichen ErgebnisseP(X=x_i) = \frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}.
  4. Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen: Trage die Werte xix_i und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X=xi)P(X=x_i) in eine zweizeilige Tabelle ein.
  5. Probe durchführen: Addiere alle Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Zeile. Das Ergebnis muss 1 sein. Wenn nicht, hast du dich irgendwo verrechnet.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Das abgebildete Glücksrad mit drei gleich großen Sektoren (1, 2, 3) wird zweimal gedreht. Die Zufallsgröße NN beschreibt das Produkt der beiden gedrehten Zahlen. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von NN in Form einer Tabelle.

Glücksrad mit drei gleich großen Sektoren
Glücksrad mit drei gleich großen Sektoren
Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Wertebereich der Zufallsgröße bestimmen

    Die möglichen Produkte sind: 1⋅1=11\cdot1=1, 1⋅2=21\cdot2=2, 1⋅3=31\cdot3=3, 2⋅2=42\cdot2=4, 2⋅3=62\cdot3=6, 3⋅3=93\cdot3=9. Wir müssen auch die umgekehrten Reihenfolgen betrachten, die aber zu denselben Produkten führen (z.B. 2⋅1=22\cdot1=2). Der Wertebereich von NN ist also {1,2,3,4,6,9}\{1, 2, 3, 4, 6, 9\}.

  2. Schritt 2
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Es gibt 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 mögliche Ergebnispaare, die alle gleich wahrscheinlich sind (Wahrscheinlichkeit je 19\frac{1}{9}): (1,1), (1,2), (1,3) (2,1), (2,2), (2,3) (3,1), (3,2), (3,3)

  3. Schritt 3
    Wahrscheinlichkeit für jeden Wert berechnen
    • Für N=1: Nur das Ergebnis (1,1) führt zu 1. →P(N=1)=19\to P(N=1) = \frac{1}{9}
    • Für N=2: Die Ergebnisse (1,2) und (2,1) führen zu 2. →P(N=2)=29\to P(N=2) = \frac{2}{9}
    • Für N=3: Die Ergebnisse (1,3) und (3,1) führen zu 3. →P(N=3)=29\to P(N=3) = \frac{2}{9}
    • Für N=4: Nur das Ergebnis (2,2) führt zu 4. →P(N=4)=19\to P(N=4) = \frac{1}{9}
    • Für N=6: Die Ergebnisse (2,3) und (3,2) führen zu 6. →P(N=6)=29\to P(N=6) = \frac{2}{9}
    • Für N=9: Nur das Ergebnis (3,3) führt zu 9. →P(N=9)=19\to P(N=9) = \frac{1}{9}
  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen

    Wert ni123469P(N=ni)192929192919\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Wert } n_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 9 \\ \hline P(N=n_i) & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

19+29+29+19+29+19=99=1\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1. Die Berechnung stimmt.

Beispiel 2

Aufgabe

Zwei faire Würfel werden geworfen. Die Zufallsgröße SS ist die Summe der Augenzahlen. Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von SS.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Wertebereich der Zufallsgröße bestimmen

    Wie im ersten Aufgabentyp gesehen, ist der Wertebereich von SS die Menge {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}.

  2. Schritt 2
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Es gibt 6⋅6=366 \cdot 6 = 36 mögliche Würfelpaare, von (1,1) bis (6,6).

  3. Schritt 3
    Wahrscheinlichkeit für jeden Wert berechnen
    • Für S=2: Nur (1,1) →\to 1 Fall →P(S=2)=136\to P(S=2) = \frac{1}{36}
    • Für S=3: (1,2), (2,1) →\to 2 Fälle →P(S=3)=236\to P(S=3) = \frac{2}{36}
    • Für S=4: (1,3), (2,2), (3,1) →\to 3 Fälle →P(S=4)=336\to P(S=4) = \frac{3}{36}
    • Für S=5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) →\to 4 Fälle →P(S=5)=436\to P(S=5) = \frac{4}{36}
    • Für S=6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) →\to 5 Fälle →P(S=6)=536\to P(S=6) = \frac{5}{36}
    • Für S=7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) →\to 6 Fälle →P(S=7)=636\to P(S=7) = \frac{6}{36}
    • Für S=8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) →\to 5 Fälle →P(S=8)=536\to P(S=8) = \frac{5}{36}
    • Für S=9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) →\to 4 Fälle →P(S=9)=436\to P(S=9) = \frac{4}{36}
    • Für S=10: (4,6), (5,5), (6,4) →\to 3 Fälle →P(S=10)=336\to P(S=10) = \frac{3}{36}
    • Für S=11: (5,6), (6,5) →\to 2 Fälle →P(S=11)=236\to P(S=11) = \frac{2}{36}
    • Für S=12: Nur (6,6) →\to 1 Fall →P(S=12)=136\to P(S=12) = \frac{1}{36}
  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen

    si23456789101112P(S=si)136236336436536636536436336236136\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline s_i & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline P(S=s_i) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

Die Summe der Zähler ist 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=361+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist 3636=1\frac{36}{36} = 1.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Die Zufallsgröße KK zählt die Anzahl der Köpfe. Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von KK.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Wertebereich der Zufallsgröße bestimmen

    Der Wertebereich ist {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\}.

  2. Schritt 2
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Es gibt 23=82^3 = 8 mögliche Ergebnisse: KKK, KKZ, KZK, ZKK, KZZ, ZKZ, ZZK, ZZZ.

  3. Schritt 3
    Wahrscheinlichkeit für jeden Wert berechnen
    • Für K=0: Nur ZZZ →\to 1 Fall →P(K=0)=18\to P(K=0) = \frac{1}{8}
    • Für K=1: KZZ, ZKZ, ZZK →\to 3 Fälle →P(K=1)=38\to P(K=1) = \frac{3}{8}
    • Für K=2: KKZ, KZK, ZKK →\to 3 Fälle →P(K=2)=38\to P(K=2) = \frac{3}{8}
    • Für K=3: Nur KKK →\to 1 Fall →P(K=3)=18\to P(K=3) = \frac{1}{8}
  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen

    Wert ki0123P(K=ki)18383818\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Wert } k_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(K=k_i) & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

18+38+38+18=88=1\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1. Die Berechnung stimmt.

Beispiel 4

Aufgabe

In einem Hut sind 5 Karten, nummeriert von 1 bis 5. Es werden zwei Karten mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße XX sei die größere der beiden gezogenen Zahlen (sind die Zahlen gleich, ist es diese Zahl). Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XX.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Wertebereich der Zufallsgröße bestimmen

    Die größte gezogene Zahl kann jede der Zahlen auf den Karten sein. Der Wertebereich ist also {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}.

  2. Schritt 2
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Es gibt 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 mögliche Zahlenpaare, da mit Zurücklegen gezogen wird.

  3. Schritt 3
    Wahrscheinlichkeit für jeden Wert berechnen
    • Für X=1: Nur (1,1) →\to 1 Fall →P(X=1)=125\to P(X=1) = \frac{1}{25}
    • Für X=2: (1,2), (2,1), (2,2) →\to 3 Fälle →P(X=2)=325\to P(X=2) = \frac{3}{25}
    • Für X=3: (1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) →\to 5 Fälle →P(X=3)=525\to P(X=3) = \frac{5}{25}
    • Für X=4: (1,4), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) →\to 7 Fälle →P(X=4)=725\to P(X=4) = \frac{7}{25}
    • Für X=5: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5) →\to 9 Fälle →P(X=5)=925\to P(X=5) = \frac{9}{25}
  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen

    Wert xi12345P(X=xi)125325525725925\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Wert } x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{1}{25} & \frac{3}{25} & \frac{5}{25} & \frac{7}{25} & \frac{9}{25} \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

1+3+5+7+925=2525=1\frac{1+3+5+7+9}{25} = \frac{25}{25} = 1. Die Berechnung stimmt.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Geschäft hat 4 Überraschungstüten. 1 Tüte enthält einen Hauptpreis (H), 3 Tüten enthalten eine Niete (N). Du kaufst zwei Tüten. Die Zufallsgröße GG beschreibt die Anzahl der Hauptpreise. Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von GG.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Wertebereich der Zufallsgröße bestimmen

    Du kannst entweder keinen Hauptpreis (0) oder einen Hauptpreis (1) bekommen. Es ist unmöglich, zwei Hauptpreise zu ziehen, da es nur einen gibt. Der Wertebereich ist also {0,1}\{0, 1\}.

  2. Schritt 2
    Alle Ergebnisse des Experiments auflisten

    Dies ist ein Ziehen ohne Zurücklegen. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, 2 aus 4 Tüten zu wählen, ist (42)=4⋅32=6\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6.

  3. Schritt 3
    Wahrscheinlichkeit für jeden Wert berechnen

    • Für G=1 (ein Hauptpreis): Du musst die eine Hauptpreis-Tüte und eine der drei Nieten-Tüten ziehen. Dafür gibt es 1⋅3=31 \cdot 3 = 3 Möglichkeiten. P(G=1)=gu¨nstige Fa¨llealle Fa¨lle=36=12P(G=1) = \frac{\text{günstige Fälle}}{\text{alle Fälle}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

    • Für G=0 (kein Hauptpreis): Du musst zwei der drei Nieten-Tüten ziehen. Dafür gibt es (32)=3\binom{3}{2} = 3 Möglichkeiten. P(G=0)=gu¨nstige Fa¨llealle Fa¨lle=36=12P(G=0) = \frac{\text{günstige Fälle}}{\text{alle Fälle}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

  4. Schritt 4 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen

    Wert gi01P(G=gi)1212\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Wert } g_i & 0 & 1 \\ \hline P(G=g_i) & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

12+12=1\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. Die Berechnung stimmt.

Aufgabentyp 3: Bestimmen der Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einem Baumdiagramm

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten, besonders wenn sie ohne Zurücklegen stattfinden, ist ein Baumdiagramm das beste Werkzeug. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich nämlich nach jedem Zug.

So gehst du vor:

  1. Zeichne das Baumdiagramm: Jede Stufe des Experiments ist eine Ebene im Baum. Jeder Ast stellt ein mögliches Ergebnis dar und wird mit seiner Wahrscheinlichkeit beschriftet.
  2. Identifiziere die relevanten Pfade: Finde alle Pfade (Wege von der Wurzel bis zum Ende), die zu einem bestimmten Wert der Zufallsgröße führen.
  3. Wende die Pfadregeln an:
    • 1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste.
    • 2. Pfadregel (Summenregel): Wenn mehrere Pfade zum selben Wert der Zufallsgröße führen, addierst du ihre einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Wert der Zufallsgröße.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Werte der Zufallsgröße und Experiment verstehen: Lies die Aufgabe genau. Was beschreibt die Zufallsgröße ZZ? Wie viele Stufen hat das Experiment? Wird mit oder ohne Zurücklegen gezogen?
  2. Baumdiagramm erstellen: Zeichne das Baumdiagramm für das Experiment. Beschrifte jeden Ast mit der korrekten Wahrscheinlichkeit. Achte darauf, ob sich die Wahrscheinlichkeiten in den nächsten Stufen ändern (ohne Zurücklegen).
  3. Relevante Pfade für jeden Wert von Z finden: Gehe jeden möglichen Wert ziz_i der Zufallsgröße durch. Markiere alle Pfade im Baumdiagramm, die zu diesem Wert führen.
  4. Wahrscheinlichkeiten berechnen: Berechne die Wahrscheinlichkeit für jeden markierten Pfad, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst (Produktregel). Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zum selben Wert ziz_i gehören (Summenregel). Das Ergebnis ist P(Z=zi)P(Z=z_i).
  5. Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen und prüfen: Trage die Werte ziz_i und die berechneten Wahrscheinlichkeiten P(Z=zi)P(Z=z_i) in eine Tabelle ein. Prüfe am Ende, ob die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Lostopf enthält 3 Lose, nummeriert von 1 bis 3. Es wird nacheinander jeweils ein Los blind gezogen und nicht wieder zurückgelegt. Die Zufallsgröße ZZ beschreibt die Anzahl der Versuche, bis das Los mit der Nummer 3 gezogen wird. Erstelle ein Baumdiagramm und ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ZZ.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Werte der Zufallsgröße und Experiment verstehen

    Die Zufallsgröße ZZ ist die Anzahl der Züge, bis die ‚3' kommt. Da es 3 Lose gibt, kann die ‚3' im 1., 2. oder 3. Zug kommen. Der Wertebereich von ZZ ist also {1,2,3}\{1, 2, 3\}. Es wird ohne Zurücklegen gezogen.

  2. Schritt 2
    Baumdiagramm erstellen

    Wir zeichnen das Baumdiagramm. Wir können die Ereignisse ‚3' und ‚nicht 3' (N3) betrachten.

      1. Zug: P(3)=13P(3) = \frac{1}{3}, P(N3)=23P(N3) = \frac{2}{3}
      1. Zug (nach N3): Es sind noch 2 Lose übrig, eines davon ist die ‚3'. P(3)=12P(3) = \frac{1}{2}, P(N3)=12P(N3) = \frac{1}{2}
      1. Zug (nach N3, N3): Es ist nur noch die ‚3' übrig. P(3)=1P(3) = 1
    Baumdiagramm Lostopf mit drei Losen
    Baumdiagramm Lostopf mit drei Losen
  3. Schritt 3 & 4
    Relevante Pfade finden und Wahrscheinlichkeiten berechnen

    • Für Z=1: Die ‚3' wird im ersten Zug gezogen. Es gibt nur einen Pfad: (3). P(Z=1)=13P(Z=1) = \frac{1}{3}

    • Für Z=2: Die ‚3' wird im zweiten Zug gezogen. Der Pfad ist (N3, 3). P(Z=2)=P(N3)⋅P(3 nach N3)=23⋅12=26=13P(Z=2) = P(N3) \cdot P(3 \text{ nach } N3) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

    • Für Z=3: Die ‚3' wird im dritten Zug gezogen. Der Pfad ist (N3, N3, 3). P(Z=3)=P(N3)⋅P(N3 nach N3)⋅P(3 danach)=23⋅12⋅1=26=13P(Z=3) = P(N3) \cdot P(N3 \text{ nach } N3) \cdot P(3 \text{ danach}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

  4. Schritt 5 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen und prüfen

    Wert zi123P(Z=zi)131313\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Wert } z_i & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(Z=z_i) & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

13+13+13=33=1\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1. Die Berechnung stimmt.

Beispiel 2

Aufgabe

In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße RR ist die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von RR mit einem Baumdiagramm.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Werte der Zufallsgröße und Experiment verstehen

    Die Zufallsgröße RR zählt die roten Kugeln. Man kann 0, 1 oder 2 rote Kugeln ziehen. Wertebereich: {0,1,2}\{0, 1, 2\}.

  2. Schritt 2
    Baumdiagramm erstellen
      1. Zug: P(rot)=35P(\text{rot}) = \frac{3}{5}, P(blau)=25P(\text{blau}) = \frac{2}{5}
      1. Zug (nach rot): Noch 4 Kugeln (2r, 2b). P(rot)=24P(\text{rot}) = \frac{2}{4}, P(blau)=24P(\text{blau}) = \frac{2}{4}
      1. Zug (nach blau): Noch 4 Kugeln (3r, 1b). P(rot)=34P(\text{rot}) = \frac{3}{4}, P(blau)=14P(\text{blau}) = \frac{1}{4}
    Baumdiagramm Urne rote und blaue Kugeln
    Baumdiagramm Urne rote und blaue Kugeln
  3. Schritt 3 & 4
    Relevante Pfade finden und Wahrscheinlichkeiten berechnen

    • Für R=2: Pfad (rot, rot). P(R=2)=35⋅24=620=310P(R=2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

    • Für R=1: Pfade (rot, blau) und (blau, rot). P(rot, blau)=35⋅24=620P(\text{rot, blau}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} P(blau, rot)=25⋅34=620P(\text{blau, rot}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} P(R=1)=620+620=1220=35P(R=1) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}

    • Für R=0: Pfad (blau, blau). P(R=0)=25⋅14=220=110P(R=0) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}

  4. Schritt 5 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen und prüfen

    Wert ri012P(R=ri)11035310\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Wert } r_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(R=r_i) & \frac{1}{10} & \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

110+35+310=110+610+310=1010=1\frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10} = \frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 70% bei Freiwürfen. Er wirft zweimal. Die Zufallsgröße XX zählt die Anzahl der Treffer. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XX.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Werte der Zufallsgröße und Experiment verstehen

    Er kann 0, 1 oder 2 Treffer erzielen. Wertebereich: {0,1,2}\{0, 1, 2\}. Die Wahrscheinlichkeit ist bei jedem Wurf gleich (mit Zurücklegen).

  2. Schritt 2
    Baumdiagramm erstellen
      1. Wurf: P(Treffer)=0,7P(\text{Treffer}) = 0{,}7, P(Fehlwurf)=0,3P(\text{Fehlwurf}) = 0{,}3
      1. Wurf: Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
    Baumdiagramm Basketballspieler Freiwürfe
    Baumdiagramm Basketballspieler Freiwürfe
  3. Schritt 3 & 4
    Relevante Pfade finden und Wahrscheinlichkeiten berechnen

    • Für X=2: Pfad (Treffer, Treffer). P(X=2)=0,7⋅0,7=0,49P(X=2) = 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49

    • Für X=1: Pfade (Treffer, Fehlwurf) und (Fehlwurf, Treffer). P(T,F)=0,7⋅0,3=0,21P(T, F) = 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}21 P(F,T)=0,3⋅0,7=0,21P(F, T) = 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21 P(X=1)=0,21+0,21=0,42P(X=1) = 0{,}21 + 0{,}21 = 0{,}42

    • Für X=0: Pfad (Fehlwurf, Fehlwurf). P(X=0)=0,3⋅0,3=0,09P(X=0) = 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09

  4. Schritt 5 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen und prüfen

    Wert xi012P(X=xi)0,090,420,49\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Wert } x_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}09 & 0{,}42 & 0{,}49 \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

0,09+0,42+0,49=1,000{,}09 + 0{,}42 + 0{,}49 = 1{,}00.

Beispiel 4

Aufgabe

Aus dem Wort ‚ANNA' wird zweimal nacheinander ein Buchstabe zufällig gezogen, ohne ihn zurückzulegen. Die Zufallsgröße VV zählt die Anzahl der gezogenen Vokale (‚A'). Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von VV.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Werte der Zufallsgröße und Experiment verstehen

    Das Wort hat 2 ‚A' (Vokale) und 2 ‚N' (Konsonanten). Man kann 0, 1 oder 2 Vokale ziehen. Wertebereich: {0,1,2}\{0, 1, 2\}.

  2. Schritt 2
    Baumdiagramm erstellen
      1. Zug: P(A)=24P(A) = \frac{2}{4}, P(N)=24P(N) = \frac{2}{4}
      1. Zug (nach A): Noch 3 Buchstaben (1 A, 2 N). P(A)=13P(A) = \frac{1}{3}, P(N)=23P(N) = \frac{2}{3}
      1. Zug (nach N): Noch 3 Buchstaben (2 A, 1 N). P(A)=23P(A) = \frac{2}{3}, P(N)=13P(N) = \frac{1}{3}
    Baumdiagramm Buchstaben ziehen aus ANNA
    Baumdiagramm Buchstaben ziehen aus ANNA
  3. Schritt 3 & 4
    Relevante Pfade finden und Wahrscheinlichkeiten berechnen

    • Für V=2: Pfad (A, A). P(V=2)=24⋅13=212=16P(V=2) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

    • Für V=1: Pfade (A, N) und (N, A). P(A,N)=24⋅23=412P(A, N) = \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{12} P(N,A)=24⋅23=412P(N, A) = \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{12} P(V=1)=412+412=812=23P(V=1) = \frac{4}{12} + \frac{4}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

    • Für V=0: Pfad (N, N). P(V=0)=24⋅13=212=16P(V=0) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

  4. Schritt 5 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen und prüfen

    Wert vi012P(V=vi)162316\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Wert } v_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(V=v_i) & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

16+46+16=66=1\frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Test besteht aus 2 Multiple-Choice-Fragen mit je 3 Antwortmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist. Ein Schüler rät bei beiden Fragen. Die Zufallsgröße XX gibt die Anzahl der richtigen Antworten an. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XX.

Fortschritt
4 / 4
  1. Schritt 1
    Werte der Zufallsgröße und Experiment verstehen

    Der Schüler kann 0, 1 oder 2 Fragen richtig beantworten. Wertebereich: {0,1,2}\{0, 1, 2\}.

  2. Schritt 2
    Baumdiagramm erstellen

    Bei jeder Frage ist die Wahrscheinlichkeit für ‚richtig' (R) 13\frac{1}{3} und für ‚falsch' (F) 23\frac{2}{3}.

    Baumdiagramm Multiple-Choice zwei Fragen
    Baumdiagramm Multiple-Choice zwei Fragen
  3. Schritt 3 & 4
    Relevante Pfade finden und Wahrscheinlichkeiten berechnen

    • Für X=2: Pfad (R, R). P(X=2)=13⋅13=19P(X=2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

    • Für X=1: Pfade (R, F) und (F, R). P(R,F)=13⋅23=29P(R, F) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} P(F,R)=23⋅13=29P(F, R) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} P(X=1)=29+29=49P(X=1) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}

    • Für X=0: Pfad (F, F). P(X=0)=23⋅23=49P(X=0) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

  4. Schritt 5 · Ergebnis
    Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen und prüfen

    Wert xi012P(X=xi)494919\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Wert } x_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X=x_i) & \frac{4}{9} & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} \\ \hline \end{array}

Ergebnis:

49+49+19=99=1\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1.

Aufgabentyp 4: Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von einzelnen Ergebnissen

Manchmal ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht vollständig gegeben. Es könnte zum Beispiel eine unbekannte Wahrscheinlichkeit pp enthalten sein.

Hier kommt die wichtigste Eigenschaft einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ins Spiel:

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist immer 1.

∑P(X=xi)=P(X=x1)+P(X=x2)+...+P(X=xn)=1\sum P(X=x_i) = P(X=x_1) + P(X=x_2) + ... + P(X=x_n) = 1

Mit dieser Regel kannst du eine Gleichung aufstellen und die fehlende Wahrscheinlichkeit berechnen. Das ist ein sehr häufiger Aufgabentyp, der prüft, ob du diese grundlegende Eigenschaft verstanden hast.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Alle Wahrscheinlichkeiten identifizieren: Lies alle gegebenen Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle oder dem Diagramm ab. Schreibe sie auf, auch die, die von einer Variablen wie pp abhängen.
  2. Die Summen-Gleichung aufstellen: Setze die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1. Du erhältst eine Gleichung. Beispiel: P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
  3. Die Gleichung lösen: Setze die Terme aus Schritt 1 in die Gleichung ein und löse sie nach der unbekannten Variablen (z.B. pp) auf. Dies ist meist eine einfache lineare Gleichung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße AA ist durch das abgebildete Säulendiagramm gegeben. Die möglichen Werte für AA sind 0, 3 und 6. Die Wahrscheinlichkeiten sind P(A=0)=pP(A=0)=p, P(A=3)=3pP(A=3)=3p und P(A=6)=2pP(A=6)=2p. Zeigen Sie, dass pp den Wert 16\frac{1}{6} hat.

Säulendiagramm Wahrscheinlichkeitsverteilung mit p
Säulendiagramm Wahrscheinlichkeitsverteilung mit p
Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Alle Wahrscheinlichkeiten identifizieren

    Aus dem Diagramm lesen wir die Wahrscheinlichkeiten für die drei möglichen Werte von AA ab:

    • P(A=0)=pP(A=0) = p
    • P(A=3)=3pP(A=3) = 3p
    • P(A=6)=2pP(A=6) = 2p
  2. Schritt 2
    Die Summen-Gleichung aufstellen

    Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 sein. Also gilt: P(A=0)+P(A=3)+P(A=6)=1P(A=0) + P(A=3) + P(A=6) = 1

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Die Gleichung lösen

    Wir setzen die Terme aus Schritt 1 in die Gleichung ein: p+3p+2p=1p + 3p + 2p = 1

    Jetzt fassen wir die Terme mit pp zusammen: 6p=16p = 1

    Wir teilen durch 6, um pp zu isolieren: p=16p = \frac{1}{6}

Ergebnis:

Damit ist gezeigt, dass pp den Wert 16\frac{1}{6} hat.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Zufallsgröße XX kann die Werte 1, 2 und 3 annehmen. Es gilt: P(X=1)=0,4P(X=1) = 0{,}4 und P(X=2)=0,25P(X=2) = 0{,}25. Bestimme P(X=3)P(X=3).

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Alle Wahrscheinlichkeiten identifizieren
    • P(X=1)=0,4P(X=1) = 0{,}4
    • P(X=2)=0,25P(X=2) = 0{,}25
    • P(X=3)P(X=3) ist unbekannt, wir nennen es pp.
  2. Schritt 2
    Die Summen-Gleichung aufstellen

    P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Die Gleichung lösen

    0,4+0,25+p=10{,}4 + 0{,}25 + p = 1

    0,65+p=10{,}65 + p = 1

    Wir subtrahieren 0,65 auf beiden Seiten: p=1−0,65p = 1 - 0{,}65

    p=0,35p = 0{,}35

Ergebnis:

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist P(X=3)=0,35P(X=3) = 0{,}35.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße YY ist in der Tabelle gegeben. Bestimme den Wert von cc.

Wert yi10203040P(Y=yi)0,1c0,32c\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Wert } y_i & 10 & 20 & 30 & 40 \\ \hline P(Y=y_i) & 0{,}1 & c & 0{,}3 & 2c \\ \hline \end{array}

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Alle Wahrscheinlichkeiten identifizieren
    • P(Y=10)=0,1P(Y=10) = 0{,}1
    • P(Y=20)=cP(Y=20) = c
    • P(Y=30)=0,3P(Y=30) = 0{,}3
    • P(Y=40)=2cP(Y=40) = 2c
  2. Schritt 2
    Die Summen-Gleichung aufstellen

    P(Y=10)+P(Y=20)+P(Y=30)+P(Y=40)=1P(Y=10) + P(Y=20) + P(Y=30) + P(Y=40) = 1

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Die Gleichung lösen

    0,1+c+0,3+2c=10{,}1 + c + 0{,}3 + 2c = 1

    Wir fassen die Zahlen und die Terme mit cc zusammen: 0,4+3c=10{,}4 + 3c = 1

    Wir subtrahieren 0,4: 3c=0,63c = 0{,}6

    Wir teilen durch 3: c=0,2c = 0{,}2

Ergebnis:

Der Wert von cc ist 0,2.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Glücksrad hat vier Sektoren. Die Zufallsgröße ZZ beschreibt die Zahl, die gedreht wird. Es gilt: P(Z=1)=14P(Z=1) = \frac{1}{4}, P(Z=2)=18P(Z=2) = \frac{1}{8}, P(Z=3)=P(Z=4)P(Z=3) = P(Z=4). Bestimme P(Z=3)P(Z=3).

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Alle Wahrscheinlichkeiten identifizieren
    • P(Z=1)=14P(Z=1) = \frac{1}{4}
    • P(Z=2)=18P(Z=2) = \frac{1}{8}
    • P(Z=3)=pP(Z=3) = p
    • P(Z=4)=pP(Z=4) = p (da die Wahrscheinlichkeiten gleich sind)
  2. Schritt 2
    Die Summen-Gleichung aufstellen

    P(Z=1)+P(Z=2)+P(Z=3)+P(Z=4)=1P(Z=1) + P(Z=2) + P(Z=3) + P(Z=4) = 1

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Die Gleichung lösen

    14+18+p+p=1\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + p + p = 1

    Wir bringen die Brüche auf den gleichen Nenner: 28+18+2p=1\frac{2}{8} + \frac{1}{8} + 2p = 1

    38+2p=1\frac{3}{8} + 2p = 1

    Wir subtrahieren 38\frac{3}{8}: 2p=1−382p = 1 - \frac{3}{8}

    2p=88−382p = \frac{8}{8} - \frac{3}{8}

    2p=582p = \frac{5}{8}

    Wir teilen durch 2 (multiplizieren mit 12\frac{1}{2}): p=516p = \frac{5}{16}

Ergebnis:

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist P(Z=3)=516P(Z=3) = \frac{5}{16}.

Beispiel 5

Aufgabe

Bei einem Spiel kann man 0, 1 oder 5 Punkte erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, 0 Punkte zu erhalten, ist doppelt so hoch wie die, 1 Punkt zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, 5 Punkte zu erhalten, ist 0,5. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, 1 Punkt zu erhalten.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Alle Wahrscheinlichkeiten identifizieren

    Sei p=P(1 Punkt)p = P(\text{1 Punkt}).

    • P(1 Punkt)=pP(\text{1 Punkt}) = p
    • P(0 Punkte)=2pP(\text{0 Punkte}) = 2p (doppelt so hoch)
    • P(5 Punkte)=0,5P(\text{5 Punkte}) = 0{,}5
  2. Schritt 2
    Die Summen-Gleichung aufstellen

    P(0 Punkte)+P(1 Punkt)+P(5 Punkte)=1P(\text{0 Punkte}) + P(\text{1 Punkt}) + P(\text{5 Punkte}) = 1

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Die Gleichung lösen

    2p+p+0,5=12p + p + 0{,}5 = 1

    3p+0,5=13p + 0{,}5 = 1

    Wir subtrahieren 0,5: 3p=0,53p = 0{,}5

    Wir teilen durch 3: p=0,53=1/23=16p = \frac{0{,}5}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, 1 Punkt zu erhalten, ist 16\frac{1}{6}.

Wichtige Erkenntnisse

  • Eine Zufallsgröße ordnet den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen zu.
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsgröße jeden ihrer möglichen Werte annimmt.
  • Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist immer 1.
  • Bei mehrstufigen Experimenten (besonders ohne Zurücklegen) ist ein Baumdiagramm dein bester Freund, um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Häufige Fragen

Was sind diskrete Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

Eine diskrete Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet – zum Beispiel die Augensumme beim Würfeln. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt dann, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße jeden ihrer möglichen Werte annimmt. Das Ergebnis ist meist eine Tabelle mit Werten und zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Die wichtigste Regel: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist immer genau 1.

Wie bestimmst du den Wertebereich einer Zufallsgröße?

Du gehst in vier Schritten vor: Zuerst listest du alle Ergebnisse des Zufallsexperiments auf. Dann verstehst du die Regel der Zufallsgröße (Summe, Differenz, Produkt usw.). Danach wendest du die Regel auf jedes Ergebnis an und berechnest den zugehörigen Zahlenwert. Abschließend sammelst du alle einzigartigen Werte – das ist dein Wertebereich. Mehrfach auftretende Werte werden nur einmal notiert.

Wie erstellst du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Schritt für Schritt?

Bestimme zuerst den Wertebereich der Zufallsgröße. Liste dann alle möglichen Ergebnisse des Experiments auf. Zähle für jeden Wert, wie viele Ergebnisse dazu führen, und berechne die Wahrscheinlichkeit als Quotient aus günstigen und allen Ergebnissen. Trage alles in eine zweizeilige Tabelle ein. Zum Schluss addierst du alle Wahrscheinlichkeiten – die Summe muss 1 ergeben, sonst liegt ein Rechenfehler vor.

Wann brauchst du ein Baumdiagramm für die Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Ein Baumdiagramm brauchst du vor allem bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen, weil sich die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Zug ändern. Du beschriftest jeden Ast mit der richtigen Wahrscheinlichkeit, multiplizierst die Werte entlang eines Pfades (Produktregel) und addierst die Pfadwahrscheinlichkeiten, die zum gleichen Wert der Zufallsgröße führen (Summenregel).

Wie berechnest du eine fehlende Wahrscheinlichkeit in einer Verteilungstabelle?

Nutze die Grundregel: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist immer 1. Lies alle bekannten Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle ab – auch solche, die von einer Variablen wie p abhängen. Stelle dann die Gleichung auf, z. B. p + 3p + 2p = 1, und löse sie nach der unbekannten Variablen auf. So findest du die fehlende Wahrscheinlichkeit mit einer einfachen linearen Gleichung.

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