Was sind Intervalle bei der Normalverteilung?

Bei der Normalverteilung gibt ein Intervall den Wertebereich an, in dem ein bestimmter Anteil aller Werte liegt. Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Glockenkurve über diesem Intervall. Je nach Aufgabe suchst du entweder eine einseitige Grenze c mit P(X < c) = p , ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert oder ein gespiegeltes Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Wie verwendest du den invNorm-Befehl, um eine Intervallgrenze zu berechnen?

Der invNorm -Befehl ist die Umkehrung von normCdf: Er nimmt eine Wahrscheinlichkeit (Fläche links von der gesuchten Grenze) und gibt den zugehörigen x-Wert zurück. Die Syntax lautet invNorm(p, µ, σ) . Für P(X < c) = 0,25 mit µ = 200 und σ = 5 gibst du invNorm(0,25, 200, 5) ein und erhältst c ≈ 196,63 .

Wie bestimmst du ein symmetrisches Intervall bei der Normalverteilung?

Für ein symmetrisches Intervall [µ − c, µ + c] mit zentraler Wahrscheinlichkeit p berechnest du zunächst die linke Randwahrscheinlichkeit: p_links = (1 − p) / 2 . Dann findest du die untere Grenze mit x_unten = invNorm(p_links, µ, σ) . Der gesuchte Abstand ergibt sich als c = µ − x_unten .

Was ist ein gespiegeltes Intervall bei der Normalverteilung?

Ein gespiegeltes Intervall entsteht, wenn du die Abstände der Grenzen zum Erwartungswert µ vertauschst. Hat das ursprüngliche Intervall die Grenzen a = µ − d₁ und b = µ + d₂ , dann ist das gespiegelte Intervall [µ − d₂, µ + d₁] . Dank der Symmetrie der Glockenkurve haben beide Intervalle exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Wie löst du komplexe Intervallbedingungen mit dem solve-Befehl?

Bei komplexen Bedingungen führst du eine Hilfsvariable x ein, die z. B. einen Abstand beschreibt, und drückst beide Grenzen a und b damit aus. Dann stellst du die Gleichung normCdf(a(x), b(x), µ, σ) = p auf und löst sie mit dem solve -Befehl des Taschenrechners: solve(normCdf(...) = p, x) . Die Lösung für x setzt du abschließend in die Terme für a und b ein.

Intervalle Normalverteilung berechnen

Q: Wie verwendest du den invNorm-Befehl, um eine Intervallgrenze zu berechnen?

Der invNorm -Befehl ist die Umkehrung von normCdf: Er nimmt eine Wahrscheinlichkeit (Fläche links von der gesuchten Grenze) und gibt den zugehörigen x-Wert zurück. Die Syntax lautet invNorm(p, µ, σ) . Für P(X < c) = 0,25 mit µ = 200 und σ = 5 gibst du invNorm(0,25, 200, 5) ein und erhältst c ≈ 196,63 .

Q: Wie bestimmst du ein symmetrisches Intervall bei der Normalverteilung?

Für ein symmetrisches Intervall [µ − c, µ + c] mit zentraler Wahrscheinlichkeit p berechnest du zunächst die linke Randwahrscheinlichkeit: p_links = (1 − p) / 2 . Dann findest du die untere Grenze mit x_unten = invNorm(p_links, µ, σ) . Der gesuchte Abstand ergibt sich als c = µ − x_unten .

Q: Was ist ein gespiegeltes Intervall bei der Normalverteilung?

Ein gespiegeltes Intervall entsteht, wenn du die Abstände der Grenzen zum Erwartungswert µ vertauschst. Hat das ursprüngliche Intervall die Grenzen a = µ − d₁ und b = µ + d₂ , dann ist das gespiegelte Intervall [µ − d₂, µ + d₁] . Dank der Symmetrie der Glockenkurve haben beide Intervalle exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Q: Wie löst du komplexe Intervallbedingungen mit dem solve-Befehl?

Bei komplexen Bedingungen führst du eine Hilfsvariable x ein, die z. B. einen Abstand beschreibt, und drückst beide Grenzen a und b damit aus. Dann stellst du die Gleichung normCdf(a(x), b(x), µ, σ) = p auf und löst sie mit dem solve -Befehl des Taschenrechners: solve(normCdf(...) = p, x) . Die Lösung für x setzt du abschließend in die Terme für a und b ein.

Intervalle für eine Normalverteilung zu finden ist eine der praxisrelevantesten Aufgaben in der Stochastik. Stell dir vor, du arbeitest in der Qualitätskontrolle für ein Hightech-Unternehmen, das Smartphone-Akkus herstellt. Die angegebene Akkulaufzeit beträgt 20 Stunden, aber natürlich gibt es winzige Abweichungen. Wenn die Abweichung zu groß ist, sind die Kunden unzufrieden. Wenn die Akkus zu gut sind, kostet das die Firma unnötig Geld. Deine Aufgabe: Finde den genauen Bereich (das Intervall), in dem 95 % aller Akkus liegen. Mit diesem Wissen kann das Unternehmen garantieren: „95 % unserer Akkus halten zwischen X und Y Stunden." Das ist keine Schätzung, sondern knallharte Mathematik. Die Normalverteilung gibt dir das Werkzeug, um solche kritischen Entscheidungen präzise und sicher zu treffen.

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du diese Konzepte kennen:

Normalverteilung (Glockenkurve): Eine symmetrische Verteilung, die viele natürliche Phänomene beschreibt. Sie wird durch den Erwartungswert (Mitte) und die Standardabweichung (Breite) bestimmt.
- Beispiel: Die Körpergrößen von erwachsenen Männern sind ungefähr normalverteilt mit einem Mittelwert von 180 cm.

Wahrscheinlichkeit als Fläche: Bei der Normalverteilung entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in einem bestimmten Intervall liegt, der Fläche unter der Kurve über diesem Intervall.
- Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person zwischen 175 cm und 185 cm groß ist, ist die gefärbte Fläche unter der Glockenkurve zwischen diesen beiden Werten.

Taschenrechner-Befehl normCdf: Berechnet die Wahrscheinlichkeit (Fläche) für ein gegebenes Intervall.
- Syntax: $\text{normCdf}(\text{untere Grenze, obere Grenze, } \mu, \sigma)$
- Beispiel: normCdf(175, 185, 180, 7) berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße mit µ = 180 und $\sigma = 7$ zwischen 175 und 185 liegt.

Aufgabentyp 1: Einseitiges Intervall aus Wahrscheinlichkeit bestimmen

Manchmal kennen wir die Wahrscheinlichkeit und wollen die dazugehörige Grenze finden. Wir fragen also: „Welchen Wert $c$ unterschreiten z. B. genau 25 % aller Werte?" Wir suchen also $c$ für eine gegebene Wahrscheinlichkeit $P(X < c) = p$ .

Hierfür benutzen wir die Umkehrung von normCdf, den Befehl invNorm (Inverse Normalverteilung).

normCdf: Nimmt Grenzen (x-Werte) $\to$ gibt Wahrscheinlichkeit (Fläche)
invNorm: Nimmt Wahrscheinlichkeit (Fläche) $\to$ gibt Grenze (x-Wert)

Wichtig: Der invNorm-Befehl erwartet immer die gesamte Fläche links von der gesuchten Grenze $c$ .

invNorm Linksfläche zur gesuchten Grenze c

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Werte identifizieren: Lies den Erwartungswert µ, die Standardabweichung σ und die gegebene Wahrscheinlichkeit p aus der Aufgabenstellung ab.
invNorm-Befehl anwenden: Da die Wahrscheinlichkeit in der Form $P(X < c) = p$ gegeben ist, kannst du direkt den invNorm-Befehl verwenden. Die Fläche links von $c$ ist genau $p$ . Syntax: invNorm(p, µ, σ).
Ergebnis notieren: Gib den berechneten Wert für $c$ an und runde ihn auf die geforderte Anzahl von Nachkommastellen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Kaffeemaschine füllt Tassen mit einer normalverteilten Menge an Kaffee. Der Erwartungswert beträgt $\mu = 200$ ml und die Standardabweichung $\sigma = 5$ ml. Bestimme die Füllmenge $c$ , die in 25 % der Fälle unterschritten wird. Es gilt also $P(X < c) = 0{,}25$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Werte identifizieren
Aus dem Text entnehmen wir:
- Erwartungswert: $\mu = 200$
- Standardabweichung: $\sigma = 5$
- Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}25$
Schritt 2
`invNorm`-Befehl anwenden
Wir suchen die Grenze $c$ für die gegebene linksseitige Wahrscheinlichkeit. Wir setzen die Werte in den invNorm-Befehl ein:

$c = \text{invNorm}(0{,}25,\ 200,\ 5)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Taschenrechner liefert:

$c \approx 196{,}63$

Ergebnis:

In 25 % der Fälle beträgt die Füllmenge weniger als 196,63 ml.

Beispiel 2

Aufgabe

Die Reaktionszeit von Autofahrern ist normalverteilt mit $\mu = 0{,}8$ Sekunden und $\sigma = 0{,}12$ Sekunden. Finde die Zeit $c$ , sodass 95 % der Fahrer eine schnellere (also kleinere) Reaktionszeit haben. Es gilt $P(X < c) = 0{,}95$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 0{,}8$
- Standardabweichung: $\sigma = 0{,}12$
- Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}95$
Schritt 2
`invNorm`-Befehl anwenden
Wir setzen die Werte in den invNorm-Befehl ein:

$c = \text{invNorm}(0{,}95,\ 0{,}8,\ 0{,}12)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Taschenrechner liefert:

$c \approx 0{,}997$

Ergebnis:

95 % der Fahrer haben eine Reaktionszeit von weniger als 0,997 Sekunden.

Beispiel 3

Aufgabe

Das Gewicht von Eiern einer bestimmten Hühnerfarm ist normalverteilt mit $\mu = 55$ g und $\sigma = 4$ g. Die leichtesten 10 % der Eier werden aussortiert. Bestimme das maximale Gewicht $c$ , das ein Ei haben darf, um aussortiert zu werden. Es gilt $P(X < c) = 0{,}10$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 55$
- Standardabweichung: $\sigma = 4$
- Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}10$
Schritt 2
`invNorm`-Befehl anwenden
Wir setzen die Werte in den invNorm-Befehl ein:

$c = \text{invNorm}(0{,}10,\ 55,\ 4)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Taschenrechner liefert:

$c \approx 49{,}87$

Ergebnis:

Eier, die leichter als 49,87 g sind, werden aussortiert.

Beispiel 4

Aufgabe

Die tägliche Sonnenscheindauer im Sommer an einem bestimmten Ort ist normalverteilt mit $\mu = 7{,}5$ Stunden und $\sigma = 1{,}5$ Stunden. Bestimme die Stundenzahl $c$ , die an 62 % der Tage nicht überschritten wird. Es gilt $P(X < c) = 0{,}62$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 7{,}5$
- Standardabweichung: $\sigma = 1{,}5$
- Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}62$
Schritt 2
`invNorm`-Befehl anwenden
Wir setzen die Werte in den invNorm-Befehl ein:

$c = \text{invNorm}(0{,}62,\ 7{,}5,\ 1{,}5)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Taschenrechner liefert:

$c \approx 7{,}96$

Ergebnis:

An 62 % der Tage scheint die Sonne weniger als 7,96 Stunden.

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Zufallsgröße X ist normalverteilt mit $\mu = 100$ und $\sigma = 10$ . Finde den Wert $c$ , für den $P(X < c) = 0{,}5$ gilt.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 100$
- Standardabweichung: $\sigma = 10$
- Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}5$
Schritt 2
`invNorm`-Befehl anwenden
Wir setzen die Werte in den invNorm-Befehl ein:

$c = \text{invNorm}(0{,}5,\ 100,\ 10)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Taschenrechner liefert:

$c = 100$

Ergebnis:

Der Wert ist $c = 100$ . Das ist logisch, denn aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung liegen genau 50 % der Werte links vom Erwartungswert.

Aufgabentyp 2: Symmetrisches Intervall bestimmen

Beim symmetrischen Intervall der Normalverteilung sucht man einen Bereich, der symmetrisch um den Erwartungswert µ liegt. Dieses Intervall hat die Form $[\mu - c,\ \mu + c]$ . Wir kennen die Wahrscheinlichkeit $p$ für diesen mittleren Bereich und wollen den Abstand $c$ herausfinden.

Der Trick besteht darin, die Symmetrie der Glockenkurve auszunutzen:

Die Gesamtfläche unter der Kurve ist 1 (oder 100 %).
Der mittlere Bereich hat die Fläche $p$ .
Die beiden äußeren Bereiche (die „Schwänze") müssen sich also die restliche Fläche teilen. Ihre Gesamtfläche ist $1 - p$ .
Wegen der Symmetrie ist jeder der beiden Schwänze genau gleich groß. Die Fläche des linken Schwanzes ist also $\frac{1 - p}{2}$ .

Mit dieser linken Schwanzfläche können wir invNorm verwenden, um die untere Grenze des Intervalls, $\mu - c$ , zu finden.

Symmetrisches Intervall mit linkem und rechtem Schwanz

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Werte identifizieren: Lies den Erwartungswert µ, die Standardabweichung σ und die zentrale Wahrscheinlichkeit p aus der Aufgabe ab.
Linke Randwahrscheinlichkeit berechnen: Berechne die Fläche des linken „Schwanzes": $p_{\text{links}} = \frac{1 - p}{2}$ .
Untere Intervallgrenze finden: Verwende invNorm mit der berechneten linken Wahrscheinlichkeit: $x_{\text{unten}} = \text{invNorm}(p_{\text{links}},\ \mu,\ \sigma)$ .
Abstand c berechnen: Die untere Grenze ist $x_{\text{unten}} = \mu - c$ . Umgestellt ergibt sich: $c = \mu - x_{\text{unten}}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Körpergröße von Frauen ist normalverteilt mit $\mu = 168$ cm und $\sigma = 7$ cm. Bestimme den Abstand $c$ vom Mittelwert, sodass 90 % aller Frauen im symmetrischen Intervall $[168 - c,\ 168 + c]$ liegen. Es gilt $P(168 - c < X < 168 + c) = 0{,}9$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 168$
- Standardabweichung: $\sigma = 7$
- Zentrale Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}9$
Schritt 2
Linke Randwahrscheinlichkeit berechnen
$p_{\text{links}} = \frac{1 - 0{,}9}{2} = \frac{0{,}1}{2} = 0{,}05$
Schritt 3
Untere Intervallgrenze finden
$x_{\text{unten}} = \text{invNorm}(0{,}05,\ 168,\ 7)$

$x_{\text{unten}} \approx 156{,}486$
Schritt 4 · Ergebnis
Abstand c berechnen
$c = 168 - 156{,}486$

$c \approx 11{,}514$

Ergebnis:

Der Abstand beträgt ca. 11,51 cm. Das Intervall ist also etwa [156,49 cm, 179,51 cm].

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Maschine füllt Zuckertüten mit $\mu = 1000$ g und $\sigma = 15$ g. Bestimme $c$ , sodass 95 % der Füllgewichte im Intervall $[1000 - c,\ 1000 + c]$ liegen. Es gilt $P(1000 - c < X < 1000 + c) = 0{,}95$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 1000$
- Standardabweichung: $\sigma = 15$
- Zentrale Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}95$
Schritt 2
Linke Randwahrscheinlichkeit berechnen
$p_{\text{links}} = \frac{1 - 0{,}95}{2} = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025$
Schritt 3
Untere Intervallgrenze finden
$x_{\text{unten}} = \text{invNorm}(0{,}025,\ 1000,\ 15)$

$x_{\text{unten}} \approx 970{,}60$
Schritt 4 · Ergebnis
Abstand c berechnen
$c = 1000 - 970{,}60$

$c \approx 29{,}40$

Ergebnis:

Der Abstand beträgt ca. 29,40 g.

Beispiel 3

Aufgabe

Der IQ ist normalverteilt mit $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ . In welchem symmetrischen Intervall um 100 liegen 50 % der Bevölkerung? Bestimme $c$ für $P(100 - c < X < 100 + c) = 0{,}5$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 100$
- Standardabweichung: $\sigma = 15$
- Zentrale Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}5$
Schritt 2
Linke Randwahrscheinlichkeit berechnen
$p_{\text{links}} = \frac{1 - 0{,}5}{2} = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25$
Schritt 3
Untere Intervallgrenze finden
$x_{\text{unten}} = \text{invNorm}(0{,}25,\ 100,\ 15)$

$x_{\text{unten}} \approx 89{,}88$
Schritt 4 · Ergebnis
Abstand c berechnen
$c = 100 - 89{,}88$

$c \approx 10{,}12$

Ergebnis:

Der Abstand beträgt ca. 10,12 IQ-Punkte.

Beispiel 4

Aufgabe

Die Lebensdauer einer Glühbirne sei normalverteilt mit $\mu = 1200$ Stunden und $\sigma = 80$ Stunden. Bestimme $c$ , sodass 30 % der Glühbirnen eine Lebensdauer im Intervall $[1200 - c,\ 1200 + c]$ haben. Es gilt $P(1200 - c < X < 1200 + c) = 0{,}3$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 1200$
- Standardabweichung: $\sigma = 80$
- Zentrale Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}3$
Schritt 2
Linke Randwahrscheinlichkeit berechnen
$p_{\text{links}} = \frac{1 - 0{,}3}{2} = \frac{0{,}7}{2} = 0{,}35$
Schritt 3
Untere Intervallgrenze finden
$x_{\text{unten}} = \text{invNorm}(0{,}35,\ 1200,\ 80)$

$x_{\text{unten}} \approx 1169{,}16$
Schritt 4 · Ergebnis
Abstand c berechnen
$c = 1200 - 1169{,}16$

$c \approx 30{,}84$

Ergebnis:

Der Abstand beträgt ca. 30,84 Stunden.

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Zufallsgröße X ist normalverteilt mit $\mu = 80$ und $\sigma = 15$ . Bestimme $c$ für $P(80 - c < X < 80 + c) = 0{,}6$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 80$
- Standardabweichung: $\sigma = 15$
- Zentrale Wahrscheinlichkeit: $p = 0{,}6$
Schritt 2
Linke Randwahrscheinlichkeit berechnen
$p_{\text{links}} = \frac{1 - 0{,}6}{2} = \frac{0{,}4}{2} = 0{,}2$
Schritt 3
Untere Intervallgrenze finden
$x_{\text{unten}} = \text{invNorm}(0{,}2,\ 80,\ 15)$

$x_{\text{unten}} \approx 67{,}38$
Schritt 4 · Ergebnis
Abstand c berechnen
$c = 80 - 67{,}38$

$c \approx 12{,}62$

Ergebnis:

Der gesuchte Wert ist $c \approx 12{,}62$ .

Aufgabentyp 3: Gespiegeltes Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit finden

Die Symmetrie der Normalverteilung hat eine interessante Konsequenz: Intervalle, die am Erwartungswert $\mu$ „gespiegelt" werden, haben dieselbe Wahrscheinlichkeit (also dieselbe Fläche unter der Kurve).

Was bedeutet „spiegeln"? Wenn eine Intervallgrenze einen bestimmten Abstand links vom Erwartungswert hat, hat die gespiegelte Grenze denselben Abstand rechts vom Erwartungswert und umgekehrt.

Ein Intervall wird durch seine Grenzen $a$ und $b$ definiert. Wir können ihre Position relativ zu $\mu$ beschreiben:

$a = \mu - d_1$ (Abstand $d_1$ nach links)
$b = \mu + d_2$ (Abstand $d_2$ nach rechts)

Das gespiegelte Intervall $[a', b']$ hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. Wir erhalten es, indem wir die Abstände tauschen:

$a' = \mu - d_2$ (Jetzt Abstand $d_2$ nach links)
$b' = \mu + d_1$ (Jetzt Abstand $d_1$ nach rechts)

Gespiegeltes Intervall an der Normalverteilung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erwartungswert und Intervallgrenzen identifizieren: Notiere den Erwartungswert µ sowie die untere Grenze $a$ und die obere Grenze $b$ des gegebenen Intervalls.
Abstände zum Erwartungswert berechnen: $d_{\text{unten}} = \mu - a$ und $d_{\text{oben}} = b - \mu$ .
Gespiegeltes Intervall konstruieren: Tausche die Abstände: $a' = \mu - d_{\text{oben}}$ und $b' = \mu + d_{\text{unten}}$ .
Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren: Gib das neue Intervall an und formuliere die Antwort als Ereignis im gegebenen Kontext.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Füllmenge von Tintenpatronen ist normalverteilt mit $\mu = 8$ ml und $\sigma = 0{,}04$ ml. Betrachtet wird das Ereignis, dass eine Patrone zwischen 7,98 ml und 8,04 ml Tinte enthält. Gib ein anderes Ereignis an, das dieselbe Wahrscheinlichkeit hat.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Erwartungswert und Intervallgrenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 8$
- Untere Grenze: $a = 7{,}98$
- Obere Grenze: $b = 8{,}04$
2
Schritt 2
Abstände zum Erwartungswert berechnen
- Abstand unten: $d_{\text{unten}} = 8 - 7{,}98 = 0{,}02$
- Abstand oben: $d_{\text{oben}} = 8{,}04 - 8 = 0{,}04$
3
Schritt 3
Gespiegeltes Intervall konstruieren
- Neue untere Grenze: $a' = 8 - d_{\text{oben}} = 8 - 0{,}04 = 7{,}96$
- Neue obere Grenze: $b' = 8 + d_{\text{unten}} = 8 + 0{,}02 = 8{,}02$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren

Ergebnis:

Das Ereignis „Eine zufällig ausgewählte Patrone enthält zwischen 7,96 ml und 8,02 ml Tinte" hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 2

Aufgabe

Die Temperatur in einem Kühlhaus ist normalverteilt mit $\mu = 4$ °C und $\sigma = 0{,}5$ °C. Die Wahrscheinlichkeit für eine Temperatur zwischen 3,8 °C und 4,3 °C wird betrachtet. Finde ein anderes Temperaturintervall mit der gleichen Wahrscheinlichkeit.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Erwartungswert und Intervallgrenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 4$
- Untere Grenze: $a = 3{,}8$
- Obere Grenze: $b = 4{,}3$
2
Schritt 2
Abstände zum Erwartungswert berechnen
- Abstand unten: $d_{\text{unten}} = 4 - 3{,}8 = 0{,}2$
- Abstand oben: $d_{\text{oben}} = 4{,}3 - 4 = 0{,}3$
3
Schritt 3
Gespiegeltes Intervall konstruieren
- Neue untere Grenze: $a' = 4 - d_{\text{oben}} = 4 - 0{,}3 = 3{,}7$
- Neue obere Grenze: $b' = 4 + d_{\text{unten}} = 4 + 0{,}2 = 4{,}2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren

Ergebnis:

Das Intervall [3,7 °C, 4,2 °C] hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Laufzeit von 1500-m-Läufern ist normalverteilt mit $\mu = 240$ s und $\sigma = 10$ s. Finde ein Intervall, das die gleiche Wahrscheinlichkeit hat wie das Intervall [235 s, 255 s].

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Erwartungswert und Intervallgrenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 240$
- Untere Grenze: $a = 235$
- Obere Grenze: $b = 255$
2
Schritt 2
Abstände zum Erwartungswert berechnen
- Abstand unten: $d_{\text{unten}} = 240 - 235 = 5$
- Abstand oben: $d_{\text{oben}} = 255 - 240 = 15$
3
Schritt 3
Gespiegeltes Intervall konstruieren
- Neue untere Grenze: $a' = 240 - d_{\text{oben}} = 240 - 15 = 225$
- Neue obere Grenze: $b' = 240 + d_{\text{unten}} = 240 + 5 = 245$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren

Ergebnis:

Das Intervall [225 s, 245 s] hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Zufallsgröße X ist normalverteilt mit $\mu = 50$ . Das Intervall $[50,\ 60]$ wird betrachtet. Gib ein anderes Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit an.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Erwartungswert und Intervallgrenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 50$
- Untere Grenze: $a = 50$
- Obere Grenze: $b = 60$
2
Schritt 2
Abstände zum Erwartungswert berechnen
- Abstand unten: $d_{\text{unten}} = 50 - 50 = 0$
- Abstand oben: $d_{\text{oben}} = 60 - 50 = 10$
3
Schritt 3
Gespiegeltes Intervall konstruieren
- Neue untere Grenze: $a' = 50 - d_{\text{oben}} = 50 - 10 = 40$
- Neue obere Grenze: $b' = 50 + d_{\text{unten}} = 50 + 0 = 50$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren

Ergebnis:

Das Intervall [40, 50] hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 5

Aufgabe

Das Gewicht von Äpfeln ist normalverteilt mit $\mu = 150$ g. Das Intervall $[140,\ 160]$ ist gegeben. Gib ein anderes Intervall mit der gleichen Wahrscheinlichkeit an.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Erwartungswert und Intervallgrenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 150$
- Untere Grenze: $a = 140$
- Obere Grenze: $b = 160$
2
Schritt 2
Abstände zum Erwartungswert berechnen
- Abstand unten: $d_{\text{unten}} = 150 - 140 = 10$
- Abstand oben: $d_{\text{oben}} = 160 - 150 = 10$
3
Schritt 3
Gespiegeltes Intervall konstruieren
- Neue untere Grenze: $a' = 150 - d_{\text{oben}} = 150 - 10 = 140$
- Neue obere Grenze: $b' = 150 + d_{\text{unten}} = 150 + 10 = 160$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren

Ergebnis:

Das gespiegelte Intervall ist [140, 160]. Da das ursprüngliche Intervall bereits symmetrisch zum Erwartungswert war, ist das gespiegelte Intervall identisch mit dem Ausgangsintervall.

Aufgabentyp 4: Intervall aus komplexen Bedingungen bestimmen

Manchmal sind die Intervallgrenzen $a$ und $b$ nicht direkt gegeben, sondern durch Bedingungen im Text beschrieben. Zum Beispiel: „Die obere Grenze ist doppelt so weit vom Mittelwert entfernt wie die untere Grenze."

In solchen Fällen müssen wir die Textbeschreibung in die Sprache der Mathematik übersetzen. Der Schlüssel ist, eine Hilfsvariable (nennen wir sie $x$ ) einzuführen, die eine Eigenschaft wie z. B. einen Abstand beschreibt. Dann können wir beide Grenzen $a$ und $b$ mithilfe dieser einen Variable $x$ ausdrücken.

Dadurch erhalten wir eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die wir mit dem solve-Befehl (Löser) des Taschenrechners lösen können.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Informationen und Bedingungen analysieren: Lies µ, σ und die Zielwahrscheinlichkeit $p$ aus dem Text. Analysiere die Bedingungen, die die Intervallgrenzen $a$ und $b$ beschreiben.
Grenzen mit einer Hilfsvariable ausdrücken: Führe eine Hilfsvariable $x$ ein (z. B. für einen Abstand). Formuliere $a$ und $b$ als Terme, die von $x$ abhängen.
Gleichung für den Taschenrechner aufstellen: Setze die Terme für $a$ und $b$ in die Wahrscheinlichkeitsgleichung ein: $\text{normCdf}(a(x),\ b(x),\ \mu,\ \sigma) = p$ .
Gleichung mit solve lösen: Gib die Gleichung in den solve-Befehl ein: solve(normCdf(...) = p, x).
Gesuchte Größe berechnen: Setze die gefundenen Werte für $x$ wieder in die Terme aus Schritt 2 ein, um die finalen Werte für $a$ oder $b$ zu berechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Zufallsgröße $X$ ist normalverteilt mit $\mu = 125$ und $\sigma = 2$ . Die Grenzen $a$ und $b$ eines Intervalls sind beide größer als der Erwartungswert. Der Abstand von $b$ zu $\mu$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $a$ zu $\mu$ . Bestimme die Werte für $a$ , für die gilt: $P(a \leq X \leq b) = 0{,}1$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen und Bedingungen analysieren
- $\mu = 125$ , $\sigma = 2$ , $p = 0{,}1$
- Bedingungen: $a > 125$ , $b > 125$ , $(b - 125) = 2 \cdot (a - 125)$
2
Schritt 2
Grenzen mit einer Hilfsvariable ausdrücken
Wir definieren die Hilfsvariable $x$ als den Abstand von $a$ zu $\mu$ : $x = a - 125$ . Da $a > 125$ , ist $x > 0$ .
- Untere Grenze: $a = 125 + x$
- Obere Grenze: Der Abstand von $b$ ist $2x$ . Also $b = 125 + 2x$ .
Schritt 3
Gleichung für den Taschenrechner aufstellen
$P(125+x \leq X \leq 125+2x) = 0{,}1$

$\text{normCdf}(125+x,\ 125+2x,\ 125,\ 2) = 0{,}1$
Schritt 4
Gleichung mit `solve` lösen
Wir geben in den Taschenrechner ein:

solve(normCdf(125+x, 125+2x, 125, 2) = 0.1, x)

Der Rechner liefert zwei Lösungen für $x$ : $x_1 \approx 0{,}504$ und $x_2 \approx 2{,}535$ .
5
Schritt 5 · Ergebnis
Gesuchte Größe berechnen
Wir suchen die Werte für $a$ . Wir setzen die gefundenen $x$ -Werte in unsere Definition für $a$ ein:
- $a_1 = 125 + x_1 \approx 125 + 0{,}504 = 125{,}504$
- $a_2 = 125 + x_2 \approx 125 + 2{,}535 = 127{,}535$

Ergebnis:

Die gesuchten Werte für $a$ sind ca. 125,50 und 127,54.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Zufallsgröße $X$ ist normalverteilt mit $\mu = 50$ und $\sigma = 5$ . Die untere Grenze $a$ ist kleiner als $\mu$ , die obere Grenze $b$ ist größer als $\mu$ . Der Abstand von $b$ zu $\mu$ ist dreimal so groß wie der Abstand von $a$ zu $\mu$ . Bestimme $a$ und $b$ , wenn $P(a \leq X \leq b) = 0{,}8$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen und Bedingungen analysieren
- $\mu = 50$ , $\sigma = 5$ , $p = 0{,}8$
- Bedingungen: $a < 50$ , $b > 50$ , $(b - 50) = 3 \cdot (50 - a)$
2
Schritt 2
Grenzen mit einer Hilfsvariable ausdrücken
Sei $x$ der Abstand von $a$ zu $\mu$ : $x = 50 - a$ . Da $a < 50$ , ist $x > 0$ .
- Untere Grenze: $a = 50 - x$
- Obere Grenze: Der Abstand von $b$ ist $3x$ . Also $b = 50 + 3x$ .
Schritt 3
Gleichung für den Taschenrechner aufstellen
$P(50-x \leq X \leq 50+3x) = 0{,}8$

$\text{normCdf}(50-x,\ 50+3x,\ 50,\ 5) = 0{,}8$
Schritt 4
Gleichung mit `solve` lösen
solve(normCdf(50-x, 50+3x, 50, 5) = 0.8, x)

Der Rechner liefert eine positive Lösung für $x$ : $x \approx 4{,}456$ .
5
Schritt 5 · Ergebnis
Gesuchte Größe berechnen
- $a = 50 - x \approx 50 - 4{,}456 = 45{,}544$
- $b = 50 + 3x \approx 50 + 3 \cdot 4{,}456 = 63{,}368$

Ergebnis:

Die Grenzen sind $a \approx 45{,}54$ und $b \approx 63{,}37$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Zufallsgröße $X$ ist normalverteilt mit $\mu = 20$ und $\sigma = 3$ . Die obere Grenze $b$ eines Intervalls $[a, b]$ ist fix bei $b = 25$ . Bestimme die untere Grenze $a$ , sodass $P(a \leq X \leq 25) = 0{,}75$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen und Bedingungen analysieren
- $\mu = 20$ , $\sigma = 3$ , $p = 0{,}75$
- Bedingungen: $b = 25$ , $a$ ist gesucht.
2
Schritt 2
Grenzen mit einer Hilfsvariable ausdrücken
Die gesuchte Größe ist direkt die untere Grenze. Wir können sie im Rechner als Variable $a$ verwenden.
- Untere Grenze: $a$
- Obere Grenze: $25$
Schritt 3
Gleichung für den Taschenrechner aufstellen
$P(a \leq X \leq 25) = 0{,}75$

$\text{normCdf}(a,\ 25,\ 20,\ 3) = 0{,}75$
Schritt 4
Gleichung mit `solve` lösen
$\text{solve}(\text{normCdf}(a,\ 25,\ 20,\ 3) = 0{,}75,\ a)$

Der Rechner liefert die Lösung $a \approx 16{,}95$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Gesuchte Größe berechnen
Die Lösung ist direkt der gesuchte Wert für $a$ .

Ergebnis:

Die untere Grenze ist $a \approx 16{,}95$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Zufallsgröße $X$ ist normalverteilt mit $\mu = 10$ und $\sigma = 1$ . Die Breite des Intervalls $[a, b]$ beträgt 3, also $b - a = 3$ . Bestimme die Grenzen $a$ und $b$ , wenn $P(a \leq X \leq b) = 0{,}95$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen und Bedingungen analysieren
- $\mu = 10$ , $\sigma = 1$ , $p = 0{,}95$
- Bedingung: $b - a = 3$
2
Schritt 2
Grenzen mit einer Hilfsvariable ausdrücken
Wir können $b$ durch $a$ ausdrücken: $b = a + 3$ . Unsere Hilfsvariable ist $a$ selbst.
- Untere Grenze: $a$
- Obere Grenze: $a + 3$
Schritt 3
Gleichung für den Taschenrechner aufstellen
$P(a \leq X \leq a+3) = 0{,}95$

$\text{normCdf}(a,\ a+3,\ 10,\ 1) = 0{,}95$
Schritt 4
Gleichung mit `solve` lösen
solve(normCdf(a, a+3, 10, 1) = 0.95, a)

Der Rechner liefert die Lösung $a \approx 8{,}805$ .
5
Schritt 5 · Ergebnis
Gesuchte Größe berechnen
- $a \approx 8{,}805$
- $b = a + 3 \approx 8{,}805 + 3 = 11{,}805$

Ergebnis:

Die Grenzen sind $a \approx 8{,}81$ und $b \approx 11{,}81$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Zufallsgröße $X$ ist normalverteilt mit $\mu = 200$ und $\sigma = 10$ . Die untere Grenze $a$ ist um 5 größer als der Erwartungswert. Die obere Grenze $b$ ist variabel. Bestimme $b$ , sodass $P(a \leq X \leq b) = 0{,}15$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Informationen und Bedingungen analysieren
- $\mu = 200$ , $\sigma = 10$ , $p = 0{,}15$
- Bedingung: $a = 200 + 5 = 205$
2
Schritt 2
Grenzen mit einer Hilfsvariable ausdrücken
Die untere Grenze ist fix. Die gesuchte Größe ist die obere Grenze $b$ . Wir können sie im Rechner als Variable $b$ verwenden.
- Untere Grenze: $205$
- Obere Grenze: $b$
Schritt 3
Gleichung für den Taschenrechner aufstellen
$P(205 \leq X \leq b) = 0{,}15$

$\text{normCdf}(205,\ b,\ 200,\ 10) = 0{,}15$
Schritt 4
Gleichung mit `solve` lösen
$\text{solve}(\text{normCdf}(205,\ b,\ 200,\ 10) = 0{,}15,\ b)$

Der Rechner liefert die Lösung $b \approx 213{,}25$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Gesuchte Größe berechnen
Die Lösung ist direkt der gesuchte Wert für $b$ .

Ergebnis:

Die obere Grenze ist $b \approx 213{,}25$ .

Wichtige Erkenntnisse

Von Wahrscheinlichkeit zu Wert: Verwende den $\text{invNorm}(\text{Fläche}_{\text{links}},\ \mu,\ \sigma)$ -Befehl. Er ist die Umkehrung von normCdf.
Einseitiges Intervall $P(X < c) = p$ : Dies ist der einfachste Fall. Du kannst direkt $c = \text{invNorm}(p,\ \mu,\ \sigma)$ verwenden.
Symmetrisches Intervall $P(\mu - c < X < \mu + c) = p$ : Der Schlüssel ist die Berechnung der linken Randwahrscheinlichkeit $p_{\text{links}} = \frac{1 - p}{2}$ . Damit findest du die untere Grenze und daraus $c$ .
Gespiegeltes Intervall: Ein Intervall $[\mu - d_1,\ \mu + d_2]$ hat dieselbe Wahrscheinlichkeit wie das gespiegelte Intervall $[\mu - d_2,\ \mu + d_1]$ .
Komplexe Bedingungen: Übersetze die Textbeschreibung in Formeln für die Grenzen $a$ und $b$ (oft mit einer Hilfsvariable $x$ ) und löse die Gleichung $\text{normCdf}(\ldots) = p$ mit dem solve-Befehl deines Taschenrechners.

Intervalle der Normalverteilung einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Einseitiges Intervall aus Wahrscheinlichkeit bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Symmetrisches Intervall bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Gespiegeltes Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Intervall aus komplexen Bedingungen bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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