Wann darf ich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern?

Die Annäherung ist zulässig, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist: Die Standardabweichung σ = √(n · p · (1−p)) muss größer als 3 sein. Ist diese Faustregel erfüllt, ist die Glockenkurve der Normalverteilung gut genug geformt, um die diskreten Balken der Binomialverteilung zuverlässig zu approximieren. Ist σ ≤ 3 , musst du die exakte Binomialverteilung verwenden.

Was ist die Stetigkeitskorrektur und warum ist sie notwendig?

Die Stetigkeitskorrektur gleicht den Unterschied zwischen der diskreten Binomialverteilung und der stetigen Normalverteilung aus. Jeder ganzzahlige Wert k wird als Balken von k−0,5 bis k+0,5 aufgefasst. Deshalb passt du die Grenzen um 0,5 an: aus P(X ≤ k) wird P(Y ≤ k+0,5) , aus P(a ≤ X ≤ b) wird P(a−0,5 ≤ Y ≤ b+0,5) . Ohne diese Korrektur wäre die Schätzung systematisch ungenau.

Wie gehe ich bei Zwei-Stufen-Aufgaben mit Normalverteilung und Binomialverteilung vor?

Bei Zwei-Stufen-Aufgaben gehst du in zwei Phasen vor: Im ersten Schritt berechnest du die Trefferwahrscheinlichkeit p mithilfe der gegebenen Normalverteilung (z. B. p = P(X < 985) via normCdf ). Im zweiten Schritt verwendest du dieses p zusammen mit dem Stichprobenumfang n als Parameter einer Binomialverteilung und berechnest die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit binomCdf . Oft hilft dabei das Gegenereignis.

Was ist der Unterschied zwischen Binomialverteilung und Normalverteilung?

Die Binomialverteilung ist diskret: Sie zählt Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen und nimmt nur ganze Zahlen an. Die Normalverteilung ist stetig: Ihr Graph ist eine Glockenkurve, die jeden reellen Wert annehmen kann. Für kleine n unterscheiden sich beide deutlich. Für großes n (und erfüllte Laplace-Bedingung) ähnelt das Histogramm der Binomialverteilung immer mehr der Glockenkurve, weshalb die Annäherung dann gut funktioniert.

Binomialverteilung durch Normalverteilung annähern

Q: Was ist die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung?

Die Annäherung der Binomialverteilung ist eine Methode, bei der du eine diskrete Binomialverteilung näherungsweise durch eine stetige Normalverteilung ersetzt. Du übernimmst den Erwartungswert μ = n · p und die Standardabweichung σ = √(n · p · (1−p)) direkt von der Binomialverteilung und berechnest dann Wahrscheinlichkeiten mit normCdf statt binomCdf . Das ist besonders nützlich, wenn n so groß ist, dass der Taschenrechner die exakte Berechnung verweigert.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Binomialverteilung und Normalverteilung?

Die Binomialverteilung ist diskret: Sie zählt Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen und nimmt nur ganze Zahlen an. Die Normalverteilung ist stetig: Ihr Graph ist eine Glockenkurve, die jeden reellen Wert annehmen kann. Für kleine n unterscheiden sich beide deutlich. Für großes n (und erfüllte Laplace-Bedingung) ähnelt das Histogramm der Binomialverteilung immer mehr der Glockenkurve, weshalb die Annäherung dann gut funktioniert.

Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ist ein unverzichtbares Werkzeug, wenn der Stichprobenumfang so groß wird, dass selbst ein Taschenrechner die exakte Binomialverteilung nicht mehr berechnen kann. Stell dir vor, du bist Qualitätsmanager bei einem Sneaker-Hersteller, der 10.000 Paar Schuhe pro Tag produziert. Du weißt, dass 5 % der Schuhe winzige Fehler haben. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Tagesproduktion zwischen 480 und 520 fehlerhafte Paare sind? Dein Taschenrechner würde bei so riesigen Zahlen einfach aufgeben. Genau hier kommt der „Cheat Code": die Annäherung durch die Normalverteilung. Statt tausende Einzelwahrscheinlichkeiten zu berechnen, nutzt du eine elegante Kurve, die dir in Sekunden eine supergenaue Schätzung liefert. Das ist keine reine Schulmathematik – genau so werden reale Probleme in der Industrie, bei Meinungsumfragen und in der Finanzwelt gelöst.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Binomialverteilung: Beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen.
- Parameter: Stichprobenumfang $n$ und Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .
- Erwartungswert: $\mu = n \cdot p$
- Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
- Beispiel: Wir werfen einen Würfel 100 Mal ( $n=100$ ). Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, ist $p = \frac{1}{6}$ . Im Schnitt erwarten wir $\mu = 100 \cdot \frac{1}{6} \approx 16{,}7$ Sechsen.
Normalverteilung: Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die Glockenkurve beschrieben wird.
- Parameter: Erwartungswert $\mu$ (Position der Glockenmitte) und Standardabweichung $\sigma$ (Breite der Glocke).
- Beispiel: Die Körpergröße von Männern in Deutschland ist ungefähr normalverteilt mit $\mu = 180 \text{ cm}$ und $\sigma = 7 \text{ cm}$ .
Taschenrechner-Befehle: Du solltest wissen, wie man Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner berechnet.
- binomCdf(n, p, k) berechnet $P(X \le k)$ für eine Binomialverteilung.
- normCdf(a, b, μ, σ) berechnet $P(a \le X \le b)$ für eine Normalverteilung.

Aufgabentyp 1: Binomialverteilung durch Normalverteilung annähern

Manchmal ist der Stichprobenumfang $n$ so groß, dass selbst ein Taschenrechner die Binomialverteilung nicht mehr exakt berechnen kann. In solchen Fällen können wir die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern. Das funktioniert aber nur, wenn eine bestimmte Bedingung erfüllt ist.

1. Die Laplace-Bedingung (Faustregel)

Die Annäherung ist gut genug, wenn die Standardabweichung $\sigma$ der Binomialverteilung größer als 3 ist.

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} > 3$

2. Parameter der angenäherten Normalverteilung

Wenn die Bedingung erfüllt ist, verwenden wir eine Normalverteilung mit den folgenden Parametern, die wir direkt von der Binomialverteilung übernehmen:

Erwartungswert: $\mu = n \cdot p$
Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

3. Die Stetigkeitskorrektur

Das ist der wichtigste Schritt! Eine Binomialverteilung ist diskret (sie hat nur ganze Zahlen als Ergebnis, z.B. 45 Treffer). Eine Normalverteilung ist stetig (sie kann jeden Wert annehmen, z.B. 45,13). Um diesen Unterschied auszugleichen, müssen wir die Grenzen des gesuchten Intervalls um 0,5 anpassen.

Stell dir die Binomialverteilung als Säulendiagramm vor. Jede Säule (z.B. bei k=45) ist 1 Einheit breit und geht von 44,5 bis 45,5. Die Stetigkeitskorrektur sorgt dafür, dass wir die Fläche über der gesamten Säule mit der Glockenkurve erfassen.

Stetigkeitskorrektur: Säulendiagramm mit Glockenkurve

Regeln für die Stetigkeitskorrektur:

$P(X \le k) \approx P(Y \le k+0{,}5)$
$P(X < k) = P(X \le k-1) \approx P(Y \le k-0{,}5)$
$P(X \ge k) \approx P(Y \ge k-0{,}5)$
$P(X > k) = P(X \ge k+1) \approx P(Y \ge k+0{,}5)$
$P(a \le X \le b) \approx P(a-0{,}5 \le Y \le b+0{,}5)$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere den Stichprobenumfang $n$ und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ aus der Aufgabenstellung.
Prüfe die Laplace-Bedingung: Berechne $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ und überprüfe, ob $\sigma > 3$ gilt.
Berechne die Parameter der Normalverteilung: $\mu = n \cdot p$ und $\sigma$ aus Schritt 2.
Wende die Stetigkeitskorrektur an: Passe die Intervallgrenzen mit der 0,5-Regel an.
Berechne die Wahrscheinlichkeit mit dem Taschenrechnerbefehl normCdf und den korrigierten Grenzen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Fluggesellschaft weiß, dass 10% der gebuchten Passagiere nicht zum Flug erscheinen. Für einen Flug mit 400 Plätzen wurden 400 Tickets verkauft. Berechne angenähert die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 35 Passagiere nicht erscheinen.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Stichprobenumfang: $n = 400$
- Trefferwahrscheinlichkeit („erscheint nicht"): $p = 0{,}1$
Schritt 2
Laplace-Bedingung prüfen
Wir berechnen die Standardabweichung:

$\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}1 \cdot (1-0{,}1)}$

$\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9}$

$\sigma = \sqrt{36} = 6$

Da $6 > 3$ ist, ist die Annäherung zulässig.
3
Schritt 3
Parameter der Normalverteilung berechnen
- Erwartungswert: $\mu = 400 \cdot 0{,}1 = 40$
- Standardabweichung: $\sigma = 6$ (aus Schritt 2)
Schritt 4
Stetigkeitskorrektur anwenden
Gesucht ist $P(X \le 35)$ . Wir wenden die Korrektur an:

$P(X \le 35) \approx P(Y \le 35{,}5)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir verwenden den Taschenrechner mit der oberen Grenze 35,5. Als untere Grenze nehmen wir eine sehr kleine Zahl, z.B. $-10^{99}$ .

$P(Y \le 35{,}5) = \text{normCdf}(-10^{99}, 35.5, 40, 6)$

$\approx 0{,}2266$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 22,66%.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Callcenter erhält pro Stunde durchschnittlich 120 Anrufe. Die Erfahrung zeigt, dass 25% der Anrufe Verkaufsanfragen sind. Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde mehr als 32 Verkaufsanfragen eingehen.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Stichprobenumfang: $n = 120$
- Trefferwahrscheinlichkeit („Verkaufsanfrage"): $p = 0{,}25$
Schritt 2
Laplace-Bedingung prüfen
$\sigma = \sqrt{120 \cdot 0{,}25 \cdot (1-0{,}25)}$

$\sigma = \sqrt{120 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75}$

$\sigma = \sqrt{22{,}5} \approx 4{,}74$

Da $4{,}74 > 3$ ist, ist die Annäherung zulässig.
3
Schritt 3
Parameter der Normalverteilung berechnen
- Erwartungswert: $\mu = 120 \cdot 0{,}25 = 30$
- Standardabweichung: $\sigma \approx 4{,}74$
Schritt 4
Stetigkeitskorrektur anwenden
Gesucht ist $P(X > 32)$ , was dasselbe ist wie $P(X \ge 33)$ . Wir wenden die Korrektur an:

$P(X \ge 33) \approx P(Y \ge 32{,}5)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir verwenden den Taschenrechner mit der unteren Grenze 32,5. Als obere Grenze nehmen wir eine sehr große Zahl, z.B. $10^{99}$ .

$P(Y \ge 32{,}5) = \text{normCdf}(32.5, 10^{99}, 30, 4.74)$

$\approx 0{,}299$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 29,9%.

Beispiel 3

Aufgabe

Bei einer Wahl stimmen erfahrungsgemäß 60% der Wähler für Partei A. In einer Stadt geben 1000 Personen ihre Stimme ab. Bestimme angenähert die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 580 und 620 Wähler (einschließlich) für Partei A stimmen.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Stichprobenumfang: $n = 1000$
- Trefferwahrscheinlichkeit („stimmt für A"): $p = 0{,}6$
Schritt 2
Laplace-Bedingung prüfen
$\sigma = \sqrt{1000 \cdot 0{,}6 \cdot (1-0{,}6)}$

$\sigma = \sqrt{1000 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4}$

$\sigma = \sqrt{240} \approx 15{,}49$

Da $15{,}49 > 3$ ist, ist die Annäherung zulässig.
3
Schritt 3
Parameter der Normalverteilung berechnen
- Erwartungswert: $\mu = 1000 \cdot 0{,}6 = 600$
- Standardabweichung: $\sigma \approx 15{,}49$
Schritt 4
Stetigkeitskorrektur anwenden
Gesucht ist $P(580 \le X \le 620)$ . Wir wenden die Korrektur an:

$P(580 \le X \le 620) \approx P(579{,}5 \le Y \le 620{,}5)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
$P(579{,}5 \le Y \le 620{,}5) = \text{normCdf}(579.5, 620.5, 600, 15.49)$

$\approx 0{,}808$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 80,8%.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein fairer Würfel wird 180 Mal geworfen. Berechne angenähert die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 6 genau 30 Mal erscheint.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Stichprobenumfang: $n = 180$
- Trefferwahrscheinlichkeit („eine 6 würfeln"): $p = \frac{1}{6}$
Schritt 2
Laplace-Bedingung prüfen
$\sigma = \sqrt{180 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)}$

$\sigma = \sqrt{180 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}}$

$\sigma = \sqrt{25} = 5$

Da $5 > 3$ ist, ist die Annäherung zulässig.
3
Schritt 3
Parameter der Normalverteilung berechnen
- Erwartungswert: $\mu = 180 \cdot \frac{1}{6} = 30$
- Standardabweichung: $\sigma = 5$
Schritt 4
Stetigkeitskorrektur anwenden
Gesucht ist $P(X = 30)$ , was dem Intervall $P(30 \le X \le 30)$ entspricht. Wir wenden die Korrektur an:

$P(30 \le X \le 30) \approx P(29{,}5 \le Y \le 30{,}5)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
$P(29{,}5 \le Y \le 30{,}5) = \text{normCdf}(29.5, 30.5, 30, 5)$

$\approx 0{,}0796$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 7,96%.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Pharmaunternehmen testet ein Medikament an 500 Personen. Die Wahrscheinlichkeit für Nebenwirkungen beträgt 8%. Berechne angenähert die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 30 Personen Nebenwirkungen zeigen.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Parameter identifizieren
- Stichprobenumfang: $n = 500$
- Trefferwahrscheinlichkeit („Nebenwirkung"): $p = 0{,}08$
Schritt 2
Laplace-Bedingung prüfen
$\sigma = \sqrt{500 \cdot 0{,}08 \cdot (1-0{,}08)}$

$\sigma = \sqrt{500 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92}$

$\sigma = \sqrt{36{,}8} \approx 6{,}07$

Da $6{,}07 > 3$ ist, ist die Annäherung zulässig.
3
Schritt 3
Parameter der Normalverteilung berechnen
- Erwartungswert: $\mu = 500 \cdot 0{,}08 = 40$
- Standardabweichung: $\sigma \approx 6{,}07$
Schritt 4
Stetigkeitskorrektur anwenden
Gesucht ist $P(X < 30)$ , was dasselbe ist wie $P(X \le 29)$ . Wir wenden die Korrektur an:

$P(X \le 29) \approx P(Y \le 29{,}5)$
Schritt 5 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
$P(Y \le 29{,}5) = \text{normCdf}(-10^{99}, 29.5, 40, 6.07)$

$\approx 0{,}0418$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 4,18%.

Aufgabentyp 2: Trefferwahrscheinlichkeit p aus einer Normalverteilung bestimmen

Manchmal ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ für eine Binomialverteilung nicht direkt gegeben. Stattdessen wird sie durch eine Bedingung in einem anderen stochastischen Prozess beschrieben, der oft normalverteilt ist. Das klingt kompliziert, ist aber nur ein zweistufiger Prozess.

Beispiel-Szenario: Eine Maschine füllt Zuckertüten. Das Füllgewicht ist normalverteilt mit $\mu=1000\text{ g}$ und $\sigma=10\text{ g}$ . Eine Tüte gilt als „Ausschuss", wenn sie weniger als 985 g wiegt. Man entnimmt 500 Tüten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 10 Tüten Ausschuss sind?

Hier siehst du die zwei Teile:

Normalverteilung: Zuerst musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass EINE Tüte Ausschuss ist. Das ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p = P(X < 985)$ .
Binomialverteilung: Mit diesem berechneten $p$ und $n=500$ löst du dann die eigentliche Frage: $P(Y > 10)$ .

Du benutzt also die Normalverteilung, um die entscheidende Zutat $p$ für deine Binomialverteilung zu „kochen".

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Teil 1: Trefferwahrscheinlichkeit p finden (Normalverteilung)

Identifiziere den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ aus dem Text.
Formuliere die Bedingung für einen „Treffer" als mathematische Ungleichung (z.B. $X < 120{,}5$ ).
Berechne die Wahrscheinlichkeit p mit dem Taschenrechner (normCdf). Das Ergebnis ist deine Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .

Teil 2: Wahrscheinlichkeit berechnen (Binomialverteilung)

Notiere den Stichprobenumfang $n$ aus der Aufgabe und das in Schritt 3 berechnete $p$ .
Formuliere die gesuchte Wahrscheinlichkeit in der Sprache der Binomialverteilung.
Berechne das Endergebnis mit dem Taschenrechner (binomCdf). Achtung: Oft musst du hier mit dem Gegenereignis arbeiten (z.B. $P(Y > 10) = 1 - P(Y \le 10)$ ).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Unternehmen stellt Kakaopulver her. Das Füllgewicht X ist normalverteilt mit $\mu = 125$ g und $\sigma = 2$ g. Eine Packung hat ein „zu geringes Füllgewicht", wenn sie mehr als 4,5 g unter dem Erwartungswert wiegt. Es werden 500 Packungen geprüft. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 2% der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben, etwa 4,6% beträgt.

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter der Normalverteilung identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 125$ g
- Standardabweichung: $\sigma = 2$ g
Schritt 2
Bedingung für einen „Treffer" formulieren
Ein zu geringes Gewicht liegt bei $125 - 4{,}5 = 120{,}5$ g vor. Ein Treffer ist also $X < 120{,}5$ .
Schritt 3
Wahrscheinlichkeit p berechnen
$p = P(X < 120{,}5)$

$p = \text{normCdf}(-10^{99}, 120.5, 125, 2) \approx 0{,}0122$
4
Schritt 4
Parameter der Binomialverteilung notieren
- Stichprobenumfang: $n = 500$
- Trefferwahrscheinlichkeit: $p \approx 0{,}0122$
Schritt 5
Gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren
„Mehr als 2%" der Packungen sind $0{,}02 \cdot 500 = 10$ Packungen. Gesucht ist also $P(Y > 10)$ .
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir verwenden das Gegenereignis: $P(Y > 10) = 1 - P(Y \le 10)$ .

$P(Y \le 10) = \text{binomCdf}(500, 0.0122, 10) \approx 0{,}954$

$P(Y > 10) = 1 - 0{,}954 = 0{,}046 = 4{,}6\%$

Ergebnis:

Die Aussage wurde gezeigt.

Beispiel 2

Aufgabe

Die Körpergröße von Bewerbern bei der Polizei ist normalverteilt mit $\mu = 178$ cm und $\sigma = 8$ cm. Bewerber müssen mindestens 165 cm groß sein, um angenommen zu werden. Von 200 Bewerbern, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 190 die Mindestgröße erfüllen?

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter der Normalverteilung identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 178$ cm
- Standardabweichung: $\sigma = 8$ cm
Schritt 2
Bedingung für einen „Treffer" formulieren
Ein Treffer ist das Erfüllen der Mindestgröße: $X \ge 165$ .
Schritt 3
Wahrscheinlichkeit p berechnen
$p = P(X \ge 165)$

$p = \text{normCdf}(165, 10^{99}, 178, 8) \approx 0{,}9479$
4
Schritt 4
Parameter der Binomialverteilung notieren
- Stichprobenumfang: $n = 200$
- Trefferwahrscheinlichkeit: $p \approx 0{,}9479$
Schritt 5
Gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau 190 Treffer: $P(Y = 190)$ .
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir verwenden den Befehl für eine exakte Trefferzahl (binomPdf):

$P(Y = 190) = \text{binomPdf}(200, 0.9479, 190) \approx 0{,}127$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 12,7%.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Lebensdauer von LED-Lampen ist normalverteilt mit $\mu = 15000$ Stunden und $\sigma = 1000$ Stunden. Der Hersteller garantiert eine Lebensdauer von 13000 Stunden. In einer Lieferung von 1000 Lampen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 20 Lampen die Garantiezeit nicht erreichen?

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter der Normalverteilung identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 15000$ h
- Standardabweichung: $\sigma = 1000$ h
Schritt 2
Bedingung für einen „Treffer" formulieren
Ein Treffer ist hier eine Lampe, die die Garantiezeit nicht erreicht: $X < 13000$ .
Schritt 3
Wahrscheinlichkeit p berechnen
$p = P(X < 13000)$

$p = \text{normCdf}(-10^{99}, 13000, 15000, 1000) \approx 0{,}0228$
4
Schritt 4
Parameter der Binomialverteilung notieren
- Stichprobenumfang: $n = 1000$
- Trefferwahrscheinlichkeit: $p \approx 0{,}0228$
Schritt 5
Gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren
Gesucht ist $P(Y \le 20)$ .
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
$P(Y \le 20) = \text{binomCdf}(1000, 0.0228, 20) \approx 0{,}359$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 35,9%.

Beispiel 4

Aufgabe

Der IQ-Wert in einer Bevölkerung ist normalverteilt mit $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ . Als „hochbegabt" gilt, wer einen IQ von mindestens 130 hat. In einer Schule mit 800 Schülern, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 15 davon hochbegabt sind?

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter der Normalverteilung identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 100$
- Standardabweichung: $\sigma = 15$
Schritt 2
Bedingung für einen „Treffer" formulieren
Ein Treffer ist „hochbegabt": $X \ge 130$ .
Schritt 3
Wahrscheinlichkeit p berechnen
$p = P(X \ge 130)$

$p = \text{normCdf}(130, 10^{99}, 100, 15) \approx 0{,}0228$
4
Schritt 4
Parameter der Binomialverteilung notieren
- Stichprobenumfang: $n = 800$
- Trefferwahrscheinlichkeit: $p \approx 0{,}0228$
Schritt 5
Gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren
Gesucht ist $P(Y \ge 15)$ .
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir verwenden das Gegenereignis: $P(Y \ge 15) = 1 - P(Y \le 14)$ .

$P(Y \le 14) = \text{binomCdf}(800, 0.0228, 14) \approx 0{,}216$

$P(Y \ge 15) = 1 - 0{,}216 = 0{,}784 = 78{,}4\%$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 78,4%.

Beispiel 5

Aufgabe

Die Reaktionszeit eines Autofahrers ist normalverteilt mit $\mu = 0{,}8$ s und $\sigma = 0{,}2$ s. Eine Reaktion gilt als „verzögert", wenn sie länger als 1,1 s dauert. Bei 60 Testfahrten, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 5 und 10 (einschließlich) Fahrer eine verzögerte Reaktion zeigen?

Fortschritt

6 / 6

1
Schritt 1
Parameter der Normalverteilung identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 0{,}8$ s
- Standardabweichung: $\sigma = 0{,}2$ s
Schritt 2
Bedingung für einen „Treffer" formulieren
Ein Treffer ist eine „verzögerte Reaktion": $X > 1{,}1$ .
Schritt 3
Wahrscheinlichkeit p berechnen
$p = P(X > 1{,}1)$

$p = \text{normCdf}(1.1, 10^{99}, 0.8, 0.2) \approx 0{,}0668$
4
Schritt 4
Parameter der Binomialverteilung notieren
- Stichprobenumfang: $n = 60$
- Trefferwahrscheinlichkeit: $p \approx 0{,}0668$
Schritt 5
Gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren
Gesucht ist $P(5 \le Y \le 10)$ .
Schritt 6 · Ergebnis
Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir verwenden die Regel $P(a \le Y \le b) = P(Y \le b) - P(Y \le a-1)$ .

$P(5 \le Y \le 10) = P(Y \le 10) - P(Y \le 4)$

$P(Y \le 10) = \text{binomCdf}(60, 0.0668, 10) \approx 0{,}998$

$P(Y \le 4) = \text{binomCdf}(60, 0.0668, 4) \approx 0{,}620$

$P(5 \le Y \le 10) = 0{,}998 - 0{,}620 = 0{,}378 = 37{,}8\%$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 37,8%.

Wichtige Erkenntnisse

Annäherung erlaubt? Nur wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist: Die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ muss größer als 3 sein.
Stetigkeitskorrektur ist Pflicht! Beim Übergang von der diskreten Binomialverteilung zur stetigen Normalverteilung musst du die Intervallgrenzen immer um 0,5 anpassen.
Parameter übernehmen: Die Normalverteilung nutzt den Erwartungswert $\mu = n \cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma$ der ursprünglichen Binomialverteilung.
Zwei-Stufen-Aufgaben: Oft musst du die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ zuerst mit einer Normalverteilung berechnen, bevor du das eigentliche Binomialproblem lösen kannst.

Binomialverteilung durch Normalverteilung annähern

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Binomialverteilung durch Normalverteilung annähern

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Trefferwahrscheinlichkeit p aus einer Normalverteilung bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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