Was ist die Gauß-Funktion?

Die Gauß-Funktion ist die Dichtefunktion der Normalverteilung. Ihr Graph ist die bekannte Gaußsche Glockenkurve. Sie wird durch zwei Parameter bestimmt: den Erwartungswert μ , der die Lage des Maximums angibt, und die Standardabweichung σ , die die Breite der Glocke beschreibt. Ein kleines σ ergibt eine schmale, hohe Kurve; ein großes σ eine breite, flache. Die Gauß-Funktion taucht überall auf, wo Zufallsgrößen wie Noten, Körpergrößen oder Messfehler normalverteilt sind.

Wie skizzierst du die Glockenkurve einer Normalverteilung?

Du brauchst nur drei Punkte: das Maximum bei $x = μ$ und die zwei Wendepunkte bei $x = μ - σ$ und $x = μ + σ$. Berechne die y-Werte mit der Formel der Dichtefunktion – beim Maximum vereinfacht sich der e-Term zu $e^0 = 1$, bei den Wendepunkten zu $e^{-0{,}5}$. Trage die drei Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer glatten Glockenkurve.

Was sagen die Sigma-Regeln bei der Normalverteilung aus?

Die Sigma-Regeln sind Faustregeln für den Flächenanteil unter der Glockenkurve: Im 1σ-Intervall $[μ-σ, μ+σ]$ liegen ca. 68,3 % aller Werte, im 2σ-Intervall ca. 95,4 % und im 3σ-Intervall ca. 99,7 % . Mit diesen Regeln kannst du Wahrscheinlichkeiten ohne Taschenrechner schätzen, indem du das gesuchte Intervall mit den Sigma-Grenzen vergleichst.

Wie nutzt du die Symmetrie der Gauß-Funktion?

Die Gauß-Kurve ist achsensymmetrisch zur Geraden $x = μ$. Das bedeutet: Zwei x-Werte, die den gleichen Abstand zum Erwartungswert μ haben, liefern identische Funktionswerte. Die Regel lautet: Wenn $|x_1 - μ| = |x_2 - μ|$, dann gilt $φ(x_1) = φ(x_2)$. Berechne einfach den Abstand $|x - μ|$ für jeden Wert und suche nach gleichen Abständen – die zugehörigen Funktionswerte sind dann gleich.

Was bedeutet das Integral unter der Gauß-Kurve?

Die Fläche unter der gesamten Gauß-Kurve beträgt immer genau 1 (= 100 %). Die Fläche zwischen zwei Werten $x_a$ und $x_b$ entspricht der Wahrscheinlichkeit $P(x_a \le X \le x_b)$. Mathematisch wird sie durch das bestimmte Integral $\int_{x_a}^{x_b} φ(x)\,dx$ berechnet. Im Sachzusammenhang gibt dieser Wert an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsgröße – zum Beispiel eine Körpergröße oder Lebensdauer – in das gegebene Intervall fällt.

Gauß-Funktion einfach erklärt

Die Gauß-Funktion – auch Gaußsche Glockenkurve oder Normalverteilung genannt – begegnet dir überall: bei Schulnoten, Körpergrößen, Aktienkursen oder Qualitätskontrollen. Hast du dich jemals gefragt, warum die meisten Leute bei einem Test eine durchschnittliche Note bekommen, während nur wenige super gut oder super schlecht sind? Die Antwort steckt in dieser Kurve. Wenn du verstehst, wie die Gauß-Funktion funktioniert, bekommst du einen eingebauten „BS-Detektor" für Statistiken – und kannst sofort erkennen, ob Daten in den Nachrichten Sinn ergeben oder ob jemand versucht, dich zu täuschen.

Vorwissen

Bevor wir in die Details der Gauß-Funktion eintauchen, solltest du diese Grundlagen kennen:

Funktionsgraph: Eine visuelle Darstellung einer Funktion in einem Koordinatensystem.
- Beispiel: Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist.
Maximum (Hochpunkt): Der höchste Punkt auf einem Funktionsgraphen in einem bestimmten Bereich.
- Beispiel: Die Funktion $f(x) = -x^2 + 2$ hat ihr Maximum bei $(0|2)$ .
Wendepunkt: Ein Punkt auf einem Graphen, an dem sich die Krümmung ändert (z.B. von einer Rechts- zu einer Linkskurve).
- Beispiel: Die Funktion $f(x) = x^3$ hat einen Wendepunkt im Ursprung $(0|0)$ .
Achsensymmetrie: Eine Eigenschaft eines Graphen, bei der er an einer senkrechten Achse gespiegelt werden kann und dabei auf sich selbst abgebildet wird.
- Beispiel: Der Graph von $f(x) = x^2$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Bestimmtes Integral als Fläche: Das bestimmte Integral $\int_{a}^{b} f(x) dx$ berechnet die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f(x)$ und der x-Achse im Intervall von $a$ bis $b$ .
- Beispiel: $\int_{0}^{2} x dx$ berechnet die Fläche eines Dreiecks unter der Geraden $y=x$ zwischen $x=0$ und $x=2$ .

Aufgabentyp 1: Dichtefunktion der Normalverteilung skizzieren

Die Gaußsche Glockenkurve ist der Graph der Dichtefunktion einer Normalverteilung. Ihr Aussehen wird durch zwei Parameter bestimmt:

Erwartungswert $\mu$ (My): Das ist die x-Koordinate des höchsten Punktes der Kurve. Er gibt an, wo das Zentrum der Verteilung liegt.
Standardabweichung $\sigma$ (Sigma): Diese Zahl beschreibt, wie breit oder schmal die Glocke ist. Ein kleines $\sigma$ bedeutet eine schmale, hohe Glocke, ein großes $\sigma$ eine breite, flache Glocke.

Um die Kurve schnell und präzise zu skizzieren, brauchen wir nur drei Schlüsselpunkte:

Das Maximum (Hochpunkt): Liegt immer bei $x = \mu$ .
Die zwei Wendepunkte: Liegen immer bei $x = \mu - \sigma$ und $x = \mu + \sigma$ .

Die y-Werte dieser Punkte berechnet man mit der Funktionsgleichung:

$\phi_{\mu;\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die Parameter: Lies den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ aus der Notation $\phi_{\mu; \sigma}$ ab.
Berechne das Maximum: Die x-Koordinate ist $x_{max} = \mu$ . Setze $\mu$ in die Formel ein – der e-Term wird dabei immer zu $e^0 = 1$ .
Berechne die Wendepunkte: Die x-Koordinaten sind $x_{W1} = \mu - \sigma$ und $x_{W2} = \mu + \sigma$ . Setze einen der Werte in die Formel ein – der e-Term wird hier immer zu $e^{-0{,}5}$ .
Skizziere den Graphen: Zeichne ein Koordinatensystem, trage die drei Punkte ein und verbinde sie zu einer glatten Glockenkurve.
Schraffiere die Wahrscheinlichkeitsfläche: Falls gefordert, wähle zwei x-Werte $x_a$ und $x_b$ und schraffiere die Fläche unter der Kurve – diese stellt $P(x_a \le X \le x_b)$ dar.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Skizziere den Graphen der Dichtefunktion $\phi_{10; 2}$ und markiere die Wahrscheinlichkeit $P(8 \le X \le 12)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Parameter identifizieren
Aus $\phi_{10; 2}$ lesen wir ab: $\mu = 10$ und $\sigma = 2$ .
Schritt 2
Koordinaten des Maximums berechnen
Die x-Koordinate ist $x_{max} = 10$ . Die y-Koordinate ist: $y_{max} = \phi(10) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{10-10}{2}\right)^2} = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^0 \approx 0{,}1995$ Der Hochpunkt ist $H(10|0{,}20)$ .
Schritt 3
Koordinaten der Wendepunkte berechnen
Die x-Koordinaten sind: $x_{W1} = 10 - 2 = 8$ $x_{W2} = 10 + 2 = 12$ Die y-Koordinate ist: $y_W = \phi(8) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{8-10}{2}\right)^2} = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-0{,}5} \approx 0{,}1210$ Die Wendepunkte sind $W_1(8|0{,}12)$ und $W_2(12|0{,}12)$ .
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Graph skizzieren und Fläche schraffieren
Wir zeichnen die Glockenkurve durch die Punkte $W_1$ , $H$ und $W_2$ und schraffieren die Fläche zwischen $x=8$ und $x=12$ .

Glockenkurve mit Hochpunkt bei x=10 und schraffierter Fläche

Ergebnis:

Hochpunkt $H(10|0{,}20)$ , Wendepunkte $W_1(8|0{,}12)$ und $W_2(12|0{,}12)$ . Die schraffierte Fläche zeigt $P(8 \le X \le 12)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Skizziere den Graphen der Dichtefunktion $\phi_{0; 1}$ und markiere die Wahrscheinlichkeit $P(-1 \le X \le 0)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Parameter identifizieren
Aus $\phi_{0; 1}$ lesen wir ab: $\mu = 0$ und $\sigma = 1$ . Dies ist die Standardnormalverteilung.
Schritt 2
Koordinaten des Maximums berechnen
$x_{max} = 0$ . $y_{max} = \phi(0) = \frac{1}{1\sqrt{2\pi}} e^0 \approx 0{,}3989$ Der Hochpunkt ist $H(0|0{,}40)$ .
Schritt 3
Koordinaten der Wendepunkte berechnen
$x_{W1} = 0 - 1 = -1$ $x_{W2} = 0 + 1 = 1$ $y_W = \phi(-1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-0{,}5} \approx 0{,}2420$ Die Wendepunkte sind $W_1(-1|0{,}24)$ und $W_2(1|0{,}24)$ .
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Graph skizzieren und Fläche schraffieren
Wir zeichnen die Kurve durch die Punkte und schraffieren die Fläche zwischen $x=-1$ und $x=0$ .

Standardnormalverteilung mit schraffierter Fläche links vom Zentrum

Ergebnis:

Hochpunkt $H(0|0{,}40)$ , Wendepunkte $W_1(-1|0{,}24)$ und $W_2(1|0{,}24)$ . Die schraffierte Fläche zeigt $P(-1 \le X \le 0)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Skizziere den Graphen der Dichtefunktion $\phi_{5; 0,5}$ und markiere die Wahrscheinlichkeit $P(5 \le X \le 6)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Parameter identifizieren
Aus $\phi_{5; 0,5}$ lesen wir ab: $\mu = 5$ und $\sigma = 0{,}5$ .
Schritt 2
Koordinaten des Maximums berechnen
$x_{max} = 5$ . $y_{max} = \phi(5) = \frac{1}{0{,}5\sqrt{2\pi}} e^0 \approx 0{,}7979$ Der Hochpunkt ist $H(5|0{,}80)$ .
Schritt 3
Koordinaten der Wendepunkte berechnen
$x_{W1} = 5 - 0{,}5 = 4{,}5$ $x_{W2} = 5 + 0{,}5 = 5{,}5$ $y_W = \phi(4{,}5) = \frac{1}{0{,}5\sqrt{2\pi}} e^{-0{,}5} \approx 0{,}4839$ Die Wendepunkte sind $W_1(4{,}5|0{,}48)$ und $W_2(5{,}5|0{,}48)$ .
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Graph skizzieren und Fläche schraffieren
Wir zeichnen die schmale, hohe Kurve und schraffieren die Fläche zwischen $x=5$ und $x=6$ .

Schmale hohe Glockenkurve mit Hochpunkt bei x=5

Ergebnis:

Hochpunkt $H(5|0{,}80)$ , Wendepunkte $W_1(4{,}5|0{,}48)$ und $W_2(5{,}5|0{,}48)$ . Die schraffierte Fläche zeigt $P(5 \le X \le 6)$ .

Aufgabentyp 2: Symmetrie der Glockenkurve nutzen

Die Gaußsche Glockenkurve ist perfekt achsensymmetrisch zu der senkrechten Geraden $x = \mu$ .

Stell dir vor, du faltest den Graphen entlang dieser Linie. Die linke und die rechte Hälfte der Kurve würden exakt aufeinander liegen.

Was bedeutet das für die Funktionswerte? Es bedeutet, dass zwei x-Werte, die den gleichen Abstand vom Mittelwert $\mu$ haben, auch den gleichen Funktionswert (also die gleiche Höhe auf dem Graphen) haben.

Die Regel lautet: Wenn $|x_1 - \mu| = |x_2 - \mu|$ , dann gilt $\phi(x_1) = \phi(x_2)$ .

Symmetrische Glockenkurve mit Achse bei mu