Dichtefunktionen einfach erklärt: Eigenschaften & Berechnung

Die Funktion ist $f(x) = 0{,}5$. Da $0{,}5$ eine positive Konstante ist, gilt $f(x) \ge 0$ für alle $x$. Die Bedingung ist erfüllt.

Wir berechnen das Integral über das gesamte Intervall $[2; 4]$:

$\int_{2}^{4} 0{,}5 \,dx$

Die Stammfunktion von $0{,}5$ ist $F(x) = 0{,}5x$.

$=[0{,}5x]_{2}^{4}$

$= (0{,}5 \cdot 4) - (0{,}5 \cdot 2)$

$= 2 - 1 = 1$

Das Integral ist 1. Da beide Bedingungen erfüllt sind, ist $f(x)$ eine Dichtefunktion.

Die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert ist immer null:

$P(X=3) = 0$

Für das Intervall $(2{,}5; 4)$ berechnen wir das Integral:

$P(2{,}5 < X < 4) = \int_{2,5}^{4} 0{,}5 \,dx$

$=[0{,}5x]_{2,5}^{4}$

$= (0{,}5 \cdot 4) - (0{,}5 \cdot 2{,}5)$

$= 2 - 1{,}25 = 0{,}75$

Im Intervall $[0; 4]$ ist $x$ immer positiv oder null. Daher ist auch $f(x) = \frac{1}{8}x$ immer $\ge 0$. Die Bedingung ist erfüllt.

Wir integrieren über das gesamte Intervall $[0; 4]$:

$\int_{0}^{4} \frac{1}{8}x \,dx$

Die Stammfunktion von $\frac{1}{8}x$ ist $F(x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{16}$.

$= [\frac{x^2}{16}]_{0}^{4}$

$= \frac{4^2}{16} - \frac{0^2}{16}$

$= \frac{16}{16} - 0 = 1$

Das Integral ist 1. Beide Bedingungen sind erfüllt.

Wir integrieren über das Intervall $(1; 3)$:

$P(1 < X < 3) = \int_{1}^{3} \frac{1}{8}x \,dx$

$= [\frac{x^2}{16}]_{1}^{3}$

$= \frac{3^2}{16} - \frac{1^2}{16}$

$= \frac{9}{16} - \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = 0{,}5$

Für $x$ im Intervall $[0; 1]$ ist $x^2$ immer positiv oder null. Also ist auch $f(x) = 3x^2 \ge 0$. Die Bedingung ist erfüllt.

Wir integrieren über $[0; 1]$:

$\int_{0}^{1} 3x^2 \,dx$

Die Stammfunktion von $3x^2$ ist $F(x) = x^3$.

$=[x^3]_{0}^{1}$

$= 1^3 - 0^3 = 1$

Das Integral ist 1. Ja, $f(x)$ ist eine Dichtefunktion.

$P(X > 0{,}5)$ bedeutet, wir suchen die Wahrscheinlichkeit im Intervall $(0{,}5; 1]$. Wir berechnen also das Integral von $0{,}5$ bis zur Obergrenze $1$.

$P(X > 0{,}5) = \int_{0,5}^{1} 3x^2 \,dx$

$=[x^3]_{0,5}^{1}$

$= 1^3 - (0{,}5)^3$

$= 1 - 0{,}125 = 0{,}875$

Im Intervall $[0; \pi]$ (von 0° bis 180°) ist der Sinuswert $\sin(x)$ immer positiv oder null. Daher ist auch $f(x) = \frac{1}{2} \sin(x) \ge 0$. Die Bedingung ist erfüllt.

Wir integrieren über $[0; \pi]$:

$\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \sin(x) \,dx$

Die Stammfunktion von $\sin(x)$ ist $-\cos(x)$.

$=[-\frac{1}{2} \cos(x)]_{0}^{\pi}$

$= (-\frac{1}{2} \cos(\pi)) - (-\frac{1}{2} \cos(0))$

Wir wissen, dass $\cos(\pi) = -1$ und $\cos(0) = 1$.

$= (-\frac{1}{2} \cdot (-1)) - (-\frac{1}{2} \cdot 1)$

$= (\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2})$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Wir prüfen, ob $f(x) = x-1$ im Intervall $[0; 2]$ immer $\ge 0$ ist.

Wählen wir einen Testwert, z.B. $x=0{,}5$:

$f(0{,}5) = 0{,}5 - 1 = -0{,}5$

Da wir einen negativen Funktionswert gefunden haben, ist die Bedingung der Nicht-Negativität verletzt.

Die Gesamtfläche unter der Kurve muss 1 sein:

$\int_{0}^{3} k \cdot x \,dx = 1$

Wir ziehen $k$ vor das Integral:

$k \cdot \int_{0}^{3} x \,dx = 1$

Die Stammfunktion von $x$ ist $\frac{x^2}{2}$.

$k \cdot [\frac{x^2}{2}]_{0}^{3} = 1$

$k \cdot (\frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2}) = 1$

$k \cdot (\frac{9}{2} - 0) = 1$

$k \cdot \frac{9}{2} = 1$

$k = 1 \div \frac{9}{2} = 1 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9}$

Der Parameter ist $k = \frac{2}{9}$. Die Dichtefunktion lautet $f(x) = \frac{2}{9}x$.

Wir verwenden die gefundene Funktion, um $P(1 < X < 2)$ zu berechnen:

$P(1 < X < 2) = \int_{1}^{2} \frac{2}{9}x \,dx$

$= \frac{2}{9} \cdot [\frac{x^2}{2}]_{1}^{2}$

$= \frac{2}{9} \cdot (\frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2})$

$= \frac{2}{9} \cdot (\frac{4}{2} - \frac{1}{2})$

$= \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$\int_{-2}^{2} c \cdot (4-x^2) \,dx = 1$

$c \cdot \int_{-2}^{2} (4-x^2) \,dx = 1$

Die Stammfunktion von $4-x^2$ ist $4x - \frac{x^3}{3}$.

$c \cdot [4x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{2} = 1$

$c \cdot ((4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3})) = 1$

$c \cdot ((8 - \frac{8}{3}) - (-8 - \frac{-8}{3})) = 1$

$c \cdot ((8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3})) = 1$

$c \cdot (8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3}) = 1$

$c \cdot (16 - \frac{16}{3}) = 1$

$c \cdot (\frac{48}{3} - \frac{16}{3}) = 1$

$c \cdot \frac{32}{3} = 1$

$c = 1 \div \frac{32}{3} = \frac{3}{32}$

$\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{-x} \,dx = 1$

$k \cdot \int_{0}^{\infty} e^{-x} \,dx = 1$

Die Stammfunktion von $e^{-x}$ ist $-e^{-x}$.

$k \cdot [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 1$

Wir werten dies als Grenzwert aus:

$k \cdot \lim_{z \to \infty} [-e^{-x}]_{0}^{z} = 1$

$k \cdot \lim_{z \to \infty} (-e^{-z} - (-e^{-0})) = 1$

Da $e^{-z} = \frac{1}{e^z}$ und $e^z$ für $z \to \infty$ unendlich groß wird, geht $e^{-z}$ gegen 0. Außerdem ist $e^0=1$.

$k \cdot (0 - (-1)) = 1$

$k \cdot 1 = 1$

$k = 1$

$\int_{a}^{b} k \,dx = 1$

$k \cdot \int_{a}^{b} 1 \,dx = 1$

Die Stammfunktion von 1 ist $x$.

$k \cdot [x]_{a}^{b} = 1$

$k \cdot (b - a) = 1$

$k = \frac{1}{b-a}$

$\int_{0}^{1} k(1-x)^2 \,dx = 1$

$k \cdot \int_{0}^{1} (1-2x+x^2) \,dx = 1$

Wir bilden die Stammfunktion von $1-2x+x^2$, was $x - x^2 + \frac{x^3}{3}$ ist.

$k \cdot [x - x^2 + \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 1$

$k \cdot ((1 - 1^2 + \frac{1^3}{3}) - (0 - 0^2 + \frac{0^3}{3})) = 1$

$k \cdot ((1 - 1 + \frac{1}{3}) - 0) = 1$

$k \cdot \frac{1}{3} = 1$

$k = 3$

Wir integrieren $f(t) = 0{,}5$ von der unteren Grenze $1$ bis $x$.

$G(x) = \int_{1}^{x} 0{,}5 \,dt$

$=[0{,}5t]_{1}^{x}$

$= 0{,}5x - 0{,}5 \cdot 1 = 0{,}5x - 0{,}5$

Die stückweise definierte Funktion lautet:

$G(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 1 \\ 0{,}5x - 0{,}5 & \text{für } 1 \le x \le 3 \\ 1 & \text{für } x > 3 \end{cases}$

(Zur Kontrolle: $G(3) = 0{,}5 \cdot 3 - 0{,}5 = 1{,}5 - 0{,}5 = 1$. Das passt.)

Für $f(x)=0{,}5$: Der Wert ist immer 0,5. Für $G(x)=0{,}5x-0{,}5$: $G(1) = 0{,}5 \cdot 1 - 0{,}5 = 0$ $G(3) = 0{,}5 \cdot 3 - 0{,}5 = 1$

Die Dichtefunktion $f(x)=0{,}5$ ist konstant. Das bedeutet, die Steigung der Verteilungsfunktion $G(x)$ muss überall im Intervall $[1; 3]$ konstant $0{,}5$ sein. Das sehen wir im Graphen: $G(x)$ ist eine Gerade mit der Steigung $0{,}5$.

Wir integrieren $f(t) = \frac{1}{8}t$ von $0$ bis $x$.

$G(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{8}t \,dt$

$= [\frac{1}{8} \frac{t^2}{2}]_{0}^{x}$

$= [\frac{t^2}{16}]_{0}^{x}$

$= \frac{x^2}{16} - \frac{0^2}{16} = \frac{x^2}{16}$

Die stückweise Funktion lautet:

$G(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\ \frac{x^2}{16} & \text{für } 0 \le x \le 4 \\ 1 & \text{für } x > 4 \end{cases}$

Für $f(x)=\frac{1}{8}x$: $f(0)=0, f(4)=0{,}5$. Für $G(x)=\frac{x^2}{16}$: $G(0)=0, G(4)=1$.

Der Wert der Dichtefunktion $f(x)$ steigt linear an. Entsprechend wird die Steigung der Verteilungsfunktion $G(x)$ immer größer. Bei $x=0$ ist $f(0)=0$, also startet $G(x)$ mit einer Steigung von 0 (waagerechte Tangente). Bei $x=4$ ist $f(4)=0{,}5$, also hat $G(x)$ dort die Steigung 0,5.

$G(x) = \int_{0}^{x} (2-2t) \,dt$

$= [2t - t^2]_{0}^{x}$

$= (2x - x^2) - (2 \cdot 0 - 0^2) = 2x - x^2$

Die stückweise Funktion lautet:

$G(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\ 2x - x^2 & \text{für } 0 \le x \le 1 \\ 1 & \text{für } x > 1 \end{cases}$

Für $f(x)=2-2x$: $f(0)=2, f(1)=0$. Für $G(x)=2x-x^2$: $G(0)=0, G(1)=1$.

Die Dichtefunktion $f(x)$ fällt linear. Entsprechend nimmt die Steigung von $G(x)$ ab. Bei $x=0$ ist $f(0)=2$, also startet $G(x)$ mit seiner größten Steigung von 2. Bei $x=1$ ist $f(1)=0$, also endet $G(x)$ mit einer Steigung von 0 (waagerechte Tangente).

$G(x) = \int_{0}^{x} 3t^2 \,dt$

$= [t^3]_{0}^{x}$

$= x^3 - 0^3 = x^3$

Die stückweise Funktion lautet:

$G(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\ x^3 & \text{für } 0 \le x \le 1 \\ 1 & \text{für } x > 1 \end{cases}$

Für $f(x)=3x^2$: $f(0)=0, f(1)=3$. Für $G(x)=x^3$: $G(0)=0, G(1)=1$.

Die Dichtefunktion $f(x)=3x^2$ wächst quadratisch. Die Steigung der Verteilungsfunktion $G(x)=x^3$ nimmt also ebenfalls zu. Sie startet bei $x=0$ mit Steigung $f(0)=0$ und wird zum Ende bei $x=1$ mit Steigung $f(1)=3$ sehr steil.

Zuerst multiplizieren wir den Funktionsterm aus: $f(x) = \frac{3}{4}(2x-x^2) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{4}x^2$.

Nun integrieren wir:

$G(x) = \int_{0}^{x} (\frac{3}{2}t - \frac{3}{4}t^2) \,dt$

$= [\frac{3}{2} \frac{t^2}{2} - \frac{3}{4} \frac{t^3}{3}]_{0}^{x}$

$= [\frac{3}{4}t^2 - \frac{1}{4}t^3]_{0}^{x}$

$= (\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^3) - 0 = \frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^3$

Die stückweise Funktion lautet:

$G(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\ \frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^3 & \text{für } 0 \le x \le 2 \\ 1 & \text{für } x > 2 \end{cases}$