Was ist die Normalverteilung und wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten damit?

Die Normalverteilung (Glockenkurve) beschreibt viele natürliche Phänomene wie Körpergrößen oder IQ-Werte. Eine normalverteilte Zufallsvariable X wird durch den Erwartungswert μ (Mittelpunkt) und die Standardabweichung σ (Streuung) beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, dass X in einem bestimmten Bereich liegt, entspricht der Fläche unter der Glockenkurve über diesem Bereich. Diese Fläche berechnet man mit dem Taschenrechnerbefehl normCdf(untere Grenze, obere Grenze, μ, σ) – ohne komplizierte Handrechnung.

Wie benutzt du normCdf auf dem Taschenrechner richtig?

Der Befehl normCdf braucht immer genau vier Angaben in dieser Reihenfolge: normCdf(untere Grenze, obere Grenze, μ, σ) . Lies zuerst μ und σ aus der Aufgabe heraus, bestimme dann die Intervallgrenzen und setze alles ein. Das Ergebnis ist eine Dezimalzahl zwischen 0 und 1, die du mit 100 multiplizierst, um den Prozentwert zu erhalten. Achte darauf, die Reihenfolge der vier Argumente nicht zu vertauschen – das ist der häufigste Fehler beim Einsatz des Befehls.

Wie berechnet man einseitige Wahrscheinlichkeiten wie P(X < b) bei der Normalverteilung?

Für einseitige Wahrscheinlichkeiten ersetzt du die fehlende Grenze durch eine sehr große bzw. sehr kleine Zahl, die rechnerisch für ±∞ steht. Für P(X < b) gilt: normCdf(-1E99, b, μ, σ) . Für P(X > a) gilt: normCdf(a, 1E99, μ, σ) . Bei stetigen Verteilungen macht es dabei keinen Unterschied, ob du < oder ≤ schreibst, denn die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen exakten Wert ist immer Null.

Wie löst du ODER-Aufgaben bei der Normalverteilung?

Bei ODER-Aufgaben der Form P(X < a oder X > b) teilst du das Problem in zwei Teile auf. Berechne zunächst P₁ = normCdf(-1E99, a, μ, σ) für den linken Bereich und P₂ = normCdf(b, 1E99, μ, σ) für den rechten Bereich. Addiere dann beide Ergebnisse: P gesamt = P₁ + P₂ . Dieses Prinzip nutzt du zum Beispiel in der Qualitätskontrolle, wenn Bauteile sowohl bei Unter- als auch bei Überschreitung eines Grenzwerts ausgesondert werden.

Warum ist P(X = c) bei der Normalverteilung immer gleich Null?

Bei einer stetigen Zufallsvariable wie der Körpergröße oder dem Gewicht gibt es in jedem Intervall unendlich viele mögliche Werte. Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter der Glockenkurve über einem Intervall. Die Fläche über dem Intervall [c, c] – also einem einzelnen Punkt – hat die Breite Null. Da Fläche = Höhe · Breite = Höhe · 0 = 0 gilt, ist P(X = c) = 0 für jeden exakten Wert c. Deshalb gibt man bei stetigen Verteilungen immer Intervallwahrscheinlichkeiten an.

Normalverteilung Wahrscheinlichkeit berechnen

Q: Wie berechnet man einseitige Wahrscheinlichkeiten wie P(X < b) bei der Normalverteilung?

Für einseitige Wahrscheinlichkeiten ersetzt du die fehlende Grenze durch eine sehr große bzw. sehr kleine Zahl, die rechnerisch für ±∞ steht. Für P(X < b) gilt: normCdf(-1E99, b, μ, σ) . Für P(X > a) gilt: normCdf(a, 1E99, μ, σ) . Bei stetigen Verteilungen macht es dabei keinen Unterschied, ob du < oder ≤ schreibst, denn die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen exakten Wert ist immer Null.

Q: Wie löst du ODER-Aufgaben bei der Normalverteilung?

Bei ODER-Aufgaben der Form P(X < a oder X > b) teilst du das Problem in zwei Teile auf. Berechne zunächst P₁ = normCdf(-1E99, a, μ, σ) für den linken Bereich und P₂ = normCdf(b, 1E99, μ, σ) für den rechten Bereich. Addiere dann beide Ergebnisse: P gesamt = P₁ + P₂ . Dieses Prinzip nutzt du zum Beispiel in der Qualitätskontrolle, wenn Bauteile sowohl bei Unter- als auch bei Überschreitung eines Grenzwerts ausgesondert werden.

Hast du dich jemals gefragt, wie Unternehmen wissen, wie viele T-Shirts sie in Größe M produzieren müssen? Oder wie wahrscheinlich es ist, dass du bei der nächsten Klausur eine bestimmte Note schaffst? Die Antwort liegt oft in der Normalverteilung, auch bekannt als die „Glockenkurve". Diese Form ist kein Zufall – sie ist ein verstecktes Muster, das in unzähligen Dingen auftaucht: von Körpergrößen über IQ-Werte bis hin zu Füllmengen von Chipstüten. Wenn du lernst, Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung zu berechnen, bekommst du eine Art „Cheat Code" für die Statistik. Du kannst vorhersagen, was wahrscheinlich ist und was nicht. Das ist nicht nur für die Schule nützlich, sondern hilft dir auch, Statistiken in den Nachrichten oder Werbeversprechen kritisch zu hinterfragen.

Schnellantwort

Die Wahrscheinlichkeit bei einer Normalverteilung ist die Fläche unter der Glockenkurve über einem bestimmten Intervall. Sie wird mit dem Taschenrechnerbefehl normCdf(untere Grenze, obere Grenze, μ, σ) berechnet. Dabei ist μ der Erwartungswert (Mittelpunkt der Kurve) und σ die Standardabweichung (Maß für die Streuung). Je nach Aufgabentyp arbeitest du mit beidseitigen Intervallen, einseitigen Bereichen oder getrennten ODER-Bereichen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz drei wichtige Begriffe:

Erwartungswert ( $\mu$ ): Das ist der Durchschnittswert oder das Zentrum deiner Daten. Er liegt genau in der Mitte der Glockenkurve.
- Beispiel: Wenn die durchschnittliche Körpergröße von Männern in Deutschland bei $\mu = 180 \text{ cm}$ liegt, ist das der Gipfel der Kurve.
Standardabweichung ( $\sigma$ ): Sie gibt an, wie stark die Werte um den Durchschnittswert streuen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, die Werte sind nah am Mittelwert (spitze Kurve). Eine große bedeutet, sie sind weit verteilt (flache Kurve).
- Beispiel: Bei Schrauben aus einer präzisen Maschine ist die Längen-Standardabweichung vielleicht nur $\sigma = 0{,}1 \text{ mm}$ . Bei handgeschnitzten Figuren wäre sie viel größer.
Stetige Zufallsvariable: Eine Variable, die unendlich viele Werte innerhalb eines Bereichs annehmen kann. Man kann sie nicht einfach abzählen.
- Beispiel: Die Körpergröße ist stetig. Zwischen 180 cm und 181 cm gibt es unendlich viele mögliche Werte wie 180,1 cm, 180,11 cm, 180,112 cm usw. Das ist anders als bei der Augenzahl eines Würfels, die nur 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein kann (diskret).

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeit für ein Intervall berechnen P(a < X < b)

Die häufigste Frage bei der Normalverteilung ist: Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Wert in einem bestimmten Bereich liegt? Zum Beispiel, wie wahrscheinlich ist es, dass eine zufällig ausgewählte Person zwischen 170 cm und 180 cm groß ist?

Diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Glockenkurve zwischen den beiden Grenzen des Intervalls. Glücklicherweise müssen wir diese Fläche nicht von Hand berechnen. Dafür haben wir einen Taschenrechnerbefehl, der meist normCdf oder ähnlich heißt.

Der Befehl braucht immer vier Informationen:

normCdf(untere Grenze, obere Grenze, Erwartungswert μ, Standardabweichung σ)

normCdf-Befehl mit Glockenkurve und Intervallgrenzen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Werte identifizieren: Lies den Erwartungswert (μ) und die Standardabweichung (σ) aus der Aufgabenstellung heraus.
Grenzen bestimmen: Finde die untere Grenze (a) und die obere Grenze (b) des gesuchten Intervalls. Manchmal musst du diese erst berechnen, z. B. bei Angaben wie „weicht höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab" → Intervall $[\mu - \sigma,\, \mu + \sigma]$ .
Taschenrechner verwenden: Gib die vier Werte in der richtigen Reihenfolge in den Taschenrechnerbefehl normCdf ein: $\text{normCdf}(a, b, \mu, \sigma)$ .
Ergebnis formulieren: Schreibe das Ergebnis als Dezimalzahl oder als Prozentsatz auf und formuliere einen Antwortsatz.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Körpergröße von Männern ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von $\mu = 180 \text{ cm}$ und einer Standardabweichung von $\sigma = 7 \text{ cm}$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann zwischen 173 cm und 187 cm groß ist?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
Aus dem Text entnehmen wir:
- Erwartungswert: $\mu = 180$
- Standardabweichung: $\sigma = 7$
2
Schritt 2
Grenzen bestimmen
Das Intervall ist direkt angegeben:
- Untere Grenze: $a = 173$
- Obere Grenze: $b = 187$
Wir suchen also $P(173 \le X \le 187)$ .
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
Wir setzen die Werte in den Befehl ein:

$P(173 \le X \le 187) = \text{normCdf}(173, 187, 180, 7)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}6827$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 68,27 %. Das entspricht übrigens genau dem Bereich von einer Standardabweichung um den Mittelwert ( $\mu \pm 1\sigma$ ).

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann zwischen 173 cm und 187 cm groß ist, beträgt etwa 68,27 %.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Unternehmen füllt Kaffeepackungen ab. Das Gewicht ist normalverteilt mit $\mu = 500 \text{ g}$ und $\sigma = 5 \text{ g}$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung zwischen 490 g und 510 g wiegt.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 500$
- Standardabweichung: $\sigma = 5$
2
Schritt 2
Grenzen bestimmen
- Untere Grenze: $a = 490$
- Obere Grenze: $b = 510$
Wir suchen $P(490 \le X \le 510)$ .
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
Wir setzen die Werte ein:

$P(490 \le X \le 510) = \text{normCdf}(490, 510, 500, 5)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}9545$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung zwischen 490 g und 510 g wiegt, beträgt ca. 95,45 %. Das ist der Bereich von zwei Standardabweichungen um den Mittelwert ( $\mu \pm 2\sigma$ ).

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 95,45 %.

Beispiel 3

Aufgabe

Die IQ-Werte einer Population sind normalverteilt mit $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen IQ-Wert zwischen 90 und 110 zu haben?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 100$
- Standardabweichung: $\sigma = 15$
2
Schritt 2
Grenzen bestimmen
- Untere Grenze: $a = 90$
- Obere Grenze: $b = 110$
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
Wir setzen die Werte ein:

$P(90 \le X \le 110) = \text{normCdf}(90, 110, 100, 15)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}495$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit für einen IQ-Wert zwischen 90 und 110 liegt bei etwa 49,5 %.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 49,5 %.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit $\mu = 20$ und $\sigma = 2$ . Berechne $P(21 \le X \le 23)$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 20$
- Standardabweichung: $\sigma = 2$
2
Schritt 2
Grenzen bestimmen
- Untere Grenze: $a = 21$
- Obere Grenze: $b = 23$
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
Wir setzen die Werte ein:

$P(21 \le X \le 23) = \text{normCdf}(21, 23, 20, 2)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}2417$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit $P(21 \le X \le 23)$ beträgt ungefähr 24,17 %.

Ergebnis:

$P(21 \le X \le 23) \approx 24{,}17\,\%$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Die Temperatur in einem Kühlhaus ist normalverteilt mit $\mu = 3{,}5\,°\text{C}$ und $\sigma = 0{,}5\,°\text{C}$ . Wie wahrscheinlich ist es, dass die Temperatur zwischen 3,0 °C und 3,8 °C liegt?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 3{,}5$
- Standardabweichung: $\sigma = 0{,}5$
2
Schritt 2
Grenzen bestimmen
- Untere Grenze: $a = 3{,}0$
- Obere Grenze: $b = 3{,}8$
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
Wir setzen die Werte ein:

$P(3{,}0 \le X \le 3{,}8) = \text{normCdf}(3{,}0,\, 3{,}8,\, 3{,}5,\, 0{,}5)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}5671$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit für eine Temperatur zwischen 3,0 °C und 3,8 °C liegt bei ca. 56,71 %.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 56,71 %.

Aufgabentyp 2: Wahrscheinlichkeit für einseitige Bereiche berechnen P(X < b) oder P(X > a)

Manchmal interessiert uns nicht ein Bereich zwischen zwei Werten, sondern alles, was kleiner oder größer als ein bestimmter Wert ist. Ein typisches Beispiel ist: Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Glühbirne weniger als 800 Stunden brennt?

Das Prinzip bleibt gleich: Wir berechnen die Fläche unter der Kurve. Der Taschenrechnerbefehl normCdf braucht aber immer zwei Grenzen. Was machen wir also?

Für $P(X < b)$ (höchstens b) nehmen wir als untere Grenze eine sehr kleine Zahl, die praktisch für „minus unendlich" ( $-\infty$ ) steht. Eine gute Wahl ist $-\text{1E99}$ oder $-10000$ .
Für $P(X > a)$ (mindestens a) nehmen wir als obere Grenze eine sehr große Zahl, die für „plus unendlich" ( $+\infty$ ) steht. Eine gute Wahl ist 1E99 oder 10000.

Ein wichtiger Punkt: Bei stetigen Verteilungen wie der Normalverteilung macht es keinen Unterschied, ob wir $<$ oder $\le$ schreiben. Die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert ist 0, also ist $P(X < b) = P(X \le b)$ .

Einseitige Fläche unter der Glockenkurve links und rechts

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Werte identifizieren: Lies den Erwartungswert (μ) und die Standardabweichung (σ) aus der Aufgabenstellung heraus.
Intervall für den Taschenrechner formulieren: Übersetze die Fragestellung in ein Intervall mit zwei Grenzen:
- „höchstens b" oder „weniger als b" → $P(X \le b)$ wird zu normCdf(-1E99, b, μ, σ).
- „mindestens a" oder „mehr als a" → $P(X \ge a)$ wird zu normCdf(a, 1E99, μ, σ).
Taschenrechner verwenden: Gib die vier Werte in der richtigen Reihenfolge in den Befehl ein.
Ergebnis formulieren: Schreibe das Ergebnis als Dezimalzahl oder als Prozentsatz auf und formuliere einen Antwortsatz.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Akkulaufzeit eines Smartphones ist normalverteilt mit $\mu = 12$ Stunden und $\sigma = 1{,}5$ Stunden. Wie wahrscheinlich ist es, dass der Akku weniger als 10 Stunden hält?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 12$
- Standardabweichung: $\sigma = 1{,}5$
2
Schritt 2
Intervall für den Taschenrechner formulieren
Wir suchen $P(X < 10)$ . Für den Taschenrechner übersetzen wir das in ein Intervall von „minus unendlich" bis 10.
- Untere Grenze: $-\text{1E99}$ (eine sehr kleine Zahl)
- Obere Grenze: $10$
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
$P(X < 10) = \text{normCdf}(-\text{1E99},\, 10,\, 12,\, 1{,}5)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}0912$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Akku weniger als 10 Stunden hält, beträgt etwa 9,12 %.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 9,12 %.

Beispiel 2

Aufgabe

Das Gewicht von Äpfeln einer Sorte ist normalverteilt mit $\mu = 150 \text{ g}$ und $\sigma = 12 \text{ g}$ . Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Apfel mindestens 160 g wiegt?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 150$
- Standardabweichung: $\sigma = 12$
2
Schritt 2
Intervall für den Taschenrechner formulieren
Wir suchen $P(X \ge 160)$ . Für den Taschenrechner ist das ein Intervall von 160 bis „plus unendlich".
- Untere Grenze: $160$
- Obere Grenze: $\text{1E99}$ (eine sehr große Zahl)
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
$P(X \ge 160) = \text{normCdf}(160,\, \text{1E99},\, 150,\, 12)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}2023$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel mindestens 160 g wiegt, beträgt ca. 20,23 %.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 20,23 %.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Reaktionszeit eines Fahrers auf ein Signal sei normalverteilt mit $\mu = 0{,}8$ Sekunden und $\sigma = 0{,}1$ Sekunden. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Reaktionszeit länger als 1 Sekunde ist.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 0{,}8$
- Standardabweichung: $\sigma = 0{,}1$
2
Schritt 2
Intervall für den Taschenrechner formulieren
Wir suchen $P(X > 1)$ .
- Untere Grenze: $1$
- Obere Grenze: $\text{1E99}$
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
$P(X > 1) = \text{normCdf}(1,\, \text{1E99},\, 0{,}8,\, 0{,}1)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}0228$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit für eine Reaktionszeit von über einer Sekunde liegt bei nur etwa 2,28 %.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 2,28 %.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit $\mu = 50$ und $\sigma = 10$ . Berechne $P(X \le 45)$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 50$
- Standardabweichung: $\sigma = 10$
2
Schritt 2
Intervall für den Taschenrechner formulieren
Wir suchen $P(X \le 45)$ .
- Untere Grenze: $-\text{1E99}$
- Obere Grenze: $45$
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
$P(X \le 45) = \text{normCdf}(-\text{1E99},\, 45,\, 50,\, 10)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}3085$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit $P(X \le 45)$ beträgt ungefähr 30,85 %.

Ergebnis:

$P(X \le 45) \approx 30{,}85\,\%$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Die jährliche Regenmenge in einer Stadt ist normalverteilt mit $\mu = 800 \text{ mm}$ und $\sigma = 50 \text{ mm}$ . Wie wahrscheinlich ist es, dass in einem Jahr höchstens 720 mm Regen fallen?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Werte identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 800$
- Standardabweichung: $\sigma = 50$
2
Schritt 2
Intervall für den Taschenrechner formulieren
Wir suchen $P(X \le 720)$ .
- Untere Grenze: $-\text{1E99}$
- Obere Grenze: $720$
Schritt 3
Taschenrechner verwenden
$P(X \le 720) = \text{normCdf}(-\text{1E99},\, 720,\, 800,\, 50)$

Der Taschenrechner liefert:

$\approx 0{,}0548$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit für eine Regenmenge von höchstens 720 mm liegt bei ca. 5,48 %.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 5,48 %.

Aufgabentyp 3: Wahrscheinlichkeit für getrennte Bereiche berechnen P(X < a oder X > b)

Manchmal sind wir an den Extremen interessiert – also an Werten, die entweder sehr klein ODER sehr groß sind. Ein typisches Beispiel ist die Qualitätskontrolle: Ein Bauteil wird aussortiert, wenn es zu kurz (kleiner als a) ODER zu lang (größer als b) ist.

Das Wort „ODER" ist hier der Schlüssel. Es bedeutet, dass wir zwei getrennte Ereignisse haben. Um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu finden, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für jeden Bereich einzeln und addieren die Ergebnisse.

Gesamtwahrscheinlichkeit = $P(X < a) + P(X > b)$

Jeden dieser beiden Teile berechnen wir genau wie in Aufgabentyp 2 gelernt.

Zwei getrennte Flächen unter der Glockenkurve links und rechts

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Werte und Grenzen identifizieren: Lies μ, σ sowie die beiden Grenzen a (untere) und b (obere) aus dem Text.
Problem aufteilen: Zerlege die Aufgabe in zwei separate Berechnungen: (1) Wahrscheinlichkeit für den linken Bereich $P(X \le a)$ , (2) Wahrscheinlichkeit für den rechten Bereich $P(X \ge b)$ .
Beide Wahrscheinlichkeiten berechnen: Berechne beide Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner wie in Aufgabentyp 2: $P_1 = \text{normCdf}(-\text{1E99}, a, \mu, \sigma)$ und $P_2 = \text{normCdf}(b, \text{1E99}, \mu, \sigma)$ .
Ergebnisse addieren: Addiere die beiden Ergebnisse: $P_\text{gesamt} = P_1 + P_2$ .
Ergebnis formulieren: Schreibe einen Antwortsatz mit dem Endergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Unternehmen stellt Widerstände her. Der Widerstandswert ist normalverteilt mit $\mu = 1000 \text{ Ohm}$ und $\sigma = 20 \text{ Ohm}$ . Ein Widerstand wird aussortiert, wenn sein Wert unter 970 Ohm oder über 1030 Ohm liegt. Wie groß ist die Ausschusswahrscheinlichkeit?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Werte und Grenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 1000$
- Standardabweichung: $\sigma = 20$
- Grenzen: $a = 970$ und $b = 1030$
2
Schritt 2
Problem aufteilen
Wir suchen $P(X < 970 \text{ oder } X > 1030)$ . Das teilen wir auf in:
1. $P(X < 970)$
2. $P(X > 1030)$
3
Schritt 3
Beide Wahrscheinlichkeiten berechnen
- $P_1 = P(X < 970) = \text{normCdf}(-\text{1E99},\, 970,\, 1000,\, 20) \approx 0{,}0668$
- $P_2 = P(X > 1030) = \text{normCdf}(1030,\, \text{1E99},\, 1000,\, 20) \approx 0{,}0668$
Schritt 4
Ergebnisse addieren
$P_\text{gesamt} = 0{,}0668 + 0{,}0668 = 0{,}1336$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Widerstand Ausschuss ist, beträgt etwa 13,36 %.

Ergebnis:

Die Ausschusswahrscheinlichkeit beträgt etwa 13,36 %.

Beispiel 2

Aufgabe

Die Klausurpunkte sind normalverteilt mit $\mu = 65$ und $\sigma = 10$ . Eine besondere Förderung erhalten Schüler mit weniger als 50 Punkten oder mehr als 85 Punkten. Welcher Anteil der Schüler erhält die Förderung?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Werte und Grenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 65$
- Standardabweichung: $\sigma = 10$
- Grenzen: $a = 50$ und $b = 85$
Schritt 2
Problem aufteilen
Wir suchen $P(X < 50 \text{ oder } X > 85)$ .
3
Schritt 3
Beide Wahrscheinlichkeiten berechnen
- $P_1 = P(X < 50) = \text{normCdf}(-\text{1E99},\, 50,\, 65,\, 10) \approx 0{,}0668$
- $P_2 = P(X > 85) = \text{normCdf}(85,\, \text{1E99},\, 65,\, 10) \approx 0{,}0228$
Schritt 4
Ergebnisse addieren
$P_\text{gesamt} = 0{,}0668 + 0{,}0228 = 0{,}0896$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Etwa 8,96 % der Schüler erhalten die besondere Förderung.

Ergebnis:

Etwa 8,96 % der Schüler erhalten die Förderung.

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit $\mu = 0$ und $\sigma = 1$ . Berechne $P(X \le -1{,}5 \text{ oder } X \ge 1{,}5)$ .

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Werte und Grenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 0$
- Standardabweichung: $\sigma = 1$
- Grenzen: $a = -1{,}5$ und $b = 1{,}5$
Schritt 2
Problem aufteilen
Wir suchen $P(X \le -1{,}5) + P(X \ge 1{,}5)$ .
3
Schritt 3
Beide Wahrscheinlichkeiten berechnen
Da die Normalverteilung symmetrisch um $\mu = 0$ ist, sind die beiden Flächen gleich groß.
- $P_1 = P(X \le -1{,}5) = \text{normCdf}(-\text{1E99},\, -1{,}5,\, 0,\, 1) \approx 0{,}0668$
- $P_2 = P(X \ge 1{,}5) \approx 0{,}0668$
Schritt 4
Ergebnisse addieren
$P_\text{gesamt} = 0{,}0668 + 0{,}0668 = 0{,}1336$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 13,36 %.

Ergebnis:

$P(X \le -1{,}5 \text{ oder } X \ge 1{,}5) \approx 13{,}36\,\%$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Der Blutdruck einer Personengruppe ist normalverteilt mit $\mu = 120$ mmHg und $\sigma = 8$ mmHg. Werte unter 100 mmHg oder über 140 mmHg gelten als auffällig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen auffälligen Wert?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Werte und Grenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 120$
- Standardabweichung: $\sigma = 8$
- Grenzen: $a = 100$ und $b = 140$
Schritt 2
Problem aufteilen
Wir suchen $P(X < 100) + P(X > 140)$ .
3
Schritt 3
Beide Wahrscheinlichkeiten berechnen
- $P_1 = P(X < 100) = \text{normCdf}(-\text{1E99},\, 100,\, 120,\, 8) \approx 0{,}0062$
- $P_2 = P(X > 140) = \text{normCdf}(140,\, \text{1E99},\, 120,\, 8) \approx 0{,}0062$
Schritt 4
Ergebnisse addieren
$P_\text{gesamt} = 0{,}0062 + 0{,}0062 = 0{,}0124$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Die Wahrscheinlichkeit für einen auffälligen Blutdruckwert liegt bei etwa 1,24 %.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 1,24 %.

Beispiel 5

Aufgabe

Die Füllmenge von Wasserflaschen ist normalverteilt mit $\mu = 1002 \text{ ml}$ und $\sigma = 1 \text{ ml}$ . Flaschen mit weniger als 1000 ml oder mehr als 1004 ml werden nicht verkauft. Berechne den Anteil dieser Flaschen.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Werte und Grenzen identifizieren
- Erwartungswert: $\mu = 1002$
- Standardabweichung: $\sigma = 1$
- Grenzen: $a = 1000$ und $b = 1004$
Schritt 2
Problem aufteilen
Wir suchen $P(X < 1000) + P(X > 1004)$ .
3
Schritt 3
Beide Wahrscheinlichkeiten berechnen
- $P_1 = P(X < 1000) = \text{normCdf}(-\text{1E99},\, 1000,\, 1002,\, 1) \approx 0{,}0228$
- $P_2 = P(X > 1004) = \text{normCdf}(1004,\, \text{1E99},\, 1002,\, 1) \approx 0{,}0228$
Schritt 4
Ergebnisse addieren
$P_\text{gesamt} = 0{,}0228 + 0{,}0228 = 0{,}0456$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis formulieren
Der Anteil der Flaschen, die nicht verkauft werden, beträgt ca. 4,56 %.

Ergebnis:

Der Anteil beträgt ca. 4,56 %.

Aufgabentyp 4: Begründen, warum P(X = c) = 0 ist

Eine der verblüffendsten Eigenschaften der Normalverteilung (und aller stetigen Verteilungen) ist, dass die Wahrscheinlichkeit für einen ganz exakten Wert immer Null ist. Also zum Beispiel $P(\text{Körpergröße} = 180{,}000\ldots\,\text{cm}) = 0$ .

Warum ist das so? Stell es dir so vor:

Unendlich viele Möglichkeiten: Bei einer stetigen Variable wie der Körpergröße gibt es zwischen 179 cm und 181 cm unendlich viele mögliche Werte (180,1; 180,01; 180,001 usw.). Die Chance, genau einen dieser unendlich vielen Werte zu treffen, ist quasi null.
Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche: Wie wir gelernt haben, ist die Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Glockenkurve. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert $c$ suchen, also $P(X = c)$ , dann suchen wir die Fläche im Intervall $[c, c]$ .

Ein Intervall von einem Punkt zu sich selbst hat die Breite Null. Und eine Fläche mit der Breite Null ist immer Null, egal wie hoch die Kurve an dieser Stelle ist.

Fläche = Höhe · Breite = Höhe · 0 = 0

Deshalb können wir bei stetigen Variablen immer nur die Wahrscheinlichkeit für Intervalle angeben, nicht für einzelne Punkte.

Glockenkurve mit Punkt c und Breite Null

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Art der Zufallsvariable benennen: Stelle fest, dass die gegebene Zufallsvariable (z. B. Körpergröße, Gewicht, Zeit) stetig ist. Das bedeutet, sie kann unendlich viele Werte in jedem Intervall annehmen.
Wahrscheinlichkeit als Fläche definieren: Erkläre, dass bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeit als die Fläche unter der Dichtefunktion (der Glockenkurve) über einem Intervall berechnet wird.
Das Intervall für einen exakten Wert beschreiben: Argumentiere, dass die Suche nach der Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert $c$ der Suche nach der Fläche über dem Intervall $[c, c]$ entspricht.
Die Breite des Intervalls und die Konsequenz nennen: Stelle fest, dass das Intervall $[c, c]$ die Breite Null hat. Eine Fläche mit der Breite Null ist immer Null. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit $P(X = c)$ null sein muss.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Höhe von Sonnenblumen wird als normalverteilt angenommen. Begründe, warum die Wahrscheinlichkeit, dass eine Sonnenblume exakt 170 cm hoch ist, also $P(X = 170)$ , den Wert Null annimmt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Art der Zufallsvariable benennen
Die Höhe einer Sonnenblume ist eine stetige Zufallsvariable, da sie jeden Wert in einem Bereich annehmen kann (z. B. 170,1 cm, 170,05 cm etc.).
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit als Fläche definieren
Bei einer stetigen Verteilung wie der Normalverteilung wird die Wahrscheinlichkeit als Fläche unter der Glockenkurve berechnet.
Schritt 3
Das Intervall für einen exakten Wert beschreiben
Die Wahrscheinlichkeit $P(X = 170)$ entspricht der Fläche unter der Kurve über dem Intervall $[170, 170]$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Die Breite des Intervalls und die Konsequenz nennen
Dieses Intervall hat die Breite $170 - 170 = 0$ . Eine Fläche mit der Breite Null ist immer Null. Daher ist $P(X = 170) = 0$ .

Ergebnis:

$P(X = 170) = 0$ , da das Intervall $[170, 170]$ die Breite Null hat.

Beispiel 2

Aufgabe

Die Zeit, die ein Läufer für einen 100-Meter-Lauf benötigt, ist normalverteilt. Erkläre, warum die Wahrscheinlichkeit, dass er exakt 10,000… Sekunden braucht, null ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Art der Zufallsvariable benennen
Die Zeit ist eine stetige Zufallsvariable, da unendlich viele Zwischenwerte möglich sind.
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit als Fläche definieren
Die Wahrscheinlichkeit wird durch die Fläche unter der Normalverteilungskurve dargestellt.
Schritt 3
Das Intervall für einen exakten Wert beschreiben
$P(X = 10)$ ist die Fläche über dem Intervall $[10, 10]$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Die Breite des Intervalls und die Konsequenz nennen
Das Intervall hat die Breite Null. Deshalb ist die Fläche und somit die Wahrscheinlichkeit Null.

Ergebnis:

$P(X = 10) = 0$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Das Gewicht eines Apfels ist normalverteilt. Begründe, warum $P(\text{Gewicht} = 150{,}5\,\text{g}) = 0$ ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Art der Zufallsvariable benennen
Das Gewicht ist eine stetige Variable.
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit als Fläche definieren
Wahrscheinlichkeit bei stetigen Verteilungen ist die Fläche unter der Dichtefunktion.
Schritt 3
Das Intervall für einen exakten Wert beschreiben
Die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert von 150,5 g entspricht der Fläche über dem Punkt 150,5, also dem Intervall $[150{,}5,\, 150{,}5]$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Die Breite des Intervalls und die Konsequenz nennen
Da die Breite dieses Intervalls Null ist, ist auch die Fläche Null. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit Null.

Ergebnis:

$P(\text{Gewicht} = 150{,}5\,\text{g}) = 0$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Die Temperatur in einem Raum wird als normalverteilt angesehen. Warum ist die Wahrscheinlichkeit für eine Temperatur von exakt 21 °C (also 21,000…) gleich Null?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Art der Zufallsvariable benennen
Die Temperatur ist eine stetige Zufallsvariable.
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit als Fläche definieren
Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Glockenkurve.
Schritt 3
Das Intervall für einen exakten Wert beschreiben
$P(X = 21)$ ist die Fläche über dem Intervall $[21, 21]$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Die Breite des Intervalls und die Konsequenz nennen
Ein Intervall der Breite Null hat eine Fläche von Null. Daher ist die Wahrscheinlichkeit Null.

Ergebnis:

$P(X = 21) = 0$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Die Füllmenge einer Flasche ist normalverteilt. Erkläre, warum die Wahrscheinlichkeit, dass exakt 500 ml enthalten sind, im Modell Null ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Art der Zufallsvariable benennen
Die Füllmenge (Volumen) ist eine stetige Zufallsvariable.
Schritt 2
Wahrscheinlichkeit als Fläche definieren
Bei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit eine Fläche unter der Kurve.
Schritt 3
Das Intervall für einen exakten Wert beschreiben
Die Wahrscheinlichkeit für exakt 500 ml, $P(X = 500)$ , ist die Fläche über dem Intervall $[500, 500]$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Die Breite des Intervalls und die Konsequenz nennen
Die Breite des Intervalls ist Null, was zu einer Fläche von Null führt. Die Wahrscheinlichkeit ist somit Null.

Ergebnis:

$P(X = 500) = 0$ .

Wichtige Erkenntnisse

Die Wahrscheinlichkeit bei einer Normalverteilung ist die Fläche unter der Glockenkurve.
Der zentrale Taschenrechnerbefehl lautet: normCdf(unten, oben, μ, σ).
Einseitige Intervalle werden mit einer sehr großen bzw. kleinen Zahl als Grenze modelliert: $P(X < b) \to \text{normCdf}(-\text{1E99}, b, \mu, \sigma)$ und $P(X > a) \to \text{normCdf}(a, \text{1E99}, \mu, \sigma)$ .
Bei „ODER"-Aufgaben (getrennte Bereiche) werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addiert.
Für jede stetige Zufallsvariable gilt: Die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert ist immer Null ( $P(X = c) = 0$ ).

Normalverteilung Wahrscheinlichkeit berechnen: Schritt für Schritt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeit für ein Intervall berechnen P(a < X < b)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Wahrscheinlichkeit für einseitige Bereiche berechnen P(X < b) oder P(X > a)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Wahrscheinlichkeit für getrennte Bereiche berechnen P(X < a oder X > b)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Begründen, warum P(X = c) = 0 ist

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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