Schnittpunkt Gerade und Ebene einfach erklärt

Schnittpunkt von Gerade und Ebene berechnen – verständlich erklärt mit Schritt-für-Schritt-Schema, durchgerechneten Beispielen und allen drei Aufgabentypen für die Klausur.

📅 Aktualisiert 30. Juni 2026⏱ 30 Min. Lesezeit✍️ Rocket Tutor Redaktion

Den Schnittpunkt von Gerade und Ebene zu berechnen ist eine zentrale Aufgabe in der Vektorgeometrie der Oberstufe. Stell dir vor, du programmierst ein Videospiel: Ein Laserstrahl (eine Gerade) schießt durch den Raum und soll an einem magischen Schild (einer Ebene) abprallen. Wo genau trifft der Laser auf das Schild? Genau das ist das Problem, das wir hier lösen! Diese Berechnung ist nicht nur für Game-Entwickler wichtig, sondern auch in der Luftfahrt (Flugbahn kreuzt eine Wolkenschicht), in der Architektur (ein Träger durchstößt eine Wand) oder sogar bei der Ver- und Entschlüsselung von geheimen Codes. Mit der Vektorgeometrie bekommst du ein mächtiges Werkzeug, um diese Schnittpunkte präzise zu berechnen.

Schnellantwort

Der Schnittpunkt von Gerade und Ebene ist der Punkt, der gleichzeitig auf der Geraden und in der Ebene liegt. Um ihn zu finden, setzt du die allgemeinen Koordinaten der Geraden (als Terme mit dem Parameter rr) in die Ebenengleichung ein und löst nach rr auf. Der berechnete Parameterwert liefert dann den konkreten Schnittpunkt S.

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du diese Grundlagen kennen:

  • Geradengleichung in Parameterform: Beschreibt alle Punkte auf einer Geraden.

    • Formel: g:x⃗=p⃗+r⋅u⃗g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}
    • Beispiel: x⃗=(123)+r⋅(01−1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} beschreibt eine Gerade, die durch den Punkt (1|2|3) geht.

  • Ebenengleichung in Koordinatenform: Beschreibt alle Punkte in einer Ebene mit einer einfachen Gleichung.

    • Formel: E:n1x1+n2x2+n3x3=dE: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d
    • Beispiel: 2x1+3x2−x3=62x_1 + 3x_2 - x_3 = 6 beschreibt eine Ebene im Raum.

  • Ebenengleichung in Parameterform: Beschreibt eine Ebene durch einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.

    • Formel: E:x⃗=p⃗+s⋅u⃗+t⋅v⃗E: \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}
    • Beispiel: x⃗=(100)+s⋅(010)+t⋅(001)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} beschreibt die x2x3x_2x_3-Ebene.

  • Lineares Gleichungssystem (LGS) lösen: Finden von Werten für Unbekannte, die mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

    • Beispiel: Für das LGS (I): x+y=3\text{(I): } x + y = 3 (II): x−y=1\text{(II): } x - y = 1 ist die Lösung x=2x=2 und y=1y=1.

Aufgabentyp 1: Schnittpunkt berechnen (Ebene in Koordinatenform)

Das ist der häufigste und einfachste Fall beim Berechnen des Schnittpunkts von Gerade und Ebene. Wir haben eine Gerade g in Parameterform und eine Ebene E in Koordinatenform. Der Schnittpunkt muss beide Gleichungen erfüllen.

Die Idee ist simpel: Wir nehmen den „allgemeinen Geradenpunkt" und setzen seine Koordinaten in die Ebenengleichung ein. Dadurch erhalten wir eine einzige Gleichung, mit der wir den Parameter der Geraden berechnen können.

Gerade g: x⃗=(p1p2p3)+r⋅(u1u2u3)\vec{x} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}

Das bedeutet für die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden: x1=p1+r⋅u1x_1 = p_1 + r \cdot u_1 x2=p2+r⋅u2x_2 = p_2 + r \cdot u_2 x3=p3+r⋅u3x_3 = p_3 + r \cdot u_3

Diese setzen wir in die Ebenengleichung E:n1x1+n2x2+n3x3=dE: n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d ein.

Es gibt drei mögliche Ergebnisse:

  1. Genau eine Lösung für r: Die Gerade schneidet die Ebene in genau einem Punkt.
  2. Keine Lösung für r (z.B. 3=53=5): Die Gerade ist parallel zur Ebene und schneidet sie nie.
  3. Unendlich viele Lösungen für r (z.B. 5=55=5): Die Gerade liegt komplett in der Ebene.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Notiere die Geradengleichung und die Ebenengleichung (Koordinatenform) sauber untereinander.
  2. Stelle die drei Koordinaten x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 der Geraden als einzelne Terme mit dem Parameter rr auf.
  3. Setze die drei Terme in die Ebenengleichung für x1,x2x_1, x_2 und x3x_3 ein – das Ergebnis ist eine Gleichung mit nur rr als Unbekannte.
  4. Löse die Gleichung nach dem Parameter rr auf.
  5. Berechne den Schnittpunkt, indem du den gefundenen Wert für rr in die Geradengleichung einsetzt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Schnittpunkt der Geraden g:x⃗=(120)+r⋅(2−12)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} und der Ebene E:3x1+2x2−x3=13E: 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 13.

Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Gleichungen notieren

    Gerade g: x⃗=(120)+r⋅(2−12)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

    Ebene E: 3x1+2x2−x3=133x_1 + 2x_2 - x_3 = 13

  2. Schritt 2
    Geradenkoordinaten als Term aufstellen

    x1=1+2rx_1 = 1 + 2r x2=2−rx_2 = 2 - r x3=0+2r=2rx_3 = 0 + 2r = 2r

  3. Schritt 3
    Einsetzen in die Ebenengleichung

    Wir setzen die Terme in die Ebenengleichung ein: 3⋅(1+2r)+2⋅(2−r)−(2r)=133 \cdot (1 + 2r) + 2 \cdot (2 - r) - (2r) = 13

  4. Schritt 4
    Gleichung nach r auflösen

    3+6r+4−2r−2r=133 + 6r + 4 - 2r - 2r = 13

    7+2r=13∣−77 + 2r = 13 \quad | -7

    2r=6∣:22r = 6 \quad | :2

    r=3r = 3

  5. Schritt 5 · Ergebnis
    Schnittpunkt berechnen

    Wir setzen r=3r=3 in die Geradengleichung ein:

    s⃗=(120)+3⋅(2−12)=(1+62−30+6)=(7−16)\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 6 \\ 2 - 3 \\ 0 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist S(7∣−1∣6)S(7|-1|6).

Schnittpunkt von Gerade und Ebene im 3D-Raum
Schnittpunkt von Gerade und Ebene im 3D-Raum

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben sind die Gerade g:x⃗=(61−2)+r⋅(−211)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} und die Ebene E:x1+4x2+2x3=6E: x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 6. Untersuche die gegenseitige Lage.

Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Gleichungen notieren

    Gerade g: x⃗=(61−2)+r⋅(−211)\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

    Ebene E: x1+4x2+2x3=6x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 6

  2. Schritt 2
    Geradenkoordinaten als Term aufstellen

    x1=6−2rx_1 = 6 - 2r x2=1+rx_2 = 1 + r x3=−2+rx_3 = -2 + r

  3. Schritt 3
    Einsetzen in die Ebenengleichung

    (6−2r)+4⋅(1+r)+2⋅(−2+r)=6(6 - 2r) + 4 \cdot (1 + r) + 2 \cdot (-2 + r) = 6

  4. Schritt 4
    Gleichung nach r auflösen

    6−2r+4+4r−4+2r=66 - 2r + 4 + 4r - 4 + 2r = 6

    6+4r=6∣−66 + 4r = 6 \quad | -6

    4r=0∣:44r = 0 \quad | :4

    r=0r = 0

  5. Schritt 5 · Ergebnis
    Schnittpunkt berechnen

    Wir setzen r=0r=0 in die Geradengleichung ein:

    s⃗=(61−2)+0⋅(−211)=(61−2)\vec{s} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist S(6∣1∣−2)S(6|1|-2). Das ist der Aufpunkt der Geraden.

Beispiel 3

Aufgabe

Untersuche die Lage der Geraden g:x⃗=(111)+r⋅(23−1)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} zur Ebene E:2x1−x2+x3=5E: 2x_1 - x_2 + x_3 = 5.

Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Gleichungen notieren

    Gerade g: x⃗=(111)+r⋅(23−1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}

    Ebene E: 2x1−x2+x3=52x_1 - x_2 + x_3 = 5

  2. Schritt 2
    Geradenkoordinaten als Term aufstellen

    x1=1+2rx_1 = 1 + 2r x2=1+3rx_2 = 1 + 3r x3=1−rx_3 = 1 - r

  3. Schritt 3
    Einsetzen in die Ebenengleichung

    2⋅(1+2r)−(1+3r)+(1−r)=52 \cdot (1 + 2r) - (1 + 3r) + (1 - r) = 5

  4. Schritt 4
    Gleichung nach r auflösen

    2+4r−1−3r+1−r=52 + 4r - 1 - 3r + 1 - r = 5

    2+0r=52 + 0r = 5

    2=52 = 5

    Dies ist eine falsche Aussage. Das bedeutet, es gibt keine Lösung für rr. Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.

  5. Schritt 5 · Ergebnis
    Schnittpunkt berechnen

    Da es keine Lösung für rr gibt, existiert kein Schnittpunkt.

Ergebnis:

Die Gerade ist echt parallel zur Ebene – es gibt keinen Schnittpunkt.

Beispiel 4

Aufgabe

Zeigen Sie, dass die Gerade g:x⃗=(321)+r⋅(1−12)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} in der Ebene E:3x1+x2−x3=10E: 3x_1 + x_2 - x_3 = 10 liegt.

Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Gleichungen notieren

    Gerade g: x⃗=(321)+r⋅(1−12)\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

    Ebene E: 3x1+x2−x3=103x_1 + x_2 - x_3 = 10

  2. Schritt 2
    Geradenkoordinaten als Term aufstellen

    x1=3+rx_1 = 3 + r x2=2−rx_2 = 2 - r x3=1+2rx_3 = 1 + 2r

  3. Schritt 3
    Einsetzen in die Ebenengleichung

    3⋅(3+r)+(2−r)−(1+2r)=103 \cdot (3 + r) + (2 - r) - (1 + 2r) = 10

  4. Schritt 4
    Gleichung nach r auflösen

    9+3r+2−r−1−2r=109 + 3r + 2 - r - 1 - 2r = 10

    10+0r=1010 + 0r = 10

    10=1010 = 10

    Dies ist eine wahre Aussage, die für jeden Wert von rr gilt. Das bedeutet, jeder Punkt der Geraden ist auch ein Punkt der Ebene.

  5. Schritt 5 · Ergebnis
    Schlussfolgerung
Ergebnis:

Die Gerade gg liegt vollständig in der Ebene EE.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Flugzeug fliegt entlang der Geraden g:x⃗=(10−58)+r⋅(−11−0.5)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -0.5 \end{pmatrix} (Angaben in km). Eine Gebirgsebene wird durch die Gleichung E:x3=5E: x_3 = 5 beschrieben. An welchem Punkt durchfliegt das Flugzeug die 5km-Höhenebene?

Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Gleichungen notieren

    Gerade g: x⃗=(10−58)+r⋅(−11−0.5)\vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -0.5 \end{pmatrix}

    Ebene E: x3=5x_3 = 5 (Dies ist eine Koordinatenform: 0x1+0x2+1x3=50x_1 + 0x_2 + 1x_3 = 5)

  2. Schritt 2
    Geradenkoordinaten als Term aufstellen

    x1=10−rx_1 = 10 - r x2=−5+rx_2 = -5 + r x3=8−0.5rx_3 = 8 - 0.5r

  3. Schritt 3
    Einsetzen in die Ebenengleichung

    Wir setzen den Term für x3x_3 in die sehr einfache Ebenengleichung ein:

    8−0.5r=58 - 0.5r = 5

  4. Schritt 4
    Gleichung nach r auflösen

    8−0.5r=5∣−88 - 0.5r = 5 \quad | -8

    −0.5r=−3∣:(−0.5)-0.5r = -3 \quad | :(-0.5)

    r=6r = 6

  5. Schritt 5 · Ergebnis
    Schnittpunkt berechnen

    Wir setzen r=6r=6 in die Geradengleichung ein:

    s⃗=(10−58)+6⋅(−11−0.5)=(10−6−5+68−3)=(415)\vec{s} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} + 6 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 6 \\ -5 + 6 \\ 8 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}

Ergebnis:

Das Flugzeug durchstößt die 5km-Höhenebene im Punkt S(4∣1∣5)S(4|1|5).

Aufgabentyp 2: Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen

Die Koordinatenebenen sind die drei „Wände" unseres 3D-Koordinatensystems. Sie haben besonders einfache Gleichungen, was die Berechnung der Schnittpunkte (auch Spurpunkte genannt) sehr erleichtert.

  • Die x1x2x_1x_2-Ebene ist die „Bodenebene". Alle Punkte auf ihr haben die x3x_3-Koordinate 0. Ihre Gleichung ist x3=0x_3 = 0.
  • Die x1x3x_1x_3-Ebene ist die „hintere Wand". Alle Punkte auf ihr haben die x2x_2-Koordinate 0. Ihre Gleichung ist x2=0x_2 = 0.
  • Die x2x3x_2x_3-Ebene ist die „Seitenwand". Alle Punkte auf ihr haben die x1x_1-Koordinate 0. Ihre Gleichung ist x1=0x_1 = 0.

Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer dieser Ebenen zu finden, wenden wir dasselbe Verfahren wie in Aufgabentyp 1 an, nur mit diesen sehr einfachen Ebenengleichungen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Nimm für den Schnittpunkt mit der x1x2x_1x_2-Ebene die dritte Zeile (die x3x_3-Koordinate) der Geradengleichung und setze sie gleich 0.
  2. Löse diese einfache Gleichung nach dem Parameter rr auf.
  3. Setze den gefundenen Wert für rr in die gesamte Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt S12S_{12} zu berechnen.
  4. Wiederhole für die x1x3x_1x_3-Ebene (setze x2=0x_2 = 0) und die x2x3x_2x_3-Ebene (setze x1=0x_1 = 0).
  5. Beachte: Wenn beim Auflösen nach rr ein Widerspruch entsteht (z.B. 3=03=0), ist die Gerade parallel zu dieser Koordinatenebene und hat keinen Schnittpunkt mit ihr.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte der Geraden g:x⃗=(24−6)+r⋅(1−23)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} mit den Koordinatenebenen.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Schnittpunkt mit der $x_1x_2$-Ebene ($x_3=0$)

    x3x_3-Zeile der Geraden: −6+3r=0-6 + 3r = 0

    3r=63r = 6

    r=2r = 2

    Einsetzen in g: s⃗12=(24−6)+2⋅(1−23)=(2+24−4−6+6)=(400)\vec{s}_{12} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 \\ 4-4 \\ -6+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. Der Schnittpunkt ist S12(4∣0∣0)S_{12}(4|0|0).

  2. Schritt 2
    Schnittpunkt mit der $x_1x_3$-Ebene ($x_2=0$)

    x2x_2-Zeile der Geraden: 4−2r=04 - 2r = 0

    4=2r4 = 2r

    r=2r = 2

    Einsetzen in g: s⃗13=(24−6)+2⋅(1−23)=(400)\vec{s}_{13} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. Der Schnittpunkt ist S13(4∣0∣0)S_{13}(4|0|0). (Derselbe Punkt!)

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Schnittpunkt mit der $x_2x_3$-Ebene ($x_1=0$)

    x1x_1-Zeile der Geraden: 2+r=02 + r = 0

    r=−2r = -2

    Einsetzen in g: s⃗23=(24−6)−2⋅(1−23)=(2−24+4−6−6)=(08−12)\vec{s}_{23} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 4+4 \\ -6-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -12 \end{pmatrix}. Der Schnittpunkt ist S23(0∣8∣−12)S_{23}(0|8|-12).

Ergebnis:

Die Spurpunkte der Geraden sind S12(4∣0∣0)S_{12}(4|0|0), S13(4∣0∣0)S_{13}(4|0|0) und S23(0∣8∣−12)S_{23}(0|8|-12).

Spurpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen
Spurpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen

Beispiel 2

Aufgabe

Ermitteln Sie die Spurpunkte der Geraden g:x⃗=(351)+r⋅(−102)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}.

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Schnittpunkt mit der $x_1x_2$-Ebene ($x_3=0$)

    x3x_3-Zeile: 1+2r=0  ⟹  2r=−1  ⟹  r=−0.51 + 2r = 0 \implies 2r = -1 \implies r = -0.5

    Einsetzen: s⃗12=(351)−0.5⋅(−102)=(3+0.55−01−1)=(3.550)\vec{s}_{12} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} - 0.5 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+0.5 \\ 5-0 \\ 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}. Schnittpunkt: S12(3.5∣5∣0)S_{12}(3.5|5|0).

  2. Schritt 2
    Schnittpunkt mit der $x_1x_3$-Ebene ($x_2=0$)

    x2x_2-Zeile: 5+0r=0  ⟹  5=05 + 0r = 0 \implies 5 = 0. Dies ist ein Widerspruch. Die Gerade ist parallel zur x1x3x_1x_3-Ebene.

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Schnittpunkt mit der $x_2x_3$-Ebene ($x_1=0$)

    x1x_1-Zeile: 3−r=0  ⟹  r=33 - r = 0 \implies r = 3

    Einsetzen: s⃗23=(351)+3⋅(−102)=(3−35+01+6)=(057)\vec{s}_{23} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-3 \\ 5+0 \\ 1+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}. Schnittpunkt: S23(0∣5∣7)S_{23}(0|5|7).

Ergebnis:

S12(3.5∣5∣0)S_{12}(3.5|5|0), kein Schnittpunkt mit der x1x3x_1x_3-Ebene (Gerade ist parallel), S23(0∣5∣7)S_{23}(0|5|7).

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Gerade geht durch die Punkte A(1∣1∣1)A(1|1|1) und B(3∣2∣0)B(3|2|0). Wo schneidet sie die Koordinatenebenen?

Fortschritt
3 / 3
  1. Schritt 1
    Schnittpunkt mit $x_1x_2$-Ebene ($x_3=0$)

    x3x_3-Zeile: 1−r=0  ⟹  r=11 - r = 0 \implies r = 1

    Einsetzen: s⃗12=(111)+1⋅(21−1)=(320)\vec{s}_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}. Schnittpunkt: S12(3∣2∣0)S_{12}(3|2|0) (Das ist der Punkt B).

  2. Schritt 2
    Schnittpunkt mit $x_1x_3$-Ebene ($x_2=0$)

    x2x_2-Zeile: 1+r=0  ⟹  r=−11 + r = 0 \implies r = -1

    Einsetzen: s⃗13=(111)−1⋅(21−1)=(−102)\vec{s}_{13} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}. Schnittpunkt: S13(−1∣0∣2)S_{13}(-1|0|2).

  3. Schritt 3 · Ergebnis
    Schnittpunkt mit $x_2x_3$-Ebene ($x_1=0$)

    x1x_1-Zeile: 1+2r=0  ⟹  2r=−1  ⟹  r=−0.51 + 2r = 0 \implies 2r = -1 \implies r = -0.5

    Einsetzen: s⃗23=(111)−0.5⋅(21−1)=(00.51.5)\vec{s}_{23} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 0.5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0.5 \\ 1.5 \end{pmatrix}. Schnittpunkt: S23(0∣0.5∣1.5)S_{23}(0|0.5|1.5).

Ergebnis:

Die Spurpunkte sind S12(3∣2∣0)S_{12}(3|2|0), S13(−1∣0∣2)S_{13}(-1|0|2) und S23(0∣0.5∣1.5)S_{23}(0|0.5|1.5).

Aufgabentyp 3: Schnittpunkt berechnen (Ebene aus drei Punkten)

Manchmal ist die Ebene nicht in einer fertigen Formel gegeben, sondern nur durch drei Punkte (z.B. A, B und C) definiert. Das ist typisch für Anwendungsaufgaben, bei denen z.B. eine Dachfläche oder ein Berghang durch drei Eckpunkte beschrieben wird.

In diesem Fall müssen wir die Arbeit in zwei große Phasen aufteilen:

Phase 1: Ebenengleichung aufstellen Zuerst müssen wir aus den drei Punkten eine brauchbare Ebenengleichung herleiten. Der beste Weg für das Schnittproblem ist die Koordinatenform, da wir dann wieder das einfache Verfahren aus Aufgabentyp 1 anwenden können.

Phase 2: Schnittpunkt berechnen Sobald wir die Koordinatenform der Ebene haben, ist der Rest bekannt. Wir setzen die Geradengleichung in die selbst erstellte Ebenengleichung ein und lösen nach dem Schnittpunkt auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

  1. Wähle einen der Punkte als Aufpunkt (z.B. A) und bilde von diesem Punkt aus die Vektoren zu den beiden anderen Punkten – das sind deine Spannvektoren.
  2. Berechne den Normalenvektor n⃗\vec{n} der Ebene durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren: n⃗=AB⃗×AC⃗\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}.
  3. Stelle die Koordinatenform auf: n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d, und berechne dd durch Einsetzen des Aufpunkts.
  4. Setze die allgemeinen Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung ein (wie in Aufgabentyp 1) und löse nach rr auf.
  5. Berechne den Schnittpunkt S, indem du den gefundenen Wert für rr in die Geradengleichung einsetzt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der geheime Code zum Öffnen eines Tresors sind die Koordinaten des Schnittpunkts SS der Geraden g:x⃗=(134)+t(4−2−1)g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ -1\end{array}\right) mit der Ebene HH, die durch die Punkte A(0∣−3∣−1)A(0|-3|-1), B(4∣2∣1)B(4|2|1) und C(1∣−1∣−1)C(1|-1|-1) verläuft. Berechnen Sie den Code.

Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Aufpunkt und Spannvektoren

    Aufpunkt: A(0∣−3∣−1)A(0|-3|-1). Spannvektor 1: AB⃗=b⃗−a⃗=(421)−(0−3−1)=(452)\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}. Spannvektor 2: AC⃗=c⃗−a⃗=(1−1−1)−(0−3−1)=(120)\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}.

  2. Schritt 2
    Normalenvektor berechnen

    n⃗=AB⃗×AC⃗=(452)×(120)=(5⋅0−2⋅22⋅1−4⋅04⋅2−5⋅1)=(−423)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 2 - 5 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.

  3. Schritt 3
    Koordinatenform aufstellen

    Mit n⃗=(−423)\vec{n} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} lautet die Gleichung: −4x1+2x2+3x3=d-4x_1 + 2x_2 + 3x_3 = d. Wir setzen Punkt A(0|-3|-1) ein, um d zu finden: −4(0)+2(−3)+3(−1)=d-4(0) + 2(-3) + 3(-1) = d 0−6−3=d  ⟹  d=−90 - 6 - 3 = d \implies d = -9. Die Ebenengleichung ist H:−4x1+2x2+3x3=−9H: -4x_1 + 2x_2 + 3x_3 = -9.

  4. Schritt 4 & 5
    Geradengleichung einsetzen und t berechnen

    Geradenkoordinaten: x1=1+4tx_1 = 1+4t, x2=3−2tx_2 = 3-2t, x3=4−tx_3 = 4-t. Einsetzen in H: −4(1+4t)+2(3−2t)+3(4−t)=−9-4(1+4t) + 2(3-2t) + 3(4-t) = -9 −4−16t+6−4t+12−3t=−9-4 - 16t + 6 - 4t + 12 - 3t = -9 14−23t=−9∣−1414 - 23t = -9 \quad | -14 −23t=−23∣:(−23)-23t = -23 \quad | :(-23) t=1t = 1.

  5. Schritt 6 · Ergebnis
    Schnittpunkt S berechnen

    t=1t=1 in g einsetzen: s⃗=(134)+1⋅(4−2−1)=(1+43−24−1)=(513)\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 \\ 3-2 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist S(5∣1∣3)S(5|1|3). Der geheime Code lautet 513.

Gerade schneidet Ebene durch drei Punkte im Raum
Gerade schneidet Ebene durch drei Punkte im Raum

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Drohne fliegt auf der Geraden g:x⃗=(0010)+r⋅(55−1)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}. Ein schräges Dach wird durch die Punkte A(0∣10∣4)A(0|10|4), B(10∣10∣2)B(10|10|2) und C(0∣0∣7)C(0|0|7) aufgespannt. Wo kollidiert die Drohne mit dem Dach?

Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Aufpunkt und Spannvektoren

    Aufpunkt A(0|10|4). Spannvektoren: AB⃗=(100−2)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, AC⃗=(0−103)\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 3 \end{pmatrix}.

  2. Schritt 2
    Normalenvektor berechnen

    n⃗=(100−2)×(0−103)=(0⋅3−(−2)⋅(−10)−2⋅0−10⋅310⋅(−10)−0⋅0)=(−20−30−100)\vec{n} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 3 - (-2) \cdot (-10) \\ -2 \cdot 0 - 10 \cdot 3 \\ 10 \cdot (-10) - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ -30 \\ -100 \end{pmatrix}. Wir können den Vektor vereinfachen, indem wir durch -10 teilen: n′⃗=(2310)\vec{n'} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}.

  3. Schritt 3
    Koordinatenform aufstellen

    Koordinatenform: 2x1+3x2+10x3=d2x_1 + 3x_2 + 10x_3 = d. Punkt A(0|10|4) einsetzen: 2(0)+3(10)+10(4)=0+30+40=702(0) + 3(10) + 10(4) = 0 + 30 + 40 = 70. Also d=70d=70. Ebene E:2x1+3x2+10x3=70E: 2x_1 + 3x_2 + 10x_3 = 70.

  4. Schritt 4 & 5
    Geradengleichung einsetzen und r berechnen

    Geradenkoordinaten x1=5r,x2=5r,x3=10−rx_1=5r, x_2=5r, x_3=10-r einsetzen: 2(5r)+3(5r)+10(10−r)=702(5r) + 3(5r) + 10(10-r) = 70 10r+15r+100−10r=7010r + 15r + 100 - 10r = 70 15r+100=70∣−10015r + 100 = 70 \quad | -100 15r=−30∣:1515r = -30 \quad | :15 r=−2r = -2.

  5. Schritt 6 · Ergebnis
    Schnittpunkt berechnen

    s⃗=(0010)−2⋅(55−1)=(−10−1012)\vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -10 \\ 12 \end{pmatrix}.

Ergebnis:

Die Drohne kollidiert im Punkt S(−10∣−10∣12)S(-10|-10|12). (Annahme: Das Dach ist unendlich groß.)

Beispiel 3

Aufgabe

Finden Sie den Schnittpunkt der Geraden g:x⃗=(116)+r⋅(01−2)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} mit der Ebene durch P(1∣0∣0)P(1|0|0), Q(0∣1∣0)Q(0|1|0) und R(0∣0∣1)R(0|0|1).

Fortschritt
5 / 5
  1. Schritt 1
    Aufpunkt und Spannvektoren

    Aufpunkt P(1|0|0). Spannvektoren: PQ⃗=(−110)\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, PR⃗=(−101)\vec{PR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

  2. Schritt 2
    Normalenvektor berechnen

    n⃗=(−110)×(−101)=(1⋅1−0⋅00⋅(−1)−(−1)⋅1(−1)⋅0−1⋅(−1))=(111)\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

  3. Schritt 3
    Koordinatenform aufstellen

    Koordinatenform: x1+x2+x3=dx_1 + x_2 + x_3 = d. Punkt P(1|0|0) einsetzen: 1+0+0=11+0+0 = 1. Also d=1d=1. Ebene E:x1+x2+x3=1E: x_1 + x_2 + x_3 = 1.

  4. Schritt 4 & 5
    Geradengleichung einsetzen und r berechnen

    Geradenkoordinaten x1=1,x2=1+r,x3=6−2rx_1=1, x_2=1+r, x_3=6-2r einsetzen: 1+(1+r)+(6−2r)=11 + (1+r) + (6-2r) = 1 8−r=1∣−88 - r = 1 \quad | -8 −r=−7  ⟹  r=7-r = -7 \implies r = 7.

  5. Schritt 6 · Ergebnis
    Schnittpunkt berechnen

    s⃗=(116)+7⋅(01−2)=(11+76−14)=(18−8)\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} + 7 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1+7 \\ 6-14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}.

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist S(1∣8∣−8)S(1|8|-8).

Wichtige Erkenntnisse

  • Der schnellste Weg, einen Schnittpunkt zu finden, ist die Kombination aus Gerade in Parameterform und Ebene in Koordinatenform.
  • Das Kernprinzip: Schreibe die Koordinaten der Geraden als Terme mit rr (z.B. x1=p1+r⋅u1x_1 = p_1 + r \cdot u_1) und setze diese in die Ebenengleichung ein.
  • Drei mögliche Ergebnisse: Eine Lösung für r bedeutet genau einen Schnittpunkt. Kein Lösung (Widerspruch, z.B. 2=5) bedeutet: Gerade und Ebene sind echt parallel. Unendlich viele Lösungen (wahre Aussage, z.B. 5=5) bedeutet: Die Gerade liegt in der Ebene.
  • Schnittpunkte mit Koordinatenebenen (Spurpunkte): Setze einfach die entsprechende Koordinate (x1x_1, x2x_2 oder x3x_3) der Geradengleichung gleich null.
  • Wenn die Ebene durch drei Punkte gegeben ist: Bilde zuerst die Koordinatenform der Ebene (über Spannvektoren und Kreuzprodukt), bevor du den Schnittpunkt berechnest.

Häufige Fragen

Was ist der Schnittpunkt von Gerade und Ebene?

Der Schnittpunkt von Gerade und Ebene ist der Punkt, der gleichzeitig auf der Geraden und in der Ebene liegt. Es gibt drei mögliche Fälle: genau ein Schnittpunkt (Gerade durchstößt die Ebene), kein Schnittpunkt (Gerade ist parallel zur Ebene) oder unendlich viele Schnittpunkte (Gerade liegt vollständig in der Ebene). In der Oberstufe ist dieser Schnittpunkt ein zentrales Thema der Vektorgeometrie.

Wie berechnest du den Schnittpunkt von Gerade und Ebene Schritt für Schritt?

Gehe in fünf Schritten vor:

  1. Notiere die Geradengleichung und die Ebenengleichung (Koordinatenform).
  2. Schreibe die Koordinaten der Geraden als Terme mit dem Parameter r auf: x₁ = p₁ + r·u₁ usw.
  3. Setze diese Terme in die Ebenengleichung ein.
  4. Löse die entstandene Gleichung nach r auf.
  5. Setze den Wert für r in die Geradengleichung ein – das Ergebnis ist der Schnittpunkt S.
Was sind Spurpunkte einer Geraden?

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den drei Koordinatenebenen (x₁x₂-, x₁x₃- und x₂x₃-Ebene). Da diese Ebenen besonders einfache Gleichungen haben – zum Beispiel x₃ = 0 für die x₁x₂-Ebene – setzt du einfach die jeweilige Koordinate der Geraden gleich null und löst nach dem Parameter r auf.

Was passiert, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist?

Wenn die Gerade parallel zur Ebene ist, entsteht beim Einsetzen der Geradenkoordinaten in die Ebenengleichung ein Widerspruch – zum Beispiel 2 = 5. Das bedeutet: Es gibt keinen Wert für r, der die Gleichung erfüllt, und damit auch keinen Schnittpunkt. Die Gerade und die Ebene haben dann einen konstanten Abstand zueinander.

Wie gehst du vor, wenn die Ebene nur durch drei Punkte gegeben ist?

Wenn die Ebene nur durch drei Punkte gegeben ist, arbeitest du in zwei Phasen. Phase 1: Bilde aus den drei Punkten zwei Spannvektoren, berechne daraus mit dem Kreuzprodukt den Normalenvektor und stelle die Koordinatenform der Ebene auf. Phase 2: Setze die Geradenkoordinaten in die Koordinatenform ein und berechne den Schnittpunkt wie gewohnt.

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