Was ist die Lagebeziehung von Gerade und Ebene?

Die Lagebeziehung von Gerade und Ebene beschreibt, wie eine Gerade und eine Ebene im Raum zueinander liegen. Es gibt drei Fälle: Die Gerade schneidet die Ebene in genau einem Punkt, die Gerade liegt in der Ebene (unendlich viele gemeinsame Punkte), oder die Gerade verläuft parallel zur Ebene und hat keinen gemeinsamen Punkt mit ihr. Welcher Fall vorliegt, zeigt sich beim Lösen des zugehörigen Gleichungssystems.

Wie berechnest du den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene?

Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter r auf. Erhältst du einen eindeutigen Wert für r , gibt es einen Schnittpunkt. Diesen berechnest du, indem du r in die Geradengleichung einsetzt. Ist die Ebene in Koordinatenform gegeben, entfällt das LGS – du setzt die drei Koordinatenausdrücke der Geraden direkt in die Ebenengleichung ein.

Woran erkennst du, dass eine Gerade parallel zur Ebene verläuft?

Eine Gerade ist parallel zur Ebene , wenn das Gleichungssystem beim Gleichsetzen beider Gleichungen zu einem Widerspruch führt – zum Beispiel zur falschen Aussage 3 = 0 . Das bedeutet: Es gibt keinen gemeinsamen Punkt. Beim Einsetzverfahren mit Koordinatenform erkennst du die Parallelität daran, dass der Parameter aus der Gleichung herausfällt und eine falsche Aussage übrig bleibt.

Was ist der Unterschied zwischen Parameterform und Koordinatenform beim Bestimmen der Lagebeziehung?

Liegt die Ebene in Parameterform vor, musst du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen aufstellen und lösen – das ist aufwändiger. Liegt die Ebene in Koordinatenform vor, setzt du die Geradenkoordinaten direkt ein und erhältst sofort eine Gleichung in r . Das Einsetzverfahren ist deutlich schneller und fehlerunanfälliger.

Wie weist du nach, dass eine Gerade senkrecht auf einer Ebene steht?

Eine Gerade steht genau dann senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor linear abhängig vom Normalenvektor der Ebene ist – bei Koordinatenform. Bei Parameterform prüfst du, ob das Skalarprodukt des Richtungsvektors mit beiden Spannvektoren der Ebene jeweils null ergibt. Nur wenn beide Skalarprodukte null sind, ist die Orthogonalität bewiesen.

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Die Lagebeziehung von Gerade und Ebene ist ein zentrales Thema der Vektorgeometrie – und gar nicht so schwer, wenn du weißt, wonach du suchst. Stell dir vor, du programmierst ein Videospiel: Ein Laserstrahl (eine Gerade) schießt durch den Raum und trifft auf ein Energieschild (eine Ebene). Trifft der Laser das Schild? Fliegt er parallel daran vorbei? Oder gleitet er vielleicht sogar auf dem Schild entlang? Genau diese Fragen beantwortet die Vektorgeometrie. Wenn du die Lagebeziehung zwischen Geraden und Ebenen berechnen kannst, kannst du Kollisionen vorhersagen, Flugbahnen planen und die unsichtbare Mathematik hinter 3D-Welten verstehen.

Vorwissen

Bevor wir starten, frischen wir ein paar Grundlagen auf:

Geradengleichung in Parameterform: Beschreibt alle Punkte auf einer Geraden.
- Formel: $g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{v}$
- Beispiel: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)$ beschreibt eine Gerade, die durch den Punkt (1|2|3) geht und in Richtung des Vektors $\vec{v}$ verläuft.
Ebenengleichung in Parameterform: Beschreibt alle Punkte auf einer Ebene.
- Formel: $E: \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{w}$
- Beispiel: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)$ beschreibt eine Ebene, die durch den Punkt (1|1|1) geht und von den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{w}$ aufgespannt wird.
Ebenengleichung in Koordinatenform: Eine andere Art, eine Ebene zu beschreiben.
- Formel: $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$
- Beispiel: $2x_1 + 3x_2 - x_3 = 6$ . Der Vektor $\vec{n} = \left(\begin{array}{c}2\\3\\-1\end{array}\right)$ ist der Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
Skalarprodukt: Ein Werkzeug, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu prüfen. Ist das Ergebnis 0, stehen sie senkrecht (orthogonal) zueinander.
- Formel: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$
- Beispiel: $\left(\begin{array}{c}1\\2\\-2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}4\\-1\\1\end{array}\right) = 1\cdot4 + 2\cdot(-1) + (-2)\cdot1 = 4 - 2 - 2 = 0$ . Die Vektoren sind orthogonal.
Lineare Abhängigkeit: Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Sie zeigen also in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung.
- Prüfung: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$
- Beispiel: $\left(\begin{array}{c}2\\4\\-6\end{array}\right)$ ist linear abhängig von $\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)$ , weil $\left(\begin{array}{c}2\\4\\-6\end{array}\right) = 2 \cdot \left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)$ .

Aufgabentyp 1: Lagebeziehung bestimmen (beides in Parameterform)

Wenn sowohl die Gerade als auch die Ebene in Parameterform gegeben sind, suchen wir nach gemeinsamen Punkten, indem wir die beiden Gleichungen gleichsetzen. Das Ergebnis ist ein lineares Gleichungssystem (LGS). Die Anzahl der Lösungen des LGS verrät uns die Lagebeziehung.

Es gibt drei mögliche Fälle:

Ein Schnittpunkt: Das LGS hat genau eine Lösung. Die Gerade durchstößt die Ebene an einem einzigen Punkt.

Gerade liegt in der Ebene: Das LGS hat unendlich viele Lösungen (z.B. eine wahre Aussage wie $0=0$ ). Jeder Punkt der Geraden ist auch ein Punkt der Ebene.

Gerade ist parallel zur Ebene: Das LGS hat keine Lösung (z.B. eine falsche Aussage wie $5=0$ ). Die Gerade und die Ebene haben keine gemeinsamen Punkte und verlaufen parallel zueinander.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Setze die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich: $\vec{p} + r \cdot \vec{v} = \vec{q} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{w}$ .
Stelle das lineare Gleichungssystem (LGS) auf, indem du alle Terme mit Parametern auf eine Seite bringst.
Löse das LGS mit einem Verfahren deiner Wahl (z.B. Einsetzungs- oder Additionsverfahren).
Interpretiere die Lösung: eine Lösung → Schnittpunkt; unendlich viele → Gerade in der Ebene; keine → Gerade parallel zur Ebene.
Berechne den Schnittpunkt, indem du den gefundenen Wert für $r$ in die Geradengleichung einsetzt (falls ein Schnittpunkt existiert).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Lagebeziehung zwischen der Geraden $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2\\-3\\2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right)$ und der Ebene $E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\1\\1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0\\-1\\2\end{array}\right)$ . Berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Geraden- und Ebenengleichung gleichsetzen
$\left(\begin{array}{c}2\\-3\\2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-3\\1\\1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0\\-1\\2\end{array}\right)$
Schritt 2
Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen
Wir bringen alle Vektoren mit Parametern nach rechts und die Zahlenvektoren nach links:

$\left(\begin{array}{c}2 - (-3)\\-3 - 1\\2 - 1\end{array}\right) = -r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right) + s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0\\-1\\2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}5\\-4\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-r + s\\ r - 2s - t\\ -3r - s + 2t\end{array}\right)$

Das ergibt das LGS:

$\text{(I)}: 5 = -r + s$

$\text{(II)}: -4 = r - 2s - t$

$\text{(III)}: 1 = -3r - s + 2t$
Schritt 3
LGS lösen
Aus (I) formen wir um zu $s = 5+r$ .

Einsetzen in (II):

$-4 = r - 2(5+r) - t$

$-4 = r - 10 - 2r - t$

$6 = -r - t \to t = -r - 6$

Einsetzen von s und t in (III):

$1 = -3r - (5+r) + 2(-r-6)$

$1 = -3r - 5 - r - 2r - 12$

$1 = -6r - 17$

$18 = -6r$

$r = -3$

Jetzt finden wir s und t:

$s = 5 + (-3) = 2$

$t = -(-3) - 6 = 3 - 6 = -3$
Schritt 4
Lösung interpretieren
Wir haben eine eindeutige Lösung ( $r=-3, s=2, t=-3$ ). Also gibt es einen Schnittpunkt.
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt berechnen
Wir setzen $r = -3$ in die Geradengleichung ein:

$\vec{x} = \left(\begin{array}{c}2\\-3\\2\end{array}\right) + (-3) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2-3\\-3+3\\2-9\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\0\\-7\end{array}\right)$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist $S(-1|0|-7)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Untersuche die Lage der Geraden $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$ zur Ebene $E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\-1\end{array}\right)$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Gleichsetzen und LGS aufstellen
$\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\-1\end{array}\right)$

Da der Stützvektor auf beiden Seiten identisch ist, fällt er weg:

$r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) = s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\-1\end{array}\right)$

Das LGS lautet:

$\text{(I)}: r = s + 2t$

$\text{(II)}: r = s$

$\text{(III)}: r = s - t$
Schritt 3
LGS lösen
Setzen wir (II) in (I) ein:

$s = s + 2t \to 0 = 2t \to t=0$

Setzen wir (II) und $t=0$ in (III) ein:

$s = s - 0 \to s=s$ oder $0=0$ .
Schritt 4
Lösung interpretieren
Die Gleichung $0=0$ ist eine wahre Aussage, die immer gilt. Das bedeutet, es gibt unendlich viele Lösungen. Die Gerade liegt in der Ebene.
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt berechnen
Da die Gerade in der Ebene liegt, gibt es unendlich viele Schnittpunkte (alle Punkte der Geraden).

Ergebnis:

Die Gerade liegt vollständig in der Ebene.

Beispiel 3

Aufgabe

Prüfe die Lagebeziehung der Geraden $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}5\\5\\5\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$ und der Ebene $E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Gleichsetzen und LGS aufstellen
$\left(\begin{array}{c}5\\5\\5\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}4\\4\\5\end{array}\right) = (s-r) \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$

Das LGS lautet:

$\text{(I)}: 4 = s - r$

$\text{(II)}: 4 = s - r$

$\text{(III)}: 5 = t$
Schritt 3
LGS lösen
Aus (III) wissen wir direkt, dass $t=5$ . Die Gleichungen (I) und (II) sind identisch. Sie sagen beide $s-r=4$ . Wir können keine eindeutige Lösung für s und r finden, aber auch keinen Widerspruch. Der Richtungsvektor der Geraden ist gleich einem der Spannvektoren. Prüfen wir, ob der Aufpunkt der Geraden (5|5|5) in der Ebene liegt:

$\left(\begin{array}{c}5\\5\\5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$

$\text{(I)}: 5 = 1 + s \to s=4$

$\text{(II)}: 5 = 1 + s \to s=4$

$\text{(III)}: 5 = 0 + t \to t=5$

Die Werte für s und t sind konsistent, aber der Aufpunkt der Geraden liegt in der Ebene. Der Richtungsvektor der Geraden ist auch eine Linearkombination der Spannvektoren. Daher liegt die Gerade in der Ebene. Das LGS $s-r=4$ und $t=5$ hat unendlich viele Lösungen (wähle r, dann ist s bestimmt). Also liegt die Gerade in der Ebene.
Schritt 4 · Ergebnis
Lösung interpretieren
Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Die Gerade liegt in der Ebene.

Ergebnis:

Die Gerade liegt vollständig in der Ebene.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben sind $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\10\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)$ und $E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$ . Bestimme die Lage.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Gleichsetzen und LGS aufstellen
$\left(\begin{array}{c}0\\0\\10\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\9\end{array}\right) = (s-r) \cdot\left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$

Das LGS lautet:

$\text{(I)}: -1 = 2(s-r) + t$

$\text{(II)}: -1 = -(s-r) + t$

$\text{(III)}: 9 = t$
Schritt 3
LGS lösen
Aus (III) wissen wir direkt, dass $t=9$ .

Setzen wir $t=9$ in (I) ein:

$-1 = 2(s-r) + 9 \to -10 = 2(s-r) \to s-r = -5$

Setzen wir $t=9$ in (II) ein:

$-1 = -(s-r) + 9 \to -10 = -(s-r) \to s-r = 10$

Wir haben jetzt zwei Gleichungen: $s-r = -5$ und $s-r = 10$ . Das ist ein Widerspruch, denn eine Zahl kann nicht gleichzeitig -5 und 10 sein.
Schritt 4 · Ergebnis
Lösung interpretieren
Das LGS hat keine Lösung. Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.

Ergebnis:

Die Gerade ist parallel zur Ebene – kein Schnittpunkt.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Lichtstrahl startet bei $P(0|0|5)$ in Richtung $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\-1\end{array}\right)$ . Er trifft auf eine Glasscheibe, die durch die Punkte $A(3|0|0)$ , $B(0|3|0)$ und $C(0|0|3)$ aufgespannt wird. Wo durchdringt der Strahl die Scheibe?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Gleichsetzen und LGS aufstellen
$\left(\begin{array}{c}r\\2r\\5-r\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}3-3s-3t\\3s\\3t\end{array}\right)$

$\text{(I)}: r = 3 - 3s - 3t$

$\text{(II)}: 2r = 3s \to s = \frac{2}{3}r$

$\text{(III)}: 5-r = 3t \to t = \frac{5-r}{3}$
Schritt 3
LGS lösen
Wir setzen s und t in (I) ein:

$r = 3 - 3(\frac{2}{3}r) - 3(\frac{5-r}{3})$

$r = 3 - 2r - (5-r)$

$r = 3 - 2r - 5 + r$

$r = -2 - r$

$2r = -2$

$r = -1$
Schritt 4
Lösung interpretieren
Es gibt eine eindeutige Lösung. Es gibt einen Schnittpunkt.
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt berechnen
Wir setzen $r = -1$ in die Geradengleichung ein:

$\vec{x} = \left(\begin{array}{c}0\\0\\5\end{array}\right) + (-1) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\2\\-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1\\-2\\6\end{array}\right)$

Ergebnis:

Der Lichtstrahl durchdringt die Scheibe im Punkt $S(-1|-2|6)$ .

Aufgabentyp 2: Lagebeziehung bestimmen (Gerade in Parameter-, Ebene in Koordinatenform)

Wenn die Ebene in Koordinatenform ( $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ ) gegeben ist, wird die Berechnung der Lagebeziehung von Gerade und Ebene viel einfacher. Wir müssen kein LGS lösen.

Die Idee ist, einen „allgemeinen Punkt" der Geraden zu nehmen und zu testen, ob er die Ebenengleichung erfüllt. Die Koordinaten dieses allgemeinen Punktes hängen vom Parameter $r$ ab. Wir setzen diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und erhalten eine einfache Gleichung, die nur noch $r$ enthält.

Auch hier gibt es wieder drei Fälle:

Ein Schnittpunkt: Die Gleichung für $r$ hat genau eine Lösung (z.B. $r=5$ ).
Gerade liegt in der Ebene: Die Gleichung für $r$ führt zu einer allgemeingültigen Aussage (z.B. $10=10$ ).
Gerade ist parallel zur Ebene: Die Gleichung für $r$ führt zu einem Widerspruch (z.B. $10=5$ ).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schreibe die drei Zeilen der Geradengleichung als einzelne Terme auf: $x_1 = p_1 + r \cdot v_1$ , $x_2 = p_2 + r \cdot v_2$ , $x_3 = p_3 + r \cdot v_3$ .
Setze die Terme in die Koordinatengleichung der Ebene $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ ein.
Löse die entstandene Gleichung nach dem Parameter $r$ auf.
Interpretiere das Ergebnis: eindeutiger Wert → Schnittpunkt; wahre Aussage → Gerade in der Ebene; falsche Aussage → Gerade parallel zur Ebene.
Berechne den Schnittpunkt, indem du den gefundenen Wert für $r$ in die Geradengleichung einsetzt (falls vorhanden).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Lagebeziehung zwischen der Ebene $E: x_1+8x_2+2x_3+18=0$ und der Geraden $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\-2\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}5\\0\\-4\end{array}\right)$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Koordinaten der Geraden als Terme aufschreiben
$x_1 = 3+5\lambda$

$x_2 = 2$

$x_3 = -2-4\lambda$
Schritt 2
Terme in die Ebenengleichung einsetzen
Wir setzen die Terme in $E: x_1+8x_2+2x_3+18=0$ ein:

$(3+5\lambda) + 8 \cdot (2) + 2 \cdot (-2-4\lambda) + 18 = 0$
Schritt 3
Gleichung nach dem Parameter auflösen
$3 + 5\lambda + 16 - 4 - 8\lambda + 18 = 0$

$33 - 3\lambda = 0$

$33 = 3\lambda$

$\lambda = 11$
Schritt 4
Ergebnis interpretieren
Wir haben einen eindeutigen Wert für $\lambda$ . Also gibt es einen Schnittpunkt.
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt berechnen
Wir setzen $\lambda = 11$ in die Geradengleichung ein:

$\vec{x} = \left(\begin{array}{c}3\\2\\-2\end{array}\right) + 11 \cdot \left(\begin{array}{c}5\\0\\-4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}3+55\\2+0\\-2-44\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}58\\2\\-46\end{array}\right)$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist $S(58|2|-46)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Untersuche die Lage der Geraden $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\5\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)$ zur Ebene $E: x_1 - 2x_2 = -1$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Koordinaten der Geraden als Terme aufschreiben
$x_1 = 1+2r$

$x_2 = 1+r$

$x_3 = 5$
Schritt 2
Terme in die Ebenengleichung einsetzen
$(1+2r) - 2(1+r) = -1$
Schritt 3
Gleichung nach dem Parameter auflösen
$1 + 2r - 2 - 2r = -1$

$-1 = -1$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Die Gleichung $-1=-1$ ist eine wahre Aussage, die für jeden Wert von $r$ gilt. Daher liegt die Gerade in der Ebene.

Ergebnis:

Die Gerade liegt vollständig in der Ebene.

Beispiel 3

Aufgabe

Prüfe die Lagebeziehung der Geraden $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)$ und der Ebene $E: x_1 - 2x_2 = -1$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Koordinaten der Geraden als Terme aufschreiben
$x_1 = 3+2r$

$x_2 = 3+r$

$x_3 = 3$
Schritt 2
Terme in die Ebenengleichung einsetzen
$(3+2r) - 2(3+r) = -1$
Schritt 3
Gleichung nach dem Parameter auflösen
$3 + 2r - 6 - 2r = -1$

$-3 = -1$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Die Gleichung $-3=-1$ ist eine falsche Aussage. Es gibt keine Lösung für $r$ . Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.

Ergebnis:

Die Gerade ist parallel zur Ebene – kein gemeinsamer Punkt.

Beispiel 4

Aufgabe

Wo schneidet die $x_3$ -Achse die Ebene $E: 4x_1 + 5x_2 + 2x_3 = 10$ ?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Koordinaten der Geraden als Terme aufschreiben
Die $x_3$ -Achse ist eine Gerade, die durch den Ursprung $(0|0|0)$ geht und den Richtungsvektor $\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$ hat. Die Geradengleichung ist also $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$ .

$x_1 = 0$

$x_2 = 0$

$x_3 = r$
Schritt 2
Terme in die Ebenengleichung einsetzen
$4(0) + 5(0) + 2(r) = 10$
Schritt 3
Gleichung nach dem Parameter auflösen
$2r = 10$

$r = 5$
Schritt 4
Ergebnis interpretieren
Es gibt einen eindeutigen Wert für $r$ . Es gibt einen Schnittpunkt.
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt berechnen
Wir setzen $r=5$ in die Geradengleichung ein:

$\vec{x} = \left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right) + 5 \cdot \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\0\\5\end{array}\right)$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist $S(0|0|5)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Flugzeug fliegt entlang der Geraden $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}100\\200\\5000\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}50\\-20\\0\end{array}\right)$ . Eine Wolkenschicht kann durch die Ebene $E: x_3 = 4500$ beschrieben werden. Durchdringt das Flugzeug die Wolkenschicht?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Koordinaten der Geraden als Terme aufschreiben
$x_1 = 100+50t$

$x_2 = 200-20t$

$x_3 = 5000$
Schritt 2
Terme in die Ebenengleichung einsetzen
Die Ebenengleichung ist $x_3 = 4500$ . Wir setzen den Term für $x_3$ ein:

$5000 = 4500$
Schritt 3
Gleichung nach dem Parameter auflösen
Die Gleichung $5000=4500$ ist ein Widerspruch und enthält den Parameter $t$ gar nicht.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis interpretieren
Dies ist eine falsche Aussage. Das Flugzeug fliegt parallel zur Wolkenschicht (in diesem Fall 500 Meter darüber) und durchdringt sie nicht.

Ergebnis:

Das Flugzeug ist parallel zur Wolkenschicht und durchdringt sie nicht.

Aufgabentyp 3: Orthogonalität nachweisen (beides in Parameterform)

Eine Gerade steht senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor senkrecht auf der Ebene steht. Eine Ebene wird durch ihre zwei Spannvektoren aufgespannt.

Daher gilt: Die Gerade ist genau dann orthogonal zur Ebene, wenn ihr Richtungsvektor orthogonal zu beiden Spannvektoren der Ebene ist.

Um die Orthogonalität von zwei Vektoren zu prüfen, verwenden wir das Skalarprodukt. Wenn das Skalarprodukt null ist, sind die Vektoren orthogonal.

Gerade steht senkrecht auf Ebene, Skalarprodukt null

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere den Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden und die beiden Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{w}$ der Ebene.
Berechne das erste Skalarprodukt $\vec{v} \cdot \vec{u}$ .
Berechne das zweite Skalarprodukt $\vec{v} \cdot \vec{w}$ .
Prüfe die Ergebnisse: Sind beide Skalarprodukte null → Gerade ist orthogonal zur Ebene; ist mindestens eines ungleich null → Gerade ist nicht orthogonal.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Weise nach, dass die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2\\1\\-1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)$ senkrecht zur Ebene $E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\4\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}4\\2\\3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)$ verläuft.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Richtungsvektor der Geraden: $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)$

Spannvektoren der Ebene: $\vec{u} = \left(\begin{array}{c}4\\2\\3\end{array}\right)$ und $\vec{w} = \left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)$
Schritt 2
Erstes Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}4\\2\\3\end{array}\right) = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 4 + 2 - 6 = 0$
Schritt 3
Zweites Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 = 2 + 0 - 2 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse prüfen
Beide Skalarprodukte sind null. Daher ist die Gerade $g$ orthogonal zur Ebene $E$ .

Ergebnis:

Die Gerade verläuft senkrecht zur Ebene.

Beispiel 2

Aufgabe

Ist die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}3\\-1\\1\end{array}\right)$ orthogonal zur Ebene $E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\-1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Richtungsvektor: $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}3\\-1\\1\end{array}\right)$

Spannvektoren: $\vec{u} = \left(\begin{array}{c}1\\2\\-1\end{array}\right)$ und $\vec{w} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$
Schritt 2
Erstes Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c}3\\-1\\1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\2\\-1\end{array}\right) = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 3 - 2 - 1 = 0$

Das erste Skalarprodukt ist 0. Wir müssen noch das zweite prüfen.
Schritt 3
Zweites Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c}3\\-1\\1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3 - 1 + 1 = 3$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse prüfen
Das zweite Skalarprodukt ist 3 (und nicht 0). Daher ist die Gerade $g$ nicht orthogonal zur Ebene $E$ .

Ergebnis:

Die Gerade ist nicht orthogonal zur Ebene.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Mast wird senkrecht auf einer schiefen Rampe montiert. Der Mast verläuft in Richtung $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}6\\-8\\10\end{array}\right)$ . Die Rampe wird aufgespannt durch $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}5\\0\\-3\end{array}\right)$ und $\vec{w}=\left(\begin{array}{c}4\\3\\0\end{array}\right)$ . Steht der Mast wirklich senkrecht?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Richtungsvektor (Mast): $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}6\\-8\\10\end{array}\right)$

Spannvektoren (Rampe): $\vec{u} = \left(\begin{array}{c}5\\0\\-3\end{array}\right)$ und $\vec{w} = \left(\begin{array}{c}4\\3\\0\end{array}\right)$
Schritt 2
Erstes Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c}6\\-8\\10\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}5\\0\\-3\end{array}\right) = 6 \cdot 5 + (-8) \cdot 0 + 10 \cdot (-3) = 30 + 0 - 30 = 0$
Schritt 3
Zweites Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c}6\\-8\\10\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}4\\3\\0\end{array}\right) = 6 \cdot 4 + (-8) \cdot 3 + 10 \cdot 0 = 24 - 24 + 0 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse prüfen
Beide Skalarprodukte sind null. Ja, der Mast steht senkrecht auf der Rampe.

Ergebnis:

Der Mast steht orthogonal auf der Rampe.

Beispiel 4

Aufgabe

Prüfe, ob die $x_3$ -Achse senkrecht auf der $x_1x_2$ -Ebene steht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Die $x_3$ -Achse hat den Richtungsvektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$ .

Die $x_1x_2$ -Ebene wird durch die Achsenvektoren $\vec{u} = \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)$ und $\vec{w} = \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)$ aufgespannt.
Schritt 2
Erstes Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$
Schritt 3
Zweites Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse prüfen
Beide Skalarprodukte sind null. Die $x_3$ -Achse steht orthogonal auf der $x_1x_2$ -Ebene.

Ergebnis:

Die $x_3$ -Achse steht senkrecht auf der $x_1x_2$ -Ebene.

Beispiel 5

Aufgabe

Ist $g: \vec{x}=r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$ orthogonal zu $E: \vec{x}=s \cdot\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Richtungsvektor: $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$

Spannvektoren: $\vec{u} = \left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)$ und $\vec{w} = \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)$
Schritt 2
Erstes Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 1 - 1 + 0 = 0$
Schritt 3
Zweites Skalarprodukt berechnen
$\vec{v} \cdot \vec{w} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0 + 1 - 1 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnisse prüfen
Beide Skalarprodukte sind null. Ja, die Gerade ist orthogonal zur Ebene.

Ergebnis:

Die Gerade ist orthogonal zur Ebene.

Aufgabentyp 4: Orthogonalität nachweisen (Gerade in Parameter-, Ebene in Koordinatenform)

Dies ist der schnellste Weg, um die Orthogonalität von Gerade und Ebene zu prüfen. Eine Ebene in Koordinatenform $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ hat einen Normalenvektor $\vec{n} = \left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ . Dieser Vektor steht per Definition senkrecht auf der Ebene.

Eine Gerade ist also genau dann orthogonal zur Ebene, wenn ihr Richtungsvektor in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung wie der Normalenvektor der Ebene zeigt. Mit anderen Worten: Der Richtungsvektor muss linear abhängig vom Normalenvektor sein.

Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lies den Richtungsvektor $\vec{v}$ aus der Geradengleichung ab und den Normalenvektor $\vec{n}$ aus den Koeffizienten der Ebenengleichung.
Prüfe die lineare Abhängigkeit: Gibt es ein $k$ mit $\vec{v} = k \cdot \vec{n}$ ? Vergleiche die Verhältnisse $\frac{v_1}{n_1} = \frac{v_2}{n_2} = \frac{v_3}{n_3}$ .
Schlussfolgere: Vektoren linear abhängig → Gerade orthogonal zur Ebene; nicht linear abhängig → Gerade nicht orthogonal zur Ebene.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Begründe, dass die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}7\\3\\3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)$ orthogonal zur Ebene $E: 3x_1 - x_3 = -2$ ist.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Richtungsvektor der Geraden: $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)$

Normalenvektor der Ebene $E: 3x_1 + 0x_2 - 1x_3 = -2$ : $\vec{n} = \left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)$
Schritt 2
Lineare Abhängigkeit prüfen
Wir prüfen, ob $\vec{v} = k \cdot \vec{n}$ gilt:

$\left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right) = k \cdot \left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)$

Man sieht sofort, dass dies für $k=1$ erfüllt ist.
Schritt 3 · Ergebnis
Schlussfolgerung
Die Vektoren sind linear abhängig. Daher ist die Gerade $g$ orthogonal zur Ebene $E$ .

Ergebnis:

Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene.

Beispiel 2

Aufgabe

Ist die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}-4\\2\\-6\end{array}\right)$ orthogonal zur Ebene $E: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 5$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Richtungsvektor: $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}-4\\2\\-6\end{array}\right)$

Normalenvektor: $\vec{n} = \left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}\right)$
Schritt 2
Lineare Abhängigkeit prüfen
Wir prüfen, ob $\vec{v} = k \cdot \vec{n}$ gilt:

$\left(\begin{array}{c}-4\\2\\-6\end{array}\right) = k \cdot \left(\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}\right)$

Wir prüfen die Zeilen einzeln:

$-4 = k \cdot 2 \to k = -2$

$2 = k \cdot (-1) \to k = -2$

$-6 = k \cdot 3 \to k = -2$

Der Faktor $k$ ist für alle Zeilen gleich (-2).
Schritt 3 · Ergebnis
Schlussfolgerung
Die Vektoren sind linear abhängig. Die Gerade ist orthogonal zur Ebene.

Ergebnis:

Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene.

Beispiel 3

Aufgabe

Steht die Gerade $g: \vec{x}=r \cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$ senkrecht auf der Ebene $E: x_1 + x_2 = 10$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Richtungsvektor: $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$

Normalenvektor aus $E: 1x_1 + 1x_2 + 0x_3 = 10$ : $\vec{n} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$
Schritt 2
Lineare Abhängigkeit prüfen
Wir prüfen, ob $\vec{v} = k \cdot \vec{n}$ gilt:

$\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) = k \cdot \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$

Aus der ersten Zeile folgt $1 = k \cdot 1 \to k=1$ .

Aus der dritten Zeile folgt $1 = k \cdot 0 \to 1=0$ . Dies ist ein Widerspruch.
Schritt 3 · Ergebnis
Schlussfolgerung
Die Vektoren sind nicht linear abhängig. Die Gerade ist nicht orthogonal zur Ebene.

Ergebnis:

Die Gerade steht nicht senkrecht auf der Ebene.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Bohrung soll senkrecht zu einer Tischplatte mit der Gleichung $E: 15x_1 - 25x_2 = 5$ erfolgen. Der Bohrer bewegt sich entlang des Vektors $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\-5\\0\end{array}\right)$ . Ist die Ausrichtung korrekt?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Richtungsvektor (Bohrer): $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}3\\-5\\0\end{array}\right)$

Normalenvektor (Tischplatte): $\vec{n} = \left(\begin{array}{c}15\\-25\\0\end{array}\right)$
Schritt 2
Lineare Abhängigkeit prüfen
Wir prüfen, ob $\vec{v} = k \cdot \vec{n}$ gilt. Es ist oft einfacher, den größeren Vektor durch den kleineren auszudrücken: $\vec{n} = k \cdot \vec{v}$ .

$\left(\begin{array}{c}15\\-25\\0\end{array}\right) = k \cdot \left(\begin{array}{c}3\\-5\\0\end{array}\right)$

$15 = k \cdot 3 \to k = 5$

$-25 = k \cdot (-5) \to k = 5$

$0 = k \cdot 0$ (gilt für jedes k)

Der Faktor $k=5$ ist konsistent.
Schritt 3 · Ergebnis
Schlussfolgerung
Die Vektoren sind linear abhängig. Die Ausrichtung des Bohrers ist korrekt.

Ergebnis:

Der Bohrer steht senkrecht auf der Tischplatte.

Beispiel 5

Aufgabe

Begründe, warum die $x_1$ -Achse nicht senkrecht zur Ebene $E: x_1+x_2+x_3=1$ steht.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vektoren identifizieren
Die $x_1$ -Achse hat den Richtungsvektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)$ .

Die Ebene hat den Normalenvektor $\vec{n} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$ .
Schritt 2
Lineare Abhängigkeit prüfen
Wir prüfen, ob $\vec{v} = k \cdot \vec{n}$ gilt:

$\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) = k \cdot \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$

Aus der ersten Zeile folgt $1 = k \cdot 1 \to k=1$ .

Setzen wir $k=1$ in die zweite Zeile ein: $0 = 1 \cdot 1 \to 0=1$ . Dies ist ein Widerspruch.
Schritt 3 · Ergebnis
Schlussfolgerung
Der Richtungsvektor der $x_1$ -Achse ist nicht linear abhängig vom Normalenvektor der Ebene. Daher steht die Achse nicht senkrecht auf der Ebene.

Ergebnis:

Die $x_1$ -Achse steht nicht senkrecht auf der Ebene $E$ .

Wichtige Erkenntnisse

Lagebeziehung bestimmen: Immer die Gleichungen gleichsetzen oder einsetzen, um gemeinsame Punkte zu finden.
Parameterform vs. Koordinatenform: Ist die Ebene in Koordinatenform gegeben, ist das Einsetzverfahren viel schneller als das LGS zu lösen.
Die Anzahl der Lösungen entscheidet:
- Eine Lösung → Schnittpunkt
- Unendlich viele Lösungen → Gerade liegt in der Ebene
- Keine Lösung → Gerade ist parallel
Orthogonalität prüfen (der schnelle Weg): Wenn die Ebene in Koordinatenform vorliegt, prüfe ob der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist (lineare Abhängigkeit).
Orthogonalität prüfen (der allgemeine Weg): Wenn die Ebene in Parameterform vorliegt, prüfe ob der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf beiden Spannvektoren steht (Skalarprodukt muss jeweils 0 sein).

Lagebeziehung Gerade und Ebene einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Lagebeziehung bestimmen (beides in Parameterform)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Lagebeziehung bestimmen (Gerade in Parameter-, Ebene in Koordinatenform)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Orthogonalität nachweisen (beides in Parameterform)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Orthogonalität nachweisen (Gerade in Parameter-, Ebene in Koordinatenform)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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