Gleichungen als Schnittpunkte interpretieren einfach erklärt

Stell dir vor, du steuerst eine Drohne. Auf deiner Fernbedienung siehst du eine Kurve, die die Flughöhe der Drohne über die Zeit anzeigt. Du möchtest wissen: Zu welchem genauen Zeitpunkt erreicht die Drohne die gesetzte Zielhöhe von $50 \text{ m}$?

Um solche Fragen zu beantworten, müssen wir Gleichungen als Schnittpunkte interpretieren und herausfinden, wann eine mathematische Funktion einen ganz bestimmten Wert erreicht. In diesem Artikel lernst du, wie du solche Probleme sowohl durch Rechnen als auch ganz einfach durch das Ablesen von Graphen lösen kannst!

Vorwissen

Bevor wir Gleichungen als Schnittpunkte interpretieren, solltest du diese Grundlagen beherrschen:

• Äquivalenzumformungen: Was man auf der einen Seite einer Gleichung tut, muss man auch auf der anderen tun. Beispiel: $2x - 4 = 10 \quad | + 4 \implies 2x = 14$
• Wurzelziehen bei Gleichungen: Wenn man die Wurzel aus einer quadrierten Variable zieht, gibt es meistens zwei Lösungen (eine positive und eine negative). Beispiel: $x^2 = 25 \implies x = 5 \text{ oder } x = -5$

Aufgabentyp 1: Ungleichungen und einfache Funktionen auflösen

Wenn wir herausfinden wollen, wann eine Funktion $f(x)$ einen bestimmten Wert $c$ erreicht, setzen wir sie gleich: $f(x) = c$. Grafisch gesehen suchen wir den Schnittpunkt unserer Funktion mit einer waagerechten Linie auf der Höhe $c$.

Manchmal wollen wir aber nicht wissen, wann ein Wert genau erreicht wird, sondern wann er überschritten wird. Dann stellen wir eine Ungleichung auf, wie zum Beispiel $f(x) \ge c$.

Nehmen wir an, wir haben die Funktion $f(x) = 2x^2$ und wollen wissen, für welche $x$-Werte das Ergebnis größer oder gleich $18$ ist. Wir stellen die Ungleichung auf und lösen nach $x$ auf:

$2x^2 \ge 18 \quad | \div 2$

$x^2 \ge 9$

Wenn wir nun die Wurzel ziehen, müssen wir aufpassen. Welche Zahlen ergeben quadriert $9$ oder mehr? Das sind alle Zahlen, die $3$ oder größer sind (denn $3^2 = 9$ und $4^2 = 16$). Es sind aber auch alle Zahlen, die $-3$ oder kleiner sind (denn $(-3)^2 = 9$ und $(-4)^2 = 16$).

Die Lösung spaltet sich also auf in:

$x \ge 3 \text{ oder } x \le -3$

Aufgabentyp 2: Gleichungen mit Brüchen lösen

Oft sind Funktionen etwas komplizierter aufgebaut, zum Beispiel als Bruch. Das Prinzip bleibt aber gleich: Wir setzen die Funktion mit unserem Zielwert gleich und lösen nach $x$ auf.

Das wichtigste Werkzeug bei Brüchen ist es, den Nenner (den unteren Teil des Bruchs) wegzubekommen. Das schaffen wir, indem wir die gesamte Gleichung mit genau diesem Nenner multiplizieren.

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel an: $\frac{x^2}{x^2 + 1} = 0{,}5$.

Um den Bruch aufzulösen, multiplizieren wir beide Seiten mit dem kompletten Nenner $(x^2 + 1)$:

$x^2 = 0{,}5 \cdot (x^2 + 1)$

Jetzt können wir die Klammer auf der rechten Seite ausmultiplizieren:

$x^2 = 0{,}5x^2 + 0{,}5$

Ab hier ist es eine normale Gleichung: Wir sortieren alle Terme mit $x$ auf eine Seite, die reinen Zahlen auf die andere und lösen die Gleichung wie gewohnt auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichung aufstellen: Setze den Funktionsterm mit dem gesuchten Zielwert gleich: $f(x) = c$.
2. Nenner beseitigen: Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Nenner des Bruchs. Vergiss nicht, auf der anderen Seite Klammern um den gesamten Ausdruck zu setzen!
3. Klammern auflösen und sortieren: Multipliziere die Klammern aus. Bringe dann alle Terme mit $x$ (oder $x^2$) durch Plus- und Minusrechnen auf die eine Seite der Gleichung und alle reinen Zahlen auf die andere Seite.
4. Nach x auflösen: Teile durch den Vorfaktor von $x^2$ und ziehe am Ende die Wurzel. Denke daran, dass es beim Wurzelziehen meist eine positive und eine negative Lösung gibt!

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 3: Gleichungen graphisch lösen

Nicht immer müssen wir rechnen. Wenn wir den Graphen einer Funktion gegeben haben, können wir die Lösung für $f(x) = c$ auch einfach ablesen.

Erinnerst du dich? Die Gleichung $f(x) = c$ bedeutet grafisch, dass wir den Schnittpunkt der Funktion mit einer waagerechten Linie suchen. Gehe dafür so vor:

1. Suche den Zielwert $c$ auf der senkrechten y-Achse.
2. Zeichne auf dieser Höhe eine waagerechte Linie in das Koordinatensystem.
3. Markiere die Schnittpunkte, an denen diese Linie den Graphen der Funktion trifft.
4. Gehe von diesen Punkten senkrecht nach unten zur x-Achse und lies die entsprechenden $x$-Werte ab.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Die Kosten einer Produktion werden durch die Funktion $K(x)$ beschrieben. Die y-Achse zeigt die Kosten in $1000 \text{ Euro}$, die x-Achse die Produktionsmenge in Kubikmetern.

Bestimme graphisch die Produktionsmenge, bei der die Kosten genau $125.000 \text{ Euro}$ betragen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Waagerechte Linie einzeichnen

   Da die y-Achse die Kosten in $1000 \text{ Euro}$ angibt, entspricht der gesuchte Wert von $125.000 \text{ Euro}$ genau der Zahl $125$ auf der y-Achse. Wir zeichnen eine waagerechte Linie bei $y = 125$ ein.

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   Schritt 2 · Ergebnis
   Schnittpunkt ablesen

   Wir suchen den Schnittpunkt der Linie mit dem Graphen. Wenn wir von diesem Punkt senkrecht nach unten zur x-Achse gehen, lesen wir den Wert $x = 7$ ab.

   

Ergebnis:

Bei einer Produktionsmenge von $7$ Kubikmetern betragen die Kosten $125.000 \text{ Euro}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Eine Gleichung $f(x) = c$ zu lösen, bedeutet grafisch, den Schnittpunkt der Funktion mit einer waagerechten Linie bei $y = c$ zu finden.
• Bei Brüchen in der Gleichung: Multipliziere immer zuerst die gesamte Gleichung mit dem Nenner, um den Bruch aufzulösen.
• Beim Wurzelziehen aus Ungleichungen (wie $x^2 \ge 9$) spaltet sich die Lösung auf: $x \ge 3$ oder $x \le -3$.