Gebrochenrationale Funktionen analysieren: Einfach erklärt

Wenn du gebrochenrationale Funktionen analysieren möchtest, stell dir vor, du fährst auf einer Straße, die plötzlich durch eine unüberwindbare Mauer blockiert ist. Du musst nach oben oder unten ausweichen und kommst nie auf die andere Seite. Auf einer anderen Straße gibt es hingegen nur ein winziges Schlagloch, über das du einfach hinwegrollen kannst.

In der Mathematik haben gebrochenrationale Funktionen genau solche „Hindernisse“ in ihren Graphen! Manchmal reißt der Graph komplett ab und verschwindet ins Unendliche (die Mauer), und manchmal fehlt nur ein einziger, winziger Punkt (das Schlagloch). Wir schauen uns jetzt an, wie man diese Besonderheiten ganz einfach berechnen kann, ohne den Graphen überhaupt zeichnen zu müssen.

Vorwissen

• Gleichungen lösen: Um herauszufinden, wann ein Term null wird, setzt man ihn gleich null und löst nach $x$ auf. Beispiel: $x - 3 = 0$ wird zu $x = 3$.
• Dritte binomische Formel: Hilft beim Zerlegen (Faktorisieren) von Termen: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Beispiel: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.

Aufgabentyp 1: Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen

Um gebrochenrationale Funktionen analysieren zu können, untersuchen wir zunächst die grundlegenden Eigenschaften. Eine gebrochenrationale Funktion ist im Grunde ein Bruch, bei dem sowohl oben als auch unten ein Term mit $x$ steht. Wir markieren den Zähler (oben) und den Nenner (unten) farbig, um sie besser auseinanderzuhalten:

$f(x) = \frac{\textcolor{#08BFFF}{x+1}}{\textcolor{#9570FF}{x-3}}$

Um die Funktion zu untersuchen, prüfen wir verschiedene Eigenschaften:

1. Der maximale Definitionsbereich ($D$) In der Mathematik darf man niemals durch null teilen! Deshalb müssen wir herausfinden, wann der Nenner null wird. Diese $x$-Werte sind „verboten“ und bilden eine Definitionslücke. Der Definitionsbereich $D$ umfasst alle reellen Zahlen ($\mathbb{R}$), außer diesen verbotenen Zahlen.

2. Nullstellen (Schnittpunkt mit der x-Achse) Ein Bruch wird genau dann null, wenn sein Zähler null ist (und der Nenner nicht). Wir setzen also nur den Zähler gleich null.

3. Der y-Achsenabschnitt Um zu sehen, wo der Graph die y-Achse schneidet, setzen wir einfach für jedes $x$ in der Funktion eine $0$ ein und rechnen das Ergebnis aus.

4. Polstellen und vertikale Asymptoten Wenn der Nenner null wird, der Zähler aber nicht, haben wir eine Polstelle. An dieser Stelle reißt der Graph ab. Es entsteht eine unsichtbare senkrechte Linie, der sich der Graph annähert, ohne sie je zu berühren. Diese Linie nennt man vertikale Asymptote.

5. Verhalten an der Polstelle Wir wollen wissen, ob der Graph an der Polstelle nach oben ($+\infty$) oder nach unten ($-\infty$) abhaut. Dafür setzen wir gedanklich Zahlen ein, die ganz knapp links und rechts neben der Polstelle liegen (z.B. $2{,}9$ und $3{,}1$, wenn die Polstelle bei $3$ liegt). Wir prüfen dann nur, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Setze den Nenner gleich null und löse nach $x$ auf. Schließe diesen Wert aus $\mathbb{R}$ aus.
2. Setze den Zähler gleich null und löse nach $x$ auf.
3. Setze $x = 0$ in die gesamte Funktion ein und berechne den y-Wert.
4. Die Nullstelle des Nenners (aus Schritt 1) ist die Polstelle. Die Gleichung der vertikalen Asymptote lautet einfach $x = \text{Polstelle}$.
5. Setze einen Wert knapp kleiner (links) und knapp größer (rechts) als die Polstelle in die Funktion ein. Bestimme, ob das Vorzeichen des Ergebnisses positiv ($\to +\infty$) oder negativ ($\to -\infty$) ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Untersuche die Funktion $f(x) = \frac{x+1}{x-3}$. Bestimme den Definitionsbereich, die Nullstellen, den y-Achsenabschnitt, die vertikale Asymptote und das Verhalten an der Polstelle.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Definitionsbereich bestimmen

   Wir setzen den Nenner gleich null: $x - 3 = 0 \quad | +3$ $x = 3$ Der Definitionsbereich ist $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.

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   Schritt 2
   Nullstellen berechnen

   Wir setzen den Zähler gleich null: $x + 1 = 0 \quad | -1$ $x = -1$ Die Nullstelle liegt bei $x = -1$.

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   Schritt 3
   y-Achsenabschnitt berechnen

   Wir setzen $x = 0$ ein: $f(0) = \frac{0+1}{0-3} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$ Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0 \mid -\frac{1}{3})$.

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   Schritt 4
   Polstelle und Asymptote angeben

   Die Polstelle liegt bei $x = 3$. Die vertikale Asymptote hat die Gleichung $x = 3$.

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   Schritt 5 · Ergebnis
   Verhalten an der Polstelle prüfen

   Wir prüfen Werte ganz nah an der $3$:

   Von links (z.B. $x = 2{,}9$): $f(2{,}9) = \frac{2{,}9 + 1}{2{,}9 - 3} = \frac{3{,}9}{-0{,}1} = \frac{\text{positiv}}{\text{negativ}} = \text{negativ}$ Der Graph strebt nach $-\infty$.

   Von rechts (z.B. $x = 3{,}1$): $f(3{,}1) = \frac{3{,}1 + 1}{3{,}1 - 3} = \frac{4{,}1}{0{,}1} = \frac{\text{positiv}}{\text{positiv}} = \text{positiv}$ Der Graph strebt nach $+\infty$.

Ergebnis:

Die Funktion hat den Definitionsbereich $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$, eine Nullstelle bei $x = -1$, den y-Achsenabschnitt $S_y(0 \mid -\frac{1}{3})$ und eine vertikale Asymptote bei $x = 3$. An der Polstelle strebt der Graph von links nach $-\infty$ und von rechts nach $+\infty$.

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Aufgabentyp 2: Die stetig behebbare Definitionslücke (Das „Loch“)

Ein weiterer wichtiger Aspekt, wenn wir gebrochenrationale Funktionen analysieren, sind Lücken im Graphen. Manchmal gibt es eine Definitionslücke (der Nenner wird null), aber es entsteht keine Polstelle mit einer Asymptote. Stattdessen hat der Graph einfach nur ein winziges Loch an einem einzigen Punkt. Man nennt das eine stetig behebbare Definitionslücke.

Woran erkennen wir das? Ein Loch kann entstehen, wenn der Zähler und der Nenner an derselben Stelle null werden. Das allein reicht aber noch nicht: Eine hebbare Lücke liegt nur dann vor, wenn sich der zugehörige Linearfaktor im Nenner vollständig wegkürzen lässt! Der Nenner darf nach dem Kürzen an dieser Stelle also nicht mehr null werden.

Sobald wir die Funktion durch dieses vollständige Kürzen vereinfacht haben, können wir den „verbotenen“ $x$-Wert in die neue, vereinfachte Funktion einsetzen. Das Ergebnis verrät uns genau die y-Koordinate des Lochs im Graphen. Wir berechnen also den Wert, dem sich die Funktion an dieser Lücke annähert.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Setze den Nenner gleich null und finde den verbotenen $x$-Wert.
2. Zerlege den Zähler (z.B. mit einer binomischen Formel oder durch Ausklammern), sodass ein Teil davon genau wie der Nenner aussieht. Kürze diesen gemeinsamen Teil weg.
3. Setze den verbotenen $x$-Wert aus Schritt 1 in die nun vereinfachte Funktion ein. Das Ergebnis ist der y-Wert des Lochs.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{x^2-81}{x-9}$. Diese Funktion hat eine stetig behebbare Definitionslücke. Bestimme den Wert, dem sich die Funktion an dieser Stelle annähert.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Definitionslücke finden

   Wir setzen den Nenner gleich null: $x - 9 = 0 \quad | +9$ $x = 9$ Die Lücke liegt bei $x = 9$.

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   Schritt 2
   Faktorisieren und Kürzen

   Wir schauen uns den Zähler $x^2 - 81$ an. Mit der dritten binomischen Formel können wir ihn umschreiben zu $(x - 9)(x + 9)$. Wir setzen das in die Funktion ein:

   $f(x) = \frac{(x - 9)(x + 9)}{x - 9}$

   Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor $(x - 9)$ oben und unten wegkürzen. Übrig bleibt eine viel einfachere Funktion:

   $f(x) = x + 9$

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Grenzwert berechnen

   Um herauszufinden, wo genau das Loch liegt, setzen wir unsere Lücke $x = 9$ in die vereinfachte Funktion ein:

   $y = 9 + 9 = 18$

Ergebnis:

An der Stelle $x = 9$ nähert sich die Funktion dem Wert $18$ an. Das Loch im Graphen liegt also bei den Koordinaten $(9 \mid 18)$.

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Wichtige Erkenntnisse

• Definitionsbereich: Der Nenner darf niemals null sein!
• Nullstellen: Setze nur den Zähler gleich null.
• Polstelle (Asymptote): Der Nenner ist null, aber der Zähler nicht (oder der Nenner wird nach dem Kürzen immer noch null). Der Graph reißt ab und geht ins Unendliche.
• Hebbare Lücke (Loch): Zähler und Nenner werden an derselben Stelle null und der Nenner wird nach dem vollständigen Kürzen an dieser Stelle nicht mehr null. Du kannst den Term faktorisieren und kürzen, um den y-Wert des Lochs zu berechnen.