Was sind gebrochenrationale Funktionen?

Eine gebrochenrationale Funktion hat die Form f(x) = Z(x) / N(x) , wobei Z(x) der Zähler und N(x) der Nenner ist – beides Polynome. Ihr Graph hat typischerweise Polstellen (senkrechte Asymptoten), an denen der Nenner null wird, und Nullstellen, wo der Zähler null wird. Gebrochenrationale Funktionen beschreiben viele reale Phänomene, etwa das Abklingen eines Signals oder die Konzentration eines Medikaments im Blut über die Zeit.

Wie bestimmst du die Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion?

Du findest die Polstellen , indem du den Nenner N(x) = 0 setzt und nach x löst. Anschließend prüfst du: Wenn der Zähler an dieser Stelle nicht null ist, liegt eine Polstelle vor. Wenn der Zähler dort ebenfalls null ist, handelt es sich stattdessen um eine behebbare Definitionslücke (ein Loch). Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet dann x = x_p .

Was ist der Unterschied zwischen einer Polstelle und einer hebbaren Definitionslücke?

Bei einer Polstelle wird nur der Nenner null – der Graph schießt ins Unendliche und hat dort eine senkrechte Asymptote. Bei einer hebbaren Definitionslücke (Loch) werden Zähler und Nenner an derselben Stelle gleichzeitig null. Der gemeinsame Faktor lässt sich kürzen; der Graph verhält sich fast normal, hat aber an genau diesem x-Wert einen fehlenden Punkt. Das Loch berechnet man, indem man den x-Wert in den gekürzten Term einsetzt.

Wie erkennst du, ob eine Polstelle einen Vorzeichenwechsel hat?

Das verrät dir die Potenz des Nennerfaktors : Ist sie ungerade (z. B. (x − p)¹ ), wechselt der Graph an der Polstelle das Vorzeichen – ein Ast geht nach +∞ , der andere nach −∞ . Das nennt man Polstelle mit Vorzeichenwechsel . Ist die Potenz gerade (z. B. (x − p)² ), bleibt das Vorzeichen des Nenners auf beiden Seiten gleich – beide Äste verlaufen in dieselbe Richtung ( ohne Vorzeichenwechsel ).

Wie ordnest du eine gebrochenrationale Funktion dem richtigen Graphen zu?

Gehe in drei Schritten vor: Bestimme zuerst die senkrechten Asymptoten (Nullstellen des Nenners) – das schränkt die Auswahl sofort ein. Prüfe dann die Nullstellen (Nullstellen des Zählers), um zu sehen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Falls noch mehrere Graphen infrage kommen, berechne den y-Achsenabschnitt mit f(0) als eindeutigen Tiebreaker. Die Potenz des Nennerfaktors verrät zusätzlich, ob ein Vorzeichenwechsel an der Polstelle vorliegt.

Gebrochenrationale Funktionen analysieren

Gebrochenrationale Funktionen begegnen dir in der Schule spätestens dann, wenn es um Kurvendiskussionen geht – und sie sehen auf den ersten Blick komplizierter aus als sie sind. Hast du dich jemals gefragt, warum ein WLAN-Signal plötzlich abbricht, je weiter du dich vom Router entfernst? Oder wie Wissenschaftler die Konzentration eines Medikaments im Blut über die Zeit beschreiben? Viele dieser realen Phänomene verhalten sich nicht linear – sie haben „Grenzwerte" oder „verbotene Zonen". Gebrochenrationale Funktionen sind das mathematische Werkzeug, um genau das zu beschreiben. Wenn du ihre Regeln kennst, kannst du das Verhalten von Systemen vorhersagen, die plötzlich ins Unendliche schießen oder sich einem bestimmten Wert annähern. In diesem Artikel lernst du, gebrochenrationale Funktionen vollständig zu analysieren, Graphen zuzuordnen und behebbare Definitionslücken zu erkennen.

Schnellantwort

Eine gebrochenrationale Funktion hat die Form $f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}$ , wobei $Z(x)$ der Zähler und $N(x)$ der Nenner ist. Ihre Analyse folgt immer einem festen Schema: Du untersuchst Definitionsbereich, Nullstellen, Polstellen und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen – indem du Zähler und Nenner getrennt betrachtest.

Vorwissen

Bevor wir in die Details gehen, sollten diese Grundlagen sitzen:

Nullstellen einer Funktion finden: Eine Nullstelle ist ein x-Wert, für den der Funktionswert y null wird. Du findest sie, indem du die Funktion gleich null setzt.
- Beispiel: Für $f(x) = 2x - 6$ setzt du $2x - 6 = 0$ , was zu $x=3$ führt. Die Nullstelle ist bei $x=3$ .
Polynome faktorisieren (Binomische Formeln): Oft müssen wir Terme umformen, um sie zu vereinfachen. Die binomischen Formeln sind dabei super nützlich.
- Beispiel (3. Binomische Formel): $x^2 - 25$ kann umgeschrieben werden als $(x-5)(x+5)$ .
Definitionsbereich: Das sind alle x-Werte, die du in eine Funktion einsetzen darfst. Bei Brüchen ist die wichtigste Regel: Der Nenner darf niemals null sein!
- Beispiel: Für $f(x) = \frac{1}{x-4}$ darf der Nenner $x-4$ nicht null sein. Also ist $x=4$ verboten. Der Definitionsbereich ist $D = \mathbb{R} \setminus \{4\}$ .

Aufgabentyp 1: Gebrochenrationale Funktionen vollständig analysieren

Eine gebrochenrationale Funktion hat die Form $f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}$ , wobei $Z(x)$ der Zähler und $N(x)$ der Nenner ist. Ihre Analyse folgt immer einem festen Schema, bei dem wir Zähler und Nenner getrennt untersuchen.

1. Definitionsbereich ( $D$ ) Der Definitionsbereich umfasst alle erlaubten x-Werte. Die einzige Regel: Der Nenner darf nicht null werden. Die Stellen, an denen der Nenner null wird, nennen wir Definitionslücken.

2. Nullstellen Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem der Graph die x-Achse schneidet, also $y=0$ ist. Ein Bruch wird genau dann null, wenn sein Zähler null wird.

3. Polstellen (Senkrechte Asymptoten) Eine Polstelle ist eine Definitionslücke, die keine Nullstelle des Zählers ist. An dieser Stelle „explodiert" der Graph und schießt ins Positive oder Negative Unendliche. Der Graph nähert sich dort einer senkrechten Linie, der Asymptote.

Senkrechte Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion

4. Verhalten an den Polstellen Wir untersuchen, was passiert, wenn man sich der Polstelle von links ( $x \to p^-$ ) und von rechts ( $x \to p^+$ ) nähert. Wir prüfen die Vorzeichen von Zähler und Nenner:

$\frac{\text{positiv}}{\text{positiv}} \to +\infty$
$\frac{\text{negativ}}{\text{positiv}} \to -\infty$
$\frac{\text{positiv}}{\text{negativ}} \to -\infty$
$\frac{\text{negativ}}{\text{negativ}} \to +\infty$

5. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkt mit der y-Achse ( $S_y$ ): Setze $x=0$ in die Funktion ein.
Schnittpunkt mit der x-Achse ( $N$ ): Das sind die Nullstellen der Funktion.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Definitionsbereich bestimmen: Setze den Nenner gleich null: $N(x) = 0$ . Löse nach $x$ . Die gefundenen Werte sind aus dem Definitionsbereich $D$ ausgeschlossen.
Nullstellen bestimmen: Setze den Zähler gleich null: $Z(x) = 0$ . Löse nach $x$ . Das sind die Nullstellen der Funktion.
Polstellen identifizieren: Vergleiche die Nullstellen des Nenners mit den Nullstellen des Zählers. Jede Nullstelle des Nenners, die keine Nullstelle des Zählers ist, ist eine Polstelle.
Gleichungen der vertikalen Asymptoten angeben: Für jede Polstelle $x_p$ lautet die Gleichung der vertikalen Asymptote $x = x_p$ .
Verhalten an den Polstellen untersuchen: Wähle für jede Polstelle $x_p$ einen Wert knapp links und knapp rechts davon. Setze diese Werte gedanklich in die Funktion ein und bestimme das Vorzeichen.
Schnittpunkte mit den Achsen berechnen: Berechne $f(0)$ für den y-Achsenabschnitt $S_y(0|f(0))$ und notiere die Nullstellen als x-Achsenabschnitte $N(x_0|0)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Analysiere die Funktion $f(x) = \frac{x-2}{x+5}$ vollständig.

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Definitionsbereich bestimmen
Wir setzen den Nenner gleich null: $x+5 = 0 \quad |-5$

$x = -5$

Die Definitionslücke ist bei $x=-5$ . Der Definitionsbereich ist $D = \mathbb{R} \setminus \{-5\}$ .
Schritt 2
Nullstellen bestimmen
Wir setzen den Zähler gleich null: $x-2 = 0 \quad |+2$

$x = 2$

Die Nullstelle ist bei $x=2$ .
Schritt 3
Polstellen identifizieren
Die Nullstelle des Nenners ( $x=-5$ ) ist nicht identisch mit der Nullstelle des Zählers ( $x=2$ ). Also ist $x=-5$ eine Polstelle.
Schritt 4
Gleichung der vertikalen Asymptote
Die Gleichung der vertikalen Asymptote lautet $x = -5$ .
5
Schritt 5
Verhalten an der Polstelle $x=-5$
- Annäherung von links ( $x \to -5^-$ ), z.B. mit $x=-5{,}1$ :
  - Zähler: $-5{,}1 - 2 = -7{,}1$ (negativ)
  - Nenner: $-5{,}1 + 5 = -0{,}1$ (negativ)
  - Ergebnis: $\frac{\text{negativ}}{\text{negativ}} \to +\infty$
- Annäherung von rechts ( $x \to -5^+$ ), z.B. mit $x=-4{,}9$ :
  - Zähler: $-4{,}9 - 2 = -6{,}9$ (negativ)
  - Nenner: $-4{,}9 + 5 = +0{,}1$ (positiv)
  - Ergebnis: $\frac{\text{negativ}}{\text{positiv}} \to -\infty$
6
Schritt 6 · Ergebnis
Schnittpunkte mit den Achsen
- y-Achsenabschnitt: $f(0) = \frac{0-2}{0+5} = -\frac{2}{5} = -0{,}4$ . Der Punkt ist $S_y(0|-0{,}4)$ .
- x-Achsenabschnitt: Die Nullstelle ist bei $x=2$ . Der Punkt ist $N(2|0)$ .

Ergebnis:

$D = \mathbb{R} \setminus \{-5\}$ , Nullstelle bei $x=2$ , Polstelle bei $x=-5$ mit Vorzeichenwechsel, $S_y(0|-0{,}4)$ , $N(2|0)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Analysiere die Funktion $f(x) = \frac{3x}{x^2-4}$ vollständig.

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Definitionsbereich bestimmen
Die Funktion ist $f(x) = \frac{3x}{x^2-4}$ . Wir faktorisieren den Nenner zuerst: $f(x) = \frac{3x}{(x-2)(x+2)}$ .

Wir setzen den Nenner gleich null: $(x-2)(x+2) = 0$ . Die Lösungen sind $x_1=2$ und $x_2=-2$ . Der Definitionsbereich ist $D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$ .
Schritt 2
Nullstellen bestimmen
Wir setzen den Zähler gleich null: $3x = 0$ , also ist die Nullstelle bei $x=0$ .
Schritt 3
Polstellen identifizieren
Die Nullstellen des Nenners ( $x=2$ und $x=-2$ ) sind nicht identisch mit der Nullstelle des Zählers ( $x=0$ ). Also sind $x=2$ und $x=-2$ Polstellen.
Schritt 4
Gleichungen der vertikalen Asymptoten
Die Gleichungen lauten $x = -2$ und $x = 2$ .
5
Schritt 5
Verhalten an den Polstellen
- An der Polstelle $x=-2$ :
  - von links ( $x \to -2^-$ ): $\frac{-}{(-)(-)_\text{klein}} = \frac{-}{+} \to -\infty$
  - von rechts ( $x \to -2^+$ ): $\frac{-}{(-)(+)_\text{klein}} = \frac{-}{-} \to +\infty$
- An der Polstelle $x=2$ :
  - von links ( $x \to 2^-$ ): $\frac{+}{(-)_\text{klein}(+)} = \frac{+}{-} \to -\infty$
  - von rechts ( $x \to 2^+$ ): $\frac{+}{(+)_\text{klein}(+)} = \frac{+}{+} \to +\infty$
6
Schritt 6 · Ergebnis
Schnittpunkte mit den Achsen
- y-Achsenabschnitt: $f(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2-4} = 0$ . Der Punkt ist $S_y(0|0)$ .
- x-Achsenabschnitt: Die Nullstelle ist bei $x=0$ . Der Punkt ist $N(0|0)$ .

Ergebnis:

$D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$ , Nullstelle bei $x=0$ , Polstellen bei $x=-2$ und $x=2$ , $S_y(0|0) = N(0|0)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Analysiere die Funktion $f(x) = \frac{x+1}{(x-3)^2}$ vollständig.

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Definitionsbereich bestimmen
Wir setzen den Nenner gleich null: $(x-3)^2 = 0$ , was $x=3$ ergibt. Der Definitionsbereich ist $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .
Schritt 2
Nullstellen bestimmen
Wir setzen den Zähler gleich null: $x+1 = 0$ , also ist die Nullstelle bei $x=-1$ .
Schritt 3
Polstellen identifizieren
Die Nullstelle des Nenners ( $x=3$ ) ist nicht die Nullstelle des Zählers ( $x=-1$ ). Also ist $x=3$ eine Polstelle.
Schritt 4
Gleichung der vertikalen Asymptote
Die Gleichung lautet $x = 3$ .
5
Schritt 5
Verhalten an der Polstelle $x=3$
Der Nenner $(x-3)^2$ ist wegen des Quadrats immer positiv, egal ob man sich von links oder rechts nähert. Man spricht von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
- Annäherung von links ( $x \to 3^-$ ), z.B. mit $x=2{,}9$ :
  - Zähler: $2{,}9+1 = 3{,}9$ (positiv)
  - Nenner: $(2{,}9-3)^2 = (-0{,}1)^2 = +0{,}01$ (positiv)
  - Ergebnis: $\frac{\text{positiv}}{\text{positiv}} \to +\infty$
- Annäherung von rechts ( $x \to 3^+$ ), z.B. mit $x=3{,}1$ :
  - Zähler: $3{,}1+1 = 4{,}1$ (positiv)
  - Nenner: $(3{,}1-3)^2 = (0{,}1)^2 = +0{,}01$ (positiv)
  - Ergebnis: $\frac{\text{positiv}}{\text{positiv}} \to +\infty$
6
Schritt 6 · Ergebnis
Schnittpunkte mit den Achsen
- y-Achsenabschnitt: $f(0) = \frac{0+1}{(0-3)^2} = \frac{1}{9}$ . Der Punkt ist $S_y(0|\frac{1}{9})$ .
- x-Achsenabschnitt: Die Nullstelle ist bei $x=-1$ . Der Punkt ist $N(-1|0)$ .

Ergebnis:

$D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ , Nullstelle bei $x=-1$ , Polstelle bei $x=3$ ohne Vorzeichenwechsel (beide Äste nach $+\infty$ ), $S_y(0|\frac{1}{9})$ , $N(-1|0)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Analysiere die Funktion $f(x) = \frac{5}{x^2+1}$ vollständig.

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Definitionsbereich bestimmen
Wir setzen den Nenner gleich null: $x^2+1 = 0$ . Diese Gleichung hat keine reelle Lösung, da $x^2$ immer $\ge 0$ ist und somit $x^2+1$ immer $\ge 1$ ist. Der Nenner wird also niemals null. Der Definitionsbereich ist $D = \mathbb{R}$ .
Schritt 2
Nullstellen bestimmen
Wir setzen den Zähler gleich null: $5 = 0$ . Dies ist eine falsche Aussage. Der Zähler kann niemals null werden. Die Funktion hat keine Nullstellen.
Schritt 3
Polstellen identifizieren
Da der Nenner keine Nullstellen hat, gibt es keine Definitionslücken und somit auch keine Polstellen.
Schritt 4
Gleichung der vertikalen Asymptote
Es gibt keine Polstellen, also auch keine vertikalen Asymptoten.
Schritt 5
Verhalten an den Polstellen
Entfällt, da es keine Polstellen gibt.
6
Schritt 6 · Ergebnis
Schnittpunkte mit den Achsen
- y-Achsenabschnitt: $f(0) = \frac{5}{0^2+1} = 5$ . Der Punkt ist $S_y(0|5)$ .
- x-Achsenabschnitt: Es gibt keine Nullstellen, also auch keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Ergebnis:

$D = \mathbb{R}$ , keine Nullstellen, keine Polstellen, $S_y(0|5)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Analysiere die Funktion $f(x) = \frac{x^2-x-6}{x-1}$ vollständig.

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Definitionsbereich bestimmen
Wir setzen den Nenner gleich null: $x-1 = 0$ , also $x=1$ . Der Definitionsbereich ist $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
Schritt 2
Nullstellen bestimmen
Wir setzen den Zähler gleich null: $x^2-x-6 = 0$ . Mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta finden wir die Lösungen $x_1 = 3$ und $x_2 = -2$ . Die Nullstellen sind bei $x=3$ und $x=-2$ .
Schritt 3
Polstellen identifizieren
Die Nullstelle des Nenners ( $x=1$ ) ist nicht identisch mit den Nullstellen des Zählers ( $x=3, x=-2$ ). Also ist $x=1$ eine Polstelle.
Schritt 4
Gleichung der vertikalen Asymptote
Die Gleichung lautet $x = 1$ .
5
Schritt 5
Verhalten an der Polstelle $x=1$
- Annäherung von links ( $x \to 1^-$ ), z.B. mit $x=0{,}9$ :
  - Zähler: $(0{,}9)^2 - 0{,}9 - 6 = 0{,}81 - 0{,}9 - 6 = -6{,}09$ (negativ)
  - Nenner: $0{,}9 - 1 = -0{,}1$ (negativ)
  - Ergebnis: $\frac{\text{negativ}}{\text{negativ}} \to +\infty$
- Annäherung von rechts ( $x \to 1^+$ ), z.B. mit $x=1{,}1$ :
  - Zähler: $(1{,}1)^2 - 1{,}1 - 6 = 1{,}21 - 1{,}1 - 6 = -5{,}89$ (negativ)
  - Nenner: $1{,}1 - 1 = +0{,}1$ (positiv)
  - Ergebnis: $\frac{\text{negativ}}{\text{positiv}} \to -\infty$
6
Schritt 6 · Ergebnis
Schnittpunkte mit den Achsen
- y-Achsenabschnitt: $f(0) = \frac{0^2-0-6}{0-1} = \frac{-6}{-1} = 6$ . Der Punkt ist $S_y(0|6)$ .
- x-Achsenabschnitt: Die Nullstellen sind bei $x=3$ und $x=-2$ . Die Punkte sind $N_1(3|0)$ und $N_2(-2|0)$ .

Ergebnis:

$D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ , Nullstellen bei $x=3$ und $x=-2$ , Polstelle bei $x=1$ mit Vorzeichenwechsel, $S_y(0|6)$ , $N_1(3|0)$ , $N_2(-2|0)$ .

Aufgabentyp 2: Funktionsgraphen zuordnen

Um eine Funktionsgleichung dem richtigen Graphen zuzuordnen, musst du nicht die gesamte Funktion analysieren. Es reicht, die auffälligsten Merkmale – quasi den „Fingerabdruck" der Funktion – zu finden und mit den Graphen zu vergleichen.

Die wichtigsten Merkmale sind:

Senkrechte Asymptoten: Wo liegen die Polstellen? Das schränkt die Auswahl sofort stark ein.
Nullstellen: Wo schneidet der Graph die x-Achse? Ein Graph, der durch den Ursprung geht, muss die Nullstelle $x=0$ haben.
Verhalten an der Polstelle:
- Mit Vorzeichenwechsel: Der Nennerfaktor hat eine ungerade Potenz (z.B. $(x-p)^1$ oder $(x-p)^3$ ). Der Graph sieht aus wie eine klassische Hyperbel (ein Ast geht nach $+\infty$ , der andere nach $-\infty$ ).
- Ohne Vorzeichenwechsel: Der Nennerfaktor hat eine gerade Potenz (z.B. $(x-p)^2$ ). Beide Äste des Graphen gehen in die gleiche Richtung (beide nach $+\infty$ oder beide nach $-\infty$ ).
y-Achsenabschnitt: Ein guter letzter Check, um zwischen ähnlichen Graphen zu unterscheiden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktion auswählen: Nimm eine der Funktionsgleichungen aus der Liste.
Senkrechte Asymptote(n) finden: Bestimme die Nullstelle(n) des Nenners. Die senkrechte Asymptote ist bei $x = x_p$ . Suche alle Graphen, die an dieser Stelle eine Asymptote haben.
Nullstelle(n) finden: Bestimme die Nullstelle(n) des Zählers. Suche unter den verbliebenen Graphen denjenigen, der die x-Achse an dieser/diesen Stelle(n) schneidet.
Verhalten am Pol prüfen (falls nötig): Schaue dir die Potenz des Nennerfaktors an. Ist sie gerade oder ungerade? Das verrät dir, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
y-Achsenabschnitt berechnen (als finaler Test): Setze $x=0$ in die Funktion ein und berechne den y-Wert. Der Graph muss durch den Punkt $(0|f(0))$ verlaufen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ordne die Funktion $f(x) = \frac{4}{x-2}$ dem richtigen Graphen (A, B oder C) zu.

Drei Graphen gebrochenrationaler Funktionen zur Zuordnung

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Senkrechte Asymptote
Der Nenner wird bei $x-2=0$ , also $x=2$ , null. Die senkrechte Asymptote ist bei $x=2$ . Damit scheidet Graph C aus, der seine Asymptote bei $x=-2$ hat. Es bleiben A und B.
Schritt 2
Nullstellen
Der Zähler ist 4 und kann nie null werden. Die Funktion hat keine Nullstellen, schneidet also die x-Achse nicht. Das trifft auf A und B zu.
Schritt 3
Verhalten am Pol
Der Nennerfaktor $(x-2)$ hat die Potenz 1 (ungerade). Es liegt also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Der Graph muss eine Hyperbel sein. Das trifft nur auf Graph A zu. Graph B hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Schritt 4 · Ergebnis
y-Achsenabschnitt (Kontrolle)
$f(0) = \frac{4}{0-2} = -2$ . Der Graph muss durch den Punkt $(0|-2)$ gehen. Das bestätigt, dass Graph A die richtige Zuordnung ist.

Ergebnis:

Die Funktion $f(x) = \frac{4}{x-2}$ gehört zu Graph A.

Beispiel 2

Aufgabe

Ordne die Funktion $f(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$ dem richtigen Graphen (A, B oder C) zu.

Drei Graphen zur Zuordnung mit Polstellen

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Senkrechte Asymptote
Der Nenner wird bei $x+1=0$ , also $x=-1$ , null. Die Asymptote ist bei $x=-1$ . Graph C scheidet aus. Es bleiben A und B.
Schritt 2
Verhalten am Pol
Der Nennerfaktor $(x+1)$ hat die Potenz 2 (gerade). Es liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. Beide Äste müssen in die gleiche Richtung verlaufen. Das trifft nur auf Graph A zu. Graph B ist eine Hyperbel mit Vorzeichenwechsel.
Schritt 3 · Ergebnis
y-Achsenabschnitt (Kontrolle)
$f(0) = \frac{-1}{(0+1)^2} = -1$ . Der Graph muss durch $(0|-1)$ gehen. Das bestätigt, dass Graph A die richtige Zuordnung ist.

Ergebnis:

Die Funktion $f(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$ gehört zu Graph A.

Beispiel 3

Aufgabe

Ordne die Funktion $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ dem richtigen Graphen (A, B oder C) zu.

Graphen mit verschiedenen Asymptoten und Nullstellen

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Senkrechte Asymptote
Der Nenner wird bei $x+2=0$ , also $x=-2$ , null. Die Asymptote ist bei $x=-2$ . Graph B scheidet aus. Es bleiben A und C.
Schritt 2
Nullstellen
Der Zähler wird bei $x-1=0$ , also $x=1$ , null. Der Graph muss die x-Achse bei $x=1$ schneiden. Das trifft auf A und C zu.
Schritt 3 · Ergebnis
y-Achsenabschnitt
$f(0) = \frac{0-1}{0+2} = -\frac{1}{2} = -0{,}5$ . Der Graph muss durch den Punkt $(0|-0{,}5)$ gehen. Das trifft nur auf Graph A zu.

Zusatzinfo (Waagerechte Asymptote): Da Zählergrad (1) und Nennergrad (1) gleich sind, liegt die waagerechte Asymptote bei $y = \frac{1}{1} = 1$ . Auch das passt nur zu Graph A.

Ergebnis:

Die Funktion $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ gehört zu Graph A.

Beispiel 4

Aufgabe

Ordne die Funktion $f(x) = \frac{2x}{(x-1)^2}$ dem richtigen Graphen (A, B oder C) zu.

Graphen mit quadratischem Nenner und Nullstelle im Ursprung

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Senkrechte Asymptote
Der Nenner wird bei $x-1=0$ , also $x=1$ , null. Alle drei Graphen haben dort eine Asymptote.
Schritt 2
Nullstellen
Der Zähler wird bei $2x=0$ , also $x=0$ , null. Der Graph muss durch den Ursprung $(0|0)$ gehen. Damit scheidet Graph C aus. Es bleiben A und B.
Schritt 3 · Ergebnis
Verhalten am Pol
Der Nennerfaktor $(x-1)$ hat die Potenz 2 (gerade). Es liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. Beide Äste müssen in die gleiche Richtung verlaufen. Das trifft nur auf Graph A zu. Graph B ist eine Hyperbel.

Zusatzinfo (Verhalten): Rechts von der Asymptote (z.B. bei $x=2$ ) ist der Zähler positiv und der Nenner positiv, also muss der Graph nach $+\infty$ gehen. Das bestätigt Graph A.

Ergebnis:

Die Funktion $f(x) = \frac{2x}{(x-1)^2}$ gehört zu Graph A.

Beispiel 5

Aufgabe

Ordne die Funktion $f(x) = \frac{-2}{x}$ dem richtigen Graphen (A, B oder C) zu.

Hyperbel mit negativem Zähler und Asymptote auf der y-Achse

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Senkrechte Asymptote
Der Nenner wird bei $x=0$ null. Die y-Achse ist die senkrechte Asymptote. Das trifft auf A und B zu.
Schritt 2
Nullstellen
Der Zähler ist -2 und wird nie null. Es gibt keine Nullstellen. Das trifft auf A und B zu.
3
Schritt 3 · Ergebnis
Verhalten der Funktion
Wir prüfen das Vorzeichen in den Quadranten.
- Für positive x-Werte (z.B. $x=1$ ): $f(1) = \frac{-2}{1} = -2$ . Der y-Wert ist negativ. Der Graph muss im 4. Quadranten liegen.
- Für negative x-Werte (z.B. $x=-1$ ): $f(-1) = \frac{-2}{-1} = 2$ . Der y-Wert ist positiv. Der Graph muss im 2. Quadranten liegen.
Diese Beschreibung (2. und 4. Quadrant) passt nur auf Graph B.

Ergebnis:

Die Funktion $f(x) = \frac{-2}{x}$ gehört zu Graph B.

Aufgabentyp 3: Stetig behebbare Definitionslücken („Löcher")

Was passiert, wenn eine Definitionslücke (Nullstelle des Nenners) gleichzeitig auch eine Nullstelle des Zählers ist?

In diesem Sonderfall haben wir keine Polstelle, sondern eine stetig behebbare Definitionslücke, auch „Loch" im Graphen genannt. Der Graph verhält sich an dieser Stelle fast normal, aber genau an dem einen x-Wert fehlt ein Punkt.

Gebrochenrationale Funktion mit hebbarer Definitionslücke

Um den Ort des Lochs zu finden, müssen wir den Funktionsterm vereinfachen. Da Zähler und Nenner an der gleichen Stelle $x_L$ null werden, müssen beide den Faktor $(x-x_L)$ enthalten. Wir können diesen Faktor dann kürzen.

Der y-Wert des Lochs wird berechnet, indem man den x-Wert der Lücke in den gekürzten Term einsetzt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Definitionslücke(n) finden: Setze den Nenner gleich null und löse nach $x$ . Das ist der x-Wert der möglichen Lücke, $x_L$ .
Prüfen, ob es ein Loch ist: Setze $x_L$ in den Zähler ein. Wenn der Zähler ebenfalls null wird, handelt es sich um eine behebbare Lücke.
Funktionsterm faktorisieren und kürzen: Schreibe Zähler und Nenner als Produkte (faktorisieren). Oft helfen hier die binomischen Formeln. Kürze den gemeinsamen Faktor, der die Lücke verursacht.
y-Koordinate des Lochs berechnen: Setze den x-Wert der Lücke ( $x_L$ ) in den vereinfachten (gekürzten) Funktionsterm ein. Das Ergebnis ist die y-Koordinate des Lochs.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der hebbaren Definitionslücke der Funktion $f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Definitionslücke finden
Nenner null setzen: $x-3 = 0 \to x_L = 3$ . Die Lücke ist bei $x=3$ .
Schritt 2
Prüfen, ob es ein Loch ist
Zähler prüfen: $(3)^2-9 = 9-9 = 0$ . Ja, der Zähler ist auch null. Es ist ein Loch.
Schritt 3
Faktorisieren und kürzen
Wir verwenden die 3. binomische Formel für den Zähler: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ .

$f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$

Wir kürzen den Faktor $(x-3)$ :

$f_{\text{gekürzt}}(x) = x+3$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x_L=3$ in den gekürzten Term ein:

$y_L = 3+3 = 6$

Ergebnis:

Die Funktion nähert sich dem Wert 6. Das Loch befindet sich bei $L(3|6)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme den Wert, dem sich die Funktion $f(x) = \frac{x^2+4x+4}{x+2}$ an ihrer Definitionslücke annähert.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Definitionslücke finden
Nenner null setzen: $x+2 = 0 \to x_L = -2$ .
Schritt 2
Prüfen, ob es ein Loch ist
Zähler prüfen: $(-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$ . Ja, es ist ein Loch.
Schritt 3
Faktorisieren und kürzen
Wir verwenden die 1. binomische Formel für den Zähler: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$ .

$f(x) = \frac{(x+2)^2}{x+2} = \frac{(x+2)(x+2)}{x+2}$

Wir kürzen den Faktor $(x+2)$ :

$f_{\text{gekürzt}}(x) = x+2$
Schritt 4 · Ergebnis
Wert berechnen
Wir setzen $x_L=-2$ in den gekürzten Term ein:

$y_L = -2+2 = 0$

Ergebnis:

Die Funktion nähert sich an der Stelle $x=-2$ dem Wert 0.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der hebbaren Definitionslücke der Funktion $f(x) = \frac{5x-10}{x-2}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Definitionslücke finden
Nenner null setzen: $x-2 = 0 \to x_L = 2$ .
Schritt 2
Prüfen, ob es ein Loch ist
Zähler prüfen: $5(2)-10 = 10-10 = 0$ . Ja, es ist ein Loch.
Schritt 3
Faktorisieren und kürzen
Wir klammern im Zähler 5 aus: $5x-10 = 5(x-2)$ .

$f(x) = \frac{5(x-2)}{x-2}$

Wir kürzen den Faktor $(x-2)$ :

$f_{\text{gekürzt}}(x) = 5$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Der gekürzte Term ist eine Konstante. Der y-Wert ist also immer 5, unabhängig vom x-Wert.

$y_L = 5$

Ergebnis:

Das Loch befindet sich bei $L(2|5)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme den Wert, dem sich die Funktion $f(x) = \frac{x^2-5x}{x^2-25}$ an ihrer Lücke bei $x=5$ annähert.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Lücke prüfen
Nenner bei $x=5$ : $5^2-25=0$ . Zähler bei $x=5$ : $5^2-5(5)=0$ . Es ist ein Loch.
2
Schritt 3
Faktorisieren und kürzen
- Zähler (x ausklammern): $x^2-5x = x(x-5)$
- Nenner (3. bin. Formel): $x^2-25 = (x-5)(x+5)$
$f(x) = \frac{x(x-5)}{(x-5)(x+5)}$

Wir kürzen den Faktor $(x-5)$ :

$f_{\text{gekürzt}}(x) = \frac{x}{x+5}$
Schritt 4 · Ergebnis
Wert berechnen
Wir setzen $x_L=5$ in den gekürzten Term ein:

$y_L = \frac{5}{5+5} = \frac{5}{10} = 0{,}5$

Ergebnis:

Die Funktion nähert sich an der Stelle $x=5$ dem Wert 0,5.

Beispiel 5

Aufgabe

Hat die Funktion $f(x) = \frac{x+1}{x^2-1}$ bei $x=-1$ eine Polstelle oder eine behebbare Lücke? Bestimme ggf. die Koordinaten der Lücke.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Definitionslücke(n) finden
Nenner null setzen: $x^2-1 = 0 \to x^2=1 \to x_1=1, x_2=-1$ . Wir untersuchen die Stelle $x_L=-1$ .
Schritt 2
Prüfen, ob es ein Loch ist
Zähler bei $x=-1$ prüfen: $-1+1 = 0$ . Ja, Zähler und Nenner sind bei $x=-1$ null. Es ist eine behebbare Lücke.
Schritt 3
Faktorisieren und kürzen
Wir faktorisieren den Nenner: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ .

$f(x) = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

Wir kürzen den Faktor $(x+1)$ :

$f_{\text{gekürzt}}(x) = \frac{1}{x-1}$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x_L=-1$ in den gekürzten Term ein:

$y_L = \frac{1}{-1-1} = \frac{1}{-2} = -0{,}5$

Ergebnis:

Bei $x=-1$ liegt eine Lücke bei $L(-1|-0{,}5)$ . (Hinweis: Bei $x=1$ liegt eine Polstelle vor, da dort nur der Nenner null wird.)

Wichtige Erkenntnisse

Definitionsbereich: Finde heraus, wo der Nenner null wird. Diese x-Werte sind verboten.
Nullstellen: Finde heraus, wo der Zähler null wird. Dort schneidet der Graph die x-Achse.
Polstelle vs. Loch:
- Nur Nenner = 0 $\to$ Polstelle (senkrechte Asymptote).
- Nenner = 0 UND Zähler = 0 $\to$ Loch (behebbare Lücke).
Verhalten am Pol: Die Potenz des Nennerfaktors entscheidet!
- Ungerade Potenz (z.B. $(x-p)^1$ ) $\to$ Mit Vorzeichenwechsel (Hyperbel).
- Gerade Potenz (z.B. $(x-p)^2$ ) $\to$ Ohne Vorzeichenwechsel (beide Äste in gleiche Richtung).
Loch berechnen: Immer zuerst faktorisieren, dann kürzen und erst dann den x-Wert in den vereinfachten Term einsetzen.

Gebrochenrationale Funktionen einfach erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Gebrochenrationale Funktionen vollständig analysieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Funktionsgraphen zuordnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Stetig behebbare Definitionslücken („Löcher")

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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