Was sind Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen?

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind die Punkte, an denen der Graph einer Funktion die x-Achse oder die y-Achse trifft. Der Schnittpunkt mit der x-Achse heißt Nullstelle – dort ist der y-Wert immer 0. Der Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) liegt dort, wo der x-Wert 0 ist. Beide Punkte lassen sich mit einfachen Rechenregeln bestimmen und sind in Matheprüfungen häufig gefragt.

Wie berechnest du die Nullstelle einer gebrochenrationalen Funktion?

Bei einer gebrochenrationalen Funktion setzt du f(x) = 0 und löst die Bruchgleichung. Der wichtigste Schritt: Multipliziere beide Seiten mit dem Nenner , um den Bruch zu eliminieren. Danach löst du die verbleibende lineare Gleichung nach x auf. Ergibt sich dabei ein Widerspruch wie 12 = 0 , hat die Funktion keine Nullstelle. Das Ergebnis gibst du als Punkt S_x(x|0) an.

Wie bestimmst du den y-Achsenabschnitt einer Funktion?

Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du x = 0 in die Funktionsgleichung einsetzt und den Funktionswert f(0) berechnest. Das ist meist reines Kopfrechnen. Steht im Nenner nach dem Einsetzen eine 0 , ist die Division nicht definiert – die Funktion hat dann keinen Schnittpunkt mit der y-Achse. Das Ergebnis gibst du als Punkt S_y(0|y) an.

Was passiert, wenn eine Funktion keinen Schnittpunkt mit einer Achse hat?

Hat eine Funktion keinen Schnittpunkt mit der x-Achse , ergibt das Gleichsetzen f(x) = 0 einen Widerspruch (z. B. 5 = 0 ). Hat sie keinen Schnittpunkt mit der y-Achse , führt das Einsetzen von x = 0 zu einer Division durch Null, was in der Mathematik nicht definiert ist. In beiden Fällen hältst du in deiner Antwort fest, dass kein entsprechender Schnittpunkt existiert.

Wie gibst du Achsenschnittpunkte korrekt an?

Achsenschnittpunkte gibst du immer als Koordinatenpaar an. Den Schnittpunkt mit der x-Achse schreibst du in der Form S_x(x|0) , den Schnittpunkt mit der y-Achse in der Form S_y(0|y) . Wenn eine Funktion mehrere Nullstellen hat, listest du alle entsprechenden Punkte auf. Den y-Achsenabschnitt gibt es pro Funktion höchstens einmal.

Schnittpunkte Koordinatenachsen berechnen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen gehört zu den sichersten Punktelieferanten in jeder Matheprüfung, in der Funktionen vorkommen. Es ist wie das Aufwärmen vor dem Sport – eine grundlegende Technik, die du beherrschen musst, um die wirklich kniffligen Probleme zu lösen. Sieh es als einen schnellen Hack, um die ersten Punkte für deine Note zu sichern. In diesem Artikel lernst du, Nullstellen berechnen und den y-Achsenabschnitt bestimmen – Schritt für Schritt, mit vielen durchgerechneten Beispielen.

Schnellantwort

Der Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) ergibt sich, indem du $f(x) = 0$ setzt und nach $x$ auflöst. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ergibt sich, indem du $x = 0$ in die Funktion einsetzt und den y-Wert berechnest. Schnittpunkte gibst du immer als Koordinatenpaar an, z. B. $S_x(x|0)$ oder $S_y(0|y)$ .

Vorwissen

Bevor wir die Schnittpunkte jagen, hier eine kurze Auffrischung der Grundlagen:

Koordinatensystem: Ein System mit einer horizontalen x-Achse und einer vertikalen y-Achse, das uns hilft, Punkte zu verorten.
- Beispiel: Der Punkt $P(3|4)$ liegt 3 Einheiten rechts und 4 Einheiten oben vom Ursprung.
Lineare Gleichungen lösen: Das Ziel ist es, die Gleichung so umzustellen, dass $x$ allein auf einer Seite steht.
- Beispiel: $3x - 6 = 9 \ \ |+6 \to 3x = 15 \ \ |\div 3 \to x = 5$ .
In eine Funktion einsetzen: Einen Wert für $x$ in die Funktionsgleichung einsetzen und das Ergebnis berechnen.
- Beispiel: Für $f(x) = 2x + 5$ , ist $f(3) = 2 \cdot 3 + 5 = 11$ .

Aufgabentyp 1: Nullstellen berechnen (Schnittpunkte mit der x-Achse)

Die Nullstellen einer Funktion sind die x-Werte, an denen der Graph die x-Achse schneidet. An genau diesen Punkten ist der y-Wert immer Null.

Deshalb lautet die goldene Regel für die Berechnung von Nullstellen immer: Setze die Funktion gleich Null ( $f(x) = 0$ ) und löse nach $x$ auf.

Bei gebrochenrationalen Funktionen wie $f(x) = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$ bedeutet das, eine Bruchgleichung zu lösen. Der Trick dabei ist, die Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren, um den Bruch aufzulösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktion gleich Null setzen: Schreibe die Funktionsgleichung auf und setze sie gleich Null. Das ist die Bedingung für eine Nullstelle: $f(x) = 0$ .
Bruchterm isolieren (falls nötig): Wenn die Funktion aus einem Bruch und einer weiteren Zahl besteht (z. B. $\frac{2}{x} + 3$ ), bringe diese Zahl durch Addition oder Subtraktion auf die andere Seite der Gleichung.
Mit dem Nenner multiplizieren: Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem gesamten Nenner des Bruchs. Dadurch verschwindet der Bruch.
Gleichung nach x auflösen: Löse die verbleibende (meist lineare) Gleichung nach $x$ auf.
Schnittpunkt angeben: Gib die Nullstelle als Punkt an. Die y-Koordinate ist immer 0. Das Ergebnis hat die Form $S_x(x|0)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Nullstelle der Funktion $h(x) = \frac{20}{5x - 10} - 4$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
Wir wenden die Regel für Nullstellen an: $h(x) = 0$ .

$\frac{20}{5x - 10} - 4 = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
Wir bringen die $-4$ auf die andere Seite.

$\frac{20}{5x - 10} = 4 \ \ |+4$
Schritt 3
Mit dem Nenner multiplizieren
Um den Bruch aufzulösen, multiplizieren wir mit dem Nenner $(5x - 10)$ .

$\frac{20}{5x - 10} \cdot (5x - 10) = 4 \cdot (5x - 10) \ \ | \cdot (5x-10)$

$20 = 4 \cdot (5x - 10)$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
Jetzt lösen wir die lineare Gleichung.

$20 = 20x - 40 \ \ |+40$

$60 = 20x \ \ |\div 20$

$3 = x$

Ergebnis:

Die Nullstelle ist bei $x=3$ . Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $S_x(3|0)$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt der Funktion $f(x) = \frac{12}{x+2}$ mit der x-Achse.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
Für den Schnittpunkt mit der x-Achse gilt $f(x) = 0$ .

$\frac{12}{x+2} = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
Der Bruch ist bereits isoliert.
Schritt 3
Mit dem Nenner multiplizieren
Wir multiplizieren mit dem Nenner $(x+2)$ .

$\frac{12}{x+2} \cdot (x+2) = 0 \cdot (x+2) \ \ | \cdot (x+2)$

$12 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
Die Aussage $12=0$ ist ein Widerspruch. Das bedeutet, es gibt keine Lösung für $x$ .

Ergebnis:

Die Funktion hat keine Nullstellen und schneidet die x-Achse nicht.

Beispiel 3

Aufgabe

Wo schneidet der Graph von $g(x) = 3 - \frac{6}{2x}$ die x-Achse?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
Wir setzen $g(x) = 0$ .

$3 - \frac{6}{2x} = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
Wir bringen die $3$ auf die andere Seite.

$-\frac{6}{2x} = -3 \ \ |-3$
Schritt 3
Mit dem Nenner multiplizieren
Wir multiplizieren mit dem Nenner $(2x)$ .

$-\frac{6}{2x} \cdot (2x) = -3 \cdot (2x) \ \ | \cdot (2x)$

$-6 = -6x$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
Wir teilen durch $-6$ .

$-6 = -6x \ \ |\div (-6)$

$1 = x$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_x(1|0)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne die Nullstelle von $f(x) = \frac{x-5}{x+1}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
Wir setzen $f(x) = 0$ .

$\frac{x-5}{x+1} = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
Der Bruch ist bereits isoliert.
Schritt 3
Mit dem Nenner multiplizieren
Wir multiplizieren mit dem Nenner $(x+1)$ .

$\frac{x-5}{x+1} \cdot (x+1) = 0 \cdot (x+1) \ \ | \cdot (x+1)$

$x-5 = 0$

Tipp: Ein Bruch ist genau dann Null, wenn sein Zähler Null ist.
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
$x-5 = 0 \ \ |+5$

$x = 5$

Ergebnis:

Die Nullstelle ist $S_x(5|0)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Finde die Nullstelle der Funktion $k(x) = \frac{1}{x} + 5$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
Wir setzen $k(x) = 0$ .

$\frac{1}{x} + 5 = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
Wir bringen die $5$ auf die andere Seite.

$\frac{1}{x} = -5 \ \ |-5$
Schritt 3
Mit dem Nenner multiplizieren
Wir multiplizieren mit dem Nenner $x$ .

$\frac{1}{x} \cdot x = -5 \cdot x \ \ | \cdot x$

$1 = -5x$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
Wir teilen durch $-5$ .

$1 = -5x \ \ |\div (-5)$

$-\frac{1}{5} = x$ oder $x = -0,2$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_x(-0,2|0)$ .

Aufgabentyp 2: y-Achsenabschnitt berechnen (Schnittpunkt mit der y-Achse)

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet. An jedem Punkt auf der y-Achse ist der x-Wert immer Null.

Daher ist die Regel hier noch einfacher: Setze für x die Null ein ( $x=0$ ) und berechne den y-Wert.

Das Ergebnis $f(0)$ ist der y-Wert des Schnittpunkts. Dieser Rechenschritt ist meistens reines Kopfrechnen.

Koordinatensystem mit y-Achsenabschnitt einer Funktion

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Null für x einsetzen: Nimm die Funktionsgleichung und ersetze jedes $x$ durch eine $0$ . Das ist die Bedingung für den Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechne $f(0)$ .
Funktionswert berechnen: Rechne den Term aus. Das Ergebnis ist der y-Wert des Schnittpunkts.
Schnittpunkt angeben: Gib den Schnittpunkt an. Die x-Koordinate ist immer 0. Das Ergebnis hat die Form $S_y(0|y)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Schnittpunkt der Funktion $f(x) = \frac{4}{x - 3} + 2$ mit der y-Achse.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Null für x einsetzen
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse setzen wir $x=0$ in die Funktion ein.

$f(0) = \frac{4}{0 - 3} + 2$
Schritt 2 · Ergebnis
Funktionswert berechnen
Jetzt rechnen wir das Ergebnis aus.

$f(0) = \frac{4}{-3} + 2$

$f(0) = -\frac{4}{3} + \frac{6}{3}$

$f(0) = \frac{2}{3}$

Ergebnis:

Der y-Wert ist $\frac{2}{3}$ . Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also $S_y(0|\frac{2}{3})$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme den y-Achsenabschnitt der Funktion $g(x) = \frac{10}{x+5} - 1$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Null für x einsetzen
Wir berechnen $g(0)$ .

$g(0) = \frac{10}{0+5} - 1$
Schritt 2 · Ergebnis
Funktionswert berechnen
$g(0) = \frac{10}{5} - 1$

$g(0) = 2 - 1$

$g(0) = 1$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|1)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Wo schneidet der Graph von $h(x) = \frac{2x-4}{x+2}$ die y-Achse?

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Null für x einsetzen
Wir setzen $x=0$ .

$h(0) = \frac{2 \cdot 0 - 4}{0 + 2}$
Schritt 2 · Ergebnis
Funktionswert berechnen
$h(0) = \frac{0 - 4}{2}$

$h(0) = \frac{-4}{2}$

$h(0) = -2$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|-2)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne den y-Achsenabschnitt von $f(x) = \frac{5}{2x-1} + 3$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Null für x einsetzen
Wir berechnen $f(0)$ .

$f(0) = \frac{5}{2 \cdot 0 - 1} + 3$
Schritt 2 · Ergebnis
Funktionswert berechnen
$f(0) = \frac{5}{0 - 1} + 3$

$f(0) = \frac{5}{-1} + 3$

$f(0) = -5 + 3$

$f(0) = -2$

Ergebnis:

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt $S_y(0|-2)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist $k(x) = \frac{1}{x}$ . Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Null für x einsetzen
Wir versuchen, $k(0)$ zu berechnen.

$k(0) = \frac{1}{0}$
Schritt 2 · Ergebnis
Funktionswert berechnen
Das Teilen durch Null ist in der Mathematik nicht definiert. Das bedeutet, es gibt an der Stelle $x=0$ keinen Funktionswert.

Ergebnis:

Da es keinen y-Wert für $x=0$ gibt, schneidet die Funktion die y-Achse nicht.

Aufgabentyp 3: Alle Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen

Wenn nach allen Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen gefragt ist, musst du einfach die beiden vorherigen Verfahren nacheinander durchführen.

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): Setze $f(x)=0$ und löse nach $x$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse: Setze $x=0$ und berechne $y$ .

Am Ende listest du einfach alle gefundenen Punkte auf. Eine Funktion kann mehrere Nullstellen haben, aber immer nur maximal einen Schnittpunkt mit der y-Achse.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Teil A: Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)

Funktion gleich Null setzen: Setze $f(x) = 0$ .
Gleichung nach x auflösen: Löse die resultierende Bruchgleichung (meist durch Multiplikation mit dem Nenner).
x-Schnittpunkt notieren: Schreibe den Punkt in der Form $S_x(x|0)$ auf.

Teil B: Schnittpunkt mit der y-Achse

Null für x einsetzen: Setze $x = 0$ in die Funktion ein.
Funktionswert berechnen: Rechne $f(0)$ aus.
y-Schnittpunkt notieren: Schreibe den Punkt in der Form $S_y(0|y)$ auf.

Teil C: Antwort

Alle Punkte auflisten: Gib beide (oder alle) gefundenen Punkte als Endergebnis an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{4}{x - 3} + 2$ . Berechne die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
$f(x)=0$ setzen und auflösen
$\frac{4}{x - 3} + 2 = 0 \ \ |-2$

$\frac{4}{x - 3} = -2 \ \ |\cdot(x-3)$

$4 = -2(x-3)$

$4 = -2x + 6 \ \ |-6$

$-2 = -2x \ \ |\div(-2)$

$1 = x$
Schritt 3
x-Schnittpunkt notieren
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $S_x(1|0)$ .
Schritt 4 & 5
$x=0$ setzen und berechnen
$f(0) = \frac{4}{0 - 3} + 2$

$f(0) = -\frac{4}{3} + 2$

$f(0) = \frac{2}{3}$
Schritt 6 · Ergebnis
y-Schnittpunkt notieren
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|\frac{2}{3})$ .

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_x(1|0)$ und $S_y(0|\frac{2}{3})$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte von $g(x) = \frac{2x-8}{x+1}$ mit den Achsen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
$g(x)=0$ setzen und auflösen
Wir setzen $g(x)=0$ .

$\frac{2x-8}{x+1} = 0 \ \ |\cdot(x+1)$

$2x-8 = 0 \ \ |+8$

$2x = 8 \ \ |\div 2$

$x = 4$
Schritt 3
x-Schnittpunkt notieren
Der x-Schnittpunkt ist $S_x(4|0)$ .
Schritt 4 & 5
$x=0$ setzen und berechnen
Wir setzen $x=0$ .

$g(0) = \frac{2 \cdot 0 - 8}{0+1}$

$g(0) = \frac{-8}{1} = -8$
Schritt 6 · Ergebnis
y-Schnittpunkt notieren
Der y-Schnittpunkt ist $S_y(0|-8)$ .

Ergebnis:

Die Schnittpunkte sind $S_x(4|0)$ und $S_y(0|-8)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne die Achsenschnittpunkte der Funktion $h(x) = 5 - \frac{10}{x+2}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
$h(x)=0$ setzen und auflösen
Wir setzen $h(x)=0$ .

$5 - \frac{10}{x+2} = 0 \ \ |+\frac{10}{x+2}$

$5 = \frac{10}{x+2} \ \ |\cdot(x+2)$

$5(x+2) = 10$

$5x + 10 = 10 \ \ |-10$

$5x = 0 \ \ |\div 5$

$x = 0$
Schritt 3
x-Schnittpunkt notieren
Der x-Schnittpunkt ist $S_x(0|0)$ .
Schritt 4 & 5
$x=0$ setzen und berechnen
Wir setzen $x=0$ .

$h(0) = 5 - \frac{10}{0+2}$

$h(0) = 5 - \frac{10}{2}$

$h(0) = 5 - 5 = 0$
Schritt 6 · Ergebnis
y-Schnittpunkt notieren
Der y-Schnittpunkt ist $S_y(0|0)$ .

Ergebnis:

Beide Schnittpunkte liegen im Ursprung $S(0|0)$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Finde die Schnittpunkte des Graphen von $f(x) = \frac{3}{x} + 6$ mit den Koordinatenachsen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
$f(x)=0$ setzen und auflösen
Wir setzen $f(x)=0$ .

$\frac{3}{x} + 6 = 0 \ \ |-6$

$\frac{3}{x} = -6 \ \ |\cdot x$

$3 = -6x \ \ |\div(-6)$

$x = -\frac{3}{6} = -0,5$
Schritt 3
x-Schnittpunkt notieren
Der x-Schnittpunkt ist $S_x(-0,5|0)$ .
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
$x=0$ setzen und berechnen
Wir setzen $x=0$ .

$f(0) = \frac{3}{0} + 6$

Teilen durch Null ist nicht erlaubt. Die Funktion hat keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.

Ergebnis:

Der einzige Achsenschnittpunkt ist $S_x(-0,5|0)$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist $k(x) = \frac{5}{x^2+1}$ . Berechne die Schnittpunkte mit den Achsen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
$k(x)=0$ setzen und auflösen
Wir setzen $k(x)=0$ .

$\frac{5}{x^2+1} = 0 \ \ |\cdot(x^2+1)$

$5 = 0$

Dies ist ein Widerspruch. Es gibt also keine Nullstelle und keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Schritt 4 & 5
$x=0$ setzen und berechnen
Wir setzen $x=0$ .

$k(0) = \frac{5}{0^2+1}$

$k(0) = \frac{5}{1} = 5$
Schritt 6 · Ergebnis
y-Schnittpunkt notieren
Der y-Schnittpunkt ist $S_y(0|5)$ .

Ergebnis:

Der einzige Achsenschnittpunkt ist $S_y(0|5)$ .

Wichtige Erkenntnisse

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): Setze die ganze Funktion gleich Null ( $f(x)=0$ ) und löse nach $x$ auf.
Schnittpunkt mit der y-Achse: Setze für jedes $x$ in der Funktion die Null ein ( $x=0$ ) und rechne das Ergebnis aus.
Bei Bruchgleichungen ist der wichtigste Trick, die Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren, um den Bruch loszuwerden.
Gib Schnittpunkte immer als Koordinatenpaar an, z. B. $S(x|y)$ .

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen berechnen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Nullstellen berechnen (Schnittpunkte mit der x-Achse)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: y-Achsenabschnitt berechnen (Schnittpunkt mit der y-Achse)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Alle Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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