Grenzwerte von Funktionen einfach erklärt: Schritt für Schritt

Wir betrachten zuerst den Bruch $\frac{2x^4}{x^4+0{,}5}$. Der Term $-1{,}5$ wird am Ende einfach abgezogen. Im Nenner $x^4+0{,}5$ ist die höchste Potenz $x^4$.

Wir klammern $x^4$ im Zähler und Nenner aus:

$f(x) = \frac{x^4 \cdot 2}{x^4 \cdot (1 + \frac{0{,}5}{x^4})} - 1{,}5$

Wir kürzen den gemeinsamen Faktor $x^4$:

$f(x) = \frac{2}{1 + \frac{0{,}5}{x^4}} - 1{,}5$

Jetzt lassen wir $x$ gegen $\pm\infty$ laufen. Der Term $\frac{0{,}5}{x^4}$ geht dabei gegen 0.

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{2}{1 + 0} - 1{,}5 = 2 - 1{,}5 = 0{,}5$

Im Nenner $6x^3-x$ ist die höchste Potenz $x^3$.

Wir klammern $x^3$ im Zähler und Nenner aus:

$g(x) = \frac{x^3 \cdot (\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{x^3 \cdot (6 - \frac{1}{x^2})}$

Wir kürzen den gemeinsamen Faktor $x^3$:

$g(x) = \frac{\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{6 - \frac{1}{x^2}}$

Für $x \to \infty$ werden alle Terme mit $x$ im Nenner zu 0:

$\lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \frac{0 + 0}{6 - 0} = \frac{0}{6} = 0$

Im Nenner $2x^2+x$ ist die höchste Potenz $x^2$.

Wir klammern $x^2$ im Zähler und Nenner aus:

$h(x) = \frac{x^2 \cdot (x + \frac{1}{x^2})}{x^2 \cdot (2 + \frac{1}{x})}$

Wir kürzen den gemeinsamen Faktor $x^2$:

$h(x) = \frac{x + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x}}$

Für $x \to \infty$ werden die kleinen Bruchterme zu 0, aber der Term $x$ im Zähler geht gegen $\infty$:

$\lim\limits_{x \to \infty} h(x) = \frac{\infty + 0}{2 + 0} = \frac{\infty}{2} = \infty$

Im Nenner $3x^2+2x$ ist die höchste Potenz $x^2$.

Wir klammern $x^2$ im Zähler und Nenner aus:

$k(x) = \frac{x^2 \cdot (\frac{5}{x^2} - 1)}{x^2 \cdot (3 + \frac{2}{x})}$

Wir kürzen den gemeinsamen Faktor $x^2$:

$k(x) = \frac{\frac{5}{x^2} - 1}{3 + \frac{2}{x}}$

Für $x \to -\infty$ werden die Bruchterme zu 0:

$\lim\limits_{x \to -\infty} k(x) = \frac{0 - 1}{3 + 0} = -\frac{1}{3}$

Im Nenner $2x^5+9x^4$ ist die höchste Potenz $x^5$.

Wir klammern $x^5$ im Zähler und Nenner aus:

$m(x) = \frac{x^5 \cdot (8 - \frac{3}{x^3})}{x^5 \cdot (2 + \frac{9}{x})}$

Wir kürzen den gemeinsamen Faktor $x^5$:

$m(x) = \frac{8 - \frac{3}{x^3}}{2 + \frac{9}{x}}$

Für $x \to \infty$ werden die Bruchterme zu 0:

$\lim\limits_{x \to \infty} m(x) = \frac{8 - 0}{2 + 0} = \frac{8}{2} = 4$

Der Term unter der Wurzel ist $x+1$.

Wir untersuchen, was mit $x+1$ passiert, wenn $x$ unendlich groß wird.

$\lim\limits_{x \to \infty} (x+1) \to \infty$

Da der Radikand gegen $\infty$ geht, geht auch die Wurzel daraus gegen $\infty$.

$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{x+1} = \sqrt{\infty} = \infty$

Der Term unter der Wurzel ist $9x^2-5$.

Wenn $x$ unendlich groß wird, wird $x^2$ noch viel schneller unendlich groß. Die $-5$ spielt dann keine Rolle mehr.

$\lim\limits_{x \to \infty} (9x^2-5) \to \infty$

Die Wurzel aus etwas unendlich Großem ist wieder unendlich groß.

$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^2-5} = \infty$

Der Term unter der Wurzel ist $\frac{1}{x}$.

Wir kennen die Regel, dass $\frac{1}{x}$ für $x \to \infty$ gegen 0 geht.

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

Wir ziehen die Wurzel aus dem Grenzwert des Radikanden.

$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}} = \sqrt{0} = 0$

Der Term unter der Wurzel ist $8-x^3$.

Wir setzen eine sehr große negative Zahl für $x$ ein, z. B. $x=-1000$. Dann ist $x^3 = (-1000)^3 = -1.000.000.000$. Der Radikand wird zu $8 - (-1.000.000.000) = 8 + 1.000.000.000$, was eine riesige positive Zahl ist.

$\lim\limits_{x \to -\infty} (8-x^3) \to \infty$

Die dritte Wurzel aus etwas unendlich Großem ist wieder unendlich groß.

$\lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt[3]{8-x^3} = \infty$

Der Term unter der Wurzel ist $\frac{4x+1}{x-2}$.

Wir bestimmen den Grenzwert des Bruchs mit dem bekannten Trick (höchste Potenz ausklammern, hier $x$):

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{4x+1}{x-2} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x(4+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{2}{x})} = \frac{4+0}{1-0} = 4$

Der Radikand geht also gegen 4.

Wir ziehen die Wurzel aus dem Grenzwert des Radikanden.

$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\frac{4x+1}{x-2}} = \sqrt{4} = 2$

Die Funktion ändert ihre Definition bei $x=2$.

Für $x \leq 2$ (also von links) gilt der Term $x^2$. Wir setzen $x=2$ ein:

$\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 = 4$

Für $x > 2$ (also von rechts) gilt der Term $5-x$. Wir setzen $x=2$ ein:

$\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = 5-2 = 3$

Der linksseitige Grenzwert (4) ist ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert (3).

$4 \neq 3$

Die Funktion ändert ihre Definition bei $x=1$.

Für $x < 1$ gilt der Term $x+3$.

$\lim\limits_{x \to 1^-} g(x) = 1+3 = 4$

Für $x \geq 1$ gilt der Term $2x+2$.

$\lim\limits_{x \to 1^+} g(x) = 2(1)+2 = 4$

Der linksseitige Grenzwert (4) ist gleich dem rechtsseitigen Grenzwert (4).

$4 = 4$

Die Funktion ändert ihre Definition bei $x=4$.

Für $x < 4$ gilt der Term $\frac{1}{x-4}$. Wenn sich $x$ von links der 4 nähert (z. B. 3,9; 3,99; 3,999), wird der Nenner $(x-4)$ eine sehr kleine negative Zahl. 1 geteilt durch eine sehr kleine negative Zahl ergibt $-\infty$.

$\lim\limits_{x \to 4^-} h(x) = -\infty$

Für $x \geq 4$ gilt der Term $1$. Der Wert ist hier konstant 1.

$\lim\limits_{x \to 4^+} h(x) = 1$

Der linksseitige Grenzwert ($-\infty$) ist ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert (1).

Die Funktion ändert ihre Definition bei $x=-1$.

Für $x \leq -1$ gilt der Term $x^2-1$.

$\lim\limits_{x \to -1^-} k(x) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

Für $x > -1$ gilt der Term $x+1$.

$\lim\limits_{x \to -1^+} k(x) = (-1) + 1 = 0$

Der linksseitige Grenzwert (0) ist gleich dem rechtsseitigen Grenzwert (0).

$0 = 0$

Die Funktion hat eine besondere Definition bei $x=0$. Wir müssen also den Grenzwert für $x \to 0$ untersuchen.

Für $x < 0$ (also $x \neq 0$) gilt der Term $x^2+1$.

$\lim\limits_{x \to 0^-} m(x) = (0)^2 + 1 = 1$

Für $x > 0$ (also $x \neq 0$) gilt ebenfalls der Term $x^2+1$.

$\lim\limits_{x \to 0^+} m(x) = (0)^2 + 1 = 1$

Der linksseitige Grenzwert (1) ist gleich dem rechtsseitigen Grenzwert (1). Daher existiert der Grenzwert und ist 1. Beachte, dass der eigentliche Funktionswert an der Stelle, $f(0)=3$, für den Grenzwert keine Rolle spielt!

Die Funktion ist $f(x)=\sin(x)$, eine grundlegende trigonometrische Funktion.

Die Sinusfunktion nimmt periodisch alle Werte im Intervall $[-1, 1]$ an. Sie schwankt unendlich oft zwischen -1 und 1.

Da sich die Funktionswerte keinem festen Wert annähern, wenn $x$ unendlich groß wird, existiert der Grenzwert $\lim\limits_{x \to \infty} \sin(x)$ nicht.

Die Funktion ist $g(x)=\cos(x)$.

Genau wie die Sinusfunktion oszilliert auch die Kosinusfunktion unendlich oft zwischen den Werten -1 und 1.

Die Funktion nähert sich keinem eindeutigen Wert an, wenn $x$ gegen $-\infty$ geht. Daher existiert der Grenzwert nicht.

Dies ist eine transformierte Sinusfunktion.

Der Term $\sin(x)$ schwankt zwischen -1 und 1. Multipliziert mit 5 schwankt $5\sin(x)$ zwischen -5 und 5. Zieht man 2 ab, schwankt die gesamte Funktion $h(x)$ zwischen $-5-2=-7$ und $5-2=3$. Sie oszilliert also immer noch.

Da die Funktion ewig zwischen -7 und 3 hin und her schwankt, existiert der Grenzwert nicht.

Dies ist eine verkettete Funktion. Wir müssen uns das Argument des Sinus ansehen.

Wir betrachten den inneren Teil: $\frac{1}{x}$. Wenn $x \to \infty$, dann geht $\frac{1}{x}$ gegen 0.

Die Funktion verhält sich also wie $\sin(0)$.

$\lim\limits_{x \to \infty} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) = \sin\!\left(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x}\right) = \sin(0) = 0$

Hier existiert der Grenzwert und ist 0. Das ist ein wichtiger Ausnahmefall!

Die Funktion ist ein Bruch, bei dem der Zähler oszilliert und der Nenner wächst.

Der Zähler, $\cos(x)$, ist immer eine Zahl zwischen -1 und 1. Er ist also beschränkt. Der Nenner, $x$, wird unendlich groß.

Wir teilen eine kleine, beschränkte Zahl (zwischen -1 und 1) durch eine unendlich große Zahl. Das Ergebnis muss gegen 0 gehen. Man kann sich das wie eine „Sandwich-Regel" vorstellen: Die Funktion wird zwischen $-\frac{1}{x}$ und $\frac{1}{x}$ eingeklemmt, und beide gehen gegen 0.

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\cos(x)}{x} = 0$

Die höchste Potenz ist 1, also ist der dominante Term $x^1$ oder einfach $x$.

$f(x) = x \cdot \left(1 + \frac{(-x)^{1/3}}{x^1}\right)$

Mit Potenzgesetzen vereinfachen wir den Bruch: $\frac{(-x)^{1/3}}{x} = \frac{(-1 \cdot x)^{1/3}}{x} = \frac{-1 \cdot x^{1/3}}{x^1} = -x^{1/3 - 1} = -x^{-2/3} = -\frac{1}{x^{2/3}}$

$f(x) = x \cdot \left(1 - \frac{1}{x^{2/3}}\right)$

Wir betrachten den Grenzwert der Klammer. Für $x \to \pm\infty$ geht der Term $\frac{1}{x^{2/3}}$ gegen 0.

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{1}{x^{2/3}}\right) = 1 - 0 = 1$

Der Grenzwert der Funktion ist der Grenzwert des dominanten Terms mal 1.

Für $x \to +\infty$: $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} x \cdot 1 = +\infty$

Für $x \to -\infty$: $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} x \cdot 1 = -\infty$

Die höchste Potenz ist 3, also ist der dominante Term $x^3$.

$g(x) = x^3 \cdot \left(1 - \frac{500x^2}{x^3}\right) = x^3 \cdot \left(1 - \frac{500}{x}\right)$

Für $x \to \infty$ geht der Term $\frac{500}{x}$ gegen 0.

$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 - \frac{500}{x}\right) = 1 - 0 = 1$

$\lim\limits_{x \to \infty} g(x) = \lim\limits_{x \to \infty} x^3 \cdot 1 = +\infty$

Die höchste Potenz ist 1, also ist der dominante Term $-x$.

Wir klammern $x$ aus (das Vorzeichen lassen wir erstmal):

$h(x) = x \cdot \left(\frac{x^{1/2}}{x^1} - 1\right) = x \cdot \left(x^{-1/2} - 1\right) = x \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1\right)$

Für $x \to \infty$ geht der Term $\frac{1}{\sqrt{x}}$ gegen 0.

$\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1\right) = 0 - 1 = -1$

$\lim\limits_{x \to \infty} h(x) = \left(\lim\limits_{x \to \infty} x\right) \cdot (-1) = (+\infty) \cdot (-1) = -\infty$

Die höchste Potenz ist 4, also ist der dominante Term $x^4$.

$k(x) = x^4 \cdot \left(\frac{100}{x^4} - \frac{x^2}{x^4} + 1\right) = x^4 \cdot \left(\frac{100}{x^4} - \frac{1}{x^2} + 1\right)$

Für $x \to -\infty$ gehen die Terme $\frac{100}{x^4}$ und $\frac{1}{x^2}$ beide gegen 0.

$\lim\limits_{x \to -\infty} \left(\frac{100}{x^4} - \frac{1}{x^2} + 1\right) = 0 - 0 + 1 = 1$

Wir müssen den Grenzwert von $x^4$ für $x \to -\infty$ betrachten. Da der Exponent 4 gerade ist, wird das Ergebnis positiv.

$\lim\limits_{x \to -\infty} k(x) = \left(\lim\limits_{x \to -\infty} x^4\right) \cdot 1 = +\infty$

Die höchste Potenz ist 5, also ist der dominante Term $x^5$.

$m(x) = x^5 \cdot \left(1 + \frac{x^3}{x^5} - \frac{2x}{x^5}\right) = x^5 \cdot \left(1 + \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^4}\right)$

Für $x \to -\infty$ gehen die Terme $\frac{1}{x^2}$ und $\frac{2}{x^4}$ beide gegen 0.

$\lim\limits_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^4}\right) = 1 + 0 - 0 = 1$

Wir müssen den Grenzwert von $x^5$ für $x \to -\infty$ betrachten. Da der Exponent 5 ungerade ist, bleibt das Ergebnis negativ.

$\lim\limits_{x \to -\infty} m(x) = \left(\lim\limits_{x \to -\infty} x^5\right) \cdot 1 = -\infty$