Schnittpunkte berechnen einfach erklärt: Schritt für Schritt

Wir setzen die beiden Terme gleich, um die x-Koordinate zu finden, an der sie den gleichen y-Wert haben.

$f(x) = g(x)$

$2x + 1 = -x + 7$

Jetzt stellen wir die Gleichung nach $x$ um.

$2x + 1 = -x + 7 \quad | +x$

$3x + 1 = 7 \quad | -1$

$3x = 6 \quad | \div 3$

$x = 2$

Die x-Koordinate des Schnittpunkts ist $2$.

Wir setzen $x=2$ in eine der beiden Funktionen ein. Nehmen wir $f(x)$, weil sie einfacher aussieht.

$y = f(2) = 2 \cdot 2 + 1$

$y = 4 + 1 = 5$

Die y-Koordinate ist $5$.

$f(x) = g(x)$

$x^2 - 3 = x - 1$

Wir bringen alles auf eine Seite, um eine quadratische Gleichung zu erhalten, die wir mit der Mitternachtsformel (oder pq-Formel) lösen können.

$x^2 - 3 = x - 1 \quad | -x, +1$

$x^2 - x - 2 = 0$

Wir verwenden die Mitternachtsformel $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ mit $a=1, b=-1, c=-2$.

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$

Wir erhalten zwei Lösungen für x:

$x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$

Wir müssen für beide x-Werte die y-Koordinate berechnen. Wir benutzen die einfachere Funktion $g(x) = x - 1$.

Für $x_1 = 2$: $y_1 = g(2) = 2 - 1 = 1$

Für $x_2 = -1$: $y_2 = g(-1) = -1 - 1 = -2$

$f(x) = g(x)$

$x^3 = 4x$

Achtung: Nicht einfach durch $x$ teilen! Das würde eine Lösung verlieren. Stattdessen alles auf eine Seite bringen und ausklammern.

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist diese Gleichung erfüllt, wenn einer der Faktoren Null ist.

1. Fall: $x_1 = 0$

2. Fall: $x^2 - 4 = 0 \quad |+4$ $x^2 = 4 \quad |\sqrt{}$ $x_{2,3} = \pm 2$. Also $x_2 = 2$ und $x_3 = -2$.

Wir haben drei x-Werte gefunden.

Wir setzen die drei x-Werte in die einfachere Funktion $g(x) = 4x$ ein.

Für $x_1 = 0$: $y_1 = g(0) = 4 \cdot 0 = 0$

Für $x_2 = 2$: $y_2 = g(2) = 4 \cdot 2 = 8$

Für $x_3 = -2$: $y_3 = g(-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

$f(x) = g(x)$

$e^x = 1$

Um das $x$ aus dem Exponenten zu bekommen, verwenden wir die Umkehroperation, den natürlichen Logarithmus (ln).

$e^x = 1 \quad | \ln(...)$

$\ln(e^x) = \ln(1)$

$x = 0$

Die x-Koordinate ist $0$.

Wir setzen $x=0$ in eine der Funktionen ein. $g(x)=1$ ist am einfachsten. Der y-Wert ist also direkt $1$.

$f(x) = g(x)$

$\frac{1}{x} = -x + 2$

Um den Bruch aufzulösen, multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit $x$. (Dabei nehmen wir an, $x \neq 0$, was für die Funktion $f(x)$ sowieso gelten muss).

$\frac{1}{x} = -x + 2 \quad | \cdot x$

$1 = -x^2 + 2x$

Wir bringen alles auf eine Seite, um eine quadratische Gleichung zu erhalten.

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Das ist eine binomische Formel: $(x-1)^2 = 0$.

Die einzige Lösung ist $x = 1$.

Wir setzen $x=1$ in $g(x) = -x + 2$ ein.

$y = g(1) = -1 + 2 = 1$

$y = f(0) = 2 \cdot 0 - 8 = -8$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|-8)$.

$2x - 8 = 0$

$2x = 8 \quad | \div 2$

$x = 4$

$y = f(0) = (0)^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|-3)$.

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Wir verwenden die Mitternachtsformel (oder pq-Formel).

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{-2+4}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-2-4}{2} = -3$

$y = f(0) = (0-5)(0+1)(0-2) = (-5)(1)(-2) = 10$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|10)$.

$(x-5)(x+1)(x-2) = 0$

Die Funktion liegt bereits in faktorisierter Form vor. Nach dem Satz vom Nullprodukt wird der ganze Term Null, wenn eine der Klammern Null wird.

$x-5=0 \quad \to \quad x_1 = 5$

$x+1=0 \quad \to \quad x_2 = -1$

$x-2=0 \quad \to \quad x_3 = 2$

$y = f(0) = 2e^{0} - 2 = 2 \cdot 1 - 2 = 0$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|0)$.

$2e^x - 2 = 0$

$2e^x = 2 \quad | \div 2$

$e^x = 1 \quad | \ln(...)$

$x = \ln(1) = 0$

$y = f(0) = \frac{0-6}{0+2} = \frac{-6}{2} = -3$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|-3)$.

$\frac{x-6}{x+2} = 0$

Ein Bruch wird genau dann Null, wenn sein Zähler Null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig Null ist).

$x-6 = 0 \quad | +6$

$x = 6$

(Überprüfung: Für $x=6$ ist der Nenner $6+2=8 \neq 0$, also ist die Lösung gültig.)

$x$ ist die Anzahl der T-Shirts. $K(x)$ sind die Gesamtkosten, $E(x)$ sind die Gesamteinnahmen. Gesucht ist der Punkt, an dem Kosten und Einnahmen gleich sind.

Wir suchen den Schnittpunkt der beiden Funktionen. Also setzen wir sie gleich:

$K(x) = E(x)$

$5x + 500 = 15x$

$5x + 500 = 15x \quad | -5x$

$500 = 10x \quad | \div 10$

$x = 50$

Wir setzen $x=50$ in die Einnahmenfunktion ein:

$y = E(50) = 15 \cdot 50 = 750$

Bei 50 T-Shirts betragen die Einnahmen (und Kosten) 750 €.

Die Lösung $x=50$ ist positiv und damit im Kontext sinnvoll. Der Break-Even-Point liegt bei $(50|750)$.

$t$ ist die Zeit, $h(t)$ die Höhe des Balls, $v(t)$ die Höhe des Vogels. Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Höhen gleich sind.

Wir suchen die Schnittpunkte der beiden Funktionen:

$h(t) = v(t)$

$-5t^2 + 30t = 40$

Wir formen die Gleichung um, um die Mitternachtsformel anwenden zu können.

$-5t^2 + 30t - 40 = 0 \quad | \div (-5)$

$t^2 - 6t + 8 = 0$

$t_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

$t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$t_1 = \frac{6+2}{2} = 4$

$t_2 = \frac{6-2}{2} = 2$

Die Höhe ist konstant 40 Meter, also ist die y-Koordinate für beide Punkte 40.

Beide Zeitpunkte, $t_1=4$ und $t_2=2$, sind positiv und daher im Kontext sinnvoll. Der Ball erreicht die Höhe von 40 Metern einmal beim Aufsteigen und einmal beim Fallen.

$t$ ist die Zeit in Stunden. $A(t)$ und $B(t)$ beschreiben die Anzahl der Bakterien. Gesucht ist der Zeitpunkt $t$, an dem $A(t) = B(t)$ ist.

$A(t) = B(t)$

$100 \cdot 2^t = 800 \cdot (\sqrt{2})^t$

Wir teilen zuerst durch 100.

$2^t = 8 \cdot (\sqrt{2})^t$

Wir wissen, dass $\sqrt{2} = 2^{0.5}$.

$2^t = 8 \cdot (2^{0.5})^t = 8 \cdot 2^{0.5t}$

Jetzt teilen wir durch $2^{0.5t}$.

$\frac{2^t}{2^{0.5t}} = 8$

$2^{t - 0.5t} = 8$

$2^{0.5t} = 8$

Wir wissen, dass $8 = 2^3$.

$2^{0.5t} = 2^3$

Durch Exponentenvergleich folgt:

$0.5t = 3 \quad | \cdot 2$

$t = 6$

Wir setzen $t=6$ in $A(t)$ ein: $A(6) = 100 \cdot 2^6 = 100 \cdot 64 = 6400$.

Die Lösung $t=6$ ist positiv und sinnvoll.

$p$ ist der Preis. $N(p)$ ist die nachgefragte Menge, $A(p)$ die angebotene Menge. Gesucht ist der Preis $p$, bei dem $N(p) = A(p)$ gilt.

$N(p) = A(p)$

$200 - 2p = 3p + 50$

$200 - 2p = 3p + 50 \quad | +2p$

$200 = 5p + 50 \quad | -50$

$150 = 5p \quad | \div 5$

$p = 30$

Wir setzen $p=30$ in $N(p)$ ein: $N(30) = 200 - 2 \cdot 30 = 200 - 60 = 140$. Die Menge im Gleichgewicht ist 140 Stück.

Ein Preis von 30 € ist eine sinnvolle Lösung.

$t$ ist die Zeit in Stunden seit dem Start von Auto A. $s_A(t)$ und $s_B(t)$ sind die Positionen in Kilometern. Gesucht ist der Zeitpunkt $t$, an dem die Positionen gleich sind.

$s_A(t) = s_B(t)$

$80t = 90(t-0.5) + 40$

$80t = 90t - 45 + 40$

$80t = 90t - 5 \quad | -80t, +5$

$5 = 10t \quad | \div 10$

$t = 0.5$

Wir setzen $t=0.5$ in die einfachere Funktion $s_A(t)$ ein:

$s_A(0.5) = 80 \cdot 0.5 = 40$

Der Überholvorgang findet bei Kilometer 40 statt.

Die Zeit $t=0.5$ Stunden (also 30 Minuten) ist der Moment, in dem Auto B losfährt. Genau in diesem Moment ist Auto A bei Kilometer 40. Das ist der Überholpunkt.