Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch der Form f(x) = Z(x) / N(x) , bei dem Zähler Z(x) und Nenner N(x) Polynome sind. Ein typisches Beispiel ist f(x) = (x+1)/(x−5) . Solche Funktionen haben Nullstellen (wo der Zähler null wird) und Polstellen (wo der Nenner null wird und der Graph ins Unendliche schießt).

Wie konstruierst du eine gebrochenrationale Funktion aus Nullstellen und Polstellen?

Du gehst in drei Schritten vor: Schritt 1 – Für jede Nullstelle bei x = a setzt du den Faktor (x − a) in den Zähler. Schritt 2 – Für jede Polstelle bei x = b setzt du einen Faktor in den Nenner: (x − b)¹ bei Vorzeichenwechsel, (x − b)² ohne Vorzeichenwechsel. Schritt 3 – Du schreibst die fertige Funktion als f(x) = Z(x) / N(x) auf.

Was bedeutet Vorzeichenwechsel an einer Polstelle?

An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel springt der Graph von +∞ nach −∞ (oder umgekehrt) – die Kurve kommt auf einer Seite von oben und auf der anderen von unten. Das erreichst du mit einem ungeraden Exponenten im Nennerfaktor, z. B. (x − b)¹ . Ohne Vorzeichenwechsel gehen beide Äste in dieselbe Richtung – dafür brauchst du einen geraden Exponenten, z. B. (x − b)² .

Was passiert, wenn keine Nullstellen oder Polstellen angegeben sind?

Wenn keine Nullstellen angegeben sind, setzt du den Zähler einfach auf Z(x) = 1 . Wenn keine Polstellen angegeben sind, wird der Nenner N(x) = 1 . In diesem Fall ist die Funktion ein gewöhnliches Polynom ohne Definitionslücke – zum Beispiel ergibt die reine Angabe von zwei Nullstellen eine quadratische Funktion wie f(x) = (x+2)(x−2) = x² − 4 .

Wie erkennst du, welche Potenz der Nennerfaktor haben muss?

Die Potenz des Nennerfaktors richtet sich nach dem Verhalten an der Polstelle: Ein ungerader Exponent (z. B. 1, 3) erzeugt einen Vorzeichenwechsel – der Graph wechselt die Seite. Ein gerader Exponent (z. B. 2, 4) verhindert den Vorzeichenwechsel – beide Äste zeigen in dieselbe Richtung. In der Schule wählt man meistens die kleinsten Potenzen: (x − b)¹ für VZW und (x − b)² für kein VZW.

Gebrochenrationale Funktionen konstruieren

Gebrochenrationale Funktionen konstruieren klingt erst einmal kompliziert – aber sobald du die drei Grundregeln kennst, ist es wie das Bauen mit Legosteinen. Stell dir vor, jemand gibt dir eine Wunschliste: „Ich will eine Kurve, die hier die x-Achse schneidet und sich dort ins Unendliche stürzt." Du kannst die exakte mathematische Formel dafür direkt aufschreiben. Das ist kein Trick, sondern ein mächtiger Cheat Code in der Mathematik. Wenn du die Regeln kennst, kannst du Funktionen nach deinen Wünschen designen – das spart Zeit in der Klausur und gibt dir ein tiefes Verständnis dafür, wie gebrochenrationale Funktionen wirklich ticken.

Schnellantwort

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner jeweils Polynome sind: $f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}$ . Um eine solche Funktion aus gegebenen Eigenschaften zu konstruieren, setzt du für jede Nullstelle einen Faktor in den Zähler und für jede Polstelle einen Faktor in den Nenner – die Potenz des Nennerfaktors entscheidet dabei, ob ein Vorzeichenwechsel an der Polstelle stattfindet oder nicht.

Vorwissen

Bevor wir Funktionen bauen, hier die Bauteile, die du kennen solltest:

Gebrochenrationale Funktion: Das ist einfach ein Bruch, bei dem im Zähler und im Nenner Polynome (Terme mit x) stehen.
- Formel: $f(x) = \frac{\text{Zählerpolynom } Z(x)}{\text{Nennerpolynom } N(x)}$
- Beispiel: $f(x) = \frac{x^2+1}{x-3}$
Nullstelle: Ein x-Wert, bei dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. Dort ist der Funktionswert null.
- Bedingung: $f(x) = 0$
- Beispiel: Bei $f(x) = x-5$ ist die Nullstelle bei $x=5$ , denn $f(5) = 5-5 = 0$ .
Polstelle (Definitionslücke): Ein x-Wert, für den man nicht in die Funktion einsetzen darf, weil der Nenner null werden würde. Der Graph schießt hier ins Unendliche (nach oben oder unten).
- Bedingung: Nenner $N(x) = 0$
- Beispiel: Bei $f(x) = \frac{1}{x-2}$ ist die Polstelle bei $x=2$ , denn dann wäre der Nenner $2-2=0$ .

Aufgabentyp 1: Gebrochenrationale Funktionen aus Eigenschaften erstellen

Eine gebrochenrationale Funktion zu konstruieren ist wie das Bauen mit Legosteinen. Jede Eigenschaft (Nullstelle, Polstelle) gibt uns einen bestimmten Baustein (einen Faktor), den wir an die richtige Stelle – Zähler oder Nenner – setzen.

Die Grundform ist immer:

$f(x) = k \cdot \frac{Z(x)}{N(x)} = k \cdot \frac{\text{Produkt der Nullstellen-Faktoren}}{\text{Produkt der Polstellen-Faktoren}}$

Der Faktor $k$ ist eine Konstante, die die Funktion streckt oder staucht. Wenn nichts anderes gesagt wird, wählen wir der Einfachheit halber $k=1$ .

Regel 1: Nullstellen bestimmen den Zähler

Für jede Nullstelle bei $x=a$ fügen wir den Faktor $(x-a)$ zum Zähler hinzu.

Regel: Nullstelle ergibt Zählerfaktor (x-a)

Regel 2: Polstellen bestimmen den Nenner

Für jede Polstelle bei $x=b$ fügen wir den Faktor $(x-b)$ zum Nenner hinzu.

Regel: Polstelle ergibt Nennerfaktor (x-b)

Regel 3: Das Verhalten an der Polstelle (Vorzeichenwechsel)

Die Potenz des Faktors im Nenner entscheidet, ob der Graph auf beiden Seiten der Polstelle in die gleiche oder in entgegengesetzte Richtungen ins Unendliche geht.

Mit Vorzeichenwechsel (VZW): Der Graph springt von $+\infty$ nach $-\infty$ (oder umgekehrt). Dafür muss der Faktor im Nenner eine ungerade Potenz haben. Wir nehmen meistens die einfachste: $(x-b)^1$ .

Graph mit Vorzeichenwechsel an der Polstelle

Ohne Vorzeichenwechsel (VZW): Der Graph geht auf beiden Seiten in die gleiche Richtung (z.B. beide nach $+\infty$ ). Dafür muss der Faktor im Nenner eine gerade Potenz haben. Wir nehmen meistens die einfachste: $(x-b)^2$ .

Graph ohne Vorzeichenwechsel an der Polstelle

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zähler zusammenbauen: Suche alle angegebenen Nullstellen. Für jede Nullstelle bei $x=a$ notiere den Faktor $(x-a)$ und multipliziere alle diese Faktoren. Wenn keine Nullstellen gegeben sind, ist der Zähler einfach $1$ .
Nenner zusammenbauen: Suche alle angegebenen Polstellen. Prüfe für jede Polstelle bei $x=b$ , ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet: wenn ja, nutze den Faktor $(x-b)^1$ ; wenn nein, nutze $(x-b)^2$ . Multipliziere alle diese Faktoren. Wenn keine Polstellen gegeben sind, ist der Nenner $1$ .
Funktion aufschreiben: Setze Zähler und Nenner zur fertigen Funktion $f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}$ zusammen. Vereinfache wenn möglich, aber meistens ist die faktorisierte Form am besten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Konstruiere eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ mit einer Polstelle bei $x=3$ ohne Vorzeichenwechsel.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler (Z(x)) zusammenbauen
Es sind keine Nullstellen angegeben. Daher setzen wir den Zähler einfach auf $1$ .

$Z(x) = 1$
2
Schritt 2
Nenner (N(x)) zusammenbauen
Wir haben eine Polstelle bei $x=3$ . Die Anforderung lautet „ohne Vorzeichenwechsel". Das bedeutet, wir brauchen eine gerade Potenz.
- Der Faktor für die Polstelle bei $x=3$ ist $(x-3)$ .
- Wegen „ohne VZW" wählen wir die Potenz $2$ .
Der Nenner ist also:

$N(x) = (x-3)^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Funktion aufschreiben
Jetzt setzen wir Zähler und Nenner zusammen.

$f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{1}{(x-3)^2}$

Ergebnis:

$f(x) = \dfrac{1}{(x-3)^2}$ – Polstelle bei $x=3$ ohne Vorzeichenwechsel.

Beispiel 2

Aufgabe

Konstruiere eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ mit einer Nullstelle bei $x=-1$ und einer Polstelle bei $x=5$ mit Vorzeichenwechsel.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler (Z(x)) zusammenbauen
Wir haben eine Nullstelle bei $x=-1$ . Der zugehörige Faktor ist $(x - (-1))$ .

$Z(x) = (x+1)$
2
Schritt 2
Nenner (N(x)) zusammenbauen
Wir haben eine Polstelle bei $x=5$ . Die Anforderung lautet „mit Vorzeichenwechsel". Das bedeutet, wir brauchen eine ungerade Potenz.
- Der Faktor für die Polstelle bei $x=5$ ist $(x-5)$ .
- Wegen „mit VZW" wählen wir die Potenz $1$ .
Der Nenner ist also:

$N(x) = (x-5)^1 = x-5$
Schritt 3 · Ergebnis
Funktion aufschreiben
Jetzt setzen wir Zähler und Nenner zusammen.

$f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{x+1}{x-5}$

Ergebnis:

$f(x) = \dfrac{x+1}{x-5}$ – Nullstelle bei $x=-1$ , Polstelle mit VZW bei $x=5$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Konstruiere eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ mit Nullstellen bei $x=-2$ und $x=2$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Zähler (Z(x)) zusammenbauen
Wir haben zwei Nullstellen:
- Nullstelle bei $x=-2$ $\to$ Faktor $(x - (-2)) = (x+2)$
- Nullstelle bei $x=2$ $\to$ Faktor $(x-2)$
Wir multiplizieren diese Faktoren für den Zähler:

$Z(x) = (x+2)(x-2)$

Man könnte das auch ausmultiplizieren zu $x^2-4$ , aber die faktorisierte Form ist oft übersichtlicher.
Schritt 2
Nenner (N(x)) zusammenbauen
Es sind keine Polstellen angegeben. Daher setzen wir den Nenner einfach auf $1$ .

$N(x) = 1$
Schritt 3 · Ergebnis
Funktion aufschreiben
$f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{(x+2)(x-2)}{1} = x^2-4$

Ergebnis:

$f(x) = x^2 - 4$ – Nullstellen bei $x=-2$ und $x=2$ , keine Polstellen.

Beispiel 4

Aufgabe

Konstruiere eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ mit einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=1$ und einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei $x=4$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler (Z(x)) zusammenbauen
Es sind keine Nullstellen angegeben. Daher ist der Zähler $1$ .

$Z(x) = 1$
2
Schritt 2
Nenner (N(x)) zusammenbauen
Wir haben zwei Polstellen:
- Polstelle bei $x=1$ mit VZW $\to$ Faktor $(x-1)^1$
- Polstelle bei $x=4$ ohne VZW $\to$ Faktor $(x-4)^2$
Wir multiplizieren diese Faktoren für den Nenner:

$N(x) = (x-1) \cdot (x-4)^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Funktion aufschreiben
$f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{1}{(x-1)(x-4)^2}$

Ergebnis:

$f(x) = \dfrac{1}{(x-1)(x-4)^2}$ – Polstelle mit VZW bei $x=1$ , ohne VZW bei $x=4$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Konstruiere eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ mit einer Nullstelle bei $x=0$ , einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x=-3$ und einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei $x=3$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler (Z(x)) zusammenbauen
Wir haben eine Nullstelle bei $x=0$ . Der Faktor ist $(x-0)$ .

$Z(x) = x$
2
Schritt 2
Nenner (N(x)) zusammenbauen
Wir haben zwei Polstellen:
- Polstelle bei $x=-3$ mit VZW $\to$ Faktor $(x - (-3))^1 = (x+3)^1$
- Polstelle bei $x=3$ ohne VZW $\to$ Faktor $(x-3)^2$
Wir multiplizieren diese Faktoren für den Nenner:

$N(x) = (x+3) \cdot (x-3)^2$
Schritt 3 · Ergebnis
Funktion aufschreiben
$f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{x}{(x+3)(x-3)^2}$

Ergebnis:

$f(x) = \dfrac{x}{(x+3)(x-3)^2}$ – Nullstelle bei $x=0$ , Polstellen bei $x=-3$ (mit VZW) und $x=3$ (ohne VZW).

Wichtige Erkenntnisse

Nullstellen bei $x=a$ gehören in den Zähler als Faktor $(x-a)$ .
Polstellen bei $x=b$ gehören in den Nenner als Faktor $(x-b)$ .
Mit Vorzeichenwechsel an der Polstelle bedeutet: ungerader Exponent im Nenner (z.B. $(x-b)^1$ ).
Ohne Vorzeichenwechsel an der Polstelle bedeutet: gerader Exponent im Nenner (z.B. $(x-b)^2$ ).
Wenn eine Eigenschaft nicht erwähnt wird (z.B. keine Nullstellen), wird der entsprechende Teil (Zähler) einfach zu $1$ .

Gebrochenrationale Funktionen konstruieren – einfach erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Gebrochenrationale Funktionen aus Eigenschaften erstellen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Das könnte Dich auch interessieren

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.