Bruchgleichungen graphisch lösen: So geht's Schritt für Schritt

Bruchgleichungen graphisch lösen ist ein eleganter Trick, mit dem du die Lösung einer Bruchgleichung einfach aus einem Koordinatensystem abliest, ohne aufwendig umzuformen. Die Idee: Du verwandelst die Gleichung in ein Bild und findest die Lösung dort, wo sich zwei Linien kreuzen. Das ist oft viel schneller und intuitiver als der algebraische Weg – und gleichzeitig eine prima Methode, um dein Ergebnis zu überprüfen.

Schnellantwort

Eine Bruchgleichung graphisch lösen bedeutet: Du schreibst die linke Seite der Gleichung als Funktion $f(x)$ (deren Graph meist eine Hyperbel ist) und die rechte Seite als konstante Funktion $g(x)$ (eine waagerechte Gerade). Die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Graphen ist die gesuchte Lösung der Bruchgleichung.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz drei wichtige Grundlagen:

• Funktionsgraph: Ein Graph ist die bildliche Darstellung einer Funktion. Er zeigt alle Punkte $(x|y)$, die zur Funktionsgleichung passen.

  • Beispiel: Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist eine Parabel.

• Koordinaten ablesen: In einem Koordinatensystem hat jeder Punkt eine x- und eine y-Koordinate, geschrieben als $P(x|y)$.

  • Beispiel: Der Punkt $P(3|4)$ liegt 3 Einheiten rechts auf der x-Achse und 4 Einheiten oben auf der y-Achse.

• Waagerechte Gerade: Eine perfekt horizontale Linie. Alle Punkte auf dieser Linie haben denselben y-Wert.

  • Formel: $y = c$ (wobei c eine feste Zahl ist).
  • Beispiel: Die Gleichung $y = 2$ beschreibt eine waagerechte Gerade, die die y-Achse bei 2 schneidet.

Aufgabentyp 1: Bruchgleichungen graphisch lösen

Eine Bruchgleichung hat die Form $\textcolor{#08BFFF}{\text{Bruchterm}} = \textcolor{#53E5D6}{\text{Zahl}}$. Die Idee der graphischen Lösung ist, beide Seiten der Gleichung als separate Funktionen zu betrachten:

1. Die linke Seite wird zur Funktion $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{\text{Bruchterm}}$. Der Graph davon ist meist eine Kurve (Hyperbel) und oft schon gegeben.
2. Die rechte Seite wird zur Funktion $g(x) = \textcolor{#53E5D6}{\text{Zahl}}$. Der Graph davon ist immer eine $\textcolor{#53E5D6}{\text{waagerechte Gerade}}$.

Die Lösung der ursprünglichen Gleichung ist dann einfach die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Graphen. Wir suchen also den x-Wert, an dem beide Funktionen denselben y-Wert haben.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichung aufteilen: Schreibe die linke Seite als $f(x)$ und die rechte Seite als $g(x)$.
2. Graphen betrachten: Zeichne die waagerechte Gerade $g(x) = c$ in das Koordinatensystem ein, in dem $f(x)$ bereits gegeben ist.
3. Schnittpunkt(e) finden: Suche alle Punkte, an denen sich Kurve und Gerade schneiden.
4. Lösung ablesen: Lies die x-Koordinate jedes Schnittpunktes ab und gib die Lösungsmenge an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Löse die folgende Bruchgleichung graphisch: $\frac{5}{x+2}=5$. Der Graph der Funktion $f(x)=\frac{5}{x+2}$ ist bereits gegeben.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gleichung in zwei Funktionen aufteilen

   Wir betrachten die linke und die rechte Seite der Gleichung getrennt:

   • $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{\frac{5}{x+2}}$ (der Graph ist gegeben)
   • $g(x) = \textcolor{#53E5D6}{5}$
2. 2
   Schritt 2
   Graphen im Koordinatensystem betrachten

   Wir zeichnen die waagerechte Gerade $g(x)=5$ in das Koordinatensystem ein.

   

3. 3
   Schritt 3
   Schnittpunkt finden

   Wir suchen den Punkt, an dem sich die blaue Kurve und die neue Gerade schneiden.

   

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Lösung ablesen

   Wir lesen die x-Koordinate des Schnittpunktes $S(-1|5)$ ab. Die x-Koordinate ist -1.

Ergebnis:

Die Lösung der Gleichung ist $x = -1$. Die Lösungsmenge ist $L = \{-1\}$.

Beispiel 2

Aufgabe

Löse die Bruchgleichung $\frac{4}{x-1}=-2$ graphisch. Der Graph von $f(x)=\frac{4}{x-1}$ ist gegeben.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gleichung in zwei Funktionen aufteilen
   • $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{\frac{4}{x-1}}$
   • $g(x) = \textcolor{#53E5D6}{-2}$
2. 2
   Schritt 2
   Graphen im Koordinatensystem betrachten

   Wir zeichnen die waagerechte Gerade $g(x)=-2$ in das Koordinatensystem ein.

   

3. 3
   Schritt 3
   Schnittpunkt finden

   Wir lokalisieren den Schnittpunkt der beiden Graphen.

   

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Lösung ablesen

   Die x-Koordinate des Schnittpunktes $S(-1|-2)$ ist -1.

Ergebnis:

Die Lösung der Gleichung ist $x = -1$. Die Lösungsmenge ist $L = \{-1\}$.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Lösung der Gleichung $\frac{-6}{x}=-1.5$ graphisch. Der Graph von $f(x)=\frac{-6}{x}$ ist abgebildet.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gleichung in zwei Funktionen aufteilen
   • $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{\frac{-6}{x}}$
   • $g(x) = \textcolor{#53E5D6}{-1.5}$
2. 2
   Schritt 2
   Graphen im Koordinatensystem betrachten

   Wir zeichnen die waagerechte Gerade $g(x)=-1.5$ ein.

   

3. 3
   Schritt 3
   Schnittpunkt finden

   Wir finden den Schnittpunkt der Kurve und der Geraden.

   

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Lösung ablesen

   Die x-Koordinate des Schnittpunktes $S(4|-1.5)$ ist 4.

Ergebnis:

Die Lösung der Gleichung ist $x = 4$. Die Lösungsmenge ist $L = \{4\}$.

Beispiel 4

Aufgabe

Löse die Gleichung $\frac{8}{x^2}=2$ graphisch. Der Graph von $f(x)=\frac{8}{x^2}$ ist gegeben.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gleichung in zwei Funktionen aufteilen
   • $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{\frac{8}{x^2}}$
   • $g(x) = \textcolor{#53E5D6}{2}$
2. 2
   Schritt 2
   Graphen im Koordinatensystem betrachten

   Wir zeichnen die waagerechte Gerade $g(x)=2$ ein.

   

3. 3
   Schritt 3
   Schnittpunkte finden

   Hier schneidet die Gerade die Kurve an zwei Stellen!

   

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Lösungen ablesen

   Wir lesen die x-Koordinaten beider Schnittpunkte ab:

   • $S_1(-2|2) \to x_1 = -2$
   • $S_2(2|2) \to x_2 = 2$

Ergebnis:

Diese Gleichung hat zwei Lösungen. Die Lösungsmenge ist $L = \{-2; 2\}$.

Beispiel 5

Aufgabe

Untersuche die Gleichung $\frac{2}{(x-1)^2}=-1$ graphisch. Der Graph von $f(x)=\frac{2}{(x-1)^2}$ ist gegeben.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Gleichung in zwei Funktionen aufteilen
   • $f(x) = \textcolor{#08BFFF}{\frac{2}{(x-1)^2}}$
   • $g(x) = \textcolor{#53E5D6}{-1}$
2. 2
   Schritt 2
   Graphen im Koordinatensystem betrachten

   Wir zeichnen die waagerechte Gerade $g(x)=-1$ ein.

   

3. 3
   Schritt 3
   Schnittpunkt finden

   Wir beobachten, dass sich die blaue Kurve und die waagerechte Gerade an keiner Stelle schneiden. Der Graph von $f(x)$ verläuft komplett oberhalb der x-Achse, während die Gerade $g(x)=-1$ unterhalb verläuft.

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Lösung ablesen

   Da es keinen Schnittpunkt gibt, hat die Gleichung keine Lösung.

Ergebnis:

Die Lösungsmenge ist leer: $L = \{\}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Um eine Gleichung der Form $f(x) = c$ graphisch zu lösen, suchst du den Schnittpunkt des Graphen von $f(x)$ mit der waagerechten Geraden $y=c$.
• Die Lösung der Gleichung ist immer die x-Koordinate des Schnittpunktes.
• Es kann einen, mehrere oder auch gar keinen Schnittpunkt geben. Dementsprechend hat die Gleichung eine, mehrere oder keine Lösung.