Was sind Bruchterme und was bedeutet Vereinfachen von Bruchtermen?

Ein Bruchterm ist ein mathematischer Ausdruck mit einem Zähler und einem Nenner, die durch einen Bruchstrich getrennt sind. Vereinfachen von Bruchtermen bedeutet, gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner zu kürzen, sodass der Term so übersichtlich wie möglich wird. Dazu nutzt du Techniken wie Kürzen, Ausklammern und – beim Dividieren – den Kehrbruch. Ein vereinfachter Bruchterm ist leichter weiterzurechnen und verhindert Fehler in der Klassenarbeit.

Wie multiplizierst du zwei Bruchterme miteinander?

Beim Multiplizieren von Bruchtermen gilt: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Die Formel lautet a/b · c/d = (a·c)/(b·d) . Tipp: Oft kannst du schon vor dem Multiplizieren kürzen – das nennt man über Kreuz kürzen . Dabei teilst du einen Zähler und einen diagonalen Nenner durch ihren gemeinsamen Teiler, bevor du die eigentliche Multiplikation durchführst. So bleiben die Zahlen klein und du machst weniger Rechenfehler.

Wie dividierst du Bruchterme Schritt für Schritt?

Beim Dividieren von Bruchtermen gehst du in vier Schritten vor: Bilde den Kehrbruch des zweiten Bruchs (Zähler und Nenner vertauschen). Ändere das Divisionszeichen zu einem Multiplikationszeichen. Multipliziere wie gewohnt: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Kürze das Ergebnis, falls möglich. Ganze Zahlen schreibst du vorher als Bruch mit dem Nenner 1, z. B. 8 = 8/1 .

Wie rechnest du mit gemischten Zahlen in Bruchtermen?

Eine gemischte Zahl wie 2¾ musst du zuerst in einen unechten Bruch umwandeln, bevor du rechnen kannst. Die Formel lautet: (ganze Zahl · Nenner) + Zähler ergibt den neuen Zähler, der Nenner bleibt gleich. Aus 2¾ wird so (2·4+3)/4 = 11/4 . Danach multiplizierst oder dividierst du ganz normal wie mit gewöhnlichen Bruchtermen.

Was ist der -1-Trick beim Vereinfachen von Bruchtermen?

Der -1-Trick hilft, wenn im Zähler (a−b) und im Nenner (b−a) steht – also entgegengesetzte Terme. Diese sehen fast gleich aus, lassen sich aber nicht direkt kürzen. Der Trick: Schreibe (a−b) = −1·(b−a) . Danach stehen im Zähler und Nenner identische Klammerterme, die du kürzen kannst. Das Vorzeichen −1 bleibt im Ergebnis erhalten.

Vereinfachen von Bruchtermen

Das Vereinfachen von Bruchtermen ist eine der wichtigsten Rechentechniken in der Mathematik und begegnet dir in nahezu jeder Klassenarbeit ab Klasse 7. Stell dir vor, du siehst eine riesige, komplizierte Aufgabe und denkst: „Oh nein, das wird ewig dauern." Aber dann erkennst du ein Muster, kürzt ein paar Dinge weg und – die Aufgabe wird super einfach. Das ist keine Magie, das ist Bruchrechnung. Dieses Wissen ist wie ein Cheat-Code für Klassenarbeiten: Während andere noch mühsam rechnen, bist du schon fertig, weil du den direkten Weg kennst. Es geht darum, cleverer zu arbeiten, nicht härter.

Schnellantwort

Bruchterme vereinfachen bedeutet, Zähler und Nenner eines Bruchs so umzuformen, dass gemeinsame Faktoren gekürzt werden und der Term so kurz und übersichtlich wie möglich wird. Die wichtigsten Werkzeuge dafür sind das Kürzen, das Ausklammern und – beim Dividieren – das Bilden des Kehrbruchs.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Was ist ein Bruch? Ein Bruch besteht aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten), getrennt durch einen Bruchstrich. Im Bruch $\frac{3}{4}$ ist 3 der Zähler und 4 der Nenner.
Kürzen: Wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben, kannst du beide durch diesen Teiler teilen, um den Bruch zu vereinfachen. $\frac{6}{9}$ kann man mit 3 kürzen: $6 \div 3 = 2$ und $9 \div 3 = 3$ , also ist $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
Ausklammern: Gemeinsame Faktoren aus einer Summe oder Differenz „herausziehen". In $5x + 10$ steckt in beiden Teilen der Faktor 5. Wir können ihn ausklammern: $5 \cdot (x + 2)$ .
Kehrbruch (Reziprok): Man vertauscht einfach Zähler und Nenner eines Bruchs. Der Kehrbruch von $\frac{2}{5}$ ist $\frac{5}{2}$ .

Aufgabentyp 1: Bruchterme multiplizieren

Das Multiplizieren von Brüchen ist die einfachste Rechenart beim Vereinfachen von Bruchtermen. Die Regel lautet: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Die Formel dazu sieht so aus:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Du multiplizierst einfach die oberen Zahlen miteinander und die unteren Zahlen miteinander.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zähler multiplizieren: Nimm die beiden Zahlen über dem Bruchstrich (die Zähler) und multipliziere sie miteinander. Das Ergebnis ist der neue Zähler.
Nenner multiplizieren: Nimm die beiden Zahlen unter dem Bruchstrich (die Nenner) und multipliziere sie miteinander. Das Ergebnis ist der neue Nenner.
Ergebnis prüfen und kürzen: Schau dir den neuen Bruch an. Kannst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilen? Wenn ja, kürze den Bruch, um ihn vollständig zu vereinfachen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{11}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler multiplizieren
Wir multiplizieren die beiden Zähler 2 und 5.

$2 \cdot 5 = 10$
Schritt 2
Nenner multiplizieren
Wir multiplizieren die beiden Nenner 3 und 11.

$3 \cdot 11 = 33$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Der neue Bruch ist $\frac{10}{33}$ . Kürzen ist hier nicht möglich.

Ergebnis:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{11} = \frac{10}{33}$

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{8}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler multiplizieren
Tipp: Manchmal kann man schon vor dem Multiplizieren kürzen! Das nennt man „über Kreuz kürzen". Hier können wir die 4 und die 8 beide durch 4 teilen.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}$

$1 \cdot 3 = 3$
Schritt 2
Nenner multiplizieren
$5 \cdot 2 = 10$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Der neue Bruch ist $\frac{3}{10}$ .

Ergebnis:

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{10}$

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{x}{2} \cdot \frac{y}{3}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler multiplizieren
Die Regel gilt auch für Variablen.

$x \cdot y = xy$
Schritt 2
Nenner multiplizieren
$2 \cdot 3 = 6$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Der neue Bruch ist $\frac{xy}{6}$ .

Ergebnis:

$\frac{x}{2} \cdot \frac{y}{3} = \frac{xy}{6}$

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{7a}{b} \cdot \frac{2}{a}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler multiplizieren
Auch hier können wir vor dem Ausrechnen kürzen. Der Faktor $a$ kommt im Zähler und im Nenner vor.

$\frac{7a}{b} \cdot \frac{2}{a} = \frac{7}{b} \cdot \frac{2}{1}$

$7 \cdot 2 = 14$
Schritt 2
Nenner multiplizieren
$b \cdot 1 = b$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Der neue Bruch ist $\frac{14}{b}$ .

Ergebnis:

$\frac{7a}{b} \cdot \frac{2}{a} = \frac{14}{b}$

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $5 \cdot \frac{3}{4}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler multiplizieren
Eine ganze Zahl kann man immer als Bruch schreiben, indem man eine 1 in den Nenner setzt.

$5 = \frac{5}{1}$

Die Aufgabe lautet also: $\frac{5}{1} \cdot \frac{3}{4}$

$5 \cdot 3 = 15$
Schritt 2
Nenner multiplizieren
$1 \cdot 4 = 4$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Der neue Bruch ist $\frac{15}{4}$ .

Ergebnis:

$5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$

Aufgabentyp 2: Bruchterme dividieren

Das Dividieren von Brüchen ist beim Vereinfachen von Bruchtermen fast so einfach wie das Multiplizieren. Es gibt einen Trick: Statt zu dividieren, multiplizieren wir mit dem Kehrbruch.

Die Regel lautet: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. Der Kehrbruch ist einfach der Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht sind. Der Kehrbruch von $\frac{c}{d}$ ist $\frac{d}{c}$ .

Die Formel sieht so aus:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Danach rechnest du einfach wie bei einer normalen Multiplikation weiter.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Kehrbruch bilden: Nimm den zweiten Bruch (den Divisor) und bilde den Kehrbruch, indem du Zähler und Nenner vertauschst.
Rechenzeichen ändern: Ersetze das Divisionszeichen ( $\div$ ) durch ein Multiplikationszeichen ( $\cdot$ ).
Multiplizieren: Löse die neue Aufgabe wie eine normale Multiplikation: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Kürzen: Vereinfache das Ergebnis, wenn möglich, durch Kürzen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{2}{3} \div \frac{7}{9}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kehrbruch bilden
Der Kehrbruch von $\frac{7}{9}$ ist $\frac{9}{7}$ .
Schritt 2
Rechenzeichen ändern
Die Aufgabe wird zu: $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{7}$
Schritt 3
Multiplizieren
Wir können über Kreuz kürzen (die 3 und die 9):

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{7}$

Zähler: $2 \cdot 3 = 6$

Nenner: $1 \cdot 7 = 7$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{6}{7}$ .

Ergebnis:

$\frac{2}{3} \div \frac{7}{9} = \frac{6}{7}$

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{5}{8} \div \frac{15}{4}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kehrbruch bilden
Der Kehrbruch von $\frac{15}{4}$ ist $\frac{4}{15}$ .
Schritt 2
Rechenzeichen ändern
Die Aufgabe wird zu: $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15}$
Schritt 3
Multiplizieren
Wir kürzen über Kreuz. Die 5 und 15 (durch 5), und die 4 und 8 (durch 4).

$\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Zähler: $1 \cdot 1 = 1$

Nenner: $2 \cdot 3 = 6$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{1}{6}$ .

Ergebnis:

$\frac{5}{8} \div \frac{15}{4} = \frac{1}{6}$

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{x}{y} \div \frac{x}{z}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kehrbruch bilden
Der Kehrbruch von $\frac{x}{z}$ ist $\frac{z}{x}$ .
Schritt 2
Rechenzeichen ändern
Die Aufgabe wird zu: $\frac{x}{y} \cdot \frac{z}{x}$
Schritt 3
Multiplizieren
Wir können die Variable $x$ kürzen.

$\frac{x}{y} \cdot \frac{z}{x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{1}$

Zähler: $1 \cdot z = z$

Nenner: $y \cdot 1 = y$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{z}{y}$ .

Ergebnis:

$\frac{x}{y} \div \frac{x}{z} = \frac{z}{y}$

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $8 \div \frac{2}{3}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kehrbruch bilden
Wir schreiben 8 als Bruch: $\frac{8}{1}$ . Die Aufgabe ist: $\frac{8}{1} \div \frac{2}{3}$ .

Der Kehrbruch von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$ .
Schritt 2
Rechenzeichen ändern
Die Aufgabe wird zu: $\frac{8}{1} \cdot \frac{3}{2}$
Schritt 3
Multiplizieren
Wir können die 8 und die 2 kürzen.

$\frac{8}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{1}$

Zähler: $4 \cdot 3 = 12$

Nenner: $1 \cdot 1 = 1$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{12}{1} = 12$ .

Ergebnis:

$8 \div \frac{2}{3} = 12$

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{3}{10} \div 6$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kehrbruch bilden
Wir schreiben 6 als Bruch: $\frac{6}{1}$ . Die Aufgabe ist: $\frac{3}{10} \div \frac{6}{1}$ .

Der Kehrbruch von $\frac{6}{1}$ ist $\frac{1}{6}$ .
Schritt 2
Rechenzeichen ändern
Die Aufgabe wird zu: $\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{6}$
Schritt 3
Multiplizieren
Wir können die 3 und die 6 kürzen.

$\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2}$

Zähler: $1 \cdot 1 = 1$

Nenner: $10 \cdot 2 = 20$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{1}{20}$ .

Ergebnis:

$\frac{3}{10} \div 6 = \frac{1}{20}$

Aufgabentyp 3: Mit gemischten Zahlen rechnen

Eine gemischte Zahl wie $2\frac{3}{4}$ ist eine Kombination aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Um Bruchterme mit gemischten Zahlen zu vereinfachen, müssen wir sie zuerst in einen normalen (unechten) Bruch umwandeln.

Die Regel für die Umwandlung von $a\frac{b}{c}$ lautet:

$\frac{(a \cdot c) + b}{c}$

Beispiel: Wandeln wir $2\frac{3}{4}$ um.

Ganze Zahl mal Nenner: $2 \cdot 4 = 8$
Ergebnis plus Zähler: $8 + 3 = 11$
Der Nenner bleibt gleich: $\frac{11}{4}$

Sobald alle gemischten Zahlen umgewandelt sind, kannst du ganz normal multiplizieren oder dividieren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gemischte Zahlen umwandeln: Falls in der Aufgabe gemischte Zahlen vorkommen, wandle sie alle in unechte Brüche um. Die Formel ist: (Ganze Zahl $\cdot$ Nenner) + Zähler.
Multiplizieren oder Dividieren: Führe die Rechenoperation (Multiplikation oder Division) mit den umgewandelten Brüchen durch, wie in den vorherigen Aufgabentypen gelernt.
Ergebnis vereinfachen: Kürze das Ergebnis, wenn möglich. Manchmal wird verlangt, das Ergebnis wieder als gemischte Zahl anzugeben.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{4}{7} \cdot 7\frac{3}{4}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahl umwandeln
Wir wandeln $7\frac{3}{4}$ um.

$(7 \cdot 4) + 3 = 28 + 3 = 31$ . Der Nenner bleibt 4.

Also ist $7\frac{3}{4} = \frac{31}{4}$ .
Schritt 2
Multiplizieren
Die neue Aufgabe lautet: $\frac{4}{7} \cdot \frac{31}{4}$ .

Wir können die 4 kürzen:

$\frac{4}{7} \cdot \frac{31}{4} = \frac{1}{7} \cdot \frac{31}{1}$

Zähler: $1 \cdot 31 = 31$

Nenner: $7 \cdot 1 = 7$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{31}{7}$ .

Ergebnis:

$\frac{4}{7} \cdot 7\frac{3}{4} = \frac{31}{7}$

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $2\frac{1}{2} \cdot 3\frac{1}{5}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahlen umwandeln
$2\frac{1}{2} = \frac{(2 \cdot 2) + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$3\frac{1}{5} = \frac{(3 \cdot 5) + 1}{5} = \frac{16}{5}$
Schritt 2
Multiplizieren
Die neue Aufgabe lautet: $\frac{5}{2} \cdot \frac{16}{5}$ .

Wir kürzen die 5 und die 2 mit der 16:

$\frac{5}{2} \cdot \frac{16}{5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{1}$

Zähler: $1 \cdot 8 = 8$

Nenner: $1 \cdot 1 = 1$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{8}{1} = 8$ .

Ergebnis:

$2\frac{1}{2} \cdot 3\frac{1}{5} = 8$

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $4\frac{1}{2} \div \frac{3}{4}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahl umwandeln
$4\frac{1}{2} = \frac{(4 \cdot 2) + 1}{2} = \frac{9}{2}$
Schritt 2
Dividieren
Die neue Aufgabe lautet: $\frac{9}{2} \div \frac{3}{4}$ .

Wir bilden den Kehrbruch und multiplizieren: $\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3}$ .

Wir kürzen die 9 mit der 3 und die 2 mit der 4:

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1}$

Zähler: $3 \cdot 2 = 6$

Nenner: $1 \cdot 1 = 1$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{6}{1} = 6$ .

Ergebnis:

$4\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = 6$

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $6 \div 1\frac{1}{3}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahl umwandeln
$1\frac{1}{3} = \frac{(1 \cdot 3) + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Wir schreiben 6 als Bruch: $\frac{6}{1}$ .
Schritt 2
Dividieren
Die neue Aufgabe lautet: $\frac{6}{1} \div \frac{4}{3}$ .

Wir bilden den Kehrbruch und multiplizieren: $\frac{6}{1} \cdot \frac{3}{4}$ .

Wir kürzen die 6 mit der 4 (beide durch 2):

$\frac{6}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2}$

Zähler: $3 \cdot 3 = 9$

Nenner: $1 \cdot 2 = 2$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{9}{2}$ .

Ergebnis:

$6 \div 1\frac{1}{3} = \frac{9}{2}$

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $2\frac{2}{5} \div 1\frac{1}{10}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahlen umwandeln
$2\frac{2}{5} = \frac{(2 \cdot 5) + 2}{5} = \frac{12}{5}$

$1\frac{1}{10} = \frac{(1 \cdot 10) + 1}{10} = \frac{11}{10}$
Schritt 2
Dividieren
Die neue Aufgabe lautet: $\frac{12}{5} \div \frac{11}{10}$ .

Wir bilden den Kehrbruch und multiplizieren: $\frac{12}{5} \cdot \frac{10}{11}$ .

Wir kürzen die 5 mit der 10:

$\frac{12}{5} \cdot \frac{10}{11} = \frac{12}{1} \cdot \frac{2}{11}$

Zähler: $12 \cdot 2 = 24$

Nenner: $1 \cdot 11 = 11$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis
Das Ergebnis ist $\frac{24}{11}$ .

Ergebnis:

$2\frac{2}{5} \div 1\frac{1}{10} = \frac{24}{11}$

Aufgabentyp 4: Bruchterme mit Variablen durch Ausklammern vereinfachen

Manchmal sehen Terme in Zähler und Nenner fast gleich aus, aber die Reihenfolge in einer Differenz ist vertauscht. Zum Beispiel $(x-2)$ und $(2-x)$ . Diese Terme sind nicht gleich, aber sie sind „entgegengesetzt". Hier kommt der Trick mit dem Ausklammern von $-1$ ins Spiel.

Es gilt immer: $(a - b) = -1 \cdot (b - a)$

Beweis:

$-1 \cdot (b - a) = (-1 \cdot b) - (-1 \cdot a) = -b + a = a - b$

Wenn wir also $(x-2)$ haben, können wir es umschreiben zu $-1 \cdot (2-x)$ . Dadurch erzeugen wir einen Faktor, den wir mit $(2-x)$ im Nenner kürzen können. Dieser Trick ist super wichtig, um komplizierte Bruchterme zu vereinfachen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Division in Multiplikation umwandeln: Falls es eine Division ist, bilde den Kehrbruch des zweiten Bruchs und ändere das Rechenzeichen zu „mal".
Alles auf einen Bruchstrich schreiben: Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner, aber rechne die Klammern noch nicht aus.
Entgegengesetzte Terme finden: Suche nach Termen wie $(a-b)$ im Zähler und $(b-a)$ im Nenner.
$-1$ ausklammern: Wähle einen der entgegengesetzten Terme und klammere $-1$ aus. Ersetze z. B. $(a-b)$ durch $-1 \cdot (b-a)$ .
Kürzen: Jetzt hast du identische Klammerterme in Zähler und Nenner. Kürze diese und alle anderen gemeinsamen Faktoren (Zahlen oder Variablen).
Endergebnis aufschreiben: Schreibe auf, was nach dem Kürzen übrig bleibt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{x-2}{y} \div \frac{2-x}{xy}$ .

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Division in Multiplikation umwandeln
$\frac{x-2}{y} \cdot \frac{xy}{2-x}$
Schritt 2
Alles auf einen Bruchstrich schreiben
$\frac{(x-2) \cdot xy}{y \cdot (2-x)}$
Schritt 3
Entgegengesetzte Terme finden
Wir sehen $(x-2)$ im Zähler und $(2-x)$ im Nenner.
Schritt 4
-1 ausklammern
Wir ersetzen $(x-2)$ durch $-1 \cdot (2-x)$ .

$\frac{-1 \cdot (2-x) \cdot xy}{y \cdot (2-x)}$
Schritt 5
Kürzen
Wir kürzen den Term $(2-x)$ und die Variable $y$ .

$\frac{-1 \cdot x}{1}$
Schritt 6 · Ergebnis
Endergebnis aufschreiben
Das Ergebnis ist $-x$ .

Ergebnis:

$\frac{x-2}{y} \div \frac{2-x}{xy} = -x$

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{a-b}{5} \cdot \frac{10}{b-a}$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1 & 2
Auf einen Bruchstrich schreiben
$\frac{(a-b) \cdot 10}{5 \cdot (b-a)}$
Schritt 3
Entgegengesetzte Terme finden
Wir sehen $(a-b)$ und $(b-a)$ .
Schritt 4
-1 ausklammern
Wir ersetzen $(a-b)$ durch $-1 \cdot (b-a)$ .

$\frac{-1 \cdot (b-a) \cdot 10}{5 \cdot (b-a)}$
Schritt 5
Kürzen
Wir kürzen $(b-a)$ und die Zahlen 10 und 5.

$\frac{-1 \cdot 2}{1}$
Schritt 6 · Ergebnis
Endergebnis aufschreiben
Das Ergebnis ist $-2$ .

Ergebnis:

$\frac{a-b}{5} \cdot \frac{10}{b-a} = -2$

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{3-y}{y^2} \div \frac{y-3}{y}$ .

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Division in Multiplikation umwandeln
$\frac{3-y}{y^2} \cdot \frac{y}{y-3}$
Schritt 2
Alles auf einen Bruchstrich schreiben
$\frac{(3-y) \cdot y}{y^2 \cdot (y-3)}$
Schritt 3
Entgegengesetzte Terme finden
Wir sehen $(3-y)$ und $(y-3)$ .
Schritt 4
-1 ausklammern
Wir ersetzen $(3-y)$ durch $-1 \cdot (y-3)$ .

$\frac{-1 \cdot (y-3) \cdot y}{y^2 \cdot (y-3)}$
Schritt 5
Kürzen
Wir kürzen $(y-3)$ und ein $y$ aus $y^2$ .

$\frac{-1}{y}$
Schritt 6 · Ergebnis
Endergebnis aufschreiben
Das Ergebnis ist $-\frac{1}{y}$ .

Ergebnis:

$\frac{3-y}{y^2} \div \frac{y-3}{y} = -\frac{1}{y}$

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{4x-8}{x+1} \cdot \frac{x+1}{4-2x}$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1 & 2
Auf einen Bruchstrich schreiben
$\frac{(4x-8) \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot (4-2x)}$

Tipp: Hier müssen wir zuerst in den Klammern ausklammern, um die Struktur zu sehen.

$4x-8 = 4(x-2)$

$4-2x = 2(2-x)$

Der Term wird zu: $\frac{4(x-2) \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot 2(2-x)}$
Schritt 3
Entgegengesetzte Terme finden
Wir sehen $(x-2)$ und $(2-x)$ .
Schritt 4
-1 ausklammern
Wir ersetzen $(x-2)$ durch $-1 \cdot (2-x)$ .

$\frac{4 \cdot (-1 \cdot (2-x)) \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot 2 \cdot (2-x)}$
Schritt 5
Kürzen
Wir kürzen $(2-x)$ , $(x+1)$ und die Zahlen 4 und 2.

$\frac{2 \cdot (-1)}{1}$
Schritt 6 · Ergebnis
Endergebnis aufschreiben
Das Ergebnis ist $-2$ .

Ergebnis:

$\frac{4x-8}{x+1} \cdot \frac{x+1}{4-2x} = -2$

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $\frac{z-5}{z+5} \div \frac{5-z}{z+5}$ .

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Division in Multiplikation umwandeln
$\frac{z-5}{z+5} \cdot \frac{z+5}{5-z}$
Schritt 2
Alles auf einen Bruchstrich schreiben
$\frac{(z-5) \cdot (z+5)}{(z+5) \cdot (5-z)}$
Schritt 3
Entgegengesetzte Terme finden
Wir sehen $(z-5)$ und $(5-z)$ .
Schritt 4
-1 ausklammern
Wir ersetzen $(z-5)$ durch $-1 \cdot (5-z)$ .

$\frac{-1 \cdot (5-z) \cdot (z+5)}{(z+5) \cdot (5-z)}$
Schritt 5
Kürzen
Wir kürzen $(5-z)$ und $(z+5)$ .

$\frac{-1}{1}$
Schritt 6 · Ergebnis
Endergebnis aufschreiben
Das Ergebnis ist $-1$ .

Ergebnis:

$\frac{z-5}{z+5} \div \frac{5-z}{z+5} = -1$

Wichtige Erkenntnisse

Multiplikation: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren. $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
Gemischte Zahlen: Immer zuerst in einen unechten Bruch umwandeln. $a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$
Der $-1$ -Trick: Um entgegengesetzte Terme zu kürzen, klammere $-1$ aus: $(x-y) = -1 \cdot (y-x)$ .

Vereinfachen von Bruchtermen einfach erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Bruchterme multiplizieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Bruchterme dividieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Mit gemischten Zahlen rechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Bruchterme mit Variablen durch Ausklammern vereinfachen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Das könnte Dich auch interessieren

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.