Was sind Bruchgleichungen und wie erkenne ich sie?

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, bei der die Unbekannte x im Nenner eines Bruchs vorkommt – zum Beispiel 3/(x+2) = 5/(x−1) . Du erkennst sie daran, dass x nicht nur in einem Zähler, sondern mindestens einmal im Nenner steht. Solche Gleichungen treten häufig beim Berechnen von Schnittpunkten und Nullstellen gebrochen-rationaler Funktionen auf.

Wie löse ich eine Bruchgleichung Schritt für Schritt?

Gehe in fünf Schritten vor: Stelle die Gleichung auf ( f(x) = g(x) oder f(x) = 0 ). Identifiziere alle Nenner und multipliziere die gesamte Gleichung nacheinander mit jedem Nenner. Kürze die Brüche weg – übrig bleibt eine bruchfreie Gleichung. Löse diese Gleichung algebraisch nach x auf. Setze x ggf. zur Berechnung der y-Koordinate ein.

Wie berechne ich den Schnittpunkt zweier gebrochen-rationaler Funktionen?

Setze die beiden Funktionsterme gleich: f(x) = g(x) . Dadurch entsteht eine Bruchgleichung . Multipliziere schrittweise mit jedem Nenner, um die Brüche zu beseitigen, und löse die verbleibende Gleichung nach x auf. Anschließend setzt du den berechneten x-Wert in eine der Ausgangsfunktionen ein, um die y-Koordinate zu erhalten. Den Schnittpunkt gibst du dann als S(x|y) an.

Wie finde ich die Nullstelle einer gebrochen-rationalen Funktion?

Setze den Funktionsterm gleich Null: f(x) = 0 . Bringe den Bruchterm alleine auf eine Seite, indem du alle anderen Terme herüberziehst. Multipliziere dann mit dem Nenner, um den Bruch aufzulösen. Löse die verbleibende Gleichung nach x auf – das ist deine Nullstelle. Profi-Tipp: Hat der Bruch nur einen Zähler mit x , kannst du direkt den Zähler gleich Null setzen.

Was ist der Unterschied zwischen Schnittpunkt und Nullstelle bei Bruchgleichungen?

Beim Schnittpunkt setzt du zwei Funktionen gleich ( f(x) = g(x) ) und berechnest sowohl eine x- als auch eine y-Koordinate – das Ergebnis ist ein Punkt S(x|y) . Bei der Nullstelle setzt du eine einzelne Funktion gleich Null ( f(x) = 0 ) und erhältst nur einen x-Wert, an dem der Graph die x-Achse schneidet. Der Lösungstrick – Multiplizieren mit dem Nenner – ist bei beiden identisch.

Bruchgleichungen lösen: Schritt für Schritt

Bruchgleichungen rechnerisch lösen klingt auf den ersten Blick super kompliziert – überall dieses $x$ im Nenner. Die gute Nachricht: Das ist alles nur Show. Es gibt einen einfachen Trick, mit dem du jede Bruchgleichung in eine ganz normale Gleichung umwandeln kannst, die du schon längst lösen kannst. Lerne diesen einen Trick, und du kannst einen ganzen Aufgabentyp im Test sicher abhaken. Das sind garantierte Punkte, die andere liegen lassen.

Schnellantwort

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, bei der die Unbekannte $x$ im Nenner eines Bruchs vorkommt. Der entscheidende Lösungstrick: Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Nenner (bzw. den Nennern), um die Brüche zu beseitigen. Übrig bleibt eine gewöhnliche Gleichung, die du Schritt für Schritt nach $x$ auflösen kannst.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Lineare Gleichungen lösen: Das Ziel ist immer, $x$ auf einer Seite zu isolieren.
- Beispiel: Um $2x + 5 = 11$ zu lösen, rechnest du $-5$ und dann $\div 2$ , um $x = 3$ zu erhalten.
Ausmultiplizieren (Distributivgesetz): Eine Zahl oder Variable vor einer Klammer wird mit jedem Element in der Klammer multipliziert.
- Formel: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
- Beispiel: $5 \cdot (x - 2) = 5 \cdot x - 5 \cdot 2 = 5x - 10$
Schnittpunkt von Funktionen: Der Punkt, an dem sich die Graphen zweier Funktionen treffen. Man findet ihn, indem man die Funktionsterme gleichsetzt: $f(x) = g(x)$ .
Nullstelle einer Funktion: Der Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle ist der y-Wert immer 0. Man findet sie, indem man den Funktionsterm gleich Null setzt: $f(x) = 0$ .

Aufgabentyp 1: Schnittpunkt gebrochen-rationaler Funktionen

Beim rechnerischen Lösen von Bruchgleichungen begegnet dir dieser Aufgabentyp besonders häufig in Klausuren. Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu finden, setzen wir ihre Terme gleich: $f(x) = g(x)$ .

Wenn eine oder beide Funktionen gebrochen-rational sind (also ein $x$ im Nenner haben), entsteht eine sogenannte Bruchgleichung. Unser Hauptziel ist es, die Brüche loszuwerden. Das schaffen wir mit einem einfachen Trick: Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit den Nennern. Dadurch kürzen sich die Nenner weg und es bleibt eine normale Gleichung übrig, die wir einfach nach $x$ auflösen können.

Vergiss nicht: Ein Schnittpunkt hat immer eine x- und eine y-Koordinate. Nachdem wir $x$ berechnet haben, müssen wir es noch in eine der ursprünglichen Funktionen einsetzen, um das zugehörige $y$ zu finden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktionen gleichsetzen: Schreibe die Gleichung $f(x) = g(x)$ auf und setze die Funktionsterme ein.
Brüche auflösen: Identifiziere die Nenner auf beiden Seiten. Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem ersten Nenner und kürze. Danach multiplizierst du mit dem zweiten Nenner und kürzt erneut. Ziel ist, dass keine Brüche mehr übrig sind.
Gleichung nach x auflösen: Löse die entstandene bruchfreie Gleichung mit den bekannten algebraischen Schritten (ausmultiplizieren, zusammenfassen, isolieren) nach $x$ auf.
y-Koordinate berechnen: Setze den berechneten x-Wert in eine der beiden Ausgangsfunktionen ( $f(x)$ oder $g(x)$ ) ein, um die zugehörige y-Koordinate zu erhalten.
Schnittpunkt angeben: Notiere den Schnittpunkt in der Form $S(x|y)$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = \frac{3}{x + 2}$ und $g(x) = \frac{5}{x - 1}$ . Berechne den Schnittpunkt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$f(x) = g(x)$

$\frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 1}$
Schritt 2
Brüche auflösen
Die Nenner sind $x+2$ und $x-1$ . Wir multiplizieren schrittweise mit beiden.

$\frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 1} \quad | \cdot (x+2)$

$3 = \frac{5 \cdot (x+2)}{x - 1} \quad | \cdot (x-1)$

$3 \cdot (x-1) = 5 \cdot (x+2)$
Schritt 3
Gleichung nach x auflösen
Jetzt multiplizieren wir die Klammern aus.

$3x - 3 = 5x + 10 \quad | -5x$

$-2x - 3 = 10 \quad | +3$

$-2x = 13 \quad | \div (-2)$

$x = -6{,}5$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x = -6{,}5$ in $f(x)$ ein.

$y = f(-6{,}5) = \frac{3}{-6{,}5 + 2} = \frac{3}{-4{,}5}$

$y = -\frac{2}{3}$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist $S(-6{,}5 \mid -\frac{2}{3})$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Schnittpunkt der Funktionen $f(x) = \frac{12}{x - 3}$ und $g(x) = 4$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$f(x) = g(x)$

$\frac{12}{x - 3} = 4$
Schritt 2
Brüche auflösen
Der einzige Nenner ist $x-3$ .

$\frac{12}{x - 3} = 4 \quad | \cdot (x-3)$

$12 = 4 \cdot (x-3)$
Schritt 3
Gleichung nach x auflösen
$12 = 4x - 12 \quad | +12$

$24 = 4x \quad | \div 4$

$x = 6$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Die y-Koordinate ist hier einfach, da $g(x)$ immer 4 ist. Wir müssen nicht einmal einsetzen.

$y = 4$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist $S(6 \mid 4)$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Wo schneiden sich die Graphen von $f(x) = \frac{-2}{x}$ und $g(x) = \frac{4}{x+9}$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$f(x) = g(x)$

$\frac{-2}{x} = \frac{4}{x+9}$
Schritt 2
Brüche auflösen
Die Nenner sind $x$ und $x+9$ .

$\frac{-2}{x} = \frac{4}{x+9} \quad | \cdot x$

$-2 = \frac{4 \cdot x}{x+9} \quad | \cdot (x+9)$

$-2 \cdot (x+9) = 4x$
Schritt 3
Gleichung nach x auflösen
$-2x - 18 = 4x \quad | +2x$

$-18 = 6x \quad | \div 6$

$x = -3$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x = -3$ in $f(x)$ ein.

$y = f(-3) = \frac{-2}{-3}$

$y = \frac{2}{3}$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist $S(-3 \mid \frac{2}{3})$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme den Schnittpunkt von $f(x) = \frac{1}{2x+1}$ und $g(x) = \frac{2}{3x+6}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$f(x) = g(x)$

$\frac{1}{2x+1} = \frac{2}{3x+6}$
Schritt 2
Brüche auflösen
Die Nenner sind $2x+1$ und $3x+6$ .

$\frac{1}{2x+1} = \frac{2}{3x+6} \quad | \cdot (2x+1)$

$1 = \frac{2 \cdot (2x+1)}{3x+6} \quad | \cdot (3x+6)$

$1 \cdot (3x+6) = 2 \cdot (2x+1)$
Schritt 3
Gleichung nach x auflösen
$3x+6 = 4x+2 \quad | -3x$

$6 = x+2 \quad | -2$

$x = 4$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x = 4$ in $f(x)$ ein.

$y = f(4) = \frac{1}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{1}{8+1}$

$y = \frac{1}{9}$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist $S(4 \mid \frac{1}{9})$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben sind $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ und $g(x) = \frac{x+2}{x-2}$ . Berechne den Schnittpunkt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktionen gleichsetzen
$f(x) = g(x)$

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{x+2}{x-2}$
Schritt 2
Brüche auflösen
Die Nenner sind $x+1$ und $x-2$ .

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{x+2}{x-2} \quad | \cdot (x+1)$

$x-1 = \frac{(x+2) \cdot (x+1)}{x-2} \quad | \cdot (x-2)$

$(x-1) \cdot (x-2) = (x+2) \cdot (x+1)$
Schritt 3
Gleichung nach x auflösen
Wir multiplizieren beide Seiten aus (binomische Formeln oder jeder Term mit jedem).

$x^2 - 2x - x + 2 = x^2 + x + 2x + 2$

$x^2 - 3x + 2 = x^2 + 3x + 2 \quad | -x^2$

$-3x + 2 = 3x + 2 \quad | -2$

$-3x = 3x \quad | +3x$

$0 = 6x \quad | \div 6$

$x = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
y-Koordinate berechnen
Wir setzen $x = 0$ in $f(x)$ ein.

$y = f(0) = \frac{0-1}{0+1} = \frac{-1}{1}$

$y = -1$

Ergebnis:

Der Schnittpunkt ist $S(0 \mid -1)$ .

Aufgabentyp 2: Nullstelle einer gebrochen-rationalen Funktion

Beim Bruchgleichungen rechnerisch lösen begegnet dir auch dieser Aufgabentyp sehr häufig. Eine Nullstelle ist ein x-Wert, für den der Funktionswert $y$ gleich Null ist. Wir suchen also die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet.

Der Ansatz ist daher immer: $f(x) = 0$ .

Genau wie bei den Schnittpunkten führt uns das oft zu einer Bruchgleichung. Der Lösungsweg ist fast identisch: Wir stellen die Gleichung so um, dass der Bruch alleine steht, und multiplizieren dann mit dem Nenner, um den Bruch aufzulösen. Der Rest ist einfaches Umstellen nach $x$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Funktion gleich Null setzen: Schreibe die Gleichung $f(x) = 0$ auf.
Bruchterm isolieren: Bringe alle Zahlen und Terme, die nicht zum Bruch gehören, durch Addition oder Subtraktion auf die andere Seite der Gleichung. Am Ende sollte der Bruch alleine auf einer Seite stehen.
Bruch auflösen: Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Nenner des Bruchs. Dadurch kürzt sich der Nenner weg und der Bruch verschwindet.
Gleichung nach x auflösen: Löse die verbleibende, bruchfreie Gleichung nach $x$ auf.
Nullstelle angeben: Notiere die Nullstelle, z. B. als $x_0 = \ldots$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Nullstelle der Funktion $f(x) = \frac{8}{x + 2} - 3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
$\frac{8}{x + 2} - 3 = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
$\frac{8}{x + 2} - 3 = 0 \quad | +3$

$\frac{8}{x + 2} = 3$
Schritt 3
Bruch auflösen
Der Nenner ist $x+2$ .

$\frac{8}{x + 2} = 3 \quad | \cdot (x+2)$

$8 = 3 \cdot (x+2)$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
$8 = 3x + 6 \quad | -6$

$2 = 3x \quad | \div 3$

$x = \frac{2}{3}$

Ergebnis:

Die Nullstelle liegt bei $x = \frac{2}{3}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Nullstelle der Funktion $g(x) = \frac{-5}{x - 4} + 6$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
$\frac{-5}{x - 4} + 6 = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
$\frac{-5}{x - 4} + 6 = 0 \quad | -6$

$\frac{-5}{x - 4} = -6$
Schritt 3
Bruch auflösen
Der Nenner ist $x-4$ .

$\frac{-5}{x - 4} = -6 \quad | \cdot (x-4)$

$-5 = -6 \cdot (x-4)$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
$-5 = -6x + 24 \quad | -24$

$-29 = -6x \quad | \div (-6)$

$x = \frac{29}{6}$

Ergebnis:

Die Nullstelle liegt bei $x = \frac{29}{6}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Wo befindet sich die Nullstelle von $h(x) = \frac{9}{2x - 4} - 1$ ?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
$\frac{9}{2x - 4} - 1 = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
$\frac{9}{2x - 4} - 1 = 0 \quad | +1$

$\frac{9}{2x - 4} = 1$
Schritt 3
Bruch auflösen
Der Nenner ist $2x-4$ .

$\frac{9}{2x - 4} = 1 \quad | \cdot (2x-4)$

$9 = 1 \cdot (2x-4)$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
$9 = 2x - 4 \quad | +4$

$13 = 2x \quad | \div 2$

$x = \frac{13}{2}$ oder $x = 6{,}5$

Ergebnis:

Die Nullstelle liegt bei $x = 6{,}5$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Finde die Nullstelle von $f(x) = \frac{2x-6}{x+1}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
$\frac{2x-6}{x+1} = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
Der Bruchterm steht bereits alleine. Dieser Schritt ist also schon erledigt.
Schritt 3
Bruch auflösen
Der Nenner ist $x+1$ .

$\frac{2x-6}{x+1} = 0 \quad | \cdot (x+1)$

$2x-6 = 0 \cdot (x+1)$

$2x-6 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
$2x = 6 \quad | \div 2$

$x = 3$

Ergebnis:

Die Nullstelle liegt bei $x = 3$ . Profi-Tipp: Ein Bruch ist genau dann Null, wenn sein Zähler Null ist. Du hättest also auch direkt den Zähler $2x-6$ gleich Null setzen können.

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne die Nullstelle von $f(x) = 5 - \frac{10}{x-1}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Funktion gleich Null setzen
$5 - \frac{10}{x-1} = 0$
Schritt 2
Bruchterm isolieren
$5 - \frac{10}{x-1} = 0 \quad | -5$

$-\frac{10}{x-1} = -5$

Wir können beide Seiten mit $-1$ multiplizieren, um die Minuszeichen loszuwerden.

$\frac{10}{x-1} = 5$
Schritt 3
Bruch auflösen
Der Nenner ist $x-1$ .

$\frac{10}{x-1} = 5 \quad | \cdot (x-1)$

$10 = 5 \cdot (x-1)$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung nach x auflösen
$10 = 5x - 5 \quad | +5$

$15 = 5x \quad | \div 5$

$x = 3$

Ergebnis:

Die Nullstelle liegt bei $x = 3$ .

Wichtige Erkenntnisse

Schnittpunkt berechnen: Setze die beiden Funktionen gleich: $f(x) = g(x)$ .
Nullstelle berechnen: Setze die Funktion gleich Null: $f(x) = 0$ .
Der wichtigste Trick: Um eine Bruchgleichung zu lösen, multipliziere mit dem Nenner (oder den Nennern), um die Brüche zu beseitigen.
Nicht vergessen: Ein Schnittpunkt besteht immer aus einer x-Koordinate UND einer y-Koordinate.

Bruchgleichungen rechnerisch lösen: Schritt für Schritt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Schnittpunkt gebrochen-rationaler Funktionen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Nullstelle einer gebrochen-rationalen Funktion

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

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