Was sind Potenzen und wie rechnet man mit ihnen?

Eine Potenz besteht aus einer Basis (der großen Zahl unten) und einem Exponenten (der kleinen Zahl oben). Die Schreibweise a n bedeutet, dass du die Basis a genau n -mal mit sich selbst multiplizierst. Zum Beispiel: 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125 . Potenzen sind ein Grundwerkzeug in der Mathematik und tauchen in Zinsrechnung, Funktionen und Physik auf.

Wie berechnet man Potenzen mit negativen Exponenten?

Ein negativer Exponent ist kein Vorzeichen fürs Ergebnis, sondern eine Anweisung: Bilde den Kehrwert der Basis und mache den Exponenten positiv. Bei einer ganzen Zahl gilt a −n = 1/a n , bei einem Bruch tauscht du Zähler und Nenner: (a/b) −n = (b/a) n . Beispiel: 6 −2 = (1/6) 2 = 1/36 .

Was bedeutet KlaPoPS beim Rechnen mit Potenzen?

KlaPoPS ist die Merkregel für die Rechenreihenfolge bei Termen mit Potenzen: Kla mmern zuerst, dann Po tenzen, dann P unktrechnung (Multiplikation und Division) und zuletzt S trichrechnung (Addition und Subtraktion). Hältst du diese Reihenfolge ein, bekommst du immer das richtige Ergebnis – egal wie viele Rechenarten in einem Term gemischt sind.

Wie bestimmt man einen unbekannten Exponenten in einer Potenzgleichung?

Forme die Gleichung so um, dass auf beiden Seiten dieselbe Basis steht. Dann kannst du die Exponenten direkt gleichsetzen. Nützliche Regeln: Ein Bruch wie 1/a m entspricht a −m (negativer Exponent), und eine Wurzel ∜[m]{a} entspricht a 1/m (Bruch im Exponenten). Sobald die Basen übereinstimmen, liest du n direkt ab.

Was ist der Unterschied zwischen einem geraden und einem ungeraden Exponenten bei negativer Basis?

Bei einer negativen Basis entscheidet der Exponent über das Vorzeichen des Ergebnisses: Ein gerader Exponent liefert immer ein positives Ergebnis, weil sich die Minuszeichen paarweise aufheben. Ein ungerade r Exponent liefert ein negatives Ergebnis, weil ein Minuszeichen übrig bleibt. Beispiel: (−2) 4 = 16 , aber (−3) 3 = −27 .

Mit Potenzen rechnen einfach erklärt

Mit Potenzen rechnen gehört zu den wichtigsten Grundlagen in der Mathematik – von Zinseszinsen über Funktionsgleichungen bis zur Physik wirst du ihnen immer wieder begegnen. Das ist kein nettes Extra, sondern das Einmaleins für fast alles, was in den nächsten Jahren auf dich zukommt. Wenn du die vier Aufgabentypen hier sicher beherrschst, werden viele zukünftige Themen plötzlich viel einfacher.

Schnellantwort

Eine Potenz besteht aus einer Basis (der großen Zahl unten) und einem Exponenten (der kleinen Zahl oben). Die allgemeine Form $a^n$ bedeutet: Multipliziere die Basis $a$ genau $n$ -mal mit sich selbst. Mit Potenzen rechnen umfasst das Auswerten von Potenzen mit natürlichen und negativen Exponenten, die Rechenreihenfolge KlaPoPS sowie das Bestimmen unbekannter Exponenten in Gleichungen.

Vorwissen

Bevor wir loslegen, solltest du diese Grundlagen sicher beherrschen:

Basis und Exponent: Eine Potenz besteht aus einer Basis (der großen Zahl unten) und einem Exponenten (der kleinen Zahl oben).
- Beispiel: Bei $5^3$ ist die Basis 5 und der Exponent 3.
Multiplikation von Dezimalzahlen: Multipliziere die Zahlen ohne Komma und setze das Komma im Ergebnis so, dass es so viele Nachkommastellen hat wie die beiden Faktoren zusammen.
- Beispiel: $0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08$ (weil $4 \cdot 2 = 8$ und wir insgesamt zwei Nachkommastellen haben).
Multiplikation von Brüchen: Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
- Formel: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
- Beispiel: $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$

Aufgabentyp 1: Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnen

Eine Potenz ist eine Abkürzung für wiederholtes Multiplizieren. Die Basis ist die Zahl, die multipliziert wird, und der Exponent sagt dir, wie oft du sie mit sich selbst multiplizieren musst.

Die allgemeine Form lautet: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n\text{-mal}}$

Beispiel: $7^3$ bedeutet, dass du die Basis $7$ insgesamt $3$ -mal mit sich selbst multiplizierst. $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere Basis und Exponent – Bestimme, welche Zahl die Basis und welche der Exponent ist.
Schreibe die Multiplikation vollständig aus – Die Basis wird so oft aufgeschrieben, wie der Exponent angibt.
Berechne das Ergebnis schrittweise – Rechne die Multiplikation von links nach rechts aus.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne $5^3$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Basis und Exponent identifizieren
Die Basis ist 5 und der Exponent ist 3.
Schritt 2
Multiplikation aufschreiben
Wir müssen die 5 dreimal mit sich selbst multiplizieren.

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$5 \cdot 5 = 25$

$25 \cdot 5 = 125$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $125$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne $0{,}4^2$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Basis und Exponent identifizieren
Die Basis ist $0{,}4$ und der Exponent ist 2.
Schritt 2
Multiplikation aufschreiben
Wir müssen $0{,}4$ zweimal mit sich selbst multiplizieren.

$0{,}4^2 = 0{,}4 \cdot 0{,}4$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Wir rechnen $4 \cdot 4 = 16$ . Da die beiden Faktoren zusammen zwei Nachkommastellen haben, braucht das Ergebnis auch zwei.

$0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $0{,}16$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne $\left(\frac{2}{3}\right)^4$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Basis und Exponent identifizieren
Die Basis ist der Bruch $\frac{2}{3}$ und der Exponent ist 4.
Schritt 2
Multiplikation aufschreiben
Wir müssen den Bruch viermal mit sich selbst multiplizieren.

$\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Wir multiplizieren die Zähler und die Nenner.

$\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{16}{81}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne $(-2)^4$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Basis und Exponent identifizieren
Die Basis ist $-2$ und der Exponent ist 4.
Schritt 2
Multiplikation aufschreiben
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$(-2) \cdot (-2) = 4$

$4 \cdot (-2) = -8$

$-8 \cdot (-2) = 16$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $16$ . Merke: Eine negative Basis mit einem geraden Exponenten ergibt ein positives Ergebnis.

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne $(-3)^3$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Basis und Exponent identifizieren
Die Basis ist $-3$ und der Exponent ist 3.
Schritt 2
Multiplikation aufschreiben
$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
$(-3) \cdot (-3) = 9$

$9 \cdot (-3) = -27$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $-27$ . Merke: Eine negative Basis mit einem ungeraden Exponenten ergibt ein negatives Ergebnis.

Aufgabentyp 2: Potenzen mit negativen Exponenten berechnen

Ein negativer Exponent bedeutet nicht, dass das Ergebnis negativ wird! Er ist eine Anweisung: Bilde den Kehrwert der Basis und mache den Exponenten positiv.

Regel 1: Für ganze Zahlen und Dezimalzahlen

Der Kehrwert von $a$ ist $\frac{1}{a}$ .

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Beispiel: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

Regel 2: Für Brüche

Der Kehrwert von $\frac{a}{b}$ ist $\frac{b}{a}$ (Zähler und Nenner tauschen).

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$

Beispiel: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erkenne den negativen Exponenten – Identifiziere die Potenz mit dem negativen Exponenten.
Bilde den Kehrwert der Basis – Bei einer Zahl $a$ schreibe $\frac{1}{a}$ ; bei einem Bruch $\frac{a}{b}$ schreibe $\frac{b}{a}$ .
Mache den Exponenten positiv – Schreibe die neue Potenz mit dem Kehrwert als Basis und dem nun positiven Exponenten.
Berechne die neue Potenz – Wende die Methode aus Aufgabentyp 1 an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne $6^{-2}$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negativen Exponenten erkennen
Der Exponent ist $-2$ .
Schritt 2
Kehrwert der Basis bilden
Die Basis ist 6. Der Kehrwert ist $\frac{1}{6}$ .
Schritt 3
Exponenten positiv machen
$6^{-2} = \left(\frac{1}{6}\right)^{2}$
Schritt 4 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
$\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{1}{36}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne $0{,}5^{-3}$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negativen Exponenten erkennen
Der Exponent ist $-3$ .
Schritt 2
Kehrwert der Basis bilden
Die Basis ist $0{,}5$ . Das ist dasselbe wie der Bruch $\frac{1}{2}$ . Der Kehrwert von $\frac{1}{2}$ ist $\frac{2}{1}$ , also 2.
Schritt 3
Exponenten positiv machen
$0{,}5^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^{3}$
Schritt 4 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $8$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negativen Exponenten erkennen
Der Exponent ist $-3$ .
Schritt 2
Kehrwert der Basis bilden
Die Basis ist $\frac{2}{5}$ . Der Kehrwert ist $\frac{5}{2}$ .
Schritt 3
Exponenten positiv machen
$\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^{3}$
Schritt 4 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
$\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{125}{8}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{125}{8}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne $(-4)^{-2}$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negativen Exponenten erkennen
Der Exponent ist $-2$ .
Schritt 2
Kehrwert der Basis bilden
Die Basis ist $-4$ . Der Kehrwert ist $-\frac{1}{4}$ .
Schritt 3
Exponenten positiv machen
$(-4)^{-2} = \left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$
Schritt 4 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
$\left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = +\frac{1}{16}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{1}{16}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne $(-10)^{-3}$ ohne Taschenrechner.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Negativen Exponenten erkennen
Der Exponent ist $-3$ .
Schritt 2
Kehrwert der Basis bilden
Die Basis ist $-10$ . Der Kehrwert ist $-\frac{1}{10}$ .
Schritt 3
Exponenten positiv machen
$(-10)^{-3} = \left(-\frac{1}{10}\right)^{3}$
Schritt 4 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
$\left(-\frac{1}{10}\right)^3 = \left(-\frac{1}{10}\right) \cdot \left(-\frac{1}{10}\right) \cdot \left(-\frac{1}{10}\right) = -\frac{1}{1000}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $-\frac{1}{1000}$ oder $-0{,}001$ .

Aufgabentyp 3: Potenzterme mit Rechenregeln berechnen

Wenn in einer Aufgabe mehrere Rechenarten und Potenzen vorkommen, musst du eine feste Reihenfolge einhalten, damit das richtige Ergebnis herauskommt. Die Regel dafür heißt KlaPoPS.

KlaPoPS steht für:

Klammern: Berechne immer zuerst, was in den Klammern steht. Bei mehreren Klammern beginnst du mit der innersten.
Potenzen: Berechne als Nächstes alle Potenzen.
Punktrechnung: Führe alle Multiplikationen (·) und Divisionen (:) von links nach rechts durch.
Strichrechnung: Zum Schluss kommen alle Additionen (+) und Subtraktionen (−) dran, ebenfalls von links nach rechts.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Löse alle Klammern auf – Berechne den Inhalt aller Klammern; innerhalb der Klammer gilt wieder KlaPoPS.
Berechne alle Potenzen – Werte alle Potenzen im gesamten Term aus.
Führe Punkt- vor Strichrechnung durch – Alle Multiplikationen und Divisionen von links nach rechts.
Berechne den Rest – Führe die verbleibenden Additionen und Subtraktionen von links nach rechts aus.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne $5 + 3 \cdot 2^3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Klammern auflösen
Es gibt keine Klammern.
Schritt 2
Potenzen berechnen
Wir berechnen die Potenz $2^3$ .

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Der Term lautet jetzt: $5 + 3 \cdot 8$
Schritt 3
Punkt- vor Strichrechnung
Wir führen die Punktrechnung $3 \cdot 8$ aus.

$3 \cdot 8 = 24$

Der Term lautet jetzt: $5 + 24$
Schritt 4 · Ergebnis
Rest berechnen
Wir führen die Strichrechnung $5 + 24$ aus.

$5 + 24 = 29$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $29$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne $(7 - 4)^2 \cdot 5$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Klammern auflösen
Wir berechnen zuerst den Inhalt der Klammer $(7 - 4)$ .

$7 - 4 = 3$

Der Term lautet jetzt: $3^2 \cdot 5$
Schritt 2
Potenzen berechnen
Wir berechnen die Potenz $3^2$ .

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

Der Term lautet jetzt: $9 \cdot 5$
Schritt 3
Punkt- vor Strichrechnung
Wir führen die Punktrechnung $9 \cdot 5$ aus.

$9 \cdot 5 = 45$
Schritt 4 · Ergebnis
Rest berechnen
Es gibt keine weiteren Rechnungen.

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $45$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne $48 \div 2^2 + 3 \cdot (1+2)^2$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Klammern auflösen
Wir berechnen die Klammer $(1+2)$ .

$1+2=3$

Der Term lautet jetzt: $48 \div 2^2 + 3 \cdot 3^2$
Schritt 2
Potenzen berechnen
Wir berechnen die Potenzen $2^2$ und $3^2$ .

$2^2 = 4$ und $3^2 = 9$

Der Term lautet jetzt: $48 \div 4 + 3 \cdot 9$
Schritt 3
Punkt- vor Strichrechnung
Wir haben zwei Punktrechnungen: $48 \div 4$ und $3 \cdot 9$ . Wir führen sie von links nach rechts aus.

$48 \div 4 = 12$

$3 \cdot 9 = 27$

Der Term lautet jetzt: $12 + 27$
Schritt 4 · Ergebnis
Rest berechnen
Wir führen die Strichrechnung $12 + 27$ aus.

$12 + 27 = 39$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $39$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne $100 - (5 \cdot (-2)^3 + 10)$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Klammern auflösen
Wir konzentrieren uns auf die Klammer $(5 \cdot (-2)^3 + 10)$ . Innerhalb der Klammer gilt wieder KlaPoPS.
- Potenz zuerst: $(-2)^3 = -8$ .
- Der Klammerinhalt wird zu: $5 \cdot (-8) + 10$ .
- Punktrechnung: $5 \cdot (-8) = -40$ .
- Der Klammerinhalt wird zu: $-40 + 10$ .
- Strichrechnung: $-40 + 10 = -30$ .
Der Term lautet jetzt: $100 - (-30)$
Schritt 2 & 3 sind erledigt.
Schritt 4 · Ergebnis
Rest berechnen
$100 - (-30) = 100 + 30 = 130$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $130$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne $\left(\frac{9}{2^3} - 1\right)^2 \cdot 64$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Klammern auflösen
Wir berechnen den Inhalt der Klammer $\left(\frac{9}{2^3} - 1\right)$ .
- Potenz zuerst: $2^3 = 8$ .
- Der Klammerinhalt wird zu: $\frac{9}{8} - 1$ .
- Um zu subtrahieren, wandeln wir 1 in Achtel um: $1 = \frac{8}{8}$ .
- Der Klammerinhalt wird zu: $\frac{9}{8} - \frac{8}{8} = \frac{1}{8}$ .
Der Term lautet jetzt: $\left(\frac{1}{8}\right)^2 \cdot 64$
Schritt 2
Potenzen berechnen
Wir berechnen die Potenz $\left(\frac{1}{8}\right)^2$ .

$\left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1^2}{8^2} = \frac{1}{64}$

Der Term lautet jetzt: $\frac{1}{64} \cdot 64$
Schritt 3 · Ergebnis
Punkt- vor Strichrechnung
Wir führen die Multiplikation aus.

$\frac{1}{64} \cdot 64 = \frac{64}{64} = 1$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $1$ .

Aufgabentyp 4: Exponenten in Potenzgleichungen bestimmen

Bei diesen Aufgaben ist der Exponent $n$ gesucht. Das Ziel ist es, die Zahl auf der anderen Seite der Gleichung als Potenz mit der gleichen Basis zu schreiben. Sobald die Basen gleich sind, kannst du einfach die Exponenten vergleichen.

Beispiel: $3^n = 81$

Wir wissen, dass $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$ . Also können wir schreiben:

$3^n = 3^4$

Da die Basen (beide 3) gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein. Daraus folgt: $n=4$ .

Wichtige Regeln dafür:

Bruch: $\frac{1}{a^m} = a^{-m}$ (Ein Bruch deutet auf einen negativen Exponenten hin).
Wurzel: $\sqrt[m]{a} = a^{\frac{1}{m}}$ (Eine Wurzel deutet auf einen Bruch im Exponenten hin).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere die Gleichung – Schau dir die Basis auf der einen Seite und den Zielwert auf der anderen Seite an.
Schreibe den Zielwert als Potenz der Basis – Versuche, den Zielwert durch wiederholtes Multiplizieren oder Dividieren als Potenz der Basis auszudrücken. Nutze dabei die Potenzgesetze für Brüche und Wurzeln.
Vergleiche die Exponenten – Sobald beide Seiten die gleiche Basis haben ( $a^n = a^m$ ), setze die Exponenten gleich ( $n=m$ ).
Löse nach n auf – Falls nötig, löse die entstandene kleine Gleichung nach $n$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Exponenten $n$ in der Gleichung $2^n = 32$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung analysieren
Die Basis ist 2, der Zielwert ist 32.
Schritt 2
Zielwert als Potenz der Basis schreiben
Wir probieren, wie oft wir die 2 mit sich selbst multiplizieren müssen, um 32 zu erhalten.

$2 \cdot 2 = 4$

$4 \cdot 2 = 8$

$8 \cdot 2 = 16$

$16 \cdot 2 = 32$

Wir haben 5-mal multipliziert, also ist $32 = 2^5$ .
Schritt 3
Exponenten vergleichen
Die Gleichung lautet nun: $2^n = 2^5$ .

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Exponenten gleich: $n=5$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Nach n auflösen
$n$ ist bereits isoliert. Das Ergebnis ist $n=5$ .

Ergebnis:

$n = 5$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme den Exponenten $n$ in der Gleichung $4^n = \frac{1}{256}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung analysieren
Die Basis ist 4, der Zielwert ist $\frac{1}{256}$ . Der Bruch deutet auf einen negativen Exponenten hin.
Schritt 2
Zielwert als Potenz der Basis schreiben
Zuerst suchen wir den Exponenten für $4^? = 256$ .

$4 \cdot 4 = 16$

$16 \cdot 4 = 64$

$64 \cdot 4 = 256$

Also ist $256 = 4^4$ . Da wir aber $\frac{1}{256}$ haben, nutzen wir die Regel für negative Exponenten:

$\frac{1}{256} = \frac{1}{4^4} = 4^{-4}$
Schritt 3
Exponenten vergleichen
Die Gleichung lautet nun: $4^n = 4^{-4}$ .

Wir setzen die Exponenten gleich: $n=-4$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Nach n auflösen
$n$ ist bereits isoliert. Das Ergebnis ist $n=-4$ .

Ergebnis:

$n = -4$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme den Exponenten $n$ in der Gleichung $64^n = 4$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung analysieren
Die Basis ist 64, der Zielwert ist 4. Da der Zielwert kleiner als die Basis ist, muss es sich um eine Wurzel handeln, also einen Bruch im Exponenten.
Schritt 2
Zielwert als Potenz der Basis schreiben
Wir fragen uns: Die wievielte Wurzel von 64 ist 4? Wir probieren:

$\sqrt{64} = 8$ (Das ist zu groß)

$\sqrt[3]{64} = 4$ (Das passt, denn $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ )

Wir wissen, dass $\sqrt[3]{64}$ als Potenz $64^{\frac{1}{3}}$ geschrieben werden kann.
Schritt 3
Exponenten vergleichen
Die Gleichung lautet nun: $64^n = 64^{\frac{1}{3}}$ .

Wir setzen die Exponenten gleich: $n=\frac{1}{3}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Nach n auflösen
$n$ ist bereits isoliert. Das Ergebnis ist $n=\frac{1}{3}$ .

Ergebnis:

$n = \frac{1}{3}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme den Exponenten $n$ in der Gleichung $\left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{9}{4}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung analysieren
Die Basis ist $\frac{2}{3}$ , der Zielwert ist $\frac{9}{4}$ . Wir sehen, dass Zähler und Nenner vertauscht sind. Das deutet auf einen negativen Exponenten hin.
Schritt 2
Zielwert als Potenz der Basis schreiben
Zuerst formen wir den Zielwert um, damit er zur Basis passt. Wir bilden den Kehrwert:

$\frac{9}{4} = \left(\frac{4}{9}\right)^{-1}$

Jetzt müssen wir $\frac{4}{9}$ als Potenz von $\frac{2}{3}$ schreiben:

$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

Setzen wir das zusammen:

$\frac{9}{4} = \left(\frac{4}{9}\right)^{-1} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^{-1}$

Mit dem Potenzgesetz $(a^m)^p = a^{m \cdot p}$ erhalten wir:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2 \cdot (-1)} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$
Schritt 3
Exponenten vergleichen
Die Gleichung lautet nun: $\left(\frac{2}{3}\right)^n = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ .

Wir setzen die Exponenten gleich: $n=-2$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Nach n auflösen
$n$ ist bereits isoliert. Das Ergebnis ist $n=-2$ .

Ergebnis:

$n = -2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme den Exponenten $n$ in der Gleichung $(\sqrt{7})^3 = 7^n$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung analysieren
Wir müssen die linke Seite der Gleichung so umformen, dass sie die Basis 7 hat.
Schritt 2
Zielwert als Potenz der Basis schreiben
Wir verwenden die Regel, dass eine Wurzel ein Bruch im Exponenten ist: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$

Jetzt setzen wir das in die linke Seite der Gleichung ein:

$(\sqrt{7})^3 = \left(7^{\frac{1}{2}}\right)^3$

Nun verwenden wir das Potenzgesetz $(a^m)^p = a^{m \cdot p}$ :

$\left(7^{\frac{1}{2}}\right)^3 = 7^{\frac{1}{2} \cdot 3} = 7^{\frac{3}{2}}$
Schritt 3
Exponenten vergleichen
Die Gleichung lautet nun: $7^{\frac{3}{2}} = 7^n$ .

Wir setzen die Exponenten gleich: $n=\frac{3}{2}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Nach n auflösen
$n$ ist bereits isoliert. Das Ergebnis ist $n=\frac{3}{2}$ .

Ergebnis:

$n = \frac{3}{2}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Positive Exponenten: Eine Potenz $a^n$ bedeutet, $a$ $n$ -mal mit sich selbst zu multiplizieren. Beispiel: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Negative Exponenten: Ein negativer Exponent bedeutet „Bilde den Kehrwert und mache den Exponenten positiv". Beispiel: $5^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$ | Beispiel Bruch: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$
Rechenreihenfolge (KlaPoPS): Immer zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung.
Exponent finden: Forme die Gleichung so um, dass auf beiden Seiten die gleiche Basis steht. Dann kannst du die Exponenten direkt vergleichen. Wurzel als Potenz: $\sqrt[m]{a} = a^{\frac{1}{m}}$

Mit Potenzen rechnen einfach erklärt: Alle Typen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Potenzen mit negativen Exponenten berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Potenzterme mit Rechenregeln berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Exponenten in Potenzgleichungen bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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