Funktionsanpassungen am Funktionsterm einfach erklärt

Stell dir vor, du programmierst ein Videospiel. Dein Charakter springt, aber er landet immer knapp vor der rettenden Plattform. Anstatt den gesamten Code für den Sprung komplett neu zu schreiben, kannst du die mathematische Formel des Sprungs einfach ein wenig anpassen: Du lässt den Sprung ein bisschen weiter rechts starten, setzt ihn etwas höher an und streckst ihn vielleicht ein wenig.

Genau das machen wir in der Mathematik mit Funktionen! Wir können einen bestehenden Funktionsgraphen nehmen und ihn durch kleine Änderungen an seiner Formel beliebig verschieben und verformen. Lass uns herausfinden, wie wir diese Funktionsanpassungen direkt am Funktionsterm ablesen können, ohne den Graphen zeichnen zu müssen.

Vorwissen

• Funktionsschreibweise: Wir benennen Funktionen oft mit Buchstaben wie $f(x)$ oder $g(x)$. Beispiel: $f(x) = x^2 + 3$
• Terme in Funktionen einsetzen: Wenn wir das $x$ in der Klammer durch einen anderen Ausdruck ersetzen, müssen wir das überall im Funktionsterm tun. Beispiel: Wenn $f(x) = x^2 + 3$ ist, dann ist $f(x-1) = (x-1)^2 + 3$.

Aufgabentyp 1: Ablesen der Verschiebung und Streckung am Term

Wenn wir eine Ausgangsfunktion $f(x)$ haben, können wir ihren Graphen verändern, indem wir Zahlen addieren oder multiplizieren. Jede dieser Zahlen hat eine ganz bestimmte Aufgabe. Die allgemeine Formel für eine angepasste Funktion $h(x)$ sieht so aus:

$h(x) = \textcolor{#9570FF}{a} \cdot f(x - \textcolor{#08BFFF}{c}) + \textcolor{#53E5D6}{d}$

Lass uns die drei Bausteine einzeln betrachten:

1. Die horizontale Verschiebung (links/rechts) Diese Veränderung passiert direkt beim $x$, meistens innerhalb einer Klammer: $f(x - \textcolor{#08BFFF}{c})$.

• Steht dort $f(x - \textcolor{#08BFFF}{3})$, wird der Graph um $3$ Einheiten nach rechts verschoben.
• Steht dort $f(x + \textcolor{#08BFFF}{2})$, wird der Graph um $2$ Einheiten nach links verschoben.

Achtung: Das Vorzeichen ist hier genau umgekehrt, als man intuitiv denkt! Ein Minus bedeutet rechts, ein Plus bedeutet links.

2. Die vertikale Verschiebung (oben/unten) Diese Veränderung passiert außerhalb der eigentlichen Funktion: $f(x) + \textcolor{#53E5D6}{d}$.

• Steht dort $f(x) + \textcolor{#53E5D6}{4}$, rückt der Graph um $4$ Einheiten nach oben.
• Steht dort $f(x) - \textcolor{#53E5D6}{1}$, rückt der Graph um $1$ Einheit nach unten.

3. Die Streckung und Stauchung Diese Veränderung passiert durch Multiplikation mit der gesamten Funktion: $\textcolor{#9570FF}{a} \cdot f(x)$.

• Ist die Zahl größer als $1$ (z.B. $3$), wird der Graph in $y$-Richtung gestreckt (er wirkt steiler und schmaler).
• Liegt die Zahl zwischen $0$ und $1$ (z.B. $0{,}5$ oder $\frac{1}{2}$), wird der Graph in $y$-Richtung gestaucht (er wirkt flacher und breiter).

Oft sehen wir alle drei Anpassungen gleichzeitig, manchmal sogar mit zusätzlichen Klammern: $h(x) = \textcolor{#9570FF}{a} \cdot (f(x - \textcolor{#08BFFF}{c}) + \textcolor{#53E5D6}{d})$. Um hier nicht den Überblick zu verlieren, gibt es einen einfachen Trick: Wir schreiben den langen, komplizierten Term wieder mit dem Namen der Ausgangsfunktion um.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Ausgangsfunktion bestimmen: Schreibe dir die Ausgangsfunktion klar auf. Das ist dein Startpunkt.
2. Horizontale Verschiebung analysieren: Vergleiche die Zielfunktion mit der Ausgangsfunktion. Untersuche, wie sich das $x$ im Term verändert hat.
3. Zielfunktion umschreiben: Ersetze den komplizierten Teil der Zielfunktion durch den Namen der Ausgangsfunktion und lies die vertikale Verschiebung ab.
4. Streckung oder Stauchung ablesen: Prüfe an deiner umgeschriebenen Zielfunktion, ob der gesamte Term mit einem Faktor multipliziert wird.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• $f(x - c)$: Verschiebung nach rechts (Achtung: Minus bedeutet rechts!).
• $f(x + c)$: Verschiebung nach links.
• $f(x) + d$: Verschiebung nach oben.
• $f(x) - d$: Verschiebung nach unten.
• $a \cdot f(x)$: Streckung (wenn $a > 1$) oder Stauchung (wenn $a$ zwischen $0$ und $1$ liegt).
• Tipp: Schreibe komplizierte Zielfunktionen immer erst mit dem Namen der Ausgangsfunktion (z.B. $f$ oder $g$) um. Das macht die Struktur sofort sichtbar!